1．（4分）已知函數(shù)，若，則 ．
2．（4分）已知集合，，，則 ．
3．（4分）函數(shù)的值域是 ．
4．（4分）下列函數(shù)中，偶函數(shù)的序號(hào)為 ．
①
②
③
④
5．（4分）若關(guān)于的方程有三個(gè)根，且這三個(gè)根恰好可以作為一個(gè)三角形的三條邊的長，則的取值范圍是 ．
6．（4分）設(shè)，關(guān)于的方程的解集為，若只有1個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
7．（5分）對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則實(shí)數(shù)的最大值為 ．
8．（5分）若函數(shù)的值域?yàn)?，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
9．（5分）設(shè)不等式的解集為，設(shè)函數(shù)且與軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值集合為，則 ．
10．（5分）已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，都有，則的最小值是 ．
11．（5分）函數(shù)，，若在定義域上滿足：①?zèng)]有奇偶性；②不單調(diào)；③有最大值，則的取值范圍是 ．
12．（5分）已知實(shí)數(shù)，，，則的取值范圍為 ．
二.選擇題（4題共18分，13～14每題4分，15～16每題5分）
13．（4分）已知，則“成立”是“成立”的 條件．
A．充要B．充分非必要
C．必要非充分D．既不充分也非必要
14．（4分）對(duì)于非空集合和，把所有屬于但不屬于的元素組成的集合稱為和的差集，記為，那么總等于
A．B．C．D．
15．（5分）已知，點(diǎn)在曲線上，若線段與曲線相交且交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則稱為曲線關(guān)于曲線的一個(gè)關(guān)聯(lián)點(diǎn)．那么曲線關(guān)于曲線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為
A．0B．1C．2D．4
16．（5分）①德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷（高斯的學(xué)生）在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，著名的狄利克雷函數(shù)定義域在上的解析式可表示為：，下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)說法正確的序號(hào)為
①狄利克雷為偶函數(shù)
②狄利克雷為奇函數(shù)
③狄利克雷函數(shù)值域?yàn)椋?br>④對(duì)于任意，均有
⑤狄利克雷函數(shù)的圖像可以通過列表描點(diǎn)法畫出
⑥在狄利克雷函數(shù)上不存在可以構(gòu)成等邊三角形的三點(diǎn)
A．①③④⑥B．②③⑤C．①④D．②④⑥
三.解答題（共78分，17～19每題14分，20～21每題18分）
17．（14分）命題甲：集合，，且．
命題乙：集合，，且．
問題：若命題甲和乙中有且只有一個(gè)真命題，求：實(shí)數(shù)的取值范圍．
18．（14分）除了直接作差以外，利用函數(shù)，基本不等式，反證法比大小也是解決不等關(guān)系的主要方法．
（1）已知實(shí)數(shù)，，，，，滿足．求證：，，，，中至少有一個(gè)實(shí)數(shù)不小于1．
（2）已知，，，試比較：、、三者的大小關(guān)系．
（3）若實(shí)數(shù)，，，滿足，試比較：和的大小，并指明等號(hào)成立的條件．
19．（14分）由于濃酸泄漏對(duì)河流形成了污染，現(xiàn)決定向河中投入固體堿．1個(gè)單位的固體堿在水中逐步溶化，水中的堿濃度與時(shí)間的關(guān)系，可近似地表示為．只有當(dāng)河流中堿的濃度不低于1時(shí)，才能對(duì)污染產(chǎn)生有效的抑制作用．
（1）如果只投放1個(gè)單位的固體堿，則能夠維持有效抑制作用的時(shí)間有多長？
（2）當(dāng)河中的堿濃度開始下降時(shí)，即刻第二次投放1個(gè)單位的固體堿，此后，每一時(shí)刻河中的堿濃度認(rèn)為是各次投放的堿在該時(shí)刻相應(yīng)的堿濃度的和，求河中堿濃度可能取得的最大值．
20．（18分）利用數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)研究方程與不等式問題是解決抽象代數(shù)問題的捷徑．
（1）已知函數(shù)，，若對(duì)任意，恒成立，求：實(shí)數(shù)的取值范圍．
（2）設(shè)，若存在定義域?yàn)榈暮瘮?shù)同時(shí)滿足①，②兩個(gè)條件，求：的取值范圍．
①對(duì)于任意，的值為或；
②關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)解．
（3）已知函數(shù)，若方程有實(shí)根，求：集合的元素的可能個(gè)數(shù)．
21．（18分）對(duì)于函數(shù)，若其定義域內(nèi)存在非零實(shí)數(shù)滿足，則稱為“偽奇函數(shù)”．若其定義域內(nèi)存在非零實(shí)數(shù)滿足，則稱為“偽偶函數(shù)”．
（1）已知函數(shù)，判斷是否為“偽奇函數(shù)”；是否為“偽偶函數(shù)”并說明理由；
（2）若冪函數(shù)使得在，上是“偽奇函數(shù)”， 是“偽偶函數(shù)”，求：實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若整數(shù)使得是定義在上的“偽奇函數(shù)”，求：的取值集合．
