1.在空間四邊形PABC中，PB?AB+AC=( )
A. APB. PCC. ABD. AC
2.已知數(shù)列an的通項公式為an=?n2+4n+2，則該數(shù)列中的最大項是( )
A. a2B. a3C. a4D. a5
3.已知A(0,?2)，B(0,2)，動點(diǎn)P滿足PA?PB=2，則點(diǎn)P的軌跡是( )
A. 橢圓B. 雙曲線的一支C. 雙曲線D. 射線
4.m=1是直線x+1+my?2=0與直線mx+2y+4=0平行且不重合的( )
A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件
C. 充要條件D. 既非充分也非必要條件
5.魚腹式吊車梁中間截面大，逐步向梁的兩端減小，形狀像魚腹，如圖，魚腹式吊車梁的魚腹部分AOB是拋物線的一部分，其寬為8m，高為0.8m，根據(jù)圖中的坐標(biāo)系，該拋物線的方程為( )
A. y2=20xB. y2=10xC. x2=20yD. x2=10y
6.如圖，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120 °，PA=AB=BC=6，則向量PC在BC上的投影向量為( )
A. ?23BCB. 23BCC. ?32BCD. 32BC
7.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，S3=6，Sn?3=16n≥4,n∈N?，Sn=20，則n的值為( )
A. 16B. 12C. 10D. 8
8.如果圓x?a2+y?a2=1a>0上總存在點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A. 2,2B. 2,2 2C. 1, 2D. 1,2 2
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知空間向量a=(1,2,3),a+2b=(?3,0,5),c=(2,4,m),且a//c，則下列說法正確的是( )
A. b= 6B. m=6
C. 2b+c⊥aD. csb,c=? 2142
10.已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Mx0,y 0在拋物線C上，若MF=5，則( )
A. F的坐標(biāo)為1,0B. y0=4
C. OM=4 2D. 以MF為直徑的圓與x軸相切
11.為提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，某校積極籌建數(shù)學(xué)興趣小組，小組成員仿照教材中等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念，提出“等積數(shù)列”的概念：從第二項起，每一項與前一項之積為同一個常數(shù)(不為0).已知數(shù)列an是一個“等積數(shù)列”，a1=1,a99a100a101=2，其前n項和為Sn，則下列說法正確的是( )
A. a2024=2
B. S2024=3034
C. an的一個通項公式為an=3+(?1)n2
D. Sn=32n+(?1)n?14
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.在等比數(shù)列an中，a2?a8=16，則a5= ．
13.已知圓C:x2+y2=4，直線l:y=x+b.若圓C上恰有三個點(diǎn)到直線l的距離等于1，則b的值為___ _.
14.過點(diǎn)M(1,1)作斜率為?12的直線與橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A，B，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為 ．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知a1=?17，從以下兩個條件中任選其中一個給出解答．①S3=?45；②a2+a5=?24．
(1)求公差d；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．
16.(本小題12分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA=AB=1，BC=CD=2，AB//CD∠ADC=π2．
(1)求證：PD⊥AB；
(2)求直線AC與平面PBC所成角的正弦值．
17.(本小題12分)
已知以點(diǎn)A?1,2為圓心的圓與直線l1：x+2y+7=0相切，過點(diǎn)B?2,0的直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，|MN|=2 19．
(1)求圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求直線l的方程．
18.(本小題12分)
已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且3Sn+an=4
(1)求數(shù)列an的通項公式；
(2)設(shè)bn=nan，且數(shù)列bn的前n項和為Tn.求Tn．
(3)在(2)條件下若?n∈N?都有不等式Tn≤169+λan恒成立，求λ的取值范圍．
19.(本小題12分)
已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0)，離心率為2，直線x=a2c與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)P，且PF= 3．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若A為雙曲線C的左頂點(diǎn)，M，N是C右支上的兩動點(diǎn)，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，若k1?k2=?2，試問：直線MN是否經(jīng)過定點(diǎn)？證明你的結(jié)論．
參考答案
1.B
2.A
3.B
4.C
5.C
6.D
7.B
8.B
9.ABD
10.BCD
11.ACD
12.±4
13.± 2
14. 22
15.【詳解】(1)解：選條件①：S3=?45，
設(shè)an的公差為d，可得S3=3a1+3×22d=?45，解得a1+d=?15，
又由a1=?17，可得d=2，故數(shù)列an的公差d=2．
選條件②：a2+a5=?24，
設(shè)an的公差為d，可得a2+a5=a1+d+a1+4d=?24，即2a1+5d=?24，
又由a1=?17，可得d=2，故數(shù)列an的公差d=2．
(2)解：由(1)知，公差a1=?17，且d=2，
可得Sn=na1+nn?12d=n2?18n=n?92?81，
所以當(dāng)n=9時，Sn取得最小值，最小值為?81．

