考試時間：120 分鐘 試卷總分：150 分
一、單選題:本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是
符合題目要求的。
1. 是虛數(shù)單位，若復數(shù) 滿足 ，則 取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知命題 p： ，命題 q：直線 與拋物線 有兩個公共點，則 p 是 q 的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
3. 為慶祝廣益中學建校 130 周年，高二年級派出甲?乙?丙?丁?戊 5 名老師參加“130 周年辦學成果展”活動，
活動結束后 5 名老師排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有（ ）
種.
A. 40 B. 24 C. 20 D. 12
4. 若過點 的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線 的距離為( )
A. B. C. D.
5. 公元前四世紀，畢達哥拉斯學派對數(shù)和形的關系進行了研究，他們借助幾何圖形（或格點）來表示數(shù)，
稱為形數(shù)，形數(shù)是聯(lián)系算數(shù)和幾何的紐帶；下圖為五角形數(shù)的前 4 個，現(xiàn)有如下說法：①第 9 個五角形數(shù)
比第 8 個五角形數(shù)多 25；②前 8 個五角形數(shù)之和為 288；③記所有的五角形數(shù)從小到大構成數(shù)列 ，則
的前 20 項和為 610；則正確的個數(shù)為（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6．對于給定的正整數(shù) ，設集合 ， ，且 ? ．記 為集合 中的最大元素，
當取遍 的所有非空子集時，對應的所有 的和記為 ，則 （ ）
A． B．
C． D．
7. 圖為世界名畫《蒙娜麗莎》.假設蒙娜麗莎微笑時的嘴唇可看作半徑為 的圓 的一段圓弧 ，且弧 所
對的圓周角為 .設圓 的圓心 在點 與弧 中點的連線所在直線上.若存在圓 滿足：弧 上存在四
點滿足過這四點作圓 的切線，這四條切線與圓 也相切，則弧 上的點與圓 上的點的最短距離的取值
范圍為（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知直線 是圓 的一條對稱軸，設直線 與 軸的交點為 ，
將直線 繞點 按順時針方向旋轉 得到直線 ，則直線 被圓 截得的弦長為（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
二、多選題:本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目
要求。全部選對的得 6 分，有選錯的得 0 分，部分選對的得部分分。
9. 在正方體 中， 分別為棱 的中點，動點 平面 ，
，則下列說法正確的是（ ）
A. 的外接球面積為 B. 直線 平面
C. 正方體被平面 截得的截面為正六邊形 D. 點 的軌跡長度為
10. 設函數(shù) ，如圖是函數(shù) 及其導函數(shù) 的部分圖像，
則（ ）
A.
B.
C. 與 y 軸交點坐標為
D. 與 的所有交點中橫坐標絕對值的最小值為
11. 已知拋物線 的焦點為 ，準線為 ，過拋物線 上一點 作 的垂線，垂足為 ，則下列
說法正確的是（ ）
A. 準線 的方程為
B. 若過焦點 的直線交拋物線 于 兩點，且 ，則
C. 若 ，則 的最小值為 3
D. 延長 交拋物線 于點 ，若 ，則
三.填空題:本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 在同一平面直角坐標系 中，曲線 所對應的圖形經(jīng)過伸縮變換 得到圖形
.點 在曲線 上，則點 到直線 的距離的最小值為____________.
13. 若函數(shù) 的圖象關于直線 對稱，則實數(shù) _______．
14. 的展開式中所有有理項的系數(shù)之和為__________.
四.解答題:本題共 5 小題，共 77 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（13 分）設數(shù)列 的前 項和為 ，且 .
（1）求 ；
（2）記 ，數(shù)列 的前 項和為 ，求 .
16．（15 分）已知函數(shù) 其中 為常數(shù)，設 為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）當 時，求曲線 在點 處的切線方程；
（2）是否存在實數(shù) ，使得 在區(qū)間 上的最大值為 ？若存在，求出求 的值，若不存在，請
說明理由.
