注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名?準(zhǔn)考證號?考場號?座位號在答題卡上填寫清楚.
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.在試題卷上作答無效.
3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.
一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 設(shè)集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可化簡集合B，然后由集合交集可得答案；
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，則.
故，則.
故選：A.
2. 若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)除法及復(fù)數(shù)實(shí)部，虛部概念可得答案.
【詳解】，因的實(shí)部與虛部相等，
則，得.
故選：C.
3. 已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則的值為（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件求得，利用橢圓的定義求得正確答案.
【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，由橢圓的定義可得.
故選：D
4. 設(shè)是變量和的個(gè)樣本點(diǎn)，直線是由這些樣本點(diǎn)通過最小二乘法得到的線性回歸直線（如圖），以下結(jié)論正確的是（ ）
A. 和的相關(guān)系數(shù)為直線的斜率
B. 直線過點(diǎn)
C. 變量和是正相關(guān)
D. 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，分布在兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同
【答案】B
【解析】
【分析】對于A，由相關(guān)系數(shù)概念可判斷選項(xiàng)正誤；
對于BD，由回歸直線概念可判斷選項(xiàng)正誤；
對于C，由圖可判斷選項(xiàng)正誤.
【詳解】對于A，兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)反應(yīng)了兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度，不是斜率，故A不正確；
對于B，回歸直線一定過這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，即，故B正確；
對于C，由圖像可知，兩個(gè)變量是負(fù)相關(guān)，故C不正確；
對于D，所有的樣本點(diǎn)集中在回歸直線附近，不一定兩側(cè)一樣多，故D不正確.
故選：B.
5. 設(shè)為正項(xiàng)遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（ ）
A. 63B. C. 127D. 或127
【答案】C
【解析】
【分析】法一：利用等比數(shù)列定義列出方程組解得公比即可求得結(jié)果；
法二：根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)都化為關(guān)于的表達(dá)式可解得公比，計(jì)算可得答案.
【詳解】依題意設(shè)等比數(shù)列的公比為，
法一：由，得，則或（舍去），
則；
法二：，則，則或（舍去），
，，
故選：C.
6. 如圖，在三角形中，已知邊上的兩條中線相交于點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方法1，將作為與的夾角，利用向量知識結(jié)合題目數(shù)據(jù)可得答案；
方法2，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示完成運(yùn)算；
方法3，利用余弦定理計(jì)算可得答案.
【詳解】法一：分別是的中點(diǎn)，.
與的夾角等于，
，
則；
法二：以為軸，過點(diǎn)作與垂直的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則
，
則
；
法三：在中，由余弦定理，
又因?yàn)镻為的重心，則，
在中再由余弦定理，
在中由余弦定理，
在中，由余弦定理，則
.
故選：D.
7. 已知角滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】法一，根據(jù)條件，通過構(gòu)角，得到，即可求解；法二，利用余弦的和角公式，得到，再利用條件和平方關(guān)系，直接求出，代入即可求解.
【詳解】法一：因?yàn)?，所以?br>整理得，所以，又，
則，
法二：，所以，
即①，又，，
解得或，
代入①式，得到，化簡得，
故選：A.
8. 已知函數(shù)，若，則滿足的關(guān)系式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因式分解后由得，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)函數(shù)值相反，結(jié)合一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)零點(diǎn)列式化簡即可.
【詳解】
，又，
所以成立等價(jià)于，
又在定義域上單調(diào)遞增且零點(diǎn)為，
在定義域上單調(diào)遞減且零點(diǎn)為，
所以函數(shù)與函數(shù)在定義域內(nèi)函數(shù)值相反且零點(diǎn)重合，
則應(yīng)滿足，即.
故選：B
二?多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 是奇函數(shù)
B. 的最小正周期為
C. 在上單調(diào)遞增
D. 把圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，然后再向左平移個(gè)單位長度得到的函數(shù)解析式為
【答案】AD
【解析】
【分析】對于A，由正弦與余弦函數(shù)奇偶性可判斷選項(xiàng)正誤；
對于B，由二倍角正弦公式化簡后可求最小正周期；
對于C，由題可得，然后由正弦函數(shù)單調(diào)性可判斷選項(xiàng)正誤；
對于D，由三角函數(shù)圖象變換知識結(jié)合誘導(dǎo)公式可判斷選項(xiàng)正誤.
