2025年蘭州市高三診斷考試
數(shù)學(xué)試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題（本題共8 小題，每小題5分，共 40 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)

1. B 2. A 3.D 4.B 5. C 6.A 7.D 8. A

8.【解析】設(shè)雙曲線的方程為 x2a2?y2b2=1,因?yàn)殡p曲線 C 的焦點(diǎn)為 F1(?7,0),F2(7,0),

所以 c=7

(1)當(dāng)過點(diǎn) F2的直線與雙曲線 C 右支交于 A,B兩點(diǎn)如圖1所示.

由 |BF2|=2|F2A|,|AB|=|AF1|,設(shè) |BF2|=2|F2A|=2t,

則 |AB|=|AF1|=3t,由雙曲線的定義知

∴|AF1|?|AF2|=3t?t=2t=2a,所以 t=a,|BF1|=4a

在 ΔBAF1中 |AB|=|AF1|=3a,|BF1|=4a,

cs∠F1AB=(3a)2+(3a)2?(4a)22×3a×3a=19,在 ΔF2AF1 圖1
|F1F2|2=|F1A|2+|F2A|2?2|F1A|·|F2A|cs∠F1AF2
即 28=9a2+a2?2×3a2×19,解得 a2=3,b2=c2?a2=4,
所以雙曲線 C的方程為 x23?y24=1, 雙曲線的漸近線方程為 y=±233x.
(2))當(dāng)過點(diǎn) F2的直線與雙曲線 C兩支交于 A,B兩點(diǎn)如圖2 所示由 |BF2|=2|F2A|,|AB|=|AF1|,得 |AB|=|AF1|=|AF2|,與雙曲線定義不符，故此種情況不成立.
綜合(1)(2)兩種情況：雙曲線的漸近線方程為 y=±233x,選A.
圖2





二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得3分，有選錯(cuò)的得0分)

9. ABD 10. BC 11. AD

11.【解析】

由于 x∈(0,+∞), x?1000100000時(shí) x00001?1000,x10001?1000x100時(shí)， 1001x>1000x+100, 故當(dāng) x>100110000時(shí)， x0.0001>1001,

x10001>1001x>1000x+100,

故必有 x0∈(100010000,100110000),使 x10001=1000x+100,因此 A正確，B錯(cuò)誤.

對于任意正數(shù) N>1, 當(dāng) x>(1001N)10000>100時(shí)，
x10001>[(1001N)10000]00001·x=N·1001x>N(1000x+100),
取 a=(1001N)10000,當(dāng) x∈(a,+∞)時(shí)，對于任意大于1的正實(shí)數(shù) N,g(x)?Nf(x)因此 D 正確，而當(dāng) N=2時(shí) a=(2002)10000,故C錯(cuò)誤.

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12. 43 13. 3 14. 2π3
14.【解析】正方體 ABCD?A1B1C1D1的中心是內(nèi)切球球心，設(shè)為 O,O到平面 A1BD的距離為 d,A到平面 A1BD的距離為 d1=13×23,d=|OA|?d1=3?233=33,正方體內(nèi)切球半徑 R=1, 正方體內(nèi)切球被平面 A1BD截球面所得的截面是一個(gè)圓半徑 r為的圓， r=R2?d2=63, 所以圓的面積為 2π3.

四、解答題（本大題共 5 小題，共 77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明,證明過程或演算步驟）

15.【解析】(1)證明： AE=BE2?AB2=2,DE=1,因?yàn)?∴DF=1

所以 ∴AC//EF,AC平面 B1EF,EF?平面 B1EF,

所以 AC//平面 B1EF……………………,6}






(2)如圖所示：以 D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 DA所在直線為 x 軸，以 DC所在直線為 y 軸，以 DD1所在直線為 = 軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則三棱錐 B1?BEF的體積 V=13S△BEF·DD1=13×52×DD1=52,解得 DD1=3



設(shè)平面 BEF的法向量為 n,則 n?EB→,n?EF→?{2x+3y+3z=0?x+y=0.,得 n=(3,3,?5)則
B(3,3,0),B(3,3,3),E(1,0,0),F(0,1,0),BB1→=(0,0,3),EB→=(2,3,3),∴EF→=(?1,1,0)
設(shè)直線 BB1與平面 B1EF所成角為 θ,則 sinθ=|n·BB1→||n|·|BB1→|=54343
所以直線 BB1與平面 B1EF所成角的正弦值 54343…………….3分
16.【解析】(1)設(shè)事件 Ai(i可取1，2，3，4)表示第 i 次抽到春季卡， Bj(j可取 1，2

