2025.1
本試卷共4頁，考試時(shí)間120分鐘，總分150分．
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)自然數(shù)集的定義和并集的概念與運(yùn)算直接得出結(jié)果.
【詳解】由題意知，，
所以.
故選：C
2. 命題：，的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)全稱命題的否定即可求解.
【詳解】，的否定是: ，,
故選：D
3. 若，，，則（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式“1”的用法計(jì)算即可求解.
【詳解】由題意知，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，
所以.
故選：A
4. 函數(shù)的大致圖象為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.
【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，圖象在第一象限單調(diào)遞增，
且，所以為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱.
故選：B
5. “”是“”的（ ）．
A. 充分必要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意分析可知等價(jià)于，等價(jià)于，即可得結(jié)果.
【詳解】若，等價(jià)于，即，
若，等價(jià)于，
可知等價(jià)于，
所以“”是“”的充分必要條件.
故選：A.
6. 設(shè)，，，則（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合指對互化、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，所以，
又在定義域上單調(diào)遞增，所以，所以，
即，所以，所以.
故選：C
7. 設(shè)，且，若函數(shù)的值域?yàn)镽，則a的取值范圍是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分和兩種情況討論，再根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的值域求解即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?br>函數(shù)的值域?yàn)椋?br>所以時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?br>又因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)镽，
所以，解得，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?br>函數(shù)的值域?yàn)椋?br>所以時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，與題意矛盾，
綜上所述，a取值范圍是.
故選：C.
8. 設(shè)函數(shù)，，若曲線與恰有3個交點(diǎn)，則（ ）．
A. B. 1C. 或1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知除對稱軸處以外兩偶函數(shù)圖象的交點(diǎn)成對出現(xiàn)，由即可得的值，并代入檢驗(yàn)即可；
【詳解】易知函數(shù)，均為偶函數(shù)，除對稱軸處以外兩偶函數(shù)圖象的交點(diǎn)成對出現(xiàn)，
由曲線與恰有3個交點(diǎn)可知，，
即，解得或1．
當(dāng)時(shí)，，，由圖象分析可知恰有1個交點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)，，，由圖象分析可知符合題意．
故選：B．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知，則（ ）．
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)逐個判斷即可；
【詳解】對于A，由單調(diào)遞增可知：正確；
對于B，取，顯然不成立，錯誤；
對于C：因?yàn)椋哉_，
對于D：由，
因?yàn)椋?br>所以，
所以 正確，
故選：ACD
10. 已知，分別為第一、第三象限角，且，則（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)同角基本關(guān)系式求出，，從而逐項(xiàng)判斷.
【詳解】已知為第一象限角，且，
則，所以，
同理為第三象限角，則，
所以，，C正確，D錯誤，
，A錯誤；
，B正確.
故選：BC
11. 已知函數(shù)，則（ ）．
A. 的定義域?yàn)锽. 在區(qū)間單調(diào)遞增
C. 的圖象關(guān)于對稱D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】選項(xiàng)A由對數(shù)函數(shù)的定義域即可判斷；選項(xiàng)B，由復(fù)函函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”即可判斷；選項(xiàng)C，由于，則可判斷的正誤；選項(xiàng)，結(jié)合選項(xiàng)的結(jié)論可得，則選項(xiàng)的正誤可判斷.