【詳解】對于A，函數(shù)定義域?yàn)椋?br>有，所以是奇函數(shù)，A正確；
對于B，，最小正周期為，故B錯誤；
對于C，因
則，故C錯誤；
對于D，由C，圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍對應(yīng)解析式為：
，再向左平移個(gè)單位長度得到的函數(shù)解析式為：
可知D正確.
故選：AD.
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 函數(shù)的定義域?yàn)?br>B. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增
C. 曲線是中心對稱圖形
D. 若，且的最小值是0
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用對數(shù)函數(shù)定義域求法可得A正確，由復(fù)合型對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷B正確，利用函數(shù)對稱性定義代入計(jì)算可得，因此C正確，求導(dǎo)可得，再由基本不等式計(jì)算可得即可，可判斷D錯誤.
【詳解】對于A，由函數(shù)解析式可得，解得，因此函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然A正確；
對于B，當(dāng)時(shí)，
易知函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，B正確；
對于C，令，，
因此的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，
易知滿足，
可得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，可得C正確；
對于D，時(shí)，，其中，
則，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
故，
而成立，故，即，所以的最小值為，即D錯誤.
故選：ABC.
11. 在2024年巴黎奧運(yùn)會藝術(shù)體操項(xiàng)目集體全能決賽中，中國隊(duì)以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術(shù)體操隊(duì)在奧運(yùn)會上獲得的第一枚金牌，藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可以看作由拋物線繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），為曲線與其中兩條曲線的交點(diǎn)，則（ ）
A. 開口向下的拋物線方程為
B. 若，則
C. 無論為何值，過點(diǎn)B且與第二象限花瓣相切的兩條直線的夾角為定值
D. 若，則陰影區(qū)域的面積大于16
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A，由題可得開口向下的拋物線方程；
對于B，聯(lián)立開口向上，開口向右拋物線方程，可得點(diǎn)A，由對稱性可得點(diǎn)B，由題可得p；
對于C，可設(shè)一條切線切點(diǎn)為，由導(dǎo)數(shù)知識可得切線方程，據(jù)此可得切線斜率，然后由對稱性可判斷選項(xiàng)正誤；
對于D，如圖可計(jì)算，其中M點(diǎn)為與直線AO平行，與拋物線相切切線的切點(diǎn)，然后由對稱性可完成選項(xiàng)判斷.
【詳解】對于A，由題可得開口向下拋物線方程為，故A正確；
對于B，聯(lián)立 ，可得交點(diǎn)，
由對稱性，則，故，則，則B錯誤；
對于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可得，過第二象限的兩條拋物線方程為，對于可化為函數(shù)，則.
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則過點(diǎn)B的切線方程為：，
把點(diǎn)代入得，解得，
則，故切線斜率為，其與直線的夾角為定值，
又關(guān)于直線對稱，故過點(diǎn)的兩條切線也關(guān)于直線對稱，故兩切線夾角為定值，故C正確；
對于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則直線的方程為.
對于拋物線，設(shè)為曲線上一點(diǎn)，
則過該點(diǎn)且與直線平行的切線為，令，
則切點(diǎn).所以點(diǎn)到直線的距離，
則，
因?yàn)榕c在第一象限關(guān)于直線對稱，
故第一象限陰影面積大于，其他象限也具有同樣性質(zhì)，
則，故D正確.
故選：ACD.
三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 邊長為4的正三角形繞其一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由題意可知所得幾何體是兩個(gè)以為底面圓半徑，以2為高的兩個(gè)圓錐組合體，然后根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解即可.
【詳解】將該三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是兩個(gè)以為底面圓半徑，以2為高的兩個(gè)圓錐組合體，
所以表面積為.
故答案為：
13. 在中，若，則的外接圓半徑為__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角形面積公式可得，再由余弦定理計(jì)算可得，根據(jù)正弦定理可得外接圓半徑.
【詳解】易知，即，
解得，
由余弦定理可知，
可得，
設(shè)外接圓半徑為，所以，
可得.
