一、單選題（本大題共8小題）
1．5名同學分別從4個景點中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)為（ ）
A．9B．20C．D．
2．若，則的值為（ ）
A．14B．84C．34D．204
3．已知離散型隨機變量X 的 分布列如下表：若離散型隨機變量，則（ ）
A．B．C．D．
4．用數(shù)字，，，，組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．60B．30C．36D．21
5．設，是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，，則（ ）
A．B．C．D．
6．已知，則（ ）
A．B．
C．D．
7．針對2025年第九屆亞冬會在哈爾濱舉辦，校團委對“是否喜歡冰雪運動與學生性別的關系”進行了一次調查，其中被調查的男、女生人數(shù)相同，男生中喜歡冰雪運動的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡冰雪運動的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握認為是否喜歡冰雪運動與學生性別有關，則被調查的學生中男生的人數(shù)不可能為（ ）
附：，.
A．54B．48C．42D．36
8．如圖，在某城市中，?兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中???是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的個交匯處．今在道路網(wǎng)?處的甲?乙兩人分別要到?處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達?處為止．則下列說法正確的是（ ）
A．甲從到達處的方法有種
B．甲從必須經(jīng)過到達處的方法有種
C．甲?乙兩人在處相遇的概率為
D．甲?乙兩人相遇的概率為
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列命題中真命題是（ ）
A．的展開式中含項的系數(shù)為
B．隨機變量，若方差，則
C．若隨機變量，且，則
D．甲、乙、丙、丁4名同學參加，，三項工作，若恰有一項工作無人參加，則不同的安排方法共有45種
10．已知橢圓和雙曲線具有相同的焦點，，點是它們的一個公共點，且在圓上，橢圓和雙曲線的離心率分別為，，且，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．橢圓的方程為
C．的面積為
D．的周長為
11．在探究的展開式的二項式系數(shù)性質時，我們把二項式系數(shù)寫成一張表，借助它發(fā)現(xiàn)二項式系數(shù)的一些規(guī)律，我們稱這個表為楊輝三角（如圖1），小明在學完楊輝三角之后進行類比探究，將的展開式按x的升冪排列，將各項系數(shù)列表如下（如圖2）：
上表圖2中第n行的第m個數(shù)用表示，即展開式中的系數(shù)為，則（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．袋中有紅、黃、藍三種顏色的小球共6個（其中有3個紅球），若從中一次取出2個小球，記恰有1個黃球的概率為，則的最大值為 .
13．某射擊比賽中，甲選手進行多輪射擊，每輪射擊中命中目標的概率為.若每輪射擊中命中目標得1分，未命中目標得0分，且各輪射擊結果相互獨立，則進行五輪射擊后，甲的總得分不小于3分的概率為 .
14．“四進制”是一種以4為基數(shù)的計數(shù)系統(tǒng)，使用數(shù)字，，，來表示數(shù)值.四進制在數(shù)學和計算的世界中呈現(xiàn)出多個維度的特性，對于現(xiàn)代計算機科學和技術發(fā)展有著深遠的影響.四進制數(shù)轉換為十進制數(shù)的方法是通過將每一位上的數(shù)字乘以4的相應次方（從0開始），然后將所有乘積相加.例如：四進制數(shù)013轉換為十進制數(shù)為；四進制數(shù)0033轉換為十進制數(shù)為.現(xiàn)將所有由，，，組成的4位（如：1233，3201）四進制數(shù)轉化為十進制數(shù)，在這些非零十進制數(shù)中任取一個，則這個數(shù)能被3整除的概率為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，準線為.過拋物線上一點作，垂足為點.已知是邊長為4的等邊三角形.
(1)求拋物線的方程；
(2)如圖，
拋物線上有兩點位于軸同側，且直線和直線的傾斜角互補.求證：直線恒過定點，并求出點的坐標.
16．經(jīng)觀測，長江中某魚類的產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關，現(xiàn)將收集到的溫度和產(chǎn)卵數(shù)的10組觀測數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖的散點圖及一些統(tǒng)計量表.
表中.

(1)根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為與之間的回歸方程模型并求出關于回歸方程；（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)某興趣小組抽取兩批魚卵，已知第一批中共有6個魚卵，其中“死卵”有2個；第二批中共有8個魚卵，其中“死卵”有3個．現(xiàn)隨機挑選一批，然后從該批次中隨機取出2個魚卵，求取出“死卵”個數(shù)的分布列及數(shù)學期望.
附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.
17．如圖①，在中，，，，分別是，上的點，滿足，且經(jīng)過的重心.將沿折起到的位置（如圖②），使平面，存在動點，使.
(1)當時，求平面與平面夾角的余弦值；
(2)設直線與平面所成角為，求的最大值.