【詳解】選項(xiàng)A：的定義域?yàn)?，選項(xiàng)A正確；
選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，選項(xiàng)B正確；
選項(xiàng)C：，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，選項(xiàng)C錯誤；
選項(xiàng)D：由C可知，
所以，即，
因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)且恒成立，
所以在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以，
即，選項(xiàng)D正確．
故選：ABD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. __________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】由誘導(dǎo)公式及二倍角公式即可求解；
【詳解】，
故答案為：
13. 設(shè)，若，則__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由一元二次方程因式分解結(jié)合對數(shù)運(yùn)算求解即可；
【詳解】，
即，
即，又，
所以，
解得：，
故答案為：
14. 如圖所示，齒輪A和齒輪B相互嚙合（齒的尺寸忽略不計(jì)），其半徑之比為，當(dāng)時(shí)，齒輪A上的點(diǎn)和齒輪B上的點(diǎn)均與坐標(biāo)原點(diǎn)重合．當(dāng)兩齒輪旋轉(zhuǎn)時(shí)，和在相同時(shí)間內(nèi)運(yùn)動的弧長相等，則，運(yùn)動的角速度之比為__________．若，則關(guān)于t的一個函數(shù)解析式為__________．
【答案】 ①. （或2） ②. （答案不唯一）．
【解析】
【分析】做圓周運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)在相同時(shí)間內(nèi)運(yùn)動的弧長相等，通過計(jì)算可求的角速度之比，利用待定系數(shù)法設(shè)，利用周期、振幅、相位等概確定三角函數(shù)表達(dá)式中的參數(shù)即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)樽鰣A周運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間t內(nèi)運(yùn)動經(jīng)過的弧長，且和在相同時(shí)間內(nèi)運(yùn)動的弧長相等，所以和在運(yùn)動的角速度之比等于運(yùn)動半徑之比的倒數(shù)，即，
所以周期之比為二者旋轉(zhuǎn)方向相反．
設(shè)，由可知．
又因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以齒輪A的半徑為1，的取值范圍為．
所以，解得．
當(dāng)時(shí)，，得，
所以．．
故答案為：（或2）；（答案不唯一）．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)．
（1）補(bǔ)全下列表格，用“五點(diǎn)法”畫出在區(qū)間的大致圖象；
（2）將的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心的坐標(biāo)．
【答案】（1）答案見解析
（2），
【解析】
【分析】（1）填寫表格，再利用五點(diǎn)法進(jìn)行作圖即可；
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象平移變換求出的解析式，利用正弦函數(shù)單調(diào)性和對稱性進(jìn)行求解即可．
【小問1詳解】
【小問2詳解】
易知，
令，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．
令，解得，
所以對稱中心的坐標(biāo)為
16. 如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的點(diǎn)的距離是，某城鎮(zhèn)位于的正東方向，且與的距離為．甲乘坐小船從小島前往小鎮(zhèn)，先到達(dá)海岸線上的點(diǎn)處（其中，之間的距離為），再從出發(fā)步行到達(dá)該城鎮(zhèn)．已知小船的平均速度為，甲的步行速度為．
（1）當(dāng)，時(shí)，求甲從小島到城鎮(zhèn)所用時(shí)間；
（2）若，求甲從小島到城鎮(zhèn)所需的最短時(shí)間與相應(yīng)的，．
【答案】（1）
（2）3小時(shí)，，
【解析】
【分析】（1）分別計(jì)算小島開往上岸點(diǎn)時(shí)間和上岸點(diǎn)到城鎮(zhèn)所需的時(shí)間，相加即可；
（2）由題意得到，結(jié)合基本不等式求解即可；
【小問1詳解】
由題意知，小島距離上岸點(diǎn)的距離，
小島開往上岸點(diǎn)所需的時(shí)間，
上岸點(diǎn)到城鎮(zhèn)的距離，
上岸點(diǎn)到城鎮(zhèn)所需的時(shí)間，
故甲從小島到城鎮(zhèn)所需的時(shí)間為．
【小問2詳解】
小島開往上岸點(diǎn)所需的時(shí)間，
上岸點(diǎn)到城鎮(zhèn)所需的時(shí)間，
記甲從小島到城鎮(zhèn)所需的時(shí)間，其中，
所以，
整理得，，
當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)，，．
答：當(dāng)，時(shí)，小島到城鎮(zhèn)所需時(shí)間最短，為3小時(shí)．
17. 設(shè)函數(shù)，其中，且．
（1）當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)個數(shù)；
（2）若在區(qū)間和內(nèi)均存在零點(diǎn)，寫出一個滿足題意的a（結(jié)果保留兩位小數(shù)），并說明理由．
參考數(shù)據(jù)：…．
【答案】（1）函數(shù)恰有一個零點(diǎn)
（2）a的可能值為0.71，或0.72，或0.73，或0.74，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理判斷；
（2）由（1）可知，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得，從而求解a的值.
