滿分：150分 考試時(shí)間：120分鐘
考生注意：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫在答題卡上.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)交集運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可得：.
故選：B.
2. 已知，則（ ）
A. 2B. C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算分析求解.
【詳解】因?yàn)?，可得?br>且，解得.
故選：B.
3. 已知，為第二象限角，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系運(yùn)算求解，注意象限角的三角函數(shù)值符號(hào).
【詳解】因，為第二象限角，則，
所以.
故選：C.
4. 已知，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.
【詳解】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，則，
又因?yàn)閮绾瘮?shù)在上為增函數(shù)，則，故.
故選：D.
5. 若命題：，是假命題，則（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】對(duì)于含量詞的命題為假命題，一般是通過(guò)該命題的否定為真命題求出參數(shù)范圍.
【詳解】由命題：，是假命題，
可知命題的否定：“，”是真命題，
即，解得：.
故選：A.
6. 已知定義在上的奇函數(shù)滿足①；②，，且，，則的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題目條件得到在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，，其中，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性得到不等式，求出解集.
【詳解】不妨設(shè)，
，
故在上單調(diào)遞增，
因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，
故定義域?yàn)?，且?br>故為偶函數(shù)，
因?yàn)椋裕?br>，
所以，解得或.
故選：A
7. 已知函數(shù)，若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合二次函數(shù)圖象分析判斷.
【詳解】由題意可知：函數(shù)的對(duì)稱軸為，且，如圖所示，
若，結(jié)合對(duì)稱性可知，且，
對(duì)于選項(xiàng)A：例如，則符合題意，
但，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)BC：若，顯然滿足題意，
但，，故BC錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋瑒t，所以，故D正確；
故選：D.
8. 已知函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因?yàn)?對(duì)進(jìn)行分類討論,利用數(shù)形結(jié)合的方法即可得到結(jié)果.
【詳解】因,
①當(dāng)時(shí),做出兩段拋物線的圖像如圖:

此時(shí)函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn),不滿足題意;
②當(dāng)時(shí),,做出兩段拋物線的圖像如圖:

此時(shí)函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn),滿足題意;
③當(dāng)時(shí),因?yàn)樵谟袃蓚€(gè)零點(diǎn),且當(dāng)時(shí)兩段拋物線的函數(shù)值相等,若要滿足題意,則兩段拋物線的圖像應(yīng)該如圖:

此時(shí),滿足題意;
綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選:B.
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列函數(shù)中，與函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)相等的定義逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】顯然函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋磳?duì)應(yīng)關(guān)系不一致，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋叶x域?yàn)?，所以兩個(gè)函數(shù)相同，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋炊x域不同，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)楹愠闪?，即的定義域?yàn)椋?br>且，所以兩個(gè)函數(shù)相同，故D正確；
故選：BD.
10. 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)的充分條件可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】先判斷函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理列出不等式求解，結(jié)合充分條件定義即可判斷各選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，
則，即，解得，
故AB符合題意，CD不符合題意.
故選：AB.
11. 已知實(shí)數(shù)，，滿足且，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】AC選項(xiàng)，作差法比較大??；B選項(xiàng)，舉出反例；D選項(xiàng)，變形后，作差法比較大小.
【詳解】因?yàn)榍?，所以?br>A選項(xiàng)，，故，A正確；
B選項(xiàng)，不妨設(shè)，此時(shí)滿足且，但，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，因?yàn)榍遥裕?br>，
所以，C正確；
D選項(xiàng)，
，
因?yàn)?，所以?br>故，D正確.
故選：ACD
12. 已知表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如：，.定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A.
B. 當(dāng)時(shí)，
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
D. 關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有23個(gè)實(shí)根
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A：直接代入運(yùn)算即可；對(duì)于B：根據(jù)題意結(jié)合即可求解析式；對(duì)于C：先求的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得結(jié)果；對(duì)于D：分和兩種情況，結(jié)合圖象分析方程的根的個(gè)數(shù).
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，
可得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
結(jié)合，可知的單調(diào)遞增區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，，，
故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)，，且，
則，
且等號(hào)不同時(shí)成立，原方程無(wú)實(shí)根；
當(dāng)時(shí)，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，

