（全卷共三個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）
注意事項：
1.試題的答案書寫在答題卡上，不得在試題卷上直接作答；
2.作答前認真閱讀答題卡上的注意事項；
3.作圖（包括作輔助線）請一律用黑色2B鉛筆完成；
4.考試結(jié)束，由監(jiān)考人員將試題卷和答題卡一并收回．
參考公式：拋物線的頂點坐標(biāo)為，對稱軸為．
一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)確答案所對應(yīng)的方框涂黑．
1. 下列四個數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A. B. 0C. 3D.
【答案】A
2. 下列四種化學(xué)儀器的示意圖中，是軸對稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
3. 已知點在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為（ ）
A. B. 3C. D. 6
【答案】C
4. 如圖，，，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5. 若兩個相似三角形的相似比是，則這兩個相似三角形的面積比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
6. 烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物質(zhì)，下圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)是（ ）
A. 20B. 22C. 24D. 26
【答案】B
7. 已知，則實數(shù)的范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
8. 如圖，在矩形中，分別以點和為圓心，長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個公共點．若，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
9. 如圖，在正方形的邊上有一點，連接，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接并延長與的延長線交于點．則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
10. 已知整式，其中為自然數(shù)，為正整數(shù)，且．下列說法：
①滿足條件的整式中有5個單項式；
②不存在任何一個，使得滿足條件的整式有且只有3個；
③滿足條件的整式共有16個．
其中正確的個數(shù)是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上．
11. 計算：＝_____．
【答案】3
12. 如果一個多邊形的每一個外角都是，那么這個多邊形的邊數(shù)為______．
【答案】9
13. 重慶是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源．甲、乙兩人相約來到重慶旅游，兩人分別從、、三個景點中隨機選擇一個景點游覽，甲、乙兩人同時選擇景點的概率為_____．
【答案】
14. 隨著經(jīng)濟復(fù)蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅48.4萬元，該公司這兩年繳稅的年平均增長率是______．
【答案】
15. 如圖，在中，延長至點，使，過點作，且，連接交于點．若，，則______．
【答案】
16. 若關(guān)于的不等式組至少有2個整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程的解為非負整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和為______．
【答案】16
17. 如圖，以為直徑的與相切于點，以為邊作平行四邊形，點D、E均在上，與交于點，連接，與交于點，連接．若，則______．______．
【答案】8
18. 我們規(guī)定：若一個正整數(shù)能寫成，其中與都是兩位數(shù)，且與的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為，則稱為“方減數(shù)”，并把分解成的過程，稱為“方減分解”．例如：因為，與的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字與的和為，所以是“方減數(shù)”，分解成的過程就是“方減分解”．按照這個規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是______．把一個“方減數(shù)”進行“方減分解”，即，將放在的左邊組成一個新的四位數(shù)，若除以余數(shù)為，且（為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)為______．
【答案】
三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每小題10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．
19 計算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式；
（2）原式．
20. 為了解學(xué)生的安全知識掌握情況，某校舉辦了安全知識競賽．現(xiàn)從七、八年級的學(xué)生中各隨機抽取名學(xué)生的競賽成績（百分制）進行收集、整理、描述、分析．所有學(xué)生的成績均高于分（成績得分用表示，共分成四組：．；．；．；．），下面給出了部分信息：
七年級名學(xué)生的競賽成績?yōu)椋?br>66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，
86，87，87，89，95，95，96，98，98，100.
八年級名學(xué)生的競賽成績在組的數(shù)據(jù)是：81，82，84，87，88，89．
七、八年級所抽學(xué)生的競賽成績統(tǒng)計表
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）上述圖表中______，______，______；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，你認為該校七、八年級中哪個年級學(xué)生的安全知識競賽成績較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；
（3）該校七年級有名學(xué)生，八年級有名學(xué)生參加了此次安全知識競賽，估計該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是多少？
解：（1）根據(jù)七年級學(xué)生競賽成績可知：出現(xiàn)次數(shù)最多，則眾數(shù)為，
八年級競賽成績中組：（人），
組：（人），
組：人，所占百分比為
組：（人）所占百分比為，則，
∴八年級的中位數(shù)為第個同學(xué)競賽成績的平均數(shù)，
即組第個同學(xué)競賽成績的平均數(shù)，
故答案為：，，；
（2）八年級學(xué)生競賽成績較好，理由：
七、八年級的平均分均為分，八年級的中位數(shù)高于七年級的中位數(shù)，整體上看八年級學(xué)生競賽成績較好；
（3）（人），
答：該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是人．
21. 在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識后，小明同學(xué)進行了更深入的研究，他發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他的想法與思路，完成以下作圖與填空：
（1）如圖，在矩形中，點是對角線的中點．用尺規(guī)過點作的垂線，分別交，于點，，連接，．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）已知：矩形，點，分別在，上，經(jīng)過對角線的中點，且．求證：四邊形是菱形．
證明：∵四邊形是矩形，
∴．
∴①，．
∵點是的中點，
∴②．
∴（AAS）．
∴③．
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴四邊形是菱形．
進一步思考，如果四邊形是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④．
（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）證明：∵四邊形是矩形，
∴．
∴，．
∵點是的中點，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四邊形平行四邊形．
∵，
∴四邊形是菱形．
猜想：過平行四邊形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與平行四邊形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是菱形；
