一、單選題（本大題共8小題）
1．集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．雙曲線的漸近線方程為，則的關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
4．圓柱的母線長為4，底面半徑為2，該圓柱的體積為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，在平面四邊形中，，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，且，，，則（ ）
A．3B．1C．2D．4
6．為了分析某次數(shù)學(xué)模擬考試成績，在90分及以上的同學(xué)中隨機(jī)抽取了100名同學(xué)的成績，得到如下成績分布表：
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．所抽取的100名同學(xué)的成績的中位數(shù)小于120
B．所抽取的100名同學(xué)的成績低于130所占比例超過
C．所抽取的100名同學(xué)的成績的極差不小于40且不大于60
D．所抽取的100名同學(xué)的成績的平均分?jǐn)?shù)介于100至110之間
7．已知曲線，從曲線上任意一點(diǎn)向軸作垂線，垂足為，且，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A．B．C．D．
8．函數(shù)結(jié)構(gòu)是值得關(guān)注的對象為了研究的結(jié)構(gòu)，兩邊取對數(shù)，可得，即，兩邊取指數(shù)，得，即，這樣我們就得到了較為熟悉的函數(shù)類型結(jié)合上述材料，的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（ ）
A．與有相同的零點(diǎn)B．與有相同的最大值
C．與最小正周期不相同D．與的圖象存在相同的對稱軸
10．泰戈?duì)栒f過一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無法相依，而是相互瞭望的星星；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓．已知點(diǎn)，直線，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到直線的距離的2倍，若某直線上存在這樣的點(diǎn)，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．點(diǎn)的軌跡方程是
B．直線是“最遠(yuǎn)距離直線”
C．圓的方程為：，其上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為
D．點(diǎn)的軌跡與圓是沒有交匯的軌跡（也就是沒有交點(diǎn)）
11．已知函數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值
B．過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且僅有一條
C．當(dāng)時(shí)，若是與的等差中項(xiàng)，直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，則
D．當(dāng)時(shí)，若，則
三、填空題（本大題共3小題）
12．設(shè)數(shù)列滿足，且，則 ．
13．在中內(nèi)角的對邊分別為，已知，則 ．
14．在如圖的的方格表中隨機(jī)選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則事件“選中方格中的4個(gè)數(shù)之和為”的概率為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．階行列式是一種二階方陣的行列式，其計(jì)算方法如下：，函數(shù)，（其中），若，函數(shù)的最小正周期為．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)中，若，為銳角，三個(gè)內(nèi)角分別對應(yīng)邊，面積為，則的最小值為？
16．已知函數(shù).
(1)若，求曲線在處的切線方程；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
17．如圖，在直三棱柱中，．
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
18．現(xiàn)市場上治療某種疾病的藥品有兩種，其治愈率與患者占比如表所示，為試驗(yàn)一種新藥，在有關(guān)部門批準(zhǔn)后，某醫(yī)院把此藥給100個(gè)病人服用．設(shè)藥的治愈率為，且每位病人是否被治愈相互獨(dú)立．
(1)記100個(gè)病人中恰有80人被治愈的概率為，求的最大值點(diǎn)；
(2)設(shè)用新藥的患者占比為（藥品減少的患者占比，均為新藥增加占比的一半，，以（1）問中確定的作為的值，從已經(jīng)用藥的患者中隨機(jī)抽取一名患者，求該患者痊愈的概率（結(jié)果用表示）
(3)按照市場預(yù)測，使用新藥的患者占比能達(dá)到以上，不足的概率為，不低于且不超過的概率為，超過的概率為，某藥企計(jì)劃引入藥品的生產(chǎn)線，但生產(chǎn)線運(yùn)行的條數(shù)受患者占比的影響，關(guān)系如下表：
若某條生產(chǎn)線運(yùn)行，年利潤為1000萬，若某條生產(chǎn)線未運(yùn)行，年虧損300萬，欲使該藥企生產(chǎn)藥品的年總利潤均值最大，應(yīng)引入幾條生產(chǎn)線？
19．如圖所示，已知?jiǎng)訄A與直線相切，并與定圓相內(nèi)切．
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；
(2)過原點(diǎn)作斜率為1的直線交曲線于（為第一象限點(diǎn)），又過作斜率為2的直線交曲線于，再過作斜率為4的直線交曲線于，…，如此繼續(xù)，過作斜率為的直線交曲線于，設(shè)．
①令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
②數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大?。?br>參考答案
1．【答案】D
【詳解】因?yàn)榧?，，則.
