陜西省西安中學(xué)2025屆高三下學(xué)期高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題及答案-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 設(shè)集合，，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用集合元素的互異性及集合的包含關(guān)系列式計(jì)算即得.
【詳解】由，得，即，此時(shí)，
由，得，而，所以.
故選：A
2. 已知為虛數(shù)單位，若，則（）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的定義即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>.
故選：B.
3. 設(shè)為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的（）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)共線向量和向量數(shù)量積的定義依次判斷充分性和必要性即可得到結(jié)果.
【詳解】若為非零向量，且存在負(fù)數(shù)，使得，則共線且方向相反，
，充分性成立；
當(dāng)時(shí)，的夾角可能為鈍角，此時(shí)不存在負(fù)數(shù)，使得，必要性不成立；
“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
4. 若則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及二倍角公式即可代入求解.
【詳解】
故選：C
5. 某省新高考中選考科目采用賦分制，具體轉(zhuǎn)換規(guī)則和步驟如下：第一步，按照考生原始分從高到低按成績(jī)比例劃定、、、、共五個(gè)等級(jí)（見下表）.第二步，將至五個(gè)等級(jí)內(nèi)的考生原始分，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換到100～86、85～71、70～56、55～41和40～30五個(gè)分?jǐn)?shù)段，從而將考生的等級(jí)轉(zhuǎn)換成了等級(jí)分.
賦分公式：，計(jì)算出來經(jīng)過四舍五人后即為賦分成績(jī).
某次考試，化學(xué)成績(jī)等級(jí)的原始最高分為98分，最低分為63分.學(xué)生甲化學(xué)原始成績(jī)?yōu)?6分，則該學(xué)生的化學(xué)賦分分?jǐn)?shù)為（）
A. 85B. 88C. 91D. 95
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)賦分公式有，即可求化學(xué)賦分分?jǐn)?shù).
【詳解】由題意，該學(xué)生的化學(xué)賦分分?jǐn)?shù)為，則，
所以分.
故選：C
6. 若函數(shù)，是定義在上的減函數(shù)，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由分段函數(shù)在各自段上單調(diào)遞減，再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可.
【詳解】要使在上是減函數(shù)，需滿足：，
解得，則的取值范圍為.
故選：A.
7. 已知直線與相交于兩點(diǎn)，且為等邊三角形，則實(shí)數(shù)（）
A. 或2B. 或4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知得圓心到直線的距離為，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求得答案.
【詳解】解：的圓心，半徑，
因?yàn)橹本€與相交于兩點(diǎn)，且為等邊三角形，則圓心到直線的距離為，
即，整理得，解得或，
故選：A.
8. 已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為R，滿足，記，其導(dǎo)函數(shù)為且的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則（）
A. 0B. 3C. 4D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)知關(guān)于、對(duì)稱且，即可求，再由已知有關(guān)于、對(duì)稱，求，即可得解.
【詳解】由關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則關(guān)于軸對(duì)稱，且，
所以關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，且，
又，即，則關(guān)于對(duì)稱，
綜上，，，則，
所以，而，故，
又，則關(guān)于對(duì)稱，即，
所以，則，
所以.
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)或不選的得0分．
9. 已知函數(shù)，則（）
A. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C. 若，則函數(shù)的值域?yàn)?br>D. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
【答案】AD
【解析】
【分析】代入驗(yàn)證正弦型函數(shù)的對(duì)稱中心判斷選項(xiàng)A；代入驗(yàn)證正弦型函數(shù)的對(duì)稱軸判斷選項(xiàng)B；求解正弦型函數(shù)在給定區(qū)間的值域判斷選項(xiàng)C；求解正弦型函數(shù)的遞減區(qū)間判斷選項(xiàng)D.
【詳解】選項(xiàng)A：，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.判斷正確；
選項(xiàng)B：，則函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱. 判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：由，可得，則，
即若，則函數(shù)的值域?yàn)?判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：由，可得，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.判斷正確.
故選：AD
10. 若函數(shù)，則（）
A. 的圖象關(guān)于對(duì)稱B. 在上單調(diào)遞增
C. 的極小值點(diǎn)為D. 有兩個(gè)零點(diǎn)
【答案】AC
【解析】
【分析】首先求出函數(shù)的定義域，即可判斷奇偶性，從而判斷A，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷B、C，求出極小值即可判斷D.
