一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知角的始邊為x軸非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點，則（ ）
A．3B．C．D．
3．已知向量滿足，且，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
4．已知數(shù)列滿足：，，則（ ）
A．10B．11C．12D．13
5．在正三棱錐中，O為外接圓圓心，則（ ）
A．B．
C．D．
6．拋物線的焦點坐標(biāo)為( )
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)是.有，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（ ）
A．對任意的，都有
B．當(dāng)時，有兩個實根
C．若關(guān)于的方程在上只有一個解，則的取值范圍為
D．若方程有兩個不同的根，且恒成立，則
二、多選題
9．過拋物線的焦點的直線與C相交于，兩點，直線PQ的傾斜角為，若的最小值為4，則（ ）
A．的坐標(biāo)為B．若，則
C．若，則的最小值為3D．面積的最小值為2
10．已知實數(shù)a，b滿足等式，則下列可能成立的關(guān)系式為（ ）
A．B．C．D．
11．泰勒公式通俗的講就是用一個多項式函數(shù)去逼近一個給定的函數(shù)，也叫泰勒展開式，下面給出兩個泰勒展開式
由此可以判斷下列各式正確的是（ ）．
A．（i是虛數(shù)單位）B．（i是虛數(shù)單位）
C．D．
三、填空題
12．已知三棱錐的棱長均為2，且是BC的中點，則 .
13．已知在正四棱臺中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為 .
14．已知雙曲線與平行于軸的動直線交于兩點，點在點左側(cè)，雙曲線的左焦點為，且當(dāng)時，.則雙曲線的離心率是 ；當(dāng)直線運動時，延長至點使，連接交軸于點，則的值是 .
四、解答題
15．已知冪函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值，并求對應(yīng)的自變量的值．
16．已知中，內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足．
(1)求角的值；
(2)若點為的中點，求的值．
17．如圖，在三棱臺中，平面平面，，，.
(1)證明：；
(2)當(dāng)直線與平面所成的角最大時，求三棱臺的體積.
18．已知圓，直線過點.
(1)當(dāng)直線與圓相切時，求直線的斜率；
(2)線段的端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.
19．若圓與圓相交于P，Q兩點，，且為線段PQ的中點，則稱是的m等距共軛圓.已知點，均在圓上，圓心在直線上.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)若圓是圓的8等距共軛圓，設(shè)圓心的軌跡為.
（i）求的方程.
（ii）已知點，直線l與曲線交于異于點H的E，F(xiàn)兩點，若直線HE與HF的斜率之積為3，試問直線l是否過定點？若過定點，求出該定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.
1．A
【詳解】由，解得，所以，
又因為，所以.
故選：A.
2．C
【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，
所以.
故選：C.
3．C
【詳解】由，得，而，則，
，而，
所以與的夾角.
故選：C
4．B
【詳解】由題設(shè)，則，
即，則.
故選：B
5．D
【詳解】如圖，在正三棱錐中，取中點，連接，
則點為底面中心，且在上，
所以
.
故選：D.
6．C
【詳解】由可得，故，則，
故焦點坐標(biāo)為，
故選：C.
7．B
【詳解】由題意，函數(shù)滿足，
令，則
函數(shù)是定義域內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)，
由于，關(guān)于的不等式可化為，
即，所以且，解得，
不等式的解集為.
