一、單選題（本大題共8小題）
1．已知a，，則“”是“”的（ ）條件.
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，且，則集合B可以是（ ）
A．B．C．D．
4．函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．4B．5C．6D．7
5．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．0D．1
6．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列中最小的項(xiàng)是（ ）
A．B．C．D．
7．已知點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，直線與交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．在邊長(zhǎng)為的菱形ABCD中，，E為BD中點(diǎn)，將繞直線BD翻折到，使得四面體外接球的表面積為，則此時(shí)直線與平面BCD所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，某校1000名學(xué)生的成績(jī)服從正態(tài)分布，其中90分為及格線，120分為優(yōu)秀線，則對(duì)于該校學(xué)生成績(jī)，下列說法正確的有（ ）（參考數(shù)據(jù)：①；②；③.）
A．平均分為100
B．及格率超過86%
C．得分在內(nèi)的人數(shù)約為997
D．得分低于80的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等
10．設(shè)銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．的外接圓的半徑是2
C．的面積的最大值是D．的取值范圍是
11．已知曲線，，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．，曲線均不為圓
B．，曲線都關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
C．當(dāng)時(shí)，
D．當(dāng)時(shí)，直線是曲線的一條漸近線
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知向量，滿足，，，則 .
13．已知，，則 .
14．甲、乙、丙、丁、戊五人完成A，B，C，D，E五項(xiàng)任務(wù)所獲得的效益如下表：
現(xiàn)每項(xiàng)任務(wù)選派一人完成，其中甲不承擔(dān)C任務(wù)，丁不承擔(dān)A任務(wù)的指派方法數(shù)有 種；效益之和的最大值是 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．隨著科技的進(jìn)步，近年來，我國(guó)新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，2006年，在國(guó)家節(jié)能減排的宏觀政策指導(dǎo)下，科技部在“十一五”啟動(dòng)了“863”計(jì)劃新能源汽車重大項(xiàng)目.自2011年起，國(guó)家相關(guān)部門重點(diǎn)扶持新能源汽車的發(fā)展，也逐步得到消費(fèi)者的認(rèn)可.各大品牌新能源汽車除了靠不斷提高汽車的性能和質(zhì)量來提升品牌競(jìng)爭(zhēng)力，在廣告投放方面的花費(fèi)也是逐年攀升.小張同學(xué)對(duì)某品牌新能源汽車近8年出售的數(shù)量及廣告費(fèi)投入情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，具體數(shù)據(jù)見下表：
(1)求廣告費(fèi)投入y（億元）與年銷售量x（十萬輛）之間的線性回歸方程（精確到0.01）；
(2)若某人隨機(jī)在甲、乙兩家汽車店購(gòu)買一輛汽車，如果在甲汽車店購(gòu)買，那么購(gòu)買新能源汽車的概率為0.6；如果在乙汽車店購(gòu)買，那么購(gòu)買新能源汽車的概率為0.8，求這個(gè)人購(gòu)買的是新能源汽車的概率.
參考數(shù)據(jù)：，.
附：回歸直線中，，.
16．已知函數(shù)，.
(1)求證：在處的切線與只有一個(gè)公共點(diǎn)；
(2)設(shè)，請(qǐng)?jiān)谝韵氯齻€(gè)函數(shù)：①；②；③中選擇一個(gè)函數(shù)，使得該函數(shù)有最大值，并求出最大值.
17．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，，E為CD的中點(diǎn)，M在AB上，且.