【小問1詳解】
時(shí)，，
因?yàn)?，?br>所以，由零點(diǎn)存在定理，在區(qū)間存在一個零點(diǎn)，
因?yàn)楹途趩握{(diào)遞增，
所以在單調(diào)遞增，
所以函數(shù)恰有一個零點(diǎn)．
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，由（1）可知，是增函數(shù)，
至多有一個零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，，
，，
當(dāng)時(shí)有，，符合題意；
此時(shí)，解得，，
因?yàn)?，（或也可?br>且，
所以a的可能值為0.71，或0.72，或0.73，或0.74．
18. 已知函數(shù)．
（1）判斷的奇偶性，并說明理由；
（2）解不等式；
（3）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的方程有解，證明：．
【答案】（1）奇函數(shù)，理由見解析
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇偶性的定義求解即可；
（2）先利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式即可；
（3）求出函數(shù)的值域，再換元令，則，當(dāng)時(shí)，整理可得，構(gòu)造函數(shù)，，分類討論求出函數(shù)的值域即可得證.
【小問1詳解】
是奇函數(shù)，下面給出證明：
的定義域?yàn)镽，
因?yàn)椋?br>所以是奇函數(shù)；
【小問2詳解】
，且，
則，
因?yàn)?，所以，?br>所以，所以是R上的減函數(shù)，
等價(jià)于，
即，
因?yàn)槭荝上的減函數(shù)，所以，
整理得，解得；
【小問3詳解】
因?yàn)?，所以?br>所以，
設(shè)，可得，
所以，
所以，
當(dāng)時(shí)，，無解，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，整理可得，，
設(shè)，，
因?yàn)椋?br>所以為奇函數(shù)，只需考慮，
①若，則，
因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，
所以在單調(diào)遞減，
②若，則，則在單調(diào)遞減，
若，則，所以，
由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可得在單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，
又，所以，即，即b>1-a，
所以b>1-a．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是：
（1）把不等式轉(zhuǎn)化為；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號“”脫掉，得到具體的不等式（組），但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.
19. 定義的“區(qū)間長度”為，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>（1）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于x的不等式解集的“區(qū)間長度”；
（2）已知，設(shè)關(guān)于x的不等式解集的“區(qū)間長度”為I．
（?。┤簦髏；
（ⅱ）求I的最大值．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）或；（ⅱ）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)或，即可根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解，
（2）根據(jù)以及可得和，即可根據(jù)，得，即可求解（ⅰ），根據(jù)，結(jié)合同角平方關(guān)系可得，進(jìn)而根據(jù)求解（ⅱ），或者利用和差角公式可得，進(jìn)而根據(jù)求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
由解得或，
因，可解得：，或，
所以不等式解集“區(qū)間長度”為．
【小問2詳解】
（?。┮?yàn)?，，由，解得或?br>設(shè)的兩個根為，，其中，且，
同理，設(shè)的兩個根為，，其中，且，
所以，
又，所以，
所以，即，
，即，解得或，
所以或．
（ⅱ）方法1：由（ⅰ）可得，，
則，
因?yàn)?，?br>所以，
所以，即，
所以，或（舍），
所以，
所以，
因?yàn)?，，所以?br>由可知，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
所以，I的最大值為．
方法2：由（ⅰ）可得，，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?，所以?br>由可知，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
所以，I的最大值為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義問題的求解過程可以模型化，一般解題步驟如下：
第一步：提取信息 — 對新定義進(jìn)行信息提取，明確新定義名稱和符號，
第二步：加工信息 — 細(xì)細(xì)品味新定義的概念、法則，對所提取的信息進(jìn)行加工，探求解決方法，有時(shí)可以用學(xué)過的或熟悉的相近知識進(jìn)行類比，明確它們的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)
第三步：遷移轉(zhuǎn)化 — 如果是新定義的運(yùn)算法則，直接按照運(yùn)算法則計(jì)算即可，如果是新定義的性質(zhì)，一般需要理解和轉(zhuǎn)化性質(zhì)的含義，得到性質(zhì)的等價(jià)條件（如等量關(guān)系、圖形的位置關(guān)系等）
第四步：計(jì)算，得結(jié)論 — 結(jié)合題意進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理、計(jì)算，得結(jié)論
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