16.【詳解】(1)由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AB，
由∠ADC=π2，得AD⊥CD，
∵AB//CD，∴AD⊥AB，
∵AD∩PA=A，∴AB⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，∴PD⊥AB．
(2)在平面ABCD作AE⊥BC于E，連結(jié)PE，作AG⊥PE于G，連結(jié)CG，
由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BC，
又AE⊥BC,AE∩PA=A，∴BC⊥平面PAE，
又BC?平面PBC，得平面PBC⊥平面PAE，
結(jié)合AG⊥PE，得AG⊥平面PBC，
∴∠ACG是直線與平面PBC所成角，
在四邊形ABCD中，可得AC= 7，
在ΔABE中，可得AE= 32，
在ΔPAE中，可得AG= 217，
在RtΔAGC中，sin∠ACG=AGAC= 217 7= 37，
∴直線AC與平面PBC所成角的正弦值為 37．
【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的證明、線面角的正弦值的求法、空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等知識，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力．

17.解：(1)設(shè)圓A半徑為R，由圓與直線l1：x+2y+7=0相切，
則點(diǎn)A?1,2到直線l1的距離等于半徑R，
得R=?1+4+7 5=2 5，
∴圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為x+12+y?22=20．
(2)由(1)知，R=2 5，|MN|=2 19，
則圓心A到直線l的距離
d=AQ= R2?MN22= 20?2 1922= 20?19=1．
當(dāng)直線l與x軸垂直時，即x=?2，
此時圓心A到直線l的距離為1，符合題意；
當(dāng)直線l不與x軸垂直時，
設(shè)方程為y=kx+2，即kx?y+2k=0，
d=?k?2+2k k2+1=k?2 k2+1=1，解得k=34，
∴直線l為：3x?4y+6=0．
綜上所述，直線l的方程為x=?2或3x?4y+6=0．

18.解：(1)
因為3Sn+an=4①，
當(dāng)n=1時可得3a1+a1=4，即a1=1≠0．
當(dāng)n≥2時，3Sn?1+an?1=4②
由①?②得4an?an?1=0n≥2，即anan?1=14n≥2，
即an是以1為首項，14為公比的等比數(shù)列，
所以an=1×14n?1=14n?1．
(2)
因為bn=nan=n14n?1，
所以Tn=1×140+2×141+3×142+?+n×14n?1，
14Tn=1×141+2×142+?+n?1×14n?1+n×14n，
兩式相得，34Tn=140+141+142+?+14n?1?n×14n，
即34Tn=1?14n?1×141?14?n14n，
則34Tn=43?n+4314n，
故Tn=169?43n+4314n．
(3)
由(2)知Tn≤169+λan，
所以有169?43n+4314n≤169+λ14n?1，
即λ≥?n3?49，
依題意，?n∈N?不等式λ≥?n3?49恒成立，
因為y=?n3?49隨著n增大而減小，所以λ≥?79，
即λ的取值范圍為?79,+∞．

19.【詳解】(1)
由離心率e=2可得ca=2，即c=2a①，
利用c2=a2+b2得b2=c2?a2=4a2?a2=3a2②，
根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)直線x=a2c與漸近線y=bax的交點(diǎn)為P．
聯(lián)立x=a2cy=bax，得Pa2c,abc，
由PF= 3可得，abc2+c?a2c2=3③，
由①②③解得a=1，b= 3，c=2．
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2?y23=1．
(2)
由題意可知直線MN的斜率不為零，所以設(shè)直線MN的方程為x=my+n，
Mx1,y1，Nx2,y2，由x2?y23=1x=my+n，得3m2?1y2+6mny+3n2?1=0，
由Δ=36m2n2?123m2?1n2?1>0，得3m2+n2?1>0，
所以y1+y2=?6mn3m2?1，y1y2=3n2?13m2?1，易知A(?1,0)，所以k1=y1x1+1，k2=y2x2+1，
因為k1?k2=?2，所以y1x1+1?y2x2+1=?2，
所以y1y2+2x1+1x2+1=0，所以y1y2+2my1+n+1my2+n+1=0，
化簡得2m2+1y1y2+2mn+1y1+y2+2n+12=0，
所以2m2+1?3n2?13m2?1?2mn+1?6mn3m2?1+2n+12=0，
所以3n2?12m2+1?12m2nn+1+2n+123m2?1=0，
化簡得n2?4n?5=0，解得n=5或n=?1，
因為M，N是C右支上的兩動點(diǎn)，所以n>0，所以n=5，
所以直線MN的方程為x=my+5，所以直線MN恒過定點(diǎn)5,0．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定點(diǎn)問題，先猜后證，可先考慮運(yùn)動圖形是否有對稱性及特殊(或極端)位置猜想，如直線的水平位置、豎直位置，即k=0或k不存在時．找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)符合題意(運(yùn)用斜率相等或者三點(diǎn)共線)或證明與變量無關(guān)．

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