2024-2025學(xué)年四川省內(nèi)江六中創(chuàng)新班高一（下）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

這是一份2024-2025學(xué)年四川省內(nèi)江六中創(chuàng)新班高一（下）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案），共9頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1.設(shè)i為虛數(shù)單位，a，b∈R，且a+bi=2i(1+i)，則a+b=( )
A. ?4B. 0C. ?4iD. 4
2.設(shè)a∈R，則“a=0”是“直線x+2ay?1=0與直線(3a?1)x?ay?1=0平行”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3.在空間中，設(shè)l，m，n為三條不同的直線，α，β，γ為三個不同的平面，下列命題錯誤的是( )
A. 若m//n，n//α，m?α，則m//α
B. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，則l⊥γ
C. 若m，n在平面α內(nèi)，且l⊥m，l⊥n，則l⊥α
D. 若α⊥β，α∩β=l，m//α，m⊥l，則m⊥β
4.已知α，β(α≠β)是以x軸的非負半軸為始邊的角，終邊與以坐標原點為圓心的單位圓分別交于A，B兩點，則OA?OB=( )
A. sin(α+β)B. sin(α?β)C. cs(α+β)D. cs(α?β)
5.雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖區(qū)，地處西湖風景區(qū)南岸夕照山之上，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中國九大名塔之一，中國首座彩色銅雕寶塔.某同學(xué)為測量雷峰塔的高度AB(塔底視為點B，塔頂視為點A)，在山腳下選取了兩點C，D(其中A，B，C，D四點共面)，在點C處測得點A，B的仰角分別為60°，30°，在點D處測得點A的仰角為30°，且測得CD=72 3m，則按此法測得的雷峰塔塔高為( )
A. 68mB. 70mC. 72mD. 74m
6.如圖，已知正三角形ABC和正方形BCDE的邊長均為2，且二面角A?BC?D的大小為π3，則AC?BD為( )
A. 2? 3
B. 2+ 3
C. ?2? 3
D. ?2+ 3
7.給定一個點A和一個向量a，那么過點A，且以向量a為法向量的平面α可以表示為集合{P|a?AP=0}，即在空間直角坐標系O?xyz中，若A(x0,y0,z0)，a=(a,b,c)，設(shè)P(x,y,z)，則平面α的方程為a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0.根據(jù)以上信息，解決下面問題：已知平面β的方程為x+3y?2z+5=0，直線l是兩平面2x?3y+6=0與3y?2z+7=0的交線，則直線l與平面β所成角的正弦值為( )
A. 0B. 3 1414C. 3 2222D. 3 77154
8.已知三棱錐P?ABC的外接球O的半徑為R，且△ABC外接圓的面積為12π，若三棱錐P?ABC體積的最大值為9 32R，則該球的體積為( )
A. 1024π3B. 256π3C. 512π3D. 2048π3
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，則下列說法正確的是( )
A. BC1⊥CA1
B. BC1/?/平面ACD1
C. 直線CA1與平面ABCD所成的角為45°
D. 點D與平面ACD1的距離為2 33
10.已知α為銳角，角α，β的始邊均為x軸正半軸，終邊關(guān)于y軸對稱，則( )
A. 若α+β=π，則α=π3
B. 若sinα=35，則csβ=?45
C. 若tan(β+π4)=?13，則tanα=2
D. 若sinβ+csα=2 33，則sin2α=13
11.已知正四棱臺ABCD?A1B1C1D1的體積為76 2，AB=2A1B1=2，則( )
A. 正四棱臺的高為 22
B. AA1與平面A1B1C1D1所成的角為60°
C. 平面ABCD與平面ABB1A1夾角的正切值為 2
D. 正四棱臺外接球的表面積為10π
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.在△ABC中，AB=5，AC=7，D是BC邊的中點，則AD?BC=______．