故選：D.
2．【答案】A
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，位于第一象限.
故選：A.
3．【答案】A
【詳解】由題意得，
因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，
所以.
故選：A.
4．【答案】C
【詳解】因?yàn)閳A柱的母線長為4，底面半徑為2，所以圓柱的體積為.
故選：C.
5．【答案】C
【詳解】在平面四邊形中，，可以建立如圖平面直角坐標(biāo)系，
，，設(shè)，
因?yàn)椋?，解得，所以?br>又，所以，所以，，
所以．
故選：C．
6．【答案】C
【詳解】對于A選項(xiàng)，根據(jù)人數(shù)分布可知，所以所抽取的100名同學(xué)的成績的中位數(shù)不小于120，所以A選項(xiàng)不正確；
對于B選項(xiàng)，所抽取的100名同學(xué)的成績低于130的人數(shù)為，
故所抽取的名同學(xué)的成績低于所占比例低于，所以B選項(xiàng)不正確；
對于C選項(xiàng)，所抽取的100名同學(xué)的成績的極差最大值為，極差最小值大于，所以C選項(xiàng)正確；
對于D選項(xiàng)，成績的平均分?jǐn)?shù)，所以D選項(xiàng)不正確，
故選：C.
7．【答案】A
【詳解】設(shè)點(diǎn)，由軸于點(diǎn)，且，得，則，
又點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，因此，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
故選：A
8．【答案】C
【詳解】因?yàn)?，兩邊取對?shù)，可得，即，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，
∴，
∴，，的最小值為，
故選：C.
9．【答案】BCD
【詳解】因?yàn)椋?br>，
對于A選項(xiàng)，對于函數(shù)，由，可得，
對于函數(shù)，由，可得，
故函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，
所以，函數(shù)、沒有相同的零點(diǎn)，A錯(cuò)；
對于B選項(xiàng)，的最大值為，的最大值為，故與的最大值相同，B對；
對于C選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，
這兩個(gè)函數(shù)的最小正周期不同，C對；
對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，?br>所以，函數(shù)與的圖象存在相同的對稱軸，D對.
故選：BCD.
10．【答案】AC
【詳解】對于A，設(shè)，則有，整理可得，
故點(diǎn)的軌跡方程是，故A正確；
對于B，由點(diǎn)的軌跡方程是知，雙曲線的漸近線為，
可得直線為其一條漸近線，故直線與點(diǎn)的軌跡方程沒有交點(diǎn)，
則直線不是“最遠(yuǎn)距離直線”，故B錯(cuò)誤；
對于C，圓的方程為：，其圓心，半徑為，
由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可知，，又即，
根據(jù)點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系可得，
故，故C正確；
對于D，聯(lián)立圓與點(diǎn)的軌跡方程，有，可得，
，故點(diǎn)的軌跡與圓有交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11．【答案】BCD
【詳解】由得，
對于A，當(dāng)時(shí)，則有，
所以當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，
此時(shí)函數(shù)沒有兩個(gè)極值，故A錯(cuò)誤；
對于B，設(shè)過點(diǎn)且與曲線相切于點(diǎn)，
則斜率為，可得切線方程為，
代入得，整理得，
令，則，令得或，
令得，所以在和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，又，，，
所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程只有一個(gè)解，
所以過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且僅有一條，故B正確；
對于C，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，
所以直線即為直線，即，
該直線過定點(diǎn)，且此點(diǎn)在曲線上，
又，令得或，
令得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由題意作出函數(shù)的示意圖，
設(shè)函數(shù)的對稱中心為，則，即，
整理得，
所以，解得，
所以函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，設(shè)，
則有，所以，故C正確；
對于D，當(dāng)時(shí)，，則，
令得或，令得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，作出作出函數(shù)的示意圖
所以在上單調(diào)遞減，所以，即，
令，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
所以，所以，即，故D正確.