(1)求證：；
(2)求平面PAC與平面PBC夾角的余弦值；
(3)求點(diǎn)D到平面PBC的距離.
18．已知圓和圓，動(dòng)圓Q與圓、圓都外切或都內(nèi)切，記點(diǎn)Q的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程；
(2)過點(diǎn)作直線，使其被曲線E截得的弦恰被點(diǎn)P平分，求直線的方程；
(3)記曲線E的左、右頂點(diǎn)為，，過點(diǎn)的直線與曲線E的左支交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，直線與交于點(diǎn)G，證明點(diǎn)G在定直線上.
19．定義二元函數(shù)（，），同時(shí)滿足：①；②；③三個(gè)條件.
(1)求，的值；
(2)求的解析式；
(3)若，，.比較與0的大小關(guān)系，并說明理由.
附：參考公式；；；.
參考答案
1．【答案】D
【詳解】當(dāng)，，滿足，但是，
當(dāng)，，滿足，但是，
所以“”是“”的既不充分也不必要條件.
故選D.
2．【答案】C
【詳解】∵，
∴.
故選C.
3．【答案】C
【詳解】因?yàn)?，所以，顯然A中集合不合題意；
B中集合為或，也不合題意，
C中集合為，滿足題意，
D中集合為，不合題意.
故選C.
4．【答案】D
【詳解】，，
令，則或，
當(dāng)，有或或，
當(dāng)，有或或或.
故選D.
5．【答案】D
【詳解】由題意可得，
即，
整理得，恒成立，
即，
易得：，
故選D.
6．【答案】C
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>所以公差，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即中最小的項(xiàng)是，
故選C.
7．【答案】B
【詳解】
，即的圓心，半徑為，
化為，可得直線l過定點(diǎn)，
橢圓方程中，，，，，則圓心為橢圓的右焦點(diǎn)，
線段為的直徑(除去直線與圓M相交的直徑），
連接，因此，
點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則，，
即，所以，
故選B.
8．【答案】B
【詳解】如圖，由已知和都是等邊三角形，是中點(diǎn)，，，又，平面，所以平面，
因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，同理平面平面?br>所以在平面內(nèi)的射影是，所以是與平面所成的角，
設(shè)分別是和的外心，則，，
且，在平面內(nèi)過作，
過作，與交于點(diǎn)，則平面，同理平面，平面，則，所以是四面體外接球的球心，
由已知，，，又，
所以，，，，，由對(duì)稱性知，，所以直線與平面BCD所成角的正弦值為，
故選B.
9．【答案】ACD
【詳解】由題意知，，，A：，，故A正確；
B：
，
，故B錯(cuò)誤；
C：，
人，故C正確；
D：，
因?yàn)槌煽?jī)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，
，故D正確，
故選ACD.
10．【答案】AC
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋?br>所以，
所以，
又因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋裕蔄項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，則，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，由余弦定理可得，即①.
因?yàn)棰冢?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以由①②得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的面積，則C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，由正弦定理可得，則，，
所以，
為銳角三角形，則，所以，
所以，所以，
即的取值范圍是，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選AC.
11．【答案】ABD
【詳解】選項(xiàng)A：由曲線，，
若曲線為圓，需滿足和系數(shù)相等且無交叉項(xiàng)，
展開原方程得：，交叉項(xiàng)系數(shù)為，無法消除，
故曲線無法為圓，選項(xiàng)A正確；
選項(xiàng)B：驗(yàn)證曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，將點(diǎn)替換為對(duì)稱點(diǎn)代入方程：
得，與原方程形式一致，
故，曲線都關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，選項(xiàng)B正確；
選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，方程為，
整理為關(guān)于的二次方程：.
判別式，即得，
解得，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，方程為，漸近線為，
化簡(jiǎn)得或，即得或，
所以直線是曲線的一條漸近線，選項(xiàng)D正確，
故選ABD.
12．【答案】4
【詳解】由，可得，
，
解得.
13．【答案】
【詳解】，，所以即
原式
，原式.
14．【答案】 78 80
【詳解】依據(jù)乘法原理，選派方法共有，
由表可知，五項(xiàng)工作獲得的效益值總和最大為，但不能同時(shí)取得；
要使總和最大、甲可以承擔(dān)B或D項(xiàng)工作，丙只能承擔(dān)C項(xiàng)工作，則丁不可以承擔(dān)C項(xiàng)工作，所以丁承擔(dān)E項(xiàng)工作；
乙若承擔(dān)B項(xiàng)工作，則甲承擔(dān)D項(xiàng)工作，戊承擔(dān)A項(xiàng)工作，此時(shí)效益值總和為：，
乙若不承擔(dān)B項(xiàng)工作，則乙承擔(dān)A項(xiàng)工作，甲承擔(dān)B項(xiàng)工作，則戊承擔(dān)D項(xiàng)工作，此時(shí)，效益值總和為：，
所以，完成五項(xiàng)工作后獲得的效益值總和最大是80.
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），，
由參考數(shù)據(jù)
所以
故廣告費(fèi)投入y關(guān)于年銷售量x的回歸方程為.
（2）設(shè)“在甲汽車店購(gòu)買汽車”，“在乙汽車店購(gòu)買汽車”，
“購(gòu)買的是新能源汽車”，
，，，
由全概率公式得，.
16．【答案】(1)證明見解析
(2)答案見解析
【詳解】（1）對(duì)函數(shù)，，
，在處的切線方程為
設(shè)，
，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
與只有一個(gè)公共點(diǎn).
（2），
若選①，則，
易知在上單調(diào)遞增，無最大值；
若選②，則令，，
由，得；
由，得；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；
若選③，則令，
由，得；
由，得；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，無最大值.
17．【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
由，得，
解得，即，
所以，，
所以，又，所以.
（2）解：由（1）得，則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，得，，
所以，
又平面的一個(gè)法向量為，
所以，
即平面與平面夾角的余弦值為.
（3）解：由題意知，由（2）得平面的一個(gè)法向量為
所以點(diǎn)到平面的距離為
18．【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，當(dāng)動(dòng)圓與圓、圓都外切時(shí)，
所以
當(dāng)動(dòng)圓與圓、圓都內(nèi)切時(shí)，，
所以，所以，
所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線，
所以，，所以，
所以曲線的方程為.
（2）設(shè)直線交雙曲線于點(diǎn)，并設(shè)，，
所以兩式相減可得：，
，則，
因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，，
所以，所以直線的方程為，
化簡(jiǎn)可得，經(jīng)檢驗(yàn)，該直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意.
（3），，設(shè)點(diǎn)，，
因?yàn)橹本€CD的斜率不為0，故設(shè)CD的方程為，
聯(lián)立得，
直線的方程為，
直線的方程為，
聯(lián)立直線與可得
，則
又，得，故點(diǎn)在定直線上.

19．【答案】(1)，
(2)
(3)答案見解析，理由見解析
【詳解】（1）因?yàn)?，由②得?br>由①得，.
（2）由①得：，，，
將上述等式相加，可得，
所以，也滿足此式，故.
由②得，，，，
將上述等式相加，可得，
所以.
而也滿足此式，故.
（3）由（2）知，
，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，上式取得等號(hào)，
即當(dāng)時(shí)，均有，
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.A
B
C
D
E
甲
11
13
10
13
11
乙
25
26
24
23
23
丙
10
14
15
13
11
丁
7
9
11
9
11
戊
14
16
15
16
12
年份代碼
1
2
3
4
5
6
7
8
年銷售量/十萬輛
3
4
5
6
7
9
10
12
廣告費(fèi)投入/億元
3.6
4.1
4.4
5.2
6.2
7.5
7.9
9.1

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