1. 已知集合，，則集合A∩B中元素的個數(shù)為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】因為圓的圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，
所以集合AB中元素的個數(shù)為2.
故選：C.
2. 已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】，
則.
故選：B.
3. 將函數(shù)的圖象向右平移個周期后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函數(shù)周期，所以函數(shù)的圖象向右平移個周期可得
故選：D
4. 的展開式中的常數(shù)項為（）
A. 18B. 20C. 22D. 24
【答案】B
【解析】，
的二項展開示的通項為
①，
②，
在①式中，令得11，故的常數(shù)項為，
在②式中，令得，則的常數(shù)項為，
故的展開式中的常數(shù)項為，
故選：B.
5. 甲，乙兩人進行乒乓球比賽，比賽采用3局2勝制，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.7，乙獲勝的概率為0.3，且各局比賽結(jié)果相互獨立，那么在甲獲勝的條件下，比賽進行了3局的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)甲獲勝為事件A，比賽進行了3局為事件B，
則，，
所以.
故選：C.
6. 設(shè)為拋物線的焦點，過的直線交于兩點，若，則（）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】設(shè)直線的傾斜角為，過作垂直于準線于點，作于點，
則，
，同理可證
，解得，
所以，
，
故選：D．
7. 曲線與和分別交于兩點，設(shè)曲線在A處的切線斜率為在處的切線斜率為，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因為和互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，
且反比例函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對稱，
可知點關(guān)于直線對稱，設(shè)，則，
設(shè)，則，
由題意可得：，解得或（舍去），
可得，則，所以.
故選：A.
8. 若函數(shù)的兩個零點分別為和，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函數(shù)，其中銳角由確定，
由，得，而，
因此，即，則，
即，于是，
所以.
故選：C
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知等比數(shù)列的前項和為，且為等差數(shù)列，且，記集合中元素的個數(shù)為，數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B.
C D.
【答案】ABD
【解析】對于A，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，
兩式相減得，即所以，
又，解得，所以，正確；
對于B，設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，得，解得，
所以，正確；
對于C，由，得，
則集合中元素的個數(shù)為，即，錯誤；
對于D，，正確．
故選：ABD
10. 在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 外接圓的面積為
C. 面積的最大值為D. 周長的最大值為
【答案】BCD
【解析】對于選項A：因為，
由余弦定理可得，
整理可得，則，
且，所以，故A錯誤；
對于選項B：由正弦定理可得外接圓的半徑，
所以外接圓的面積為，故B正確；
對于選項C：由可得，
且，即，解得，當且僅當時，等號成立，
所以面積的最大值為，故C正確；
對于選項D：由可得，即，
且，即，
解得，即，當且僅當時，等號成立，
所以周長的最大值為，故D正確；
故選：BCD.
11. 若雙曲線的左，右焦點分別為，過的右支上一點作圓的切線，切點為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則的面積為9
B. 若為圓上的一動點，則的最小值為3
C. 四邊形面積最小值為
D. 的最小值為
【答案】BC
【解析】圓的圓心為，半徑為1，雙曲線的焦點，
對于A，由雙曲線焦點三角形的面積公式可得，故A錯誤；
對于B，由雙曲線的定義可得，當三點共線時取等號，故B正確；
對于C，，所以當最小時，四邊形的面積最小，
由雙曲線的性質(zhì)可得當點位于右頂點時，最小，
所以，所以四邊形面積的最小值為，故C正確；
對于D，
，當時取等號，但，所以取不到等號，故D錯誤.
故選：BC
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)______．
【答案】1
【解析】因為，可知函數(shù)的定義域為，
且函數(shù)是奇函數(shù)，則，
解得，則，
又因為
，
即，可知函數(shù)是奇函數(shù)，
所以符合題意.
故答案為：1.
13. 已知正四棱臺的高為3，其頂點都在同一球面上．若該球的半徑為5，球心在正四棱臺的一個底面上，則該正四棱臺的體積為______．
【答案】122
【解析】因為球心在正四棱臺的一底面上，設(shè)球心所在底面為下底面，正四棱臺的高為3，球半徑為5，
連接球心與正四棱臺上底面一頂點，以及球心與上底面中心，構(gòu)成直角三角形，
設(shè)上底面邊長為，則上底面中心到頂點距離為
根據(jù)勾股定理，即，解得，
因為球心在下底面，下底面中心到頂點距離就是球半徑5，
設(shè)下底面邊長為，則，解得，
根據(jù)正四棱臺體積公式（其中是高，是下底面積，是上底面積），
下底面積，上底面積，
已知高，則體積
故答案為：122
14. ，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】在上恒成立
當時，即解得，此時.