故選：BCD.
12．【答案】4
【詳解】由以及可得，
故，
故答案為：4
13．【答案】3
【詳解】由可得,
故,
,
由正弦定理可得，
故答案為：3
14．【答案】/0.125
【詳解】在如圖的的方格表中隨機(jī)選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，
則所有的可能為：,
,
，
，共24種可能；
其中滿足“選中方格中的4個(gè)數(shù)之和為”的可能為：
，共3種可能；
故所求為.
故答案為：.
15．【答案】(1)
(2)4
【詳解】（1）由題知
∴
∵的最小正周期為，∴，∴
∴
（2）∵為銳角，∴
∴，∴，
∵，∴
∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值4
16．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，
則，
所以所求切線方程為，即；
（2），即，
即，即對恒成立，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以.
17．【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由題知平面，又平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
又，所以四邊形是正方形，得到，
又，平面，所以平面.
（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?br>則，
得到
平面與平面夾角為，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，
所以平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，則：，
令，則，所以平面的法向量為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
18．【答案】(1)
(2)
(3)引入兩條生產(chǎn)線
【詳解】（1）100個(gè)病人中恰好有80人被治愈的概率為，
則，
令，得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以的最大值點(diǎn)為.
（2）設(shè)事件“從患者人群中抽一名痊愈者”，事件“該患者服用藥品治療”，
事件“該患者服用藥品治療”，事件“該患者服用藥品治療”，
則
因此：
所以.
（3）設(shè)隨機(jī)變量為生產(chǎn)藥品產(chǎn)生的年利潤
①若投入1條生產(chǎn)線，由于服用藥品的患者的占比總大于，所以一條生產(chǎn)線總能運(yùn)行，
此時(shí)對應(yīng)的年利潤
②若投入2條生產(chǎn)線，當(dāng)，1條生產(chǎn)線運(yùn)行，
年利潤，當(dāng)時(shí)，2條生產(chǎn)線運(yùn)行，
年利潤，
此時(shí)的分布列如下：
所以；
③若投入3條生產(chǎn)線，當(dāng)時(shí)，1條生產(chǎn)線運(yùn)行，
年利潤 ，
當(dāng)時(shí)2條生產(chǎn)線運(yùn)行，年利潤，
當(dāng)時(shí)，3條生產(chǎn)線運(yùn)行，年利潤，
此時(shí)的分布列如下：
所以
綜上所述，欲使該藥企生產(chǎn)藥品的年度總利潤均值最大，應(yīng)引入兩條生產(chǎn)線.
19．【答案】(1)
(2)①證明見解析；②答案見解析．
【詳解】（1）方法1：由題意知，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，
由拋物線定義知，點(diǎn)軌跡是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
其軌跡方程為．
方法2：設(shè)，動(dòng)圓的半徑為，
由題意知：，
所以，
由題意知，∴，即
所以動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為.
（2）①設(shè)，則，
又因?yàn)橹本€的斜率為，有，
所以，即，
所以，
所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列；
②由①知，，
所以，下面只要比較與的大?。?br>當(dāng)時(shí)，，有；
當(dāng)時(shí)，，有；
當(dāng)時(shí)，，有；
猜測當(dāng)時(shí)，時(shí)，．
利用二項(xiàng)式定理，得
，
所以時(shí)，，即：，
所以．
綜上：當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)且時(shí)，.分?jǐn)?shù)區(qū)間
人數(shù)
14
16
18
30
20
2
11
13
13
15
20
22
23
24
31
32
33
35
41
42
42
44
A
B
C（新藥）
治愈率
患者占比
患者占比
最多投入生產(chǎn)線條數(shù)
1
2
3
700
2000
400
1700
3000

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