13.已知函數(shù)f(x)=42x+2+sinπx，則f(12022)+f(22022)+…+f(40432022)=______．
14.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若tanAtanB=2，則ab+c的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題15分)
在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且滿足asinB=bsin2A．
(1)求A；
(2)若∠BAC的角平分線與BC交于點D，AD=2，b=2 3，求a+c．
16.(本小題15分)
已知⊙C的圓心在y軸上，且經(jīng)過點(3,1)和(?2 2,2)．
(1)求⊙C的標準方程；
(2)過點P(1,3)的直線l與⊙C交于A，B兩點.若|AB|=4 2，求直線l的方程．
17.(本小題15分)
已知：如圖，三角形ABC為正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2CD=2，F(xiàn)為BE的中點．
(1)求點B到平面ADF的距離；
(2)求平面BDE與平面ABC所成銳二面角的正弦值．
18.(本小題15分)
2024年政府工作報告中提出，加快新質(zhì)生產(chǎn)力，積極打造低空經(jīng)濟.某市積極響應(yīng)國家號召，不斷探索低空經(jīng)濟發(fā)展新模式，引進新型無人機開展物流運輸.該市現(xiàn)有相距100km的A，B兩集散點到海岸線l(l為直線)距離均為75 3km(如圖)，計劃在海岸線l上建造一個港口C，在A，B兩集散點及港口C間開展無人機物流運輸.由于該無人機最遠運輸距離為50 3km，需在A，B，C之間設(shè)置補能點M(無人機需經(jīng)過補能點M更換電池)，且MC⊥l，∠AMB=π2，設(shè)∠MAB=θ．
(1)求θ的范圍；
(2)求|MA|+|MB|+|MC|的取值范圍．
19.(本小題17分)
出租車幾何或曼哈頓距離(Man?attanDistance)是由十九世紀的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語，用以標明兩個點在空間(平面)直角坐標系上的絕對軸距總和.例如：在平面直角坐標系中，若A(x1,y1)，B(x2,y2)，兩點之間的曼哈頓距離d(A,B)=|x2?x1|+|y2?y1|.
(1)已知點A(1,4)，B(3,3)，求d(A,B)的值；
(2)記d(B,l)min為點B與直線l上一點的曼哈頓距離的最小值.已知點B(1,1)，直線l：x?y+2=0，求d(B,l)min；
(3)已知三維空間內(nèi)定點A(1,1,1)，動點P滿足d(A,P)=1，求動點P圍成的幾何體的表面積．
參考答案
1.B
2.A
3.C
4.D
5.C
6.A
7.D
8.B
9.ABD
10.BCD
11.ACD
12.12
13.4043
14.(12,1)
15.解：(1)因為asinB=bsin2A，由正弦定理可得sinAsinB=sinBsin2A，
即sinAsinB=2sinBsinAcsA，
又A，B∈(0,π)，所以sinA>0，sinB>0，
所以csA=12，所以A=π3；
(2)如圖，由題意得，S△ABD+S△ACD=S△ABC，

所以12c?ADsinπ6+12b?ADsinπ6=12b?csinπ3，即b+c= 32bc，
又b=AC=2 3，所以2 3+c= 32×2 3c，解得c= 3，
由余弦定理得a2=b2+c2?2bccsA，
即a2=12+3?2×2 3× 3×csπ3=9，所以a=3，
所以a+c=3+ 3．
16.解：(1)設(shè)⊙C：x2+(y?b)2=r2，
根據(jù)題意，得32+(1?b)2=r2(?2 2)2+(2?b)2=r2，解得b=1r=3．
所以⊙C的標準方程為x2+(y?1)2=9；
(2)①當過點P(1,3)的直線l與x軸垂直時，直線l的方程為x=1，
此時直線l與⊙C相交于A(1,1+2 2)、B(1,1?2 2)，可得|AB|=4 2，符合題意；
②當過點P(1,3)的直線l與x軸不垂直時，設(shè)l：y?3=k(x?1)，即kx?y?k+3=0．
由直線l被⊙C截得的弦長|AB|=4 2，
可知點C(0,1)到直線l的距離d滿足2 r2?d2=4 2，解得d= r2?8=1，
所以|0?1?k+3| k2+1=1，解得k=34，所以直線l的方程為y?3=34(x?1)，即3x?4y+9=0．
