命題單位：天門市教科院審題單位：潛江市教研室黃岡市教科院
2025.3
本試卷共 4 頁，19 題，全卷滿分 150 分.考試用時(shí) 120 分鐘
★?？荚図樌?br>注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答
題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試
卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷?草稿紙和答
題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.
一?選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是
符合題目要求的.
1. 已知集合 ，則 （ ）
A. B. C. D.
2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則 等于（ ）
A. B. C. D.
3. 已知圓 和直線 ，則“ ”是“直線 與圓 有公共點(diǎn)”的（ ）
A. 充要條件 B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件
4. 已知 ，則 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知 的面積為 1，取 各邊的中點(diǎn) 作 ，然后再取 各邊的中點(diǎn)
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作 依此方法一直繼續(xù)下去.記 的面積為 ，數(shù)列 的前 項(xiàng)和
為 ，則（ ）
A. 數(shù)列 為常數(shù)列 B. 數(shù)列 為遞增數(shù)列
C. 數(shù)列 為遞減數(shù)列 D. 數(shù)列 為遞增數(shù)列
6. 下列四個(gè)命題
①直線 不平行于平面 ，則平面 內(nèi)不存在與 平行的直線；
②兩直線平行是它們與同一平面所成的角相等的充分不必要條件；
③平面 平面 ，過 內(nèi)的任意一點(diǎn)作交線 的垂線，則此垂線必垂直于平面 ；
④空間中，一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).
其中正確的命題是（ ）
A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④
7. 根據(jù)變量 和 的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型① ，得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型
，對(duì)應(yīng)的殘差如圖（1）所示.根據(jù)變量 和 的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型②
，得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型 ，對(duì)應(yīng)的殘差如圖（2）所示，則（ ）
A. 模型① 誤差滿足一元線性回歸模型的 的假設(shè)，不滿足 的假設(shè)
B. 模型①的誤差不滿足一元線性回歸模型的 的假設(shè)，滿足 的假設(shè)
C. 模型② 誤差滿足一元線性回歸模型的 的假設(shè)，不滿足 的假設(shè)
D. 模型②的誤差不滿足一元線性回歸模型的 的假設(shè)，滿足 的假設(shè)
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8. 已知函數(shù) ，若存在實(shí)數(shù) ，使得 ，則實(shí)數(shù) 的取值
范圍為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題
目要求.全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分.
9. 已知函數(shù) 的部分圖象如圖所示，則（ ）
A. 的解析式可以為
B. 將 圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2 倍，再向左平移 個(gè)單位，得到 的圖象，則
C. 對(duì)稱中心為
D. 若 ，則
10. 已知橢圓 的上下焦點(diǎn)分別為 ，左右頂點(diǎn)分別為 為坐標(biāo)原點(diǎn)，
為線段 上一點(diǎn)，直線 垂直平分線段 且交橢圓 于 兩點(diǎn)，則下列說法中正確的有（
）
A. 橢圓 的離心率為
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B. 周長(zhǎng)為
C. 以點(diǎn) 為圓心， 為半徑的圓與橢圓 恰有三個(gè)公共點(diǎn)
D. 若直線 的斜率分別為 ，則
11. 在一次數(shù)學(xué)興趣小組的實(shí)踐活動(dòng)中，李怡同學(xué)將一張邊長(zhǎng)為 的菱形紙片 沿對(duì)角線 折疊，
形成一個(gè)二面角模型 ，如圖所示.下列敘述中正確的有（ ）
A. 四面體 體積的最大值為 ；
B. 在折疊的過程中，存在某個(gè)時(shí)刻使 ；
C. 當(dāng) 時(shí)，動(dòng)點(diǎn) 在平面 內(nèi)且 ，則動(dòng)點(diǎn) 所形成區(qū)域的面積為 ；
D. 在 C 的條件下，若直線 與直線 所成的角為 ，則 的最大值為 .
三?填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 的展開式中 的系數(shù)為__________.
13. 平面向量 滿足 ，則 的最小值為__________.
14. 一袋中裝有 3 個(gè)紅球，5 個(gè)黑球，從中任意取出一球，然后放回并放入 2 個(gè)與取出的球顏色相同的球，
再從袋中任意取出一球，然后放回并再放入 2 個(gè)與取出的球顏色相同的球，一直重復(fù)相同的操作.
（1）第二次取出的球是黑球的概率為__________；
（2）在第一次取出的球是紅球的條件下，第 2 次和第 2025 次取出的球都是黑球的概率為__________.
四?解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知 分別為 三個(gè)內(nèi)角 的對(duì)邊，向量 ，
.
（1）求 ；
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（2）若 .求 的面積.
16. 已知函數(shù) 在 處的切線方程為 .
（1）求實(shí)數(shù) 值；
（2）已知 ，函數(shù) ，若 ，求證： .
17. 如圖，直三棱柱 中， 且平面 平面
.
（1）求實(shí)數(shù) 的值；
（2）若 平面 .
（i）求證： ；
（ii）求二面角 的余弦值.
18. 已知兩點(diǎn) ，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn) 到定點(diǎn) 的距離與到直線 的距離之比為 ，
點(diǎn) 的軌跡為曲線 .
（1）求曲線 的方程；
（2）點(diǎn) 在曲線 上，且在第一象限，連接 并延長(zhǎng)與曲線 交于點(diǎn) ，以 為
圓心， 為半徑的圓與線段 交于點(diǎn) ，記 的面積分別為 .
（i）若點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，求證： ；
（ii）求 的最小值.
19. 有窮等差數(shù)列 共有 項(xiàng) ，公差為 1，前 項(xiàng)和為 （ 為正整數(shù)）.
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為集合 為完全平方數(shù)， 中所有元素之和.
（1）當(dāng) 時(shí)，求 ；
（2）從數(shù)列 中任取一項(xiàng) ，若 的概率為 ，試求出所有的數(shù)對(duì) ；
（3）設(shè) 為正整數(shù)，將 從正中間分割為兩個(gè)數(shù)（若 的位數(shù)是奇數(shù)，在數(shù)的前面補(bǔ)上 0 再分割），若
這兩個(gè)數(shù)的和恰好等于 ，則稱 為“漂亮數(shù)”.例如： ，所以 81 是一個(gè)“漂亮數(shù)”，
，所以 88209 是一個(gè)“漂亮數(shù)”.當(dāng) 時(shí)，從集合 中任取一個(gè)元
素，求該元素為“漂亮數(shù)”的概率.
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