參考答案
一.填空題（12題共54分，1～6題每題4分，7～12題每題5分）
1．（4分）已知函數(shù)，若，則 2 ．
解：函數(shù)，，
．
故答案為：2．
2．（4分）已知集合，，，則 ．
解：，，，
把代入方程，方程不成立，故，
再把代入方程，方程不成立，故，
．
故答案為：．
3．（4分）函數(shù)的值域是 ．
解：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，．
若時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)，即，
若時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)，即，
綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋?br>故答案為：．
4．（4分）下列函數(shù)中，偶函數(shù)的序號(hào)為 ①②④ ．
①
②
③
④
解：①由，解得，
則原函數(shù)為，函數(shù)為偶函數(shù)；
②由，解得．
此時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)；
③，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
綜上可知，函數(shù)為奇函數(shù)；
④，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
綜上可知，函數(shù)為偶函數(shù)．
故答案為：①②④．
5．（4分）若關(guān)于的方程有三個(gè)根，且這三個(gè)根恰好可以作為一個(gè)三角形的三條邊的長，則的取值范圍是 ， ．
解：有三個(gè)根（允許相等），
設(shè)這三根為：，，，不妨設(shè)，
即，為方程的兩正根，
所以，且△，解得，
這三個(gè)根恰好可以作為一個(gè)三角形的三條邊的長，
兩邊之和：，則，
兩邊之差：，
即，
所以，，解得，
因此，，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是，．
6．（4分）設(shè)，關(guān)于的方程的解集為，若只有1個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 或 ．
解：因?yàn)?，關(guān)于的方程的解集為，
若只有1個(gè)元素，則關(guān)于的方程只有一個(gè)負(fù)根，
①只有一個(gè)根且為負(fù)根，，解得，
②有兩個(gè)根且一個(gè)負(fù)根，，此時(shí)，
故的取值范圍為或．
故答案為：或．
7．（5分）對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則實(shí)數(shù)的最大值為 2 ．
解：依題意，，，
所以，
則，即，當(dāng)，或，時(shí)等號(hào)成立．
則的最大值為2．
故答案為：2．
8．（5分）若函數(shù)的值域?yàn)?，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ， ．
解：因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，?br>所以能夠取到大于等于0的所有數(shù)，
當(dāng)時(shí)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，則，解得；
綜上可得，．
故答案為：，．
9．（5分）設(shè)不等式的解集為，設(shè)函數(shù)且與軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值集合為，則 ．
解：由，得，
解得，從而，．
設(shè)函數(shù)和函數(shù)，
則函數(shù)且與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
就是函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，如圖，由圖可知，兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，如圖，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，
而直線與軸的交點(diǎn)一定在點(diǎn)的上方，所以兩圖象一定有兩個(gè)交點(diǎn)．
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，從而．
則．
故答案為：．
10．（5分）已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，都有，則的最小值是 ．
解：對(duì)任意的，都有，
因?yàn)椋?），
則（3）（5），
則，
令，
則，
則當(dāng)時(shí)，有最小值，
則有最小值．
故答案為：．
11．（5分）函數(shù)，，若在定義域上滿足：①?zèng)]有奇偶性；②不單調(diào)；③有最大值，則的取值范圍是 ．
解：由①可知，，即；
由③可知，；
由②可知，，即，
又，則，解得；
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故答案為：．
12．（5分）已知實(shí)數(shù)，，，則的取值范圍為 ．
解：因?yàn)?，?br>所以，
即，
故，
又，，
將，看成方程的兩根，則△，
即，故，解得．
故答案為：．
二.選擇題（4題共18分，13～14每題4分，15～16每題5分）
13．（4分）已知，則“成立”是“成立”的 條件．
