1.若a,b,c為空間的一個(gè)基底，則下列各項(xiàng)中能構(gòu)成基底的一組向量是( )
A. a+c,a?b,b+cB. c,a+b,a?b
C. a,a+b,?5bD. a+b,a+b+c,13c
2.在數(shù)列an中，a1=1，an+1=an+2n?1，則a7=( )
A. 43B. 46C. 37D. 36
3.已知直線y=2x是雙曲線C:y24?x2b2=1(b>0)的一條漸近線，則C的離心率等于( )
A. 52B. 32C. 5D. 52或 5
4.已知直線l1:x+2ay?1=0和直線l2:3a?1x?ay?1=0，則“l(fā)1//l2”是“a=16”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
5.三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，其中PA⊥平面ABC，?ABC是正三角形，PA=2BC=4，則該球的表面積是( )
A. 8π3B. 16π3C. 32π3D. 64π3
6.如圖，二面角α?l?β的大小為π3，點(diǎn)A，B分別在半平面α，β內(nèi)，AC⊥l于點(diǎn)C，BD⊥l于點(diǎn)D.若AC=5，BD=6，AB=2 15.則CD=( )
A. 112B. 6C. 29D. 30
7.直線l:mx?y+2?2m=0與圓C:(x?2)2+(y?4)2=8相交所形成的長度為整數(shù)的弦的條數(shù)為( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
8.已知一個(gè)各項(xiàng)非零的數(shù)列an滿足an+1=an2?an且an+1>ann∈N?，則a1的取值范圍是( )
A. ?∞,0B. ?∞,?1
C. 1,+∞D(zhuǎn). ?∞,0∪1,+∞
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.首項(xiàng)為正數(shù)，公差d≠0的等差數(shù)列an，其前n項(xiàng)和為Sn，則下列命題中正確的有( )
A. 若d>0，則an是嚴(yán)格增數(shù)列
B. 數(shù)列Snn一定是等差數(shù)列
C. 若S120)的焦點(diǎn)，且與C交于M,N兩點(diǎn)，若直線l為C的準(zhǔn)線，則( )
A. p=4B. MN=163
C. ?OMN為等邊三角形D. 以MN為直徑的圓與l相切
11.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2 2，點(diǎn)P為正方形BB1C1C(含邊界)內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過棱BB1的中點(diǎn)E作該正方體的截面α，滿足A1C⊥α,α與棱C1D1和棱AD分別交于F,G兩點(diǎn)，則( )
A. 三棱錐A1?ADP的體積為定值
B. 直線FG與BB1所成角的正切值為 22
C. 截面α的面積為3 3
D. 當(dāng)AP=2 423時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長度為2 69π
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，直線AC和直線BC1所成的角為 ．
13.設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S8=?3,S12=7S4，則S16= ．
14.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2=1(a>1)，右頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為B，設(shè)點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，?PAB的面積的最大值為2，則a的值為 ；若已知點(diǎn)M? 3,0,N 3,0點(diǎn)Q為橢圓上任意一點(diǎn)，則1QN+2+12QM的最小值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知圓C的圓心在直線y=?2x上，并且經(jīng)過點(diǎn)P(0,?1)，與直線x?y?1=0相切．
(1)求圓C的方程；
(2)經(jīng)過點(diǎn)(2,1)的直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=2，求直線l的方程．
16.(本小題12分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．
(1)求證：PB⊥平面EFD；
(2)若平面PBC與平面PBD的夾角的正弦值為 155，
(i)求AD長；
(ii)求直線PC與平面DEF所成角的正弦值．
17.(本小題12分)
一動(dòng)圓與圓O1:x2+y2+6x+5=0外切，同時(shí)與圓O2:x2+y2?6x?91=0內(nèi)切．
(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程；
(2)記(1)所求軌跡方程對(duì)應(yīng)的曲線為E，點(diǎn)P為曲線E上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為1,0，求點(diǎn)P到點(diǎn)M距離的最小值，并給出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
18.(本小題12分)
已知數(shù)列an是等差數(shù)列，正項(xiàng)數(shù)列bn是等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和．a(chǎn)1=3，b1=2,b3+S2=16,a5?b2=a3．
(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；
(2)若λbn≥2lg2bn+3對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值；
(3)若cn=2Sn,n為奇數(shù)bn,n為偶數(shù)，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn．
19.(本小題12分)
現(xiàn)有一雙曲線Γ:x2a2?y2b2=1,F1?2,0和F22,0分別為Γ的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，P是雙曲線Γ上一動(dòng)點(diǎn)，PF1PF2的最大值為3．
(1)求雙曲線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)M是Γ的右頂點(diǎn)，過F1的直線交雙曲線左支于A,B兩點(diǎn)，
(i)求直線MA與直線MB的斜率之積；
(ii)判斷1AF1+1BF1是否是定值，并給出理由．
參考答案
1.B
2.C
3.A
4.B
5.D
6.C
7.C
8.A
9.ABD
10.BD
11.ABD
12.π3
13.?15
14.2 ；3+2 212
15.解：(1)設(shè)圓C的方程為(x?a)2+(y?b)2=r2(r>0)，
由已知得b=?2aa2+(?1?b)2=r2,|a?b?1| 2=r,
解得a=1，b=?2，r= 2，
所以圓C的方程為(x?1)2+(y+2)2=2，即x2+y2?2x+4y+3=0；
(2) ①若直線l的斜率存在，可設(shè)l的方程為y?1=k(x?2)，即kx?y+(1?2k)=0，
由已知，則圓心C(1,?2)到直線l的距離|k+2+(1?2k)| k2+1= ( 2)2?(22)2，
解得k=43，此時(shí)，直線l的方程為y?1=43(x?2)，即4x?3y?5=0；
②若直線l的斜率不存在，則l的方程為x=2，將其代入(x?1)2+(y+2)2=2，
可得y=?1或y=?3，即得A(2,?1)，B(2,?3)，滿足條件|AB|=2，
綜上所述，直線l的方程為4x?3y?5=0或x=2．
16.(1)以D為原點(diǎn)，DA,DC,DP所在直線分別為x軸?y軸?z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AD=a，則P0,0,1,E0,12,12,Aa,0,0,Ba,1,0．
因?yàn)镻B=a,1,?1,DE=0,12,12，
故PB?DE=0+12?12=0，所以PB⊥DE．
由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，EF,DE?平面EFD．
所以PB⊥平面EFD．
(2)(i)設(shè)平面PBC的法向量m=x,y,z，因?yàn)镻C=0,1,?1，
所以m?PB=0m?PC=0，所以ax+y?z=0y?z=0，令y=1，得m=0,1,1；
設(shè)平面PBD的法向量n=x1,y1,z1，
所以n?DP=0n?DB=0，所以ax1+y1=0z1=0，令x1=1，得n=1,?a,0；
設(shè)平面PBC與平面PBD的夾角為α，則csα=csm,n=a 2a2+1，
因?yàn)閟inα= 155，所以csα= 105，所以a 2a2+1= 105，
解得a=2(取正)，所以AD長為2．
(ii)由(1)可知PB⊥DF，故∠PEF是直線PC與平面DEF所成角的一個(gè)平面角，
在直角?PBC中，cs∠BPC=PCPB= 2 6= 33，
又Rt?PEF～Rt?PBC，則∠PEF與∠BPC互余，
所以sin∠PEF=cs∠BPC= 33，即直線PC與平面DEF所成角的正弦值為 33．

