2025年遼寧省大連市中考一模數(shù)學(xué)模擬試卷（二）（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1. 拒絕“餐桌浪費(fèi)”，刻不容緩，節(jié)約一粒米的帳：一個(gè)人一日三餐少浪費(fèi)一粒米，全國(guó)一年就可以節(jié)省3240萬斤，這些糧食可供9萬人吃一年，“3240萬”這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）
A. B. C. D.
2. 如圖，將一個(gè)正六棱柱按如圖所示的方式截去一個(gè)角，則所形成的幾何體的俯視圖為（）
A. B. C. D.
3. 若，則中最大的一個(gè)數(shù)是（）
A. B. C. aD. ab
4. 下列圖案中，不能看成是軸對(duì)稱圖形的是（）
A. B.
C. D.
5. 如圖，已知直線，分別交直線于點(diǎn)，直線相交于點(diǎn)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）
A. B. C. D.
6. 下列各式中正確的是（）
A. B.
C D.
7. 下列命題中，是真命題的是（）
A. 兩條直線被第三條直線所截，同位角相等
B. 過一點(diǎn)有無數(shù)條直線與已知直線平行
C. 在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行
D. 直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做這點(diǎn)到直線的距離
8. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，左平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）
A. B. C. D.
9. 現(xiàn)有五張質(zhì)地均勻，大小完全相同的卡片，在其正面分別標(biāo)有數(shù)字，，0，2，3，把卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽出一張后，不放回，再?gòu)闹须S機(jī)抽出一張，則兩次抽出的卡片所標(biāo)數(shù)字之和為正數(shù)的概率為（）
A. B. C. D.
10. 我們知道，通過列表，描點(diǎn)，連線可以畫出一個(gè)函數(shù)的圖象．在畫完函數(shù)的圖象后，何老師給同學(xué)們提出一個(gè)問題：“不通過畫圖，你能解釋為什么函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限嗎？”．聰明的小亮經(jīng)過思考，給出了這樣的解答：“當(dāng)時(shí)，，此時(shí)描出的點(diǎn)都在第一象限；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)描出的點(diǎn)都在第三象限．所以函數(shù)的圖象一定經(jīng)過第一、三象限”．大家不禁為善于思考的小亮鼓掌．最后何老師又給大家留了一道思考題：下面四個(gè)圖象中哪個(gè)是函數(shù)的圖象（）
A. B.
C. D.
非選擇題（共90分）
二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）
11. 化簡(jiǎn)分式的結(jié)果是_______.
12. 若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍____．
13. 如圖，直尺經(jīng)過一副三角板的直角頂點(diǎn)，若，，的大小為__________．
14. 如圖，平行于地面的圓桌正上方有一個(gè)燈泡(看作一個(gè)點(diǎn))，它發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成圓形陰影，經(jīng)測(cè)量得，地面上圓形陰影的半徑比桌面半徑大0.5米，桌面的直徑為2米，桌面距離地面的高度為1.5米，則燈泡到桌面的距離為米_____．
15. 如圖，拋物線過點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC，點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，連接AD，CD，AD交BC于點(diǎn)P．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為________．
三．解答題（共8小題，滿分75分）
16. （1）計(jì)算：；
（2）解方程：．
17. 為了豐富學(xué)生的閱讀資源，某校圖書館準(zhǔn)備采購(gòu)文學(xué)名著和人物傳記兩類圖書．經(jīng)了解，30本文學(xué)名著和20本人物傳記共需1150元，20本文學(xué)名著比20本人物傳記多100元．（注：所采購(gòu)的文學(xué)名著價(jià)格都一樣，所采購(gòu)的人物傳記價(jià)格都一樣．）
（1）求每本文學(xué)名著和人物傳記各多少元？
（2）若學(xué)校要求購(gòu)買文學(xué)名著比人物傳記多20本，總費(fèi)用不超過2000元，請(qǐng)求出人物傳記至多買多少本？
18. 北京冬奧會(huì)的開幕式驚艷了世界，在這背后離不開志愿者們的默默奉獻(xiàn)，這些志愿者很多來自高校，在志愿者招募之時(shí)，甲、乙兩所大學(xué)就積極組織了志愿者選拔活動(dòng)，對(duì)報(bào)名的志愿者進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試，現(xiàn)從兩所大學(xué)參加測(cè)試的志愿者中分別隨機(jī)抽取了20名志愿者的測(cè)試成績(jī)進(jìn)行整理和分析（成績(jī)得分用x表示，滿分100分，共分成五組：A．，B．，C．；D．，E．），下面給出了部分信息：
a．甲校20名志愿者的成績(jī)?cè)贒組的數(shù)據(jù)是：90，91，91，92；
b．乙校20名志愿者的成績(jī)是：82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．
c．甲校抽取志愿者成績(jī)的扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：
d．甲、乙兩校抽取志愿者成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表所示：