A．充要B．充分非必要
C．必要非充分D．既不充分也非必要
解：若，則，
若時(shí)，，
若時(shí)，，
若時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，
則“成立”是“成立”的充要條件．
故選：．
14．（4分）對(duì)于非空集合和，把所有屬于但不屬于的元素組成的集合稱為和的差集，記為，那么總等于
A．B．C．D．
解：由題意可知，指圖（1）中陰影部分構(gòu)成的集合，
所以指圖（2）中陰影部分構(gòu)成的集合，
由圖可知，．
故選：．
15．（5分）已知，點(diǎn)在曲線上，若線段與曲線相交且交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則稱為曲線關(guān)于曲線的一個(gè)關(guān)聯(lián)點(diǎn)．那么曲線關(guān)于曲線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為
A．0B．1C．2D．4
解：如圖所示：設(shè)線段與曲線的交點(diǎn)為，
如圖所示，令點(diǎn)，則點(diǎn)，．
由于點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，故有，
即．
故曲線關(guān)于曲線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
即為函數(shù) 和曲線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
在同一個(gè)坐標(biāo)系中，畫出函數(shù) 和曲線的圖象，
數(shù)形結(jié)合可得函數(shù) 和曲線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，
故選：．
16．（5分）①德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷（高斯的學(xué)生）在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，著名的狄利克雷函數(shù)定義域在上的解析式可表示為：，下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)說法正確的序號(hào)為
①狄利克雷為偶函數(shù)
②狄利克雷為奇函數(shù)
③狄利克雷函數(shù)值域?yàn)椋?br>④對(duì)于任意，均有
⑤狄利克雷函數(shù)的圖像可以通過列表描點(diǎn)法畫出
⑥在狄利克雷函數(shù)上不存在可以構(gòu)成等邊三角形的三點(diǎn)
A．①③④⑥B．②③⑤C．①④D．②④⑥
解：狄利克雷函數(shù)，
若為有理數(shù)，則也是有理數(shù)，
，，即，
若為無理數(shù)，則也是無理數(shù)，
，，即，
又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以函?shù)是上的偶函數(shù)，故①正確，②錯(cuò)誤；
狄利克雷函數(shù)值域?yàn)?，，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于任意，有，或1，都是有理數(shù)，
，有，故④正確；
狄利克雷函數(shù)的圖象不可以通過列表描點(diǎn)法畫出，故⑤錯(cuò)誤；
取，，，，得到△為等邊三角形，
即在狄利克雷函數(shù)上存在可以構(gòu)成等邊三角形的三點(diǎn)，故⑥錯(cuò)誤．
故選：．
三.解答題（共78分，17～19每題14分，20～21每題18分）
17．（14分）命題甲：集合，，且．
命題乙：集合，，且．
問題：若命題甲和乙中有且只有一個(gè)真命題，求：實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：命題甲：集合，，且，
，解得，
當(dāng)命題甲是真命題，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
命題乙：集合，，且，
或集合中元素是非正數(shù)，
又，
中元素是方程的解，
當(dāng)時(shí)，△，解得，
當(dāng)集合中元素是非正數(shù)時(shí)，
設(shè)，是方程的根，
，則△且，解得，
當(dāng)命題乙是真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
命題甲和乙中有且只有一個(gè)真命題，
命題甲是真命題，命題乙是假命題或命題甲是假命題，命題乙是真命題，
當(dāng)命題甲是真命題，命題乙是假命題時(shí)，，得到，
當(dāng)命題甲是假命題，命題乙是真命題時(shí)，或，得到，
命題甲和乙中有且只有一個(gè)真命題，實(shí)數(shù)的取值范圍為或．
18．（14分）除了直接作差以外，利用函數(shù)，基本不等式，反證法比大小也是解決不等關(guān)系的主要方法．
（1）已知實(shí)數(shù)，，，，，滿足．求證：，，，，中至少有一個(gè)實(shí)數(shù)不小于1．
（2）已知，，，試比較：、、三者的大小關(guān)系．
（3）若實(shí)數(shù)，，，滿足，試比較：和的大小，并指明等號(hào)成立的條件．
解：（1）證明：（反證法）假設(shè)，，，，全小于1，即，，，，，
所以，這與矛盾，
故假設(shè)不成立，所以，，，，中至少有一個(gè)實(shí)數(shù)不小于1．
（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，又，所以，
即，
又函數(shù)在上為增函數(shù)，又，所以，
所以；
（3），，
當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)且，同號(hào)時(shí)取等號(hào)．