18．某企業(yè)對生產(chǎn)設備進行優(yōu)化升級，升級后的設備控制系統(tǒng)由個相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為，各元件之間相互獨立.當控制系統(tǒng)有不少于k個元件正常工作時，設備正常運行，否則設備停止運行，記設備正常運行的概率為（例如：表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設備正常運行的概率；表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設備正常運行的概率）.
(1)若，當時，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的分布列和數(shù)學期望，并求；
(2)已知設備升級前，單位時間的產(chǎn)量為a件，每件產(chǎn)品的利潤為1元，設備升級后，在正常運行狀態(tài)下，單位時間的產(chǎn)量是原來的4倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為，每件高端產(chǎn)品的利潤是2元.記設備升級后單位時間內的利潤為Y（單位：元）.
（i）請用表示；
（ii）設備升級后，在確?？刂葡到y(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)的前提下，分析該設備能否通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數(shù)來提高利潤.
19．中國古典園林洞門、洞窗具有增添園林意境，豐富園林文化內涵的作用，門、窗裝飾圖案成為園林建筑中具有文化價值以及文化內涵的裝飾.如圖1所示的一種橢圓洞窗，由橢圓和圓組成，， 是橢圓的兩個焦點，圓以線段為直徑，
(1)設計如圖所示的洞窗，橢圓的離心率應滿足怎樣的范圍？
(2)經(jīng)測量橢圓的長軸為4分米，焦距為2分米.
（i）從射出的任意一束光線照在左側距橢圓中心4分米的豎直墻壁上，如圖2所示.建模小組的同學用長繩拉出橢圓洞窗的切線AB，B為切點，然后用量角器探究猜測是定值，請幫他們證明上述猜想.
（ii）建模小組的同學想設計一個如圖3的四邊形裝飾，滿足：點是上的一個動點，P，Q關于原點對稱，過和分別做圓的切線，交于R，S，求四邊形裝飾面積的取值范圍.
參考答案
1．【答案】D
【詳解】因為每名同學都有4種選擇，
所以由分步乘法計數(shù)原理可知不同選法的種數(shù)為：．
故選：D.
2．【答案】C
【詳解】因為，所以或，解得或，
因為，所以，可得，
所以.
故選：C
3．【答案】A
【詳解】由題意，解得，
而.
故選：A.
4．【答案】B
【詳解】由題意可知，這三位數(shù)是偶數(shù)，則說明其個位數(shù)為偶數(shù)，即，，，有3種選擇，
因為這是一個三位數(shù)，所以百位數(shù)不能是0.
①當個位數(shù)為0時，有種，
②當個位數(shù)為2或4時，有種.綜上，有30種.
故選：B.
5．【答案】A
【詳解】因為，即，解得，
又因為，即，解得，
且，可得，所以.
故選：A
6．【答案】A
【詳解】由，
所以，，皆為負值，，，皆為正值，令，則，
令，則①，故C項錯誤；
即，故A項正確；
由①知，故B項錯誤；
在中，
令，則，故D項錯誤.
故選：A.
7．【答案】D
【詳解】設男生人數(shù)為，因為被調查的男、女生人數(shù)相同，所以女生人數(shù)也為，根據(jù)題意列出列聯(lián)表：
則，因為有的把握認為是否喜歡冰雪運動與學生性別有關，所以，即，解得，又，所以A，B，C項正確，D項錯誤.
故選：D
8．【答案】C
【分析】分析甲從到達處以及甲從必須經(jīng)過到達處的走法，結合組合知識，可判斷A，B；計算出甲?乙兩人在處相遇的走法種數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式即可判斷C；分類考慮甲?乙兩人相遇的地點，計算出相應的走法數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式即可判斷D.