【詳解】對(duì)于函數(shù)，令，解得或，
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>又，
所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，故A正確；
又
，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，
根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為，故C正確；
又，
且當(dāng)趨近于1時(shí)，趨近于無窮大，當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于無窮大，
所以在上無零點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可知在上無零點(diǎn)，
故無零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
11. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)位于點(diǎn)右方，若，則下列結(jié)論一定正確的有（）
A. B.
C. D. 直線的斜率為3
【答案】ABC
【解析】
【分析】設(shè)直線的方程為，不妨設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出，，再由正弦定理得到，得到，代入兩根之和，兩根之積，列出方程，求出，進(jìn)而求出，根據(jù) 可判斷根據(jù)可判斷根據(jù)可判斷根據(jù)對(duì)稱性判斷．
詳解】解：由題意得，，，
當(dāng)直線的斜率為時(shí)，與拋物線只有個(gè)交點(diǎn)，不合要求，
故設(shè)直線的方程為，不妨設(shè)，
聯(lián)立，可得，易得，
設(shè)，，則，，
則，，
則，，
由正弦定理得，，
因?yàn)?，?br>所以，，
即．
又由焦半徑公式可知，
則，即，
即，解得，
則，，解得，，
故，
當(dāng)時(shí)，同理可得到，故A正確
．
，故B正確
，故C正確
當(dāng)時(shí)，，則，即，
此時(shí) ．
由對(duì)稱性可得，當(dāng)時(shí)，，
故直線的斜率為，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
在處理有關(guān)焦點(diǎn)弦，以及焦半徑問題時(shí)長(zhǎng)度問題時(shí)有以下幾種方法；
（1）常規(guī)處理手段，求交點(diǎn)坐標(biāo)然后用距離公式，含參的問題不適合；
（2）韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式，這是此類問題處理的通法；
（3）拋物線定義結(jié)合焦點(diǎn)弦公式.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是_____.
【答案】.
【解析】
【分析】先求事件的總數(shù)，再求選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式得出答案.
【詳解】從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿服務(wù)，共有種情況.
若選出的2名學(xué)生恰有1名女生，有種情況，
若選出的2名學(xué)生都是女生，有種情況，
所以所求的概率為.
【點(diǎn)睛】計(jì)數(shù)原理是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，考查的形式有兩種，一是獨(dú)立考查，二是與古典概型結(jié)合考查，由于古典概型概率的計(jì)算比較明確，所以，計(jì)算正確基本事件總數(shù)是解題的重要一環(huán).在處理問題的過程中，應(yīng)注意審清題意，明確“分類”“分步”，根據(jù)順序有無，明確“排列”“組合”.
13. 在等差數(shù)列中，，則的值為____．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)求得，進(jìn)而根據(jù)＝2，求得答案．
【詳解】＝5
∴＝24，即+7d＝24
∴＝2+14d＝2＝48
故答案為48．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)．特別是利用了等差中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題
14. 三棱錐中，，平面平面，且.記的體積為，內(nèi)切球半徑為，則的最小值為______.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)等體積法可得，即可構(gòu)造函數(shù)，
利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，即可求解最值.
【詳解】設(shè)三棱錐的高為，依題意，可取中點(diǎn)，
連接，，則,
由于，則,
則，
由于平面平面，且交線,平面，
故平面，故,
則的面積為,的面積，
由可得和的面積為，
于是三棱錐的表面積為，
由等體積可知，
所以，
故=.
設(shè)函數(shù)，且，
則，
當(dāng)單調(diào)遞減，
，單調(diào)遞增，
所以，
所以時(shí)，取得最小值，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用等體積法得到，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo).
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.
（1）求A；
（2）若BC=3，求周長(zhǎng)的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，進(jìn)而求得；
（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果.
【詳解】（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最優(yōu)解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
，
解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
周長(zhǎng)，周長(zhǎng)最大值為.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
設(shè)，則，根據(jù)正弦定理可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．此時(shí)周長(zhǎng)的最大值為．
[方法三]：余弦與三角換元結(jié)合
在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知當(dāng)時(shí)，，
所以周長(zhǎng)的最大值為．
【整體點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理角化邊的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用、三角形周長(zhǎng)最大值的求解問題；
方法一：求解周長(zhǎng)最大值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理構(gòu)造的等式中，結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.
方法二采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍進(jìn)行求解最值，如果三角形是銳角三角形或有限制條件的，則采用此法解決.
方法三巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)求最值問題.