因?yàn)椋?br>要證，只需證，
令，則，只需證，如圖所示，

可知，成立，
所以方程在區(qū)間上恰有2個(gè)實(shí)根，
所以方程在區(qū)間上恰有個(gè)實(shí)根，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用數(shù)形結(jié)合求方程解應(yīng)注意兩點(diǎn)
1.討論方程的解(或函數(shù)的零點(diǎn))可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準(zhǔn)確性、全面性、否則會(huì)得到錯(cuò)解．
2.正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖象是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則而采用，不要刻意去數(shù)形結(jié)合．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知某扇形的半徑為2，弧長(zhǎng)為，則該扇形的圓心角為_(kāi)_____.
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)出圓心角，利用弧長(zhǎng)公式得到方程，求出答案.
【詳解】設(shè)圓心角為，則，解得.
故答案為：
14. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，，，，…?寫出滿足上述條件的一個(gè)函數(shù)：______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合指數(shù)運(yùn)算分析求解即可.
【詳解】例如，則，且，
所以符合題意.
故答案為：.
15. 已知函數(shù)，若，則的最小值為_(kāi)_____.
【答案】4
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖象可得，且，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.
【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，
因?yàn)?，且?br>則，可得，
即，且，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為4.
故答案為：4.
16. 水星是離太陽(yáng)最近的行星，在地球上較難觀測(cè)到.當(dāng)?shù)厍蚝退沁B線與地球和太陽(yáng)連線的夾角達(dá)到最大時(shí)，稱水星東（西）大距，這是觀測(cè)水星的最佳時(shí)機(jī)（如圖1）.將行星的公轉(zhuǎn)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則研究水星大距類似如下問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，分別在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑分別為1，3的圓上沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，角速度分別為，.當(dāng)達(dá)到最大時(shí)，稱A位于的“大距點(diǎn)”.如圖2，初始時(shí)刻A位于，位于以為始邊的角的終邊上.

（1）若，當(dāng)A第一次位于的“大距點(diǎn)”時(shí)，A的坐標(biāo)為_(kāi)_____；
（2）在內(nèi)，A位于的“大距點(diǎn)”的次數(shù)最多有______次
【答案】 ①. ②. 6
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，，可得，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；根據(jù)題意分析可知求“大距點(diǎn)”個(gè)數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與在的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合圖象分析求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)時(shí)間，，，
當(dāng)A位于的“大距點(diǎn)”時(shí)，與小圓相切，
此時(shí)為直角三角形，所以，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)锳是第一次位于的“大距點(diǎn)”，可知，則，
所以，，
即A的坐標(biāo)為；
（2）經(jīng)過(guò)時(shí)間，，，
對(duì)于任意，當(dāng)A位于的“大距點(diǎn)”時(shí)，
A，兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足，即，
當(dāng)時(shí)，求“大距點(diǎn)”個(gè)數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與在的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.
若與有7個(gè)交點(diǎn)，則第1個(gè)交點(diǎn)到第7個(gè)交點(diǎn)間隔恰好3個(gè)周期，
共長(zhǎng)度等于36，因?yàn)?，所以?nèi)不可能有7個(gè)交點(diǎn).
又當(dāng)時(shí)，
如圖所示，與有6個(gè)交點(diǎn)，故A最多有6次位于的“大距點(diǎn)”.
故答案為：；6.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合求交點(diǎn)個(gè)數(shù)：對(duì)于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形，常會(huì)通過(guò)分解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17. 已知函數(shù).
（1）若的解集為，求，；
（2）若，，，求的最小值.
【答案】（1），
（2）9
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可知，是方程的兩根，利用韋達(dá)定理運(yùn)算求解；
（2）由題意可得，根據(jù)“1”的靈活應(yīng)用結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)榈慕饧癁?，可知，是方程的兩根?br>則，解得，.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，即?br>且，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)，時(shí)，的最小值為9.
18. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

