一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．下列函數(shù)中，最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．C．D．
3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為（ ）
A．1B．C．4D．5
4．已知，，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
5．一個內(nèi)角為且斜邊長為2的直角三角形，繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，測量河對岸的塔高時，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)與.現(xiàn)測得，，米，在點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋?，則塔高約為（ ）（單位：米，）
A．30.42B．42.42C．50.42D．60.42
7．在節(jié)目表演中為了增強(qiáng)舞臺的亮度，且為了減弱演員面對強(qiáng)光的不適感，燈光設(shè)計人員巧妙地通過雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，發(fā)散光線以保護(hù)演員的視力，如圖，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線，其經(jīng)過雙曲線的反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).已知雙曲線的離心率為，則當(dāng)入射光線和反射光線互相垂直時，（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，，且，若當(dāng)時，，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的有（ ）
A．弦的最小值為8
B．弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離小于
C．存在弦，使得的中點(diǎn)坐標(biāo)為
D．當(dāng)時，
10．懸鏈線是一根目睹均勻的繩子或鐵鏈兩端固定在水平桿上，受重力的作用自然下垂后形成的曲線，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系后，得到懸鏈線的函數(shù)解析式為，其中，則下列說法正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)B．在上單調(diào)遞增
C．，D．
11．在長方體中，底面是邊長為的正方形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列說法正確的是（ ）
A．異面直線與所成角的余弦值為
B．當(dāng)時，過點(diǎn)、、的截面是梯形
C．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到某點(diǎn)時，過點(diǎn)、、的截面是五邊形
D．當(dāng)時，過點(diǎn)、、的截面是矩形
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知函數(shù)則 .
13．在空間直角坐標(biāo)系中，平面、平面、平面把空間分成了八個部分，這八個部分稱為“卦限”，通過點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)，可確定點(diǎn)的確切位置及所處卦限.“卦限”取自《易經(jīng)》中的“太極生兩儀，兩儀生四象，四像生八卦”，從直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)，到數(shù)軸中的兩個半軸，進(jìn)而到平面直角坐標(biāo)系中的四個象限，最終到空間直角坐標(biāo)系中的八個卦限，是由簡單到繁復(fù)的變化過程，體現(xiàn)了中國古典哲學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的關(guān)系，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)名詞翻譯的“信達(dá)雅”.若點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)均取自集合，從中任取個點(diǎn)，則這個點(diǎn)在同一個卦限的概率為 .
14．已知函數(shù)的圖象與有兩個交點(diǎn)，則的最小值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．某地區(qū)為了檢測某種農(nóng)業(yè)有機(jī)肥料的效果，農(nóng)業(yè)專家播撒肥料到200塊試驗田中，一段時間后測量土地的某項肥力指標(biāo)，按，，，，分組，繪制成如下頻率分布直方圖.試驗后發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生土地肥力的為160塊，其中該項指標(biāo)不小于60的有110塊.假設(shè)各塊試驗田播撒肥料后是否產(chǎn)生肥力相互獨(dú)立.
(1)填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及的獨(dú)立性檢驗，判斷能否認(rèn)為播撒肥料試驗田產(chǎn)生肥力與指標(biāo)值不小于60有關(guān)；
(2)為了檢驗有機(jī)肥第二次播撒的有效性，對第一次播撒有機(jī)肥后沒有產(chǎn)生肥力的試驗田進(jìn)行第二次播撒，結(jié)果又有20塊試驗田產(chǎn)生肥力.用頻率估計概率，求一塊試驗田播撒2次有機(jī)肥料產(chǎn)生肥力的概率.
參考公式：（其中為樣本容量）
參考數(shù)據(jù)：
16．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，，且.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項公式；
(3)若，求的取值范圍.
17．已知函數(shù)，，其中.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線平行，求的值.
18．橢圓的右焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，設(shè)直線的斜率為，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)若為橢圓上一點(diǎn)，且為的重心，求.
19．如圖，正方體的棱長為，為線段上的動點(diǎn)，，分別是線段，上的點(diǎn)，且，為的中點(diǎn).
(1)求證：平面平面；
(2)兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另外一條直線距離的最小值，求異面直線與之間的距離；
(3)求異面直線與所成角的余弦值的最大值，并說明點(diǎn)的位置.
