一、單選題（本大題共8小題）
1．雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．3
2．某農(nóng)場共有300頭牛，其中甲品種牛30頭，乙品種牛90頭，丙品種牛180頭，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取60頭牛進行某項指標檢測，則抽取甲，乙，丙三個品種牛的頭數(shù)分別為（ ）
A．B．
C．D．
3．經(jīng)過點且與直線垂直的直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
4．將一枚質(zhì)地均勻的正四面體教具連續(xù)拋擲次，第5次和第8次某一面朝下的概率分別記為，，則，的大小關(guān)系為（ ）
A．，的大小由確定B．
C．D．
5．已知圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．外離B．外切C．相交D．內(nèi)含
6．已知空間向量，，，若，，共面，則m的值為（ ）
A．1B．C．D．2
7．某地區(qū)今年舉行了校園足球聯(lián)賽.賽季結(jié)束后的數(shù)據(jù)顯示：甲學校足球代表隊（下稱甲隊）每場比賽平均失球數(shù)是1.3，每場失球個數(shù)的標準差是1.2；乙學校足球代表隊（下稱乙隊）每場比賽平均失球數(shù)是1.9，每場失球個數(shù)的標準差是0.5.下列說法中正確的是（ ）
A．平均來說乙隊比甲隊防守效果好
B．甲隊比乙隊技術(shù)水平更穩(wěn)定
C．甲隊在防守中有時表現(xiàn)較差，有時表現(xiàn)又非常好
D．甲隊每場比賽必失球
8．已知點集，分別表示曲線，，若，有四個公共點，則的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．某人連續(xù)投籃三次，每次投一球，記事件為“三次都投中”，事件為“三次都沒投中”，事件為“恰有二次投中”，事件為“至少有二次投中”，則（ ）
A．B．
C．D．
10．下列說法中，正確的是（ ）
A．直線的一個方向向量為
B．，，三點共線
C．直線（其中）必過定點
D．經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程為
11．在平面直角坐標系中，已知兩定點，，動點滿足直線與直線的斜率之積為，記的軌跡為，則下列描述正確的是（ ）
A．當時，曲線是以原點為圓心，半徑為1的圓
B．當時，點所在曲線的焦點在軸上
C．當時，過點的直線與曲線至少有一個公共點
D．當時，直線與曲線有兩個不同公共點，則
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知向量，，若與互相垂直，則實數(shù)的值為 .
13．已知直線與直線平行（其中為實數(shù)），則它們之間的距離為 .
14．已知三棱柱，點在內(nèi)，，，分別為三邊的一個三等分點，為面的一個法向量，且.若到面的距離為2，則 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知橢圓長軸長為8，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)以的焦點為頂點，短軸為虛軸的雙曲線記為，求的方程及其漸近線方程.
16．已知直線，圓（點為圓心）.
(1)若直線與圓相切，求實數(shù)的值；
(2)當時，判斷直線與圓是否相交于不同的兩點？如果相交于不同兩點，記這兩點為，并求的面積，如果不相交，請說明理由.
17．甲、乙兩人在沙灘邊進行連續(xù)多輪走步比賽，甲、乙各有一個不透明的盒子，甲的盒子里面有2個紅球1個白球，乙的盒子里面有2個紅球3個白球，這些球只有顏色不同.每一輪比賽的規(guī)則是：甲、乙同時各自從自己的盒子里面摸出一球，如果甲摸到紅球，甲向前走一步，否則原地不動；如果乙摸到白球，乙向前走一步，否則原地不動.各自摸球后都放回自己的盒子中.
(1)經(jīng)過多輪比賽后，試估計甲、乙走的步數(shù)誰多？說明理由？
(2)以頻率作為概率，試求2輪比賽后，乙走的步數(shù)比甲走的步數(shù)多的概率.
18．如圖，等腰梯形的高為2，，，是上靠近的三等分點，如圖①所示，將沿折起到的位置，使得，如圖②所示，點在棱上.
(1)求證：直線平面；
(2)若是的中點，求直線與平面所成角的正弦值；
(3)若平面與平面所成的銳二面角為，求的值.
19．已知拋物線的焦點為，第一象限內(nèi)的一點在拋物線上，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)直線與拋物線的另一個交點為，求的面積（其中為坐標原點）；
(3)斜率分別為、的兩條直線都經(jīng)過點，且與拋物線的另一個交點分別為、，若，求證：直線過定點.
參考答案
1．【答案】B
【解析】由雙曲線的方程求出，然后由離心率公式求解.
【詳解】因為雙曲線，
所以，，
則，
所以.
故選：B
2．【答案】A
【詳解】由題意知，抽樣比例為，
則，
所以抽取甲，乙，丙三個品種牛的頭數(shù)分別為.
故選：A
3．【答案】C
【詳解】與直線垂直的直線的斜率為，又直線過點，
所以直線方程為，整理得.
故選：C
4．【答案】D
【詳解】由題設(shè)及古典概率的性質(zhì)，對于任意一次某一面朝下的概率均為，不朝下的概率均為，所以.
故選：D
5．【答案】C
【詳解】由，得，半徑，
由，得，半徑，
所以，
所以，即，
所以圓與圓的位置關(guān)系是相交.