令則，
①當時，．在上單調(diào)遞增，
恒成立，恒成立，
；
②時．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
，
解得與矛盾，舍去；
綜上所述，的取值范圍為
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步簽．
15. 為了解高三，1班和2班的數(shù)學建模水平，現(xiàn)從兩個班級中各隨機抽取10名學生參加數(shù)學建模能力比賽（滿分100分），成績?nèi)缦拢?br>數(shù)據(jù)Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92；
數(shù)據(jù)Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95．
（1）求數(shù)據(jù)Ⅰ（高三，1班）的第80百分位數(shù)；
（2）從上述成績在60分以下的學生中隨機抽取3人作下一步調(diào)研，設(shè)被抽到的3人中來自于高三，2班的學生人數(shù)為，求的概率分布列和數(shù)學期望．
解：（1）將數(shù)據(jù)Ⅰ從小到大排列：54，58，65，68，70，75，80，88，90，92，
因為，所以數(shù)據(jù)Ⅰ的第80百分位數(shù)為.
（2）數(shù)據(jù)Ⅰ中60分以下的有54分，58分；
數(shù)據(jù)Ⅱ中60分以下的有52分，55分，56分，59分；
即符合題意共6人，其中高三，1班有2人，高三，2班有4人.
可知X的所有可能取值為1，2，3，
則，，
，
所以X的概率分布列為
數(shù)學期望.
16. 底面為菱形的四棱錐中，與交于點，平面平面，平面平面．
（1）證明：平面；
（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．
（1）證明：因為四邊形為菱形，所以⊥，
因為平面平面，為交線，平面，
所以⊥平面，
因為平面，所以⊥，
因為平面平面，為交線，平面，
所以⊥平面，
因為平面，所以⊥，
因為，平面，
所以平面；
（2）解：由（1）知，兩兩垂直，
以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
，則，，
設(shè)，，則，，
設(shè)平面的一個法向量為，
，
令得，故，
直線與平面所成角的正弦值為，
即，
化簡得，負值舍去，則，
平面的一個法向量為，
設(shè)平面與平面夾角為，
，
所以平面與平面夾角余弦值為.
17. 已知數(shù)列和滿足．
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：．
（1）解：因為，可得，
即，
可知數(shù)列為常數(shù)列，則，所以；
又因為，則有：
若，可得；
若，則，
兩式相減得；
且符合上式，所以.
（2）證明：由（1）可知：，
可得，
顯然，所以.
18. 已知橢圓的離心率為分別為的左．右頂點，為的上頂點，且．
（1）求的方程；
（2）過的右焦點作斜率不為0的直線交于兩點，設(shè)直線與交于點．
①證明：點在定直線上；
②求的最大值．
解：（1）由題意知，，
所以，即．
又，所以，
所以．
所以的方程為．
（2）①由于直線過點且斜率不為0，所以可設(shè)直線的方程為．
由得，
設(shè)，則，
所以．
因為橢圓的左，右頂點分別為，
所以直線的方程為，
直線的方程為，
聯(lián)立直線與的方程得,
解得，所以點在定直線上．
②設(shè)直線的傾斜角分別為，則，
由①知，所以，
所以
當且僅當時取等號，所以的最大值為．
19. 已知函數(shù)的圖象上存在兩點，記直線的方程為，若直線恰為曲線的一條切線（為切點），且（為的定義域），則稱函數(shù)為“切線支撐”函數(shù)．
（1）試判斷函數(shù)是否為“切線支撐”函數(shù)．若是，求出一組點；否則，請說明理由；
（2）已知為“切線支撐”函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（3）證明：函數(shù)為“切線支撐”函數(shù)．
（1）解：,
顯然，
令，得，即，
所以是的極小值點，且為曲線得一條切線，
所以函數(shù)是“切線支撐”函數(shù)，
可取.
（2）解：當時，，所以在上為增函數(shù)，所以切點不可能都在軸的右側(cè)；
當時，，所以在上為增函數(shù)，所以切點不可能都在軸的左側(cè)；
所以切點必在軸的兩側(cè).
不妨設(shè)，，
當時，，所以點處的切線方程為，
即；
當時，，所以點處的切線方程為，
即，
因為兩點處的切線重合，所以，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又當時，，所以，即，
設(shè)A點處的切線方程為，
設(shè)，
則，
所以當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
設(shè)點處的切線方程為，
則，即，
所以為“切線支撐”函數(shù)，
綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.
（3）證明：因為，設(shè)，
所以點處的切線方程為和，
所以，
所以，
不妨取，
則，即，
所以，不妨取，則切線的方程為，
又，所以函數(shù)為“切線支撐”函數(shù)．
X
1
2
3
P

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