19．（14分）由于濃酸泄漏對(duì)河流形成了污染，現(xiàn)決定向河中投入固體堿．1個(gè)單位的固體堿在水中逐步溶化，水中的堿濃度與時(shí)間的關(guān)系，可近似地表示為．只有當(dāng)河流中堿的濃度不低于1時(shí)，才能對(duì)污染產(chǎn)生有效的抑制作用．
（1）如果只投放1個(gè)單位的固體堿，則能夠維持有效抑制作用的時(shí)間有多長？
（2）當(dāng)河中的堿濃度開始下降時(shí)，即刻第二次投放1個(gè)單位的固體堿，此后，每一時(shí)刻河中的堿濃度認(rèn)為是各次投放的堿在該時(shí)刻相應(yīng)的堿濃度的和，求河中堿濃度可能取得的最大值．
解：（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，，，
，
當(dāng)時(shí)，，，，
綜上，得，
即若1個(gè)單位的固體堿只投放一次，則能夠維持有效抑制作用的時(shí)間為；
（2）當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)河中的堿濃度開始下降時(shí)，即刻第二次投放1個(gè)單位的固體堿，
即時(shí)，，
故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值．
20．（18分）利用數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)研究方程與不等式問題是解決抽象代數(shù)問題的捷徑．
（1）已知函數(shù)，，若對(duì)任意，恒成立，求：實(shí)數(shù)的取值范圍．
（2）設(shè)，若存在定義域?yàn)榈暮瘮?shù)同時(shí)滿足①，②兩個(gè)條件，求：的取值范圍．
①對(duì)于任意，的值為或；
②關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)解．
（3）已知函數(shù)，若方程有實(shí)根，求：集合的元素的可能個(gè)數(shù)．
解：（1）①當(dāng)時(shí)，，
則，，
此時(shí)恒成立，故；
②當(dāng)時(shí)，，
則，，
若，即，
令為對(duì)勾函數(shù)，在上單調(diào)遞減，
所以，
故；
③當(dāng)時(shí)，
若，則，，
同②，符合題意；
若，則，，同①，符合題意；
綜上所述，的取值范圍為；
（2）由條件①得，，解得或，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（1），
又因?yàn)殛P(guān)于的方程無實(shí)數(shù)解，
所以且，
所以，，，；
（3）①若函數(shù)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
則△，得，實(shí)數(shù)根，
令，
則，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，有2個(gè)解；
②若函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則△，得，
此時(shí)兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是，，
而．
即在時(shí)成立，
此時(shí)，有4個(gè)解；
綜上所述，集合有2個(gè)或4個(gè)元素．
21．（18分）對(duì)于函數(shù)，若其定義域內(nèi)存在非零實(shí)數(shù)滿足，則稱為“偽奇函數(shù)”．若其定義域內(nèi)存在非零實(shí)數(shù)滿足，則稱為“偽偶函數(shù)”．
（1）已知函數(shù)，判斷是否為“偽奇函數(shù)”；是否為“偽偶函數(shù)”并說明理由；
（2）若冪函數(shù)使得在，上是“偽奇函數(shù)”， 是“偽偶函數(shù)”，求：實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若整數(shù)使得是定義在上的“偽奇函數(shù)”，求：的取值集合．
解：（1）對(duì)于函數(shù)，由，
得，即，
也就是，此方程無解；
由，得，即，
也就是，定義中為非零實(shí)數(shù)，則函數(shù)，不是“偽奇函數(shù)”，也不是“偽偶函數(shù)”；
（2）由是冪函數(shù)，得，即，
此時(shí)，要使在，上是“偽奇函數(shù)”， 是“偽偶函數(shù)”，
則在，上有解，且在上有解，
只需在，上有解，
，，，，可得，，則，；
（3）若整數(shù)使得是定義在上的“偽奇函數(shù)”，
則有在內(nèi)有解，
在上有解，
令，則，，方程化為，
則在，上有解，
可得，或，
解得．
，的取值集合為，1，．

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2021年上海市徐匯區(qū)南洋模范中學(xué)高考數(shù)學(xué)三模試卷含答案解析

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2020_2021學(xué)年上海徐匯區(qū)上海市南洋模范中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

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2020_2021學(xué)年上海徐匯區(qū)上海市南洋模范中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（答案版）

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