故答案為：
14. 如圖所示，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)0出發(fā)，每隔等可能地向左或向右移動一個(gè)單位，共移動6次.該質(zhì)點(diǎn)位于4的概率為__________；在該質(zhì)點(diǎn)有且僅有一次經(jīng)過點(diǎn)1的條件下，共經(jīng)過兩次2的概率為__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空，設(shè)質(zhì)點(diǎn)向右移動的次數(shù)為，可知服從二項(xiàng)分布，由題可得質(zhì)點(diǎn)需向右移動5次，向左移動1次，則所求概率為；
第二空，設(shè)事件“質(zhì)點(diǎn)有且僅有一次經(jīng)過1”，事件“共兩次經(jīng)過2”，“質(zhì)點(diǎn)僅在第1秒位于1”；“質(zhì)點(diǎn)僅在第3秒位于”質(zhì)點(diǎn)僅在第5秒位于1”，由題可得，然后由條件概率可得答案.
【詳解】第一空，設(shè)質(zhì)點(diǎn)向右移動的次數(shù)為，又質(zhì)點(diǎn)每隔1秒等可能地向左或向右移動一個(gè)單位，共移動6次，且每次移動是相互獨(dú)立的，則服從二項(xiàng)分布，經(jīng)分析質(zhì)點(diǎn)位于4的位置，則右5次向左1次，則；
第二空，設(shè)事件“質(zhì)點(diǎn)有且僅有一次經(jīng)過1”，事件“共兩次經(jīng)過2”，
“質(zhì)點(diǎn)僅在第1秒位于1”；“質(zhì)點(diǎn)僅在第3秒位于”
質(zhì)點(diǎn)僅在第5秒位于1”，
則兩兩互斥，則，
僅在第一秒經(jīng)過1，則質(zhì)點(diǎn)的走法：RRRLR（第六步不受影響）；RRRR（第五六步不受影響）；RLLRL（第六步不受影響）；RLLL（第五六步不受影響），，
僅在第三秒經(jīng)過1，則質(zhì)點(diǎn)的走法：LRRLL（第六步不受影響）；LRRRR（第六步不受影響），僅在第五秒經(jīng)過1，則質(zhì)點(diǎn)的走法：LLRRR（第六步不受影響）；
LRLRR（第六步不受影響），
則，又三種情況下，有且僅有一次經(jīng)過點(diǎn)1的條件下，共經(jīng)過兩次2的情況有：RRRLRR，RRRRLL，LRRRRL，則.
則.
故答案為：；.
四?解答題（共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）
15. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且為等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求前項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得，再由與的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）采用分組求和法，分別對奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)求和，結(jié)合等差數(shù)列求和公式和裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?br>所以，即，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以
【小問2詳解】
由（1）知
則
，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.
16. 如圖，在多面體中，底面是邊長為的正方形，是等邊三角形，，，且平面平面.
（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直性質(zhì)可得出平面，可得出，再結(jié)合可證得結(jié)論成立；
（2）解法一：在平面內(nèi)過作，推導(dǎo)出平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得直線與平面所成角的余弦值；
解法二：取中點(diǎn)，連接，分析可知直線與平面所成的角即為直線與平面所成的角，利用等體積法計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離，設(shè)直線與平面所成角為，可得出，再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得結(jié)果.
【小問1詳解】
因?yàn)樗倪呅问钦叫危瑒t，
而平面平面，平面平面，平面，
則平面，
又平面，于是，
又，所以.
【小問2詳解】
解法一：在平面內(nèi)過作，
由平面平面，平面平面，得平面，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，
，，，
設(shè)平面的法向量為，則,
令，得，
設(shè)直線與平面所成角，
，
直線與平面所成角的余弦值為.
解法二：取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)槠矫妫矫?，則，
因?yàn)椋?，則，，則四邊形為矩形，
則且，，則，
取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、.
因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，則，則，
因平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，且，
因?yàn)槠矫?，所以，，則，
直線與平面所成的角即為直線與平面所成的角.
因?yàn)?，平面，平面，則平面，
故點(diǎn)到平面的距離等于，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
由，則，
因?yàn)?，，則，
且，所以，四邊形為平行四邊形，則，
且，
在中，，，取的中點(diǎn)，連接，則，
所以，，則則，
則，則，
直線與平面所成角的余弦值為.