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）由上表填空：________，_______，________．
（2）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者參加了此次測(cè)試，估計(jì)甲乙兩校此次參加測(cè)試的志愿者中，成績(jī)?cè)?0分以上的志愿者共有多少人？
19. 項(xiàng)目化學(xué)習(xí)
項(xiàng)目主題：確定不同運(yùn)動(dòng)效果的心率范圍，
項(xiàng)目背景：最大心率指人體在進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)心臟每分鐘跳動(dòng)的最大次數(shù)．某校綜合與實(shí)踐小組的同學(xué)以“探究不同運(yùn)動(dòng)效果的心率范圍”為主題展開項(xiàng)目學(xué)習(xí)．
驅(qū)動(dòng)任務(wù)：探究最大心率與年齡的關(guān)系．
收集數(shù)據(jù)：綜合與實(shí)踐小組同學(xué)通過某醫(yī)學(xué)雜志收集到不同年齡最大心率數(shù)據(jù)如下：
問題解決：
（1）根據(jù)表中的信息，可以推斷最大心率y（次/分）是年齡x（周歲）的______函數(shù)關(guān)系（填“一次”“二次”或“反比例”）；求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
（2）已知不同運(yùn)動(dòng)效果時(shí)的心率如下：
20周歲的小李想要達(dá)到提升耐力的效果，他的運(yùn)動(dòng)心率應(yīng)該控制在______次/分至______次分；30周歲的小美想要達(dá)到燃燒脂肪的效果，她的運(yùn)動(dòng)心率應(yīng)該控制在______次/分至______次/分．
20. 舞獅文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，其中高樁舞獅是一項(xiàng)集體育與藝術(shù)于一體競(jìng)技活動(dòng)，也被廣泛應(yīng)用于各種慶典活動(dòng)，成為傳承中國(guó)傳統(tǒng)文化的重要載體（如圖①所示）．在舞獅表演中，梅花樁垂直于地面，且在一直線上（如圖②所示）．如果在樁頂處測(cè)得樁頂和樁頂?shù)难鼋欠謩e為和，且樁與樁的高度差為米，兩樁的距離為米．
（1）舞獅人從跳躍到，隨后再跳躍至，所成的角；
（2）求樁與樁的距離的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米）
21. 如圖，已知在中，，以A為圓心，的長(zhǎng)為半徑作圓，是的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．

（1）請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)過點(diǎn)A作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，連接．
①試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；
②若，的半徑為3，求的長(zhǎng)．
22. △ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連接AD，在線段AD上有一點(diǎn)M，連接CM，以AM為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，向右作等腰直角三角形AMN．
（1）如圖1，若sin∠MCD＝，CD＝4，求線段MN的長(zhǎng)；
（2）如圖2，將等腰直角三角形AMN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α°＜45°），連接CM、DM、CN，若DM∥CN，求證：4DM2+CN2＝CM2；
（3）如圖3，線段MN交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別為線段BC、線段AC上的點(diǎn)，連接PM、QN，將△DPM沿PM翻折得到ΔD'PM，將△EQN沿QN翻折得到ΔE'QN，若AM＝3DM，BC＝8，在線段BC上找一點(diǎn)F，連接FD'、FE'，請(qǐng)直接寫出FD'+FE'的最小值．
23. 定義：在平面直角坐標(biāo)系中有兩個(gè)函數(shù)的圖象，如果在這兩個(gè)圖象上分別取點(diǎn)，（為自變量取值范圍內(nèi)的任意數(shù)），都有點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱（這三個(gè)點(diǎn)可以重合），那么稱這兩個(gè)函數(shù)互為“中心對(duì)稱函數(shù)”．例如：和互為“中心對(duì)稱函數(shù)”．
（1）如果點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，那么三個(gè)數(shù)，，滿足的等量關(guān)系是；
（2）已知函數(shù)：① 和；②和；③和，其中互為“中心對(duì)稱函數(shù)”的是_____ （填序號(hào)）；
（3）已知函數(shù)的“中心對(duì)稱函數(shù)”的圖象與反比例函數(shù)
的圖象在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)，，且的面積為4．
①求的值；
②反比例函數(shù)的“中心對(duì)稱函數(shù)”的圖象在第一象限內(nèi)是否存在最低點(diǎn)，若存在，直接寫出反比例函數(shù)的“中心對(duì)稱函數(shù)“的函數(shù)表達(dá)式和該函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)最低點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；
（4）已知三個(gè)不同的點(diǎn)，，都在二次函數(shù)（，，為常數(shù)，且）的“中心對(duì)稱函數(shù)”的圖象上，且滿足．如果恒成立，求的取值范圍．
2025年遼寧省大連市中考一模數(shù)學(xué)模擬試卷（二）
選擇題（共30分）
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1. 拒絕“餐桌浪費(fèi)”，刻不容緩，節(jié)約一粒米的帳：一個(gè)人一日三餐少浪費(fèi)一粒米，全國(guó)一年就