【詳解】A選項，甲從M到達N處，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，
則甲從M到達N處的方法有種，A選項錯誤；
B選項，甲經(jīng)過到達N處，可分為兩步：第一步，甲從M經(jīng)過需要走3步，
其中1步向右走，2步向上走，方法數(shù)為種；
第二步，甲從到N需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法數(shù)為種，
故甲經(jīng)過到達N的方法數(shù)為種，B選項錯誤；
C選項，甲經(jīng)過的方法數(shù)為種，乙經(jīng)過的方法數(shù)也為種，
∴甲?乙兩人在處相遇的方法數(shù)為種，
故甲、乙兩人在處相遇的概率為，C選項正確；
D選項，甲?乙兩人沿最短路徑行走，只可能在、、、處相遇，
若甲?乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，則甲的前三步必須向上走，
乙經(jīng)過處，則乙的前三步必須向左走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為1種；
若甲?乙兩人在處相遇，由C選項可知，走法種數(shù)為81種；
若甲?乙兩人在處相遇，甲到處，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，
乙到處，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，
∴兩人在處相遇的走法種數(shù)為種；
若甲?乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，則甲的前三步必須向右走，乙經(jīng)過處，
則乙的前三步必須向下走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為1種；
故甲?乙兩人相遇的概率，D選項錯誤，
故選：C．
【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵在于利用組合數(shù)去計算對應的方法數(shù)，將從 M 到 N 的路線轉變?yōu)榱?，其中每一條路線向上步數(shù)確定后，則對應向右的步數(shù)也能確定，因此可以考慮從六步中選取向上或向右的步數(shù)，由此得到的組合數(shù)可表示對應路線的方法數(shù)．
9．【答案】ABC
【詳解】對于A項，展開式的通項公式為，，，…，，
所以展開式中含項的系數(shù)為，故A項正確；
對于B項，，解得，則，故B項正確；
對于C項，因為隨機變量，所以正態(tài)曲線關于直線對稱，
由，得，
所以，故C項正確；
若恰有一項工作無人參加，則先選出無人參加的工作，然后計算出剩余兩項工作都有人參加的方法數(shù)，
則不同的安排方法共有種，故D項錯誤.
故選：ABC.
10．【答案】ABC
【詳解】A項，由題意知，設焦距為，則.
設橢圓的長軸長為，短軸長為，雙曲線的實軸長為，虛軸長為，
根據(jù)對稱性，不妨設橢圓與雙曲線的交點在第一象限，
由橢圓的定義知，則，
由雙曲線的定義知，則，
由兩式相加化簡得，
因為點在圓上，所以，所以，
則，則，又，聯(lián)立解得，，故A項正確；
B項，由A項可知，解得，則，所以橢圓的方程為，故B項正確；
C項，由，，則，
所以的面積，故C項正確；
D項，的周長為，故D項錯誤.
故選：ABC
11．【答案】BCD
【分析】對于ABC選項，由圖2中數(shù)據(jù)特征可得，對于D，左式可由的展開式中的系數(shù)得到，故根據(jù)以及二項式定理研究展開式中的系數(shù)即可求解.
【詳解】依據(jù)題意結合圖2可知圖2中每一行的每一個數(shù)等于其上一行頭頂和左右肩上共三個數(shù)的和（沒有的用0代替），
如：第四行的第三個數(shù)10，等于上一行頭頂上的數(shù)3加上左右肩上的數(shù)1和6；
第三行中的第二個數(shù)3，等于上一行頭頂上的數(shù)1加上左右肩上的數(shù)0（左肩上沒有數(shù)，故用0代替）和2；
所以，
對于A，由上，故A錯；
對于B，由圖可知，
以此類推可得，故B對；
對于C，由上可知正確，故C對；
對于D，因為，
，
則，
所以根據(jù)乘法規(guī)則的展開式中的系數(shù)為：
，
又，
其通項為，
因為，故展開式中的系數(shù)為0，
故，故D正確.
故選BCD.
【關鍵點撥】求證D選項的關鍵是借助展開式中的系數(shù)引出D中左式，進而借助展開式研究得證.
12．【答案】
【詳解】設黃色小球有個，則，，則，
當時，，當時，，所以的最大值為.
故答案為：
13．【答案】
【詳解】解：進行五輪射擊后，甲的總得分不小于3分的概率為：
.
故答案為：
14．【答案】
【詳解】設，則4位四進制數(shù)轉換為十進制為：
，
若這個數(shù)能被3整除，則能被3整除.
當這個四進制數(shù)由，，，組成時，有個；
當這個四進制數(shù)由，，，組成時，有個；
當這個四進制數(shù)由，，，組成時，有個；
這個四進制數(shù)由，，，組成時，有個；
這個四進制數(shù)都由3組成時，有1個；
當這個四進制數(shù)由，，，組成時，有4個；
當這個四進制數(shù)由，，，組成時，有個；
當這個四進制數(shù)由，，，組成時，有個；
當這個四進制數(shù)由，，，組成時，有個；
當這個四進制數(shù)由，，，組成時，有4個；
當這個四進制數(shù)由，，，組成時，有個；
當這個四進制數(shù)由，，，組成時，有個.
因為由，，，組成的4位非零四進制數(shù)共有個，
所以能被3整除的概率.
故答案為：.
15．【答案】(1)
(2)證明見解析，
【詳解】（1）如圖，記準線與軸交于點，在中，，
所以.
故拋物線.
（2）因為垂直于軸的直線與拋物線僅有一個公共點，所以必有斜率，
設，
由且，
因為位于軸同側，所以，則，
由得，所以，
又點，直線和的傾斜角互補，所以，
所以，所以，
即，解得，
所以直線恒過定點.