參考答案
1．【答案】D
【詳解】由，得到，所以，
由，即，解得或，所以，
所以，
故選：D.
2．【答案】C
【詳解】對于A，易知的最小正周期為，但在區(qū)間上單調(diào)遞減，即A錯誤；
對于B，易知的最小正周期為，所以B錯誤；
對于C，的最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，即C正確；
對于D，顯然的最小正周期為，即D錯誤.
故選：C
3．【答案】B
【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，
復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，
則由兩點(diǎn)間的距離公式求得兩點(diǎn)之間的距離為，
故選：B.
4．【答案】A
【詳解】由題意，在上的投影向量為.
故選：A
5．【答案】D
【詳解】如圖，在直角三角形中，，則，
將直角三角形沿斜邊旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為兩個同底的圓錐，
如圖所示，
有，
所以所求幾何體的體積.
故選：D
6．【答案】B
【詳解】由題意，在中，，
由正弦定理可知.
在中，易知，
于是.
故選：B.
7．【答案】A
【詳解】因為，所以，，不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，則，所以，解得（已舍去），所以.
故選：A.
8．【答案】A
【詳解】由三次函數(shù)解析式可知其圖象呈現(xiàn)“N”形，
又當(dāng)時，，所以函數(shù)的所有零點(diǎn)均為非正數(shù)，
又，且，因此，即函數(shù)的所有零點(diǎn)均小于零；
可知，解得.
故選：A
9．【答案】BD
【詳解】由題意知，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為直線，令．
對于A，當(dāng)過焦點(diǎn)的直線為時，設(shè)為上交點(diǎn)，易得，此時，故A錯誤；
對于B，設(shè)的中點(diǎn)為E，過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，如圖，則，而，所以，故B正確．
對于C，由拋物線的性質(zhì)可知①．
若存在弦，使得中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，解得或，都不滿足①式，故C錯誤．
對于D，當(dāng)時，解得，
由對稱性，不妨取，則，所以，故D正確．
故選：BD．
10．【答案】ACD
【詳解】對A，由題知定義域為，
所以，是偶函數(shù)，故選項A正確.
對B，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，
所以當(dāng)時，當(dāng)時，
所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
又，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知 在上單調(diào)遞減，故選項B錯誤.
對C，由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選項C正確.
對D，，
，
則，故選項D正確.
故選：ACD.
11．【答案】ABC
【詳解】對于A選項，連接、，如下圖所示：
因為且，所以，四邊形為平行四邊形，
所以，，
所以，與所成的角為或其補(bǔ)角，
在中，，同理可得，，
由余弦定理可得，
所以，異面直線與所成角的余弦值為，A對；
對于B選項，連接、、，
當(dāng)時，為的中點(diǎn)，
因為、分別為、的中點(diǎn)，則，且，
因為且，所以，四邊形為平行四邊形，
所以，，且，所以，且，
所以，、、、四點(diǎn)共面，
所以，當(dāng)時，過點(diǎn)、、的截面是梯形，B對；
對于C選項，當(dāng)時，設(shè)平面交直線于點(diǎn)，
因為平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，
因為，由等角定理結(jié)合圖形可知，，
則，即，可得，
設(shè)平面交直線于點(diǎn)，
因為平面平面，平面平面，
平面平面，則，
因為，由等角定理結(jié)合圖形可得，
所以，，則，
且，所以，，
故當(dāng)時，過點(diǎn)、、的截面是五邊形，C對；
對于D選項，當(dāng)時，點(diǎn)與點(diǎn)重合，設(shè)平面交棱于點(diǎn)，連接，
因為平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，
因為，由等角定理結(jié)合圖形可知，，
即，所以，，所以，，
則點(diǎn)為的中點(diǎn)，
由勾股定理可得，
同理可得，，則四邊形為平行四邊形，
因為，所以，，
所以，不是直角，故四邊形不是矩形，
因此，當(dāng)時，過點(diǎn)、、的截面不是矩形，D錯.
故選：ABC.
12．【答案】
【詳解】因為，且，
所以.
故答案為：.