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴．
∴，．
∵點是的中點，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴四邊形是菱形．
故答案為：①；②；③；④四邊形是菱形．
22. 為促進新質(zhì)生產(chǎn)力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對現(xiàn)有甲、乙兩類共30條生產(chǎn)線的設(shè)備進行更新?lián)Q代．
（1）為鼓勵企業(yè)進行生產(chǎn)線的設(shè)備更新，某市出臺了相應(yīng)的補貼政策．根據(jù)相關(guān)政策，更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得3萬元的補貼，更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得2萬元的補貼．這樣更新完這30條生產(chǎn)線的設(shè)備，該企業(yè)可獲得70萬元的補貼．該企業(yè)甲、乙兩類生產(chǎn)線各有多少條？
（2）經(jīng)測算，購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備比購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備需多投入5萬元，用200萬元購買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，那么該企業(yè)在獲得70萬元的補貼后，還需投入多少資金更新生產(chǎn)線的設(shè)備？
解：（1）設(shè)該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有條，則乙類生產(chǎn)線各有條，則
，
解得：，
則；
答：該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有10條，則乙類生產(chǎn)線各有20條；
（2）設(shè)購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備為萬元，則購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備為萬元，則
，
解得：，
經(jīng)檢驗：是原方程的根，且符合題意；
則，
則還需要更新設(shè)備費用為（萬元）；
23. 如圖，在中，，，點為上一點，過點作交于點．設(shè)的長度為，點，的距離為，的周長與的周長之比為．
（1）請直接寫出，分別關(guān)于的函數(shù)表達式，并注明自變量的取值范圍；
（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，的圖象；請分別寫出函數(shù)，的一條性質(zhì)；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出時的取值范圍．（近似值保留一位小數(shù)，誤差不超過）
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如圖所示，即為所求；
由函數(shù)圖象可知，隨x增大而增大，隨x增大而減??；
（3）由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時取值范圍．
24. 如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從港出發(fā)，分別向，兩港運送物資，最后到達港正東方向的港裝運新的物資．甲貨輪沿港的東南方向航行海里后到達港，再沿北偏東方向航行一定距離到達港．乙貨輪沿港的北偏東方向航行一定距離到達港，再沿南偏東方向航行一定距離到達港．（參考數(shù)據(jù)：，，）
（1）求，兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；
（2）若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（停靠、兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達港？請通過計算說明．
解：（1）如圖，過作于點，
∴，
由題意可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴（海里），
∴，兩港之間的距離海里；
（2）由（）得：，，，
∴，
∴，
由題意得：，，
∴，
∴，（海里），
∴甲行駛路程為：（海里），乙行駛路程為：（海里），
∵，且甲、乙速度相同，
∴甲貨輪先到達港．
25. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點，與軸交于點，與軸交于兩點（在的左側(cè)），連接．
（1）求拋物線的表達式；
（2）點是射線上方拋物線上的一動點，過點作軸，垂足為，交于點．點是線段上一動點，軸，垂足為，點為線段的中點，連接．當(dāng)線段長度取得最大值時，求的最小值；
（3）將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線經(jīng)過（2）中線段長度取得最大值時的點，且與直線相交于另一點．點為新拋物線上的一個動點，當(dāng)時，直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)．
解：（1）令，則，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
將和代入得，
解得，
∴拋物線的表達式為；
（2）令，則，解得或，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
代入，得，
解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)（），則，
∴，
∵，
∴當(dāng)時，最大，此時，
∴，，，
∴，，
連接，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴當(dāng)共線時，取最小值，即取最小值，
∵點為線段的中點，
∴，
∴，
∴的最小值為；
（3）由（2）得點的橫坐標(biāo)為，代入，得，
∴，
∴新拋物線由向左平移2個單位，向下平移2個單位得到，
∴，
過點作交拋物線于點，
∴，
同理求得直線的解析式為，
∵，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立得，
解得，，
當(dāng)時，，
∴，
作關(guān)于直線的對稱線得交拋物線于點，
∴，
設(shè)交軸于點，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，
過點作軸，作軸于點，作于點，
當(dāng)時，，
解得，
∴
∵，，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
同理直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得或，
當(dāng)時，，
∴，
綜上，符合條件的點的坐標(biāo)為或．
26. 在中，，點是邊上一點（點不與端點重合）．點關(guān)于直線的對稱點為點，連接．在直線上取一點，使，直線與直線交于點．

（1）如圖1，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；
（2）如圖1，若，用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖2，若，點從點移動到點的過程中，連接，當(dāng)為等腰三角形時，請直接寫出此時的值．
解：（1）如圖，

∵，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），
在上截取，連接，交于點H，

∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵點關(guān)于直線的對稱點為點，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
記與的交點為點N，
則由軸對稱可知：，，
∴中，，
∴，
∴，
∴；
（3）連接，記與的交點為點N，

∵，
∴，
由軸對稱知，
當(dāng)點G在邊上時，由于，
∴當(dāng)為等腰三角形時，只能是，
同（1）方法得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴中，，解得，
∴，而，
∴為等邊三角形，
∴，
設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
當(dāng)點G在延長線上時，只能是，如圖：

設(shè)，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴在中，，
解得，
∴，
設(shè)，則，，
在中，，由勾股定理求得，
在中，，，
∴，
∴，∴，
綜上所述：或．年級
七年級
八年級
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)

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