17. 為增加學(xué)生對于籃球運(yùn)動的興趣，學(xué)校舉辦趣味投籃比賽，第一輪比賽的規(guī)則為：選手需要在距離罰球線1米，2米，3米的三個(gè)位置分別投籃一次.在三個(gè)位置均投進(jìn)得10分；在處投進(jìn)，且在兩處至少有一處未投進(jìn)得7分；其余情況（包括三處均不投進(jìn)）保底得4分.已知小王在三處的投籃命中率分別為，且在三處的投籃相互獨(dú)立.
（1）設(shè)為小王同學(xué)在第一輪比賽的得分，求的分布列和期望；
（2）若第二輪比賽中設(shè)置兩種參賽方法.方法1：按第一輪比賽規(guī)則進(jìn)行比賽；方法2：選手可以選擇在處縮短投籃距離0.5米，但總得分會減少分.選手可以任選一種規(guī)則參加比賽.若小王在處縮短投籃距離0.5米后，投籃命中率會增加.請你根據(jù)統(tǒng)計(jì)知識，幫助小王同學(xué)選擇采用哪種方法參加比賽更好.
【答案】（1）分布列見解析，
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可知的可能取值，并求出對應(yīng)的概率即可得出分布列和期望值；
（2）求出小王同學(xué)選擇方法2對應(yīng)的期望值，并與方法1進(jìn)行比較即可做出決策.
【小問1詳解】
易知的可能取值為，
，
，
，
所以分布列為：
所以期望值.
【小問2詳解】
選取方法2參加比賽，則小王同學(xué)得分的可能取值為，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)，選擇方法1；
當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)，選擇方法2；
當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)，選擇兩種方法都一樣.
18. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（3）若，求證：當(dāng)時(shí)，.
【答案】（1）
（2）極小值為，無極大值.
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由題，通過求導(dǎo)可得在點(diǎn)處的切線方程的斜率，即可得答案；
（2）此時(shí)，，，通過判斷單調(diào)性可得零點(diǎn)，即可得答案；
（3）由題可得，設(shè)，由題可得，則，據(jù)此可完成證明.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，則，
可得，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，
所以切線方程為，即；
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
故，
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，
故在上為增函數(shù)，而，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在處取極小值，且極小值為，無極大值；
【小問3詳解】
，
設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，，則.
故在上為增函數(shù)，故，即，
所以在上為增函數(shù)，故.
綜上，若，當(dāng)時(shí)，.
19. 已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn).
（1）若離心率，求的值.
（2）若為等腰三角形時(shí)，且點(diǎn)在第二象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）連接并延長，交雙曲線于點(diǎn)，若，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離心率以及雙曲線方程計(jì)算可得；
（2）由為等腰三角形對底邊進(jìn)行分類討論，求出點(diǎn)的軌跡并與雙曲線聯(lián)立即可解得的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)雙曲線對稱性可得，對直線斜率分類討論并與雙曲線聯(lián)立，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，即求出結(jié)果.
【小問1詳解】
由題意得，則；
因此.
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，雙曲線，其中，
如下圖所示：
因?yàn)闉榈妊切?，則
當(dāng)以為底時(shí)，顯然點(diǎn)在直線上，這與點(diǎn)在第二象限矛盾，故舍去；
當(dāng)以為底時(shí)，，
設(shè)，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為3的圓，
其方程為；
聯(lián)立，解得或或；
因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，顯然不合題意，舍去；
當(dāng)以為底時(shí)，，
設(shè)，其中，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為3的圓，
其方程為；
則有解得.
綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為.
【小問3詳解】
由題知，
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)，不合題意，則，
則設(shè)直線，
設(shè)點(diǎn)，根據(jù)延長線交雙曲線于點(diǎn)，
根據(jù)雙曲線對稱性知，
聯(lián)立有，可得，
顯然二次項(xiàng)系數(shù)，
其中，
①，②，
可得，
則，因?yàn)樵谥本€上，
則，
即，
將①②代入有，
即，
所以，代入到，得.
且，解得，則，
因此.
所以的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用雙曲線對稱性，對直線斜率分類討論并與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，再解不等式即求出結(jié)果.
4
7
10

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