17.(1)設(shè)動(dòng)圓圓心為Mx,y，半徑為R，
設(shè)圓x2+y2+6x+5=0和圓x2+y2?6x?91=0的圓心分別為O1,O2，
將圓的方程分別配方得：圓O1:(x+3)2+y2=4，圓O2:(x?3)2+y2=100
當(dāng)動(dòng)圓M與圓O1相外切時(shí)，有O1M=R+2①
當(dāng)動(dòng)圓M與圓O2相內(nèi)切時(shí)，有O2M=10?R
將①②兩式相加，得O1M+O2M=12>O1O2，
所以動(dòng)圓圓心Mx,y到點(diǎn)O1?3,0和O23,0的距離和是常數(shù)12，
所以點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)為點(diǎn)O1?3,0,O23,0，長軸長等于12的橢圓．
設(shè)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1a>b>0；橢圓的半焦距為c，
則2c=6，2a=12，
所以c=3,a=6，
所以b2=36?9=27，
所以動(dòng)圓圓心軌跡方程為x236+y227=1．
(2)根據(jù)題意得：設(shè)Px,y,PM= (x?1)2+y2，
因?yàn)辄c(diǎn)Px,y在橢圓上，所以x236+y227=1，故y2=271?x236，
所以PM= 14(x?4)2+24,?6≤x≤6，
所以當(dāng)x=4時(shí)，PM最小值為2 6，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為4, 15或4,? 15．

18.(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，
∵a1=3,b1=2，b3+S2=16,a5?b2=a3，
∴2q2+6+d=163+4d?2q=3+2d，解得d=2q=2或d=?52q=?52,
∵bn>0，∴d=2,q=2，故an=3+2n?1=2n+1,bn=2n．
(2)∵λbn≥2lg2bn+3對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，
∴λ≥2n+32n對(duì)任意正整數(shù)n恒成立．
令fn=2n+32n，則λ≥fnmax，
∵fn+1?fn=2n+1+32n+1?2n+32n=?1+2n2n+10，
所以根據(jù)韋達(dá)定理可得y1+y2=12m3m2?1,y1y2=93m2?1，
∵kMA=y1x1?1,kMB=y2x2?1，
∴kMA?kMB=y1y2my1?3my2?3=y1y2m2y1y2?3my1+y2+9，
∴kMA?kMB=93m2?19m23m2?1?36m23m2?1+9=?1．
(ii)1AF1+1BF1=23是定值，理由如下，設(shè)Bx2,y2,Ax1,y1，
直線AB為x=my?2m2≠13，聯(lián)立直線AB方程和雙曲線方程可得x=my?2,x2?y23=1,
化簡得3m2?1y2?12my+9=0，
根的判別式Δ=144m2?363m2?1=36m2+1>0，
所以根據(jù)韋達(dá)定理可得y1+y2=12m3m2?1,y1y2=93m2?1，
所以y1?y2= y1+y22?4y1y2=6 m2+13m2?1，
所以1AF1+1BF1=AF1+BF1AF1BF1= 1+m2y1?y2 1+m2y1 1+m2y2
=1 1+m2?y1?y2y1y2=1 1+m2?6 m2+13m2?193m2?1=23．

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