故選：B
8．D
【詳解】，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，可得，當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；在處，取到極大值點，.函數(shù)圖像如下：
對于選項A：當(dāng)時，不滿足，故A錯誤；
對于選項B：由上分析得，當(dāng)趨于時，函數(shù)值趨于，
當(dāng)時，有兩個實數(shù)根；
當(dāng)時，有一個實數(shù)根；
故B錯誤；
對于選項C：方程，兩邊取對數(shù)得，即，令，則，
令，則，當(dāng)時，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)趨于時，函數(shù)值趨于；
當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)趨于時，函數(shù)值趨于；
故，如圖所示：
當(dāng)時，，與只有一個交點，
當(dāng)時，，與有2個交點，
當(dāng)時，與只有一個交點；
當(dāng)時，，與有2個交點，
故在上只有一個解，則的取值范圍為，
故C錯誤；
對于選項D：若方程有兩個不同的根，則，設(shè)兩根為，
則，由函數(shù)的單調(diào)性知，因為恒成立，所以同時是方程的兩根；根據(jù)韋達(dá)定理得，因為，兩邊取對數(shù)得，
，兩式做差，，根據(jù)對數(shù)不等式，
，即；
，即；
所以，選項D正確；
故選：D
9．ACD
【詳解】由題設(shè)有，直線的斜率不為零，故設(shè)直線，
則由可得，，
所以，所以
而，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，故，
故，故A正確；
若，則，故，故的斜率為，
其傾斜角為或，故B錯誤；
若，則過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連接，
則，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立，
故的最小值為3，故C正確；
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故面積的最小值為2，故D成立.
故選：ACD.
10．BCD
【詳解】因為，所以．
對于選項A和B，當(dāng)時，，只能，選項A不成立，選項B正確；
對于選項C，當(dāng)時，，只能，選項C正確；
對于選項D，當(dāng)時，且，只能，等式成立，選項D正確；
故選：BCD．
11．ACD
【詳解】對于A、B，由，
兩邊求導(dǎo)得，
，
，
又，
，
，故A正確，B錯誤；
對于C，已知，則.
因為，則，即成立，故C正確；
故C正確；
對于D，,，
，
當(dāng)，；；；
，,
所以，所以成立，故D正確.
故選：ACD.
12．1
【詳解】解：，
，
.
故答案為：1
13．
【詳解】，
所以，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故答案為：
14． / /
【詳解】當(dāng)時，設(shè)，
則有，解得，又，所以，
又，所以，兩邊同除，得到，
解得或（舍），
因為，有，
設(shè)，則，，，，
所以，
又，所以，
故答案為：；.
15．(1)
(2)當(dāng)時，函數(shù)的最大值為7
【詳解】（1）根據(jù)題意可得，即，
所以，解得，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，
所以，即函數(shù)的解析式為．
（2）由（1）可知
因，所以，當(dāng)時，，函數(shù)的最大值為7．
16．(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)，則，，
利用余弦定理可得，
又因為，所以．
（2）設(shè)，則，，
因為點為的中點，所以，
兩邊平方可得，
即，
所以，可
得，所以．
17．(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）在三棱臺中，取的中點，連接，
由，得，由平面平面，平面平面，
平面，得平面，而平面，則，
又，則四邊形是菱形，，
而平面，因此平面，又平面，
所以.
（2）取中點，則，由平面平面，平面平面，
平面，則平面，直線兩兩垂直，
以點原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，，
，
設(shè)平面的法向量，則，取，得，
設(shè)直線與平面所成的角為，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以三棱臺的體積
.
18．(1)
(2)
【詳解】（1）已知的圓心是，半徑是，
設(shè)直線斜率為
則直線方程是，即，
則圓心到直線距離為，
解得直線的斜率.
（2）設(shè)點則，
由點是的中點得，
所以①
因為在圓上運動，所以②
①代入②得，
化簡得點的軌跡方程是.
19．(1)
(2)（i）；（ii）直線過定點
【詳解】（1）因為圓心在直線上，設(shè)，
且點，均在圓上，則，
可得，解得，
即圓心為，半徑，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）（i）因為，由題意可得：，
可知圓心的軌跡為是以為圓心，半徑的圓，
所以的方程為；
（ⅱ）若直線l的斜率存在，設(shè)直線l：，，
聯(lián)立方程，消去y可得，
則，且，
因為，
整理可得，
則
可得，即或，
當(dāng)，直線過定點；
當(dāng)，直線過定點，不合題意；
可知直線過定點；
若直線l的斜率不存在，設(shè)，
則，即，
且在圓上，則，
即，解得，不合題意；題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
B
D
C
B
D
ACD
BCD
題號
11









答案
ACD









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