16．【答案】(1)適宜，
(2)分布列見解析，.
【詳解】（1）根據(jù)散點圖判斷，看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，
所以適宜作為與之間的回歸方程模型；
令，則，
，所以，
所以關于的回歸方程為.
（2）由題意，設隨機挑選一批，取出兩個魚卵，其中“死卵”個數(shù)為，則的取值為，
設“所取兩個魚卵來自第批”，所以，
設“所取兩個魚卵有個”“死卵”，
由全概率公式得：
，
，
，
所以取出“死卵”個數(shù)的分布列為：
所以，
所以取出“死卵”個數(shù)的數(shù)學期望為.
【關鍵點撥】運用全概率公式的一般步驟：
求出樣本空間Ω的一個劃分B1，B2，?,Bn；
求PBi(i=1，2，?，n)；
求PA|Bi(i=1，2，?，n)；
求目標事件的概率PA.
由以上可知事件A發(fā)生的概率是各原因Bi(i=1，2，?，n)引起A發(fā)生的概率的總和，即PA=i=1nP(Bi)PA|Bi.
17．【答案】(1)
(2).
【詳解】（1）由題可知，，，兩兩垂直，
翻折前，因為經(jīng)過的重心，且，
所以，
所以，，，
翻折后，
由勾股定理得，
以為原點，直線，，分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，，
可得，，.
設平面的法向量為，
則
令，則，，可得.
設平面的法向量為，
則
令，則，，可得.
可得，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
（2）由（1）可知，，，
設平面的法向量為，
則
令，則，，可得.
且，
因為直線與平面所成角為，
則，當且僅當時等號成立，
所以的最大值為.
18．【答案】(1)分布列見解析，，
(2)（i），（ii）答案見解析
【分析】（1）由題意可知，利用二項分布求解即可求得期望，根據(jù)互斥事件的和事件的概率公式求解；
（2）（i）先寫出升級改造后單位時間內產(chǎn)量的分布列cngestin求出設備升級后單位時間內的利潤，即為；
（ii）分類討論求出與的關系，做差比較大小即可得出結論.
【詳解】（1）因為，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的可能取值為0，1，2，3；
因為每個元件的工作相互獨立，且正常工作的概率均為，
所以，
所以，
，
，
所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的分布列為
控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的數(shù)學期望為，
；
（2）（i）升級改造后單位時間內產(chǎn)量的分布列為
所以升級改造后單位時間內產(chǎn)量的期望為；
所以
設備升級后單位時間內的利潤為，即；
（ii）因為控制系統(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)，若增加2個元件，
則第一類：原系統(tǒng)中至少有個元件正常工作，
其概率為；
第二類：原系統(tǒng)中恰好有個元件正常工作，新增2個元件中至少有1個正常工作，
其概率為；
第三類：原系統(tǒng)中有個元件正常工作，新增2個元件全部正常工作，
其概率為；
所以
，
則，
所以當時，，單調遞增，
即增加元件個數(shù)設備正常工作的概率變大，
當時，，
即增加元件個數(shù)設備正常工作的概率沒有變大，
又因為，
所以當時，設備可以通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數(shù)來提高利潤；
當時，設備不可以通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數(shù)來提高利潤．
【點睛】關鍵點點睛：分析增加2個元件后，分三類求解，求出是解題的難點與關鍵.
19．【答案】(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）
【詳解】（1）由題意可知橢圓滿足，
故.
（2）（i）由測量數(shù)據(jù)可得，，
故，，墻壁所在直線，
易知直線斜率存在，設，可得，
設切線，聯(lián)立，
則，
相切可得，
則，
則，
切點，
，
故，，，，
故，則.
（ii）設動點Px0,y0，則，不妨設過Px0,y0點的兩條切線法向量為，
過點的兩條切線法向量為，均為非零向量，
故切線方程為和，
則滿足和.
由此可知兩組切線分別對應平行，四邊形是平行四邊形，過圓心做一組鄰邊的垂線，垂足為,
由于關于原點對稱，故也關于原點對稱，又,
故故，故平行四邊形是菱形.
下面研究菱形的面積：
過作PR的垂線GH，則，由（i）可知,故，
設，則有：，解得，則，
其中的取值范圍是，
設，在上是單調函數(shù)，
故的取值范圍是.X
0
1
2
3
P
a
5a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
360
男生
女生
合計
喜歡冰雪運動
不喜歡冰雪運動
合計
0
1
2
0
1
2
3
產(chǎn)量
0
設備運行概率
產(chǎn)品類型
高端產(chǎn)品
一般產(chǎn)品
產(chǎn)量（單位：件）
利潤（單位：元）
2
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