17.（15 分）記 的內角 的對邊分別是 ，已知 的外接圓半徑 ，
且
（1）求 和 的值；
（2）求 面積的最大值．
18.（17 分）已知 為坐標原點，橢圓 的左?右焦點分別為 ，直線 與
橢圓 交于 兩點，當 的周長取得最大值 8 時， .
（1）求橢圓 的標準方程；
（2）過點 作斜率存在且不為 0 的直線 交橢圓 于 兩點，若 ，直線 與直線 交于
點 ，記直線 的斜率分別為 ，試判斷 是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說
明理由.
19.（17 分）已知函數(shù) .
（1） 是 的導函數(shù)，求 的最小值；
（2）證明：對任意正整數(shù) ，都有 （其中 為自然對數(shù)
的底數(shù)）
2025 年春季學期甘肅省蘭州第一中學高三開學診斷考試
數(shù)學參考答案
一、單選題:
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B A C D D C
二.多選題:
題號 9 10 11
答案 ABC AD BCD
三. 填空題:
12. 13. 14.
四.解答題:
15.【答案】（1）
（2）
【小問 1 詳解】
由 ，
當 時， ，解得 ，
當 時， ，
所以 ，
整理得： ，①
所以有 ，②
①-②可得 ，
所以 為等差數(shù)列，
（ ）股份有限公司 — 1 —
因為 ，所以公差為 ，
所以 .
【小問 2 詳解】
，
∴
.
16.【答案】（1）
（2）不存在，理由見解析.
【小問 1 詳解】
當 時， ， ， ，
， ，
所以曲線 在點 處的切線方程為 ，即 .
【小問 2 詳解】
假設存在實數(shù) ，使得 在區(qū)間 上的最大值為 ，
因為 ， ， ，
若 ，則 在區(qū)間 上恒成立， 在區(qū)間 上單調遞增，此時 在區(qū)間 上無
最大值；故 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
則函數(shù) 在 上單調遞增，在 上單調遞減，
因為函數(shù) 在開區(qū)間 上有最大值為 ，所以 ，即 ，
所以函數(shù) 在 上單調遞增，在 上單調遞減，
所以 ，得 ，
又 ，所以 不成立，
故不存在實數(shù) ，使得 在區(qū)間 上的最大值為 .
17.【答案】（1） ，
（2） 面積的最大值為
【小問 1 詳解】
因為 ，所以
即
故
因為 ，所以
又 ，所以 ，因為 ，所以
由正弦定理得 ，則
【小問 2 詳解】
由余弦定理 ，得
由基本不等式得 ，
當且僅當 時取等號，
所以
所以
故 面積的最大值為
18.【答案】（1）
（2） 為定值，值為 1.
有限公司 — 3 —
）股份
【小問 1 詳解】
如圖，當直線 與橢圓 相交于 兩點，與 軸交于 點時，
連接 ，由橢圓定義可知 ，顯然 ，
同理可知， ，顯然 ，
所以當直線 經(jīng)過焦點 時， 的周長最大，
最大值為 ，所以 .
此時 ，則 ，
即 .
所以橢圓 的標準方程為 .
【小問 2 詳解】
設直線 的方程為 ，與橢圓 方程聯(lián)立得 ，
設 ，則 ，
可得 ，
又 ，所以直線 的方程為 ，
令 ，得 ，
，
所以 為定值，值為 1.
19. 【答案】（1）0
（2）證明見解析.
【小問 1 詳解】
由題意， ，
，
，
令 ，解得 ，
又 時， 時， ，
所以 在 上單調遞減，在 單調遞增，
，即 的最小值為 0.
【小問 2 詳解】
證明：由（1）得， ，
可知 ，當且僅當 時等號成立，
京 股份有限公司 — 5 —
令 ，則 .
，
即 ，
也即 ，
所以 ，
故對任意正整數(shù) ，都有 .

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