13．【答案】
【詳解】因為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)均取自集合，則點(diǎn)共有個，
計算每個卦限包含的點(diǎn)數(shù)：
x負(fù)、y負(fù)、z負(fù)：8個點(diǎn)
x負(fù)、y負(fù)、z正：4個點(diǎn)
x負(fù)、y正、z負(fù)：4個點(diǎn)
x負(fù)、y正、z正：2個點(diǎn)
x正、y負(fù)、z負(fù)：4個點(diǎn)
x正、y負(fù)、z正：2個點(diǎn)
x正、y正、z負(fù)：2個點(diǎn)
x正、y正、z正：1個點(diǎn)
同一卦限中選2個點(diǎn)的組合數(shù)之和為：
從這個點(diǎn)中任取兩個點(diǎn)，共有個基本事件，
故所求概率為.
故答案為：.
14．【答案】
【詳解】根據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)的定義域為，
且滿足，故得為偶函數(shù)，
當(dāng)時，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
且在時，取得最小值：；
由對稱性可得，又；
再由偶函數(shù)性質(zhì)可知其圖象如下圖所示：
因函數(shù)的圖象與有兩個交點(diǎn)，由圖象可知或；
因此的最小值為3.
故答案為：3.
15．【答案】(1)列聯(lián)表見解析，不能認(rèn)為播撒肥料試驗田產(chǎn)生肥力與指標(biāo)值不小于60有關(guān)
(2)
【詳解】（1）在指標(biāo)內(nèi)的有塊，
同理：內(nèi)的有25塊，內(nèi)的有35塊，內(nèi)的有100塊，
內(nèi)的有30塊，
，
所以根據(jù)列聯(lián)表及的獨(dú)立性檢驗，不能認(rèn)為播撒肥料試驗田產(chǎn)生肥力與指標(biāo)值不小于60有關(guān).
（2）由題意，第一次播撒后產(chǎn)生肥力的頻數(shù)為160，
第一次播撒有機(jī)肥后沒有產(chǎn)生肥力的試驗田進(jìn)行第二次播撒后產(chǎn)生肥力的頻數(shù)為20，
則一塊試驗田播撒2次有機(jī)肥料產(chǎn)生肥力的頻率為，以頻率估計概率，這塊試驗田播撒2次有機(jī)肥料產(chǎn)生肥力的概率為.
16．【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）因為各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，則對任意的，，
當(dāng)時，，
即，所以，，
因此，數(shù)列是等差數(shù)列，且其首項為，公差為.
（2）由（1）可得，則當(dāng)時，，
也滿足，故，.
（3）由可得
，
令，則
則
，即，
所以，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，
因此，的取值范圍是.
17．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為
(2)
【詳解】（1）由已知，，有.
令，解得.
由，可知當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）由，可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.
由，可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.
因為這兩條切線平行，故有，即.
兩邊取以為底的對數(shù)，得，
所以.
18．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)，，則，又，在橢圓上，
∴，兩式作差，整理得：，
∴，又，
∴，，故橢圓的方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，
與橢圓聯(lián)立并整理得：，，
∴，則，
又恰為△的重心，故坐標(biāo)為，即
因為在橢圓上，即，
故，即，解得，
∴，
而，，
故；
∴.
19．【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)，點(diǎn)在靠近點(diǎn)的線段的三等分點(diǎn)處
【詳解】（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因為正方體的棱長為，且，
則
，
所以，
因為，則，即，
又，則，即，
又平面，
所以平面，又平面，所以平面平面.
（2）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，且，
又，所以，得到，
則，又，設(shè)到直線的距離為，
則，
所以當(dāng)時，取到最小值，最小值為，故異面直線與之間的距離為.
（3）因為為的中點(diǎn)，所以，設(shè)，
則，，設(shè)異面直線與所成的角為，
則，
令，則，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，
又當(dāng)時，，即點(diǎn)在靠近點(diǎn)的線段的三等分點(diǎn)處.指標(biāo)值
合計
小于60
不小于60
產(chǎn)生肥力
未產(chǎn)生肥力
合計
0.100
0.050
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
指標(biāo)值
指標(biāo)值
產(chǎn)生肥力
50
110
未產(chǎn)生肥力
20
20
0
0
+
極小值

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