2025長(zhǎng)沙望城區(qū)一中高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息
2．請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上
一、單選題
1. 如圖，在中，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線、于點(diǎn)、.設(shè)，，則的值為（）
A. B. C. D.
2. 設(shè)表示不大于的最大整數(shù)，如，，若正數(shù)a滿足，則（）
A. 10B. 11C. 12D. 13
3. 設(shè)集合，則集合與集合的關(guān)系是（）
A. B.
C. D.
4. 已知數(shù)列滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 若，則所有項(xiàng)恒大于等于B. 若，則是單調(diào)遞增數(shù)列
C. 若是常數(shù)列，則D. 若，則是單調(diào)遞增數(shù)列
5. 已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)面積為的半圓，則該圓錐的高為（）
A. B. C. D.
6. 如圖，在一個(gè)有蓋的圓錐容器內(nèi)放入兩個(gè)球體，已知該圓錐容器的底面圓直徑和母線長(zhǎng)都是，則（）
A. 這兩個(gè)球體的半徑之和的最大值為
B. 這兩個(gè)球體半徑之和的最大值為
C. 這兩個(gè)球體的表面積之和的最大值為
D. 這兩個(gè)球體的表面積之和的最大值為
7. 如圖，某簡(jiǎn)單組合體由圓柱與一個(gè)半球黏合而成，已知圓柱底面半徑為2，高為4，A是圓柱下底面圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，P是半球面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為（）

A. B. C. D.
8. 已知集合，則（）
A B. C. D.
二、多選題
9. 英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，，某數(shù)學(xué)興趣小組在研究該公式時(shí)，提出了如下猜想，其中正確的有（）
A. B. （精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）
C. D. 當(dāng)時(shí)，
10. 已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，則（）
A. “”是“為奇函數(shù)”的充要條件
B. “”是“為增函數(shù)”的充要條件
C. 若不等式的解集為且，則的極小值為
D. 若是方程的兩個(gè)不同的根，且，則或
11. 已知點(diǎn)在線段上，是的角平分線，為上一點(diǎn)，且滿足，設(shè)，下列說(shuō)法正確的是（）
A. 點(diǎn)的軌跡是雙曲線
B. 是三角形的內(nèi)心
C.
D. 在上的投影向量為
12. 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn) ，若，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 為定值
B. 拋物線的準(zhǔn)線方程為
C. 過(guò) 兩點(diǎn)作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn) ，則點(diǎn) 在以為直徑的圓上
D. 若過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線交拋物線于兩點(diǎn)，則
三、填空題
13. 的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________.
14. 將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則的值為_(kāi)_________.
15 設(shè)向量．若，則實(shí)數(shù)________.
16. 某高中學(xué)校為了響應(yīng)上級(jí)的號(hào)召，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，決定每天減少一節(jié)學(xué)科類課程，增加一節(jié)活動(dòng)課，為此學(xué)校開(kāi)設(shè)了傳統(tǒng)武術(shù)、舞蹈、書(shū)法、小提琴4門選修課程，要求每位同學(xué)每學(xué)年至多選2門，從高一到高三3個(gè)學(xué)年將4門選修課程學(xué)完，則每位同學(xué)的不同選修方式有__________種，若已知某同學(xué)高一學(xué)年只選修了舞蹈與書(shū)法兩門課程，則這位同學(xué)高二學(xué)年結(jié)束后就修完所有選修課程的概率為_(kāi)_________．
四、解答題
17. 已知雙曲線的漸近線方程為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在上.
（1）求的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與C相交于F，G兩點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于軸對(duì)稱，問(wèn)直線EG是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）將圓心在軸上，且與C的兩支各恰有一個(gè)公共點(diǎn)的圓稱為“子圓”，若兩個(gè)“子圓”外切于點(diǎn)，圓心距為，求.
18. 已知，其中，.
（1）若與相切，求實(shí)數(shù)的值；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：；
（3）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
19. 對(duì)于一組向量、、、…、（且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長(zhǎng)向量”．
（1）設(shè)，且，若是向量組、、的“長(zhǎng)向量”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，且，向量組、、、…、是否存在“長(zhǎng)向量”？給出你的結(jié)論并說(shuō)明理由；
（3）已知、、均是向量組、、的“長(zhǎng)向量”，其中，．設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列、、、…、，滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的位置向量的終點(diǎn)，且與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，與（且）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求的最小值．
20. 已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）若函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，.
（i）求的取值范圍；
（ii）證明：.
21 已知函數(shù)．
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）若，討論曲線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
22. 在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建坐標(biāo)系，已知曲線，已知過(guò)點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為：，
直線與曲線分別交于，.
（1）寫(xiě)出曲線和直線的普通方程；
（2）若，，成等比數(shù)列，求的值.

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