綜上所述，直線l的方程是x=1或3x?4y+9=0．
17.解：(1)在平面ACDE內(nèi)，過點D向EA作垂線，垂足記為G，又AE=2CD，

∴EG=AE?CD=2?1=1，DG=AC=2，
在直角△DEG中，DE= EG2+DG2= 1+4=5，
在直角△BCD中，BD= CD2+BC2= 1+4= 5，
∴DE=BD，又F為BE的中點，
∴DF⊥BE，又AE=AB，則AF⊥BE，
∵AF∩DF=F，AF，DF?平面ADF，
∴BE⊥平面ADF，即點B到平面ADF的距離為線段BF的長，
因為BE= AE2+AB2= 22+22=2 2，
所以BF=12BE= 2．
(2)如圖，取AC的中點O，連接BO，則BO⊥AC，
以O(shè)為坐標原點，AO，BO分別為x，y軸，過O作平行于AE的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
則A(1,0,0),B(0, 3,0),C(?1,0,0),D(?1,0,1),E(1,0,2)，
可得AE=(0,0,2),BE=(1,? 3,2),DE=(2,0,1)，
易知AE是平面ABC的一個法向量，
設(shè)平面BDE的一個法向量為m=(x,y,z)，
則BE⊥mDE⊥m，則BE?m=0DE?m=0，即x? 3y+2z=02x+z=0，
令x=1，則y=? 3,z=?2，
所以m=(1,? 3,?2)，
則cs?AE,m?=?2×22×2 2=? 22，
所以平面BDE與平面ABC所成銳二面角的正弦值為 1?cs2?AE,m?= 1?12= 22．
18.解：(1)由題意可得：|MA|=100csθ，|MB|=100sinθ，
作MM1⊥AB，交AB于點M1，
則|MM1|=|MA||MB||AB|=100sinθcsθ，
即|MC|=75 3?100sinθcsθ，
因為無人機最遠運輸距離為50 3km，
所以|MA|=100?csθ≤50 3|MB|=100?sinθ≤50 3|MC|=75 3?100sinθcsθ≤50 3，
所以θ∈[π6,π3]；
(2)由(1)知|MA|+|MB|+|MC|=100csθ+100sinθ+75 3?100sinθcsθ=100(csθ+sinθ)+75 3?100sinθcsθ，
令t=csθ+sinθ，
又csθ+sinθ= 2sin(θ+π4)，
因為θ+π4∈[5π12,7π12]，
所以t∈[ 3+12, 2]，
則|MA|+|MB|+|MC|=100t?50(t2?1)+75 3=?50(t?1)2+100+75 3，
又t∈[ 3+12, 2]，
則t= 3+12時，|MA|+|MB|+|MC|的最大值為100 3+50，當t= 2時，|MA|+|MB|+|MC|的最小值為100 2+75 3?50，
故|MA|+|MB|+|MC|的范圍是[100 2+75 3?50,100 3+50]．
19.解：(1)因為A(1,4)，B(3,3)，
所以d(A,B)=|3?1|+|3?4|=3；
(2)若d(B,l)min為點B(1,1)與直線l上一點的曼哈頓距離的最小值，
設(shè)P(x,y)為直線l上的一點，
此時d(B,P)=|x?1|+|y?1|=|x?1|+|x+1|，
因為|x?1|+|x+1|≥|(x?1)?(x+1)|=2，
當且僅當(x?1)(x+1)≤0，即?1≤x≤1時，等號成立，
所以d(B,l)min=[d(B,P)]min=2；
(3)若三維空間內(nèi)定點A(1,1,1)，動點P滿足d(A,P)=1，
不妨將A平移到A′(0,0,0)，
設(shè)P點平移后對應(yīng)的點P′(x,y,z)，
此時d(A,P)=d(A′,P′)=|x|+|y|+|z|=1，
當x，y，z≥0時，d(A′,P′)=x+y+z=1，
設(shè)M1(1,0,0)，M2(0,1,0)，M3(0,0,1)，
可得M1M2=(?1,1,0)，M1M3=(?1,0,1)，
此時M1P′=(x?1,y,z)=(?y?z,y,z)=yM1M2+zM1M3，
所以P′，M1，M2，M3四點共面，
所以當x，y，z≥0時，P′在邊長為 2的等邊三角形M1M2M3內(nèi)部(含邊界)，
同理得等邊三角形內(nèi)部任意一點Q(x′,y′,z′)均滿足x′+y′+z′=1，
所以滿足題意的點P軌跡是邊長為 2的等邊三角形內(nèi)部(含邊界)，
由對稱性知，其它七個卦限內(nèi)滿足題意的點P軌跡也是邊長為 2的等邊三角形內(nèi)部(含邊界)，
所以點P圍成的圖形為八面體，每個面均為邊長為 2的等邊三角形．
則該幾何體的表面積S=8×12×( 2)2× 32=4 3．