（1）求的解析式；
（2）將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2）最小值；最大值1
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合五點(diǎn)法求函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)圖象變換可得，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性分析求解.
小問(wèn)1詳解】
由圖可知：，且，
因?yàn)椋?
又因?yàn)?，即?br>則，即
且，可知，所以.
【小問(wèn)2詳解】
由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得，
因?yàn)椋睿?br>當(dāng)，即時(shí)，取最小值；
當(dāng)，即時(shí)，取最大值1.
19. 已知函數(shù).
（1）判斷在區(qū)間上單調(diào)性，并用定義證明；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.
【答案】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性的定義分析證明；
（2）解法一：分析可知為偶函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性可得在區(qū)間上的最小值為，且可得恒成立，根據(jù)恒成立問(wèn)題分析求解；解法二：根據(jù)不等式性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)分析可知在區(qū)間上的最小值為，結(jié)合恒成立問(wèn)題分析求解.
【小問(wèn)1詳解】
在區(qū)間上單調(diào)遞減.
證明：，，且，
則，
因?yàn)?，則，，，，
可得，即，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.
【小問(wèn)2詳解】
解法一：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋遥?br>所以為偶函數(shù).
由（1）可知在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上的最小值為.
因?yàn)楹愠闪?，等價(jià)于恒成立，
則，解得，
所以的最大值為；
解法二： 因?yàn)?，則，
可得，所以，
即當(dāng)時(shí)，的最小值為.
因?yàn)楹愠闪?，可得?br>所以的最大值為.
20. 已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若方程在區(qū)間上有三個(gè)實(shí)根，，，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，整體代入法求單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）結(jié)合正弦函數(shù)的圖像，利用對(duì)稱性求的值.
【小問(wèn)1詳解】
，
由，，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
【小問(wèn)2詳解】
解法一：
令，由得，
所以在區(qū)間上有三個(gè)實(shí)根，，，
等價(jià)于在區(qū)間上有三個(gè)實(shí)根，，，
由對(duì)稱性得，，所以，
因?yàn)椋?，所以?br>所以
.
解法二：
令，由，得，
所以在區(qū)間上有三個(gè)實(shí)根，，，
等價(jià)于在區(qū)間上有三個(gè)實(shí)根，，，
由周期性，有，
因?yàn)椋?，所以?br>.
21. 在常溫下，物體冷卻的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來(lái)描述：如果物體原來(lái)的溫度為，空氣的溫度為，那么分鐘后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù).知空氣的溫度為，現(xiàn)用某品牌電熱水壺?zé)?00毫升水，2分鐘后水燒開(kāi)（溫度為），再過(guò)30分鐘，壺中開(kāi)水自然冷卻到.假設(shè)燒水時(shí)水的溫度是關(guān)于時(shí)間的一次函數(shù)，水的初始溫度與空氣的溫度一致.
（1）從開(kāi)始燒水算起，求壺中水的溫度（單位：）關(guān)于時(shí)間（單位：分鐘）的函數(shù)解析式；
（2）電熱水壺在保溫模式下會(huì)自動(dòng)檢測(cè)壺中水溫，若水溫高于，保溫管不加熱；若水溫不高于，保溫管開(kāi)始加熱，直至水溫達(dá)到才停止加熱，保溫管加熱時(shí)水溫的上升速度是正常燒水時(shí)的.水燒開(kāi)后，立即將電熱水壺設(shè)定為保溫模式.從開(kāi)始燒水算起，求96分鐘后壺中水的溫度.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意待定系數(shù)運(yùn)算求解即可；
（2）根據(jù)題意分從降溫至，從加熱至，從降溫至，三步求時(shí)間即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題意知，空氣的溫度為，水溫從自然冷卻到用時(shí)30分鐘，
則，即，所以，
當(dāng)時(shí)，依題意設(shè)，則，
解得，所以；
當(dāng)時(shí)，依題意得，，即；
綜上所述：.
【小問(wèn)2詳解】
由，解得，
即從開(kāi)始燒水算起，水溫從升到，再冷卻到，用了62分鐘，
因?yàn)?，所以保溫管加熱過(guò)，
因?yàn)楸毓芗訜釙r(shí)水溫上升速度是正常燒水時(shí)的，
所以保溫管加熱時(shí)，水溫每分鐘升高，
所以水溫從升至，所用時(shí)間為分鐘，
假設(shè)水溫從降至需要分鐘，
則，即，
因?yàn)?，所以?br>即水溫從冷卻至所用時(shí)間超過(guò)30分鐘，
因?yàn)椋?br>所以從開(kāi)始燒水算起，96分鐘內(nèi)保溫管只加熱過(guò)1次，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以從開(kāi)始燒水算起，96分鐘后壺中水的溫度為.
22. 已知函數(shù).
（1）解不等式；
（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】（1）
（2）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性計(jì)算即可得；
（2）當(dāng)時(shí)，等式恒成立，故為的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，表示出，可借助換元法，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)與方程的關(guān)系計(jì)算即可得.
【小問(wèn)1詳解】
的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以是奇函?shù).
因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以是增函數(shù)，
由得，即，
所以，解得，
即原不等式的解集為；
【小問(wèn)2詳解】
由得，
①當(dāng)，即時(shí)，等式成立，
所以為的一個(gè)零點(diǎn).
②當(dāng)，即時(shí)，
即
，
令，則，
因?yàn)?，所以為偶函?shù)，
當(dāng)時(shí)，令，在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
設(shè)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，
又因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，所以沒(méi)有零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，方程的解，此時(shí)有2個(gè)解，
所以有2個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解，不妨設(shè)為，，且，
此時(shí)有4個(gè)解，所以有4個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解，且，
此時(shí)有2個(gè)解，所以有2個(gè)零點(diǎn).
綜上所述：當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有5個(gè)零點(diǎn).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)關(guān)鍵在于使用換元法，將復(fù)雜的的值轉(zhuǎn)化為，從而可結(jié)合方程的根的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論.

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