3，4)表示第 j一次抽到夏季卡，事件 C 表示抽3次即獲獎(jiǎng)，則 C=B1B2B3,

∴P(C)=P(B1B2B3)=P(B1)P(B2∴B1)P(B3∴B1B2)，所以
P(B1B2B3)=C31C61×C21C61×C11C61=12×13×16=136,…………….5分
(3)設(shè)事件 D表示獲獎(jiǎng)，則 ∴D=(B1B2B3)∪(A1B2B34∴B(B1A23B4)∪(B12B23∴B4),

且 B1B2B3,A1B2B3B4,B1A2B3B4,B1B2A3B4為互斥事件，
∴P(D)=P(B1B2B3)+P(A1B2B3∴)+P(B1A2B3B4)+P(B1B2A3B4),由(1) P(B1B2B3)=136,
P(A1B2B3B4)=C31C61×C31C61×C21C61×C11C61=12×12×13×16=172,
P(B1A2B3B4)=C31C61×C41C61×C21C61×C11C61=12×23×13×16=154,
P(B1B2A3B4)=C31C61×C21C61×C51C61×C11C61=12×13×56×16=5216,
P(D)=136+172+154+5216=112…………………10分





又因?yàn)閰⒓映楠?jiǎng)是否獲獎(jiǎng)相互獨(dú)立，用隨機(jī)變量 X表示參加活動獲獎(jiǎng)的人數(shù)，若促銷的30天中預(yù)計(jì)有 360 人參加活動，則 X~B(360,112),所以 E(X)=360×112=30,即估計(jì)獲獎(jiǎng)人數(shù)的平均值為30，又因?yàn)楂@獎(jiǎng)后每人獲得2套二十四節(jié)氣書簽， 30×2=60,所以商家準(zhǔn)備 60 套書簽作為獎(jiǎng)品較為合理.…… 分
17.【解析】(1)若焦點(diǎn)在 x 軸，可知 b=2,a=2c,解得 a=2,c=2,
所以橢圓的方程為 x24+y22=1.
若焦點(diǎn)在 y軸，可知 a=2,a=2c,解得 a=2,c=1,

所以橢圓的方程為 y22+x2=1.…………………6∴……………………………………………………………………分

(2)若焦點(diǎn)在 x 軸，橢圓的方程為 x24+y22=1,證明如下：

若直線 AB斜率不存在，則 B在 y軸上，顯然滿足題意：
若直線 AB斜率存在，設(shè)直線 AB的方程為 y=kx+2(k≠0),
由 {x2+2y2=4y=kx+2.得， (1+2k2)x2+42kx=0,可得 B(?42k1+2k2,2?22k21+2k2),
由于直線 BQ的斜串為 kBQ=2?22k2+321+2k2?42k1+2k2=?k2+1k,
由 {x2+2y2=4y=?k2+1kx?32.得， 2k4+5k2+2k2x2+122(k2+1)kx+32=0,
即 (2k2+1)(k2+2)k2x2+122(k2+1)kx+32=0,可得 C(?42kk2+2,2k2?22k2+2),
所以直線 AC的斜率 kAC=2k2?22?2k2+22kk2+2=?42?42k=1k





由于直線 AB:y=kx+2(k≠0)與圓相切，所以 |2k+2|1+k2=r
直線 AC:y=1kx+2,圓心到直線的距離 d=|21k+2|1+1k2=|2k+2|1+k2=r
所以直線 AC與圓 P相切，
若焦點(diǎn)在 y軸，顯然不成立，無需證明… 分

18.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列 {an}公差為 ∴d(d≠0),a1=1,a2,a4,a8成等比數(shù)列，則 a42=a2·a8,

解得 d=1,所以 an=n(n∈N?)……??………………………………………………………………………………………分
(2)證明：設(shè) f(x)=lnx?x+1,f′(x)=1x?1=0, x≥1時(shí)， f′(x)≤0,f(x)單調(diào)遞減， ∴f(x)max=f(1)=0,所以 lnx?x+1≤0,的 (1)可知 an≥1,則有 lnan?an+1≤0,所以不等式 lnan≤an?1恒成立………5分
(3)因?yàn)?(1+1b1)(1+1b2)…(1+1bn)>0所以要證 (1+1b1)(1+1b2)…(1+1bn)

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