故選：C
6．【答案】D
【詳解】因為，，，且，，共面，
所以，又，得到，解得，
故選：D.
7．【答案】C
【詳解】對于A項，平均來說甲隊比乙隊防守效果好，故A項錯誤；
對于B項，乙隊比甲隊技術(shù)水平更穩(wěn)定，故B項錯誤；
對于C項，甲隊在防守中有時表現(xiàn)較差，有時表現(xiàn)又非常好，故C項正確；
對于D項，甲隊每場比賽不一定失球，故D項錯誤；
故選：C.
8．【答案】B
【詳解】對，若，則，即，
若，則，即，
則由兩條射線：及組成；
，
即，
①當時，，此時曲線，只有交點，不符；
②當時，有，令，可得，
當時，與必有交點、，
當時，與必有交點、，
當時，與只有交點；
③令，若，此時該方程無解，不符；
若，則，此時與只有一個交點；
若，則，
則與必有交點、，
當時，兩交點坐標為、，
則此時，有三個公共點，不符；
則當時，
，有交點、、、，符合要求；
故，有四個公共點時，的取值范圍為.
故選：B.
9．【答案】ACD
【詳解】設(shè)為三次投籃命中次，
則，可得，
所以，，，，
故ACD正確，B錯誤.
故選：ACD.
10．【答案】ABC
【詳解】對于選項A：因為直線的斜率不存在，
所以直線的一個方向向量為，故A正確；
對于選項B：因為，
即，所以，，三點共線，故B正確；
對于選項C：直線即為，
令，解得，
所以直線（其中）必過定點，故C正確；
對于選項D：例如，可知不存在，故D錯誤；
故選：ABC.
11．【答案】BD
【詳解】設(shè)且，則，則且，
當，則曲線為且，即以原點為圓心，半徑為1的圓（去掉點），A錯；
當，則曲線，若，直線軸時，直線與曲線沒有公共點，C錯；
當，曲線為焦點在y軸上的雙曲線，聯(lián)立，
整理得，顯然不可能有兩個交點，
若時，顯然恒成立，
所以直線與曲線有兩個不同公共點，B、D對.
故選：BD
12．【答案】2
【詳解】由向量，得，，
由與互相垂直，得，所以.
故答案為：2.
13．【答案】3
【詳解】因為直線與直線平行，
則，解得，
可知兩直線分別為，，符合題意，
所以兩直線的距離為.
故答案為：3.
14．【答案】
【詳解】過點作平面于點，則，
由三棱柱性質(zhì)可得平面平面，
故，則，
由、、平面，故
又，，，
則
.
故答案為：.
15．【答案】(1)
(2)雙曲線的方程為，漸近線方程為
【詳解】（1）由題意可知：，可得，
則，所以橢圓的方程為.
（2）由（1）可知：的頂點為，短軸長為，
設(shè)雙曲線的實軸長為，虛軸長為，焦距為，
由題意可知：，且焦點在x軸上，則，
所以雙曲線的方程為，漸近線方程為.
16．【答案】(1)或；
(2)直線與圓相交于不同的兩點，
【詳解】（1）由可得，即、半徑，
由可得，
由直線與圓相切，則有，化簡得，
即或；
（2）當時，，此時點到直線的距離為，
故直線與圓相交，即直線與圓相交于不同的兩點，
由，則，
則.
17．【答案】(1)甲，理由見解析
(2)
【詳解】（1）因為甲的盒子里面有2個紅球1個白球，甲摸到紅球，甲向前走一步，
所以每一輪甲前進的概率為；
因為乙的盒子里面有2個紅球3個白球，乙摸到白球，乙向前走一步，
所以每一輪乙前進的概率為；
因為，即每一輪甲前進的概率都大于每一輪乙前進的概率，
所以經(jīng)過多輪比賽后，估計甲走的步數(shù)多.
（2）若頻率作為概率，2輪比賽后，乙走的步數(shù)比甲走的步數(shù)多有三種情況：
乙走兩步甲走一步，概率為；
乙走兩步甲走零步，概率為；
乙走一步甲走零步，概率為；
綜上，2輪比賽后，乙走的步數(shù)比甲走的步數(shù)多的概率為
18．【答案】(1)證明見詳解；
(2)；
(3).
【詳解】（1）在圖①中，過作，垂足為，
則，可知點與點重合，即，
在圖②中，可得，
又因為，，平面，
所以直線平面.
（2）由（1）可知：直線平面，，
以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，
則，
若是的中點，則，
可得，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，可得，
則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
（3）由（2）可知：，
因為點在棱上，設(shè)，
則，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
由題意可得：，
整理可得，解得或（舍去），
所以.
19．【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【詳解】（1）由拋物線的定義可得，解得，
所以，拋物線的方程為.
（2）由在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，所以，，即點，
易知點，所以，直線的斜率為，
所以，直線的方程為，即，
聯(lián)立可得，解得或，
則點、，
所以，.
（3）若直線的斜率為零，則該直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，
設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，
聯(lián)立可得，，可得，
由韋達定理可得，，
，同理可得，
因為，
可得，則，
所以，直線的方程為，
由可得，
因此，直線過定點.

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