16. 如圖，在四棱錐中，底面四邊形的邊長(zhǎng)均為2，且，棱的中點(diǎn)為.
（1）求證：平面；
（2）若的面積是，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明即可；
（2）利用三棱錐的體積關(guān)系，求解點(diǎn)到平面的距離即可.
【小問1詳解】
因?yàn)闉榱庑?，所?
又因?yàn)?，平?br>所以平面.
因?yàn)槠矫?，所?
又由已知，平面
所以平面.
【小問2詳解】
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.
由（1）知，平面，所以.
又因?yàn)?，所以，所以，則.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以.
因?yàn)?，所?
在中，，，，
所以，又，所以，
所以，所以，
所以.
17. 已知橢圓的離心率為，且短軸長(zhǎng)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線l的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓短軸長(zhǎng)和離心率，結(jié)合，求得的值，由此求得橢圓方程；
（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式求得，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得，由此求得三角形的面積的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合基本不等式，求得面積的最大值，以及此時(shí)直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程.
【小問1詳解】
由題意得:，解得:，
所以橢圓的方程為:
【小問2詳解】
由題意得直線l的斜率存在且不為零，設(shè)直線l的方程:，，
聯(lián)立與橢圓的方程整理得:，
，得，
，，
所以弦長(zhǎng) ，
原點(diǎn)到直線l的距離，
所以，
令，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，滿足條件，解得，
所以直線l的方程為:或
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
18. 高性能計(jì)算芯片是一切人工智能的基礎(chǔ)．國(guó)內(nèi)某企業(yè)已快速啟動(dòng)AI芯片試生產(chǎn)，試產(chǎn)期需進(jìn)行產(chǎn)品檢測(cè)，檢測(cè)包括智能檢測(cè)和人工檢測(cè)．智能檢測(cè)在生產(chǎn)線上自動(dòng)完成，包括安全檢測(cè)、蓄能檢測(cè)、性能檢測(cè)等三項(xiàng)指標(biāo)，且智能檢測(cè)三項(xiàng)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為，，，人工檢測(cè)僅對(duì)智能檢測(cè)達(dá)標(biāo)（即三項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)標(biāo)）的產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，且僅設(shè)置一個(gè)綜合指標(biāo)．人工檢測(cè)綜合指標(biāo)不達(dá)標(biāo)的概率為．
（1）求每個(gè)AI芯片智能檢測(cè)不達(dá)標(biāo)的概率；
（2）人工檢測(cè)抽檢50個(gè)AI芯片，記恰有1個(gè)不達(dá)標(biāo)的概率為，當(dāng)時(shí)，取得最大值，求；
（3）若AI芯片的合格率不超過93%，則需對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．以（2）中確定的作為p的值，試判斷該企業(yè)是否需對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．
【答案】（1）
（2）
（3）需要對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良
【解析】
【分析】（1）先求每個(gè)AI芯片智能檢測(cè)達(dá)標(biāo)的概率，再利用對(duì)立事件的概率求解；
（2）先求，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可求解；
（3）利用條件概率求出AI芯片的合格率，與93%比較可得結(jié)論.
【小問1詳解】
記事件A＝“每個(gè)AI芯片智能檢測(cè)不達(dá)標(biāo)”，則
.
【小問2詳解】
由題意，
∴
令，則，
當(dāng)，，為增函數(shù)；
當(dāng)，，為減函數(shù)；
所以在處取到最大值．
【小問3詳解】
記事件B＝“人工檢測(cè)達(dá)標(biāo)”，
則，
又，
所以，
所以需要對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．
19. 若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中為正整數(shù)．
（1）證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）設(shè)（1）中“平方遞推數(shù)列”的前項(xiàng)積為，即，求；
（3）在（2）的條件下，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求使的的最小值．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.
【解析】
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)，得到，即是“平方遞推數(shù)列”．
進(jìn)一步對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得，利用等比數(shù)列的定義證明.
（2）首先得到，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式即得.
(3）求通項(xiàng)、求和，根據(jù)，得到，再根據(jù)，即得解.
試題解析：（1）由題意得：，即，
則是“平方遞推數(shù)列”． 2分
對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． 4分
（2）由（1）知 5分
8分
(3） 9分
10分
又，即 11分
又，所以． 12分
考點(diǎn)：等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及求和公式，等差數(shù)列的求和公式.
等級(jí)
比例
15%
35%
35%
13%
2%
賦分區(qū)間
100-86
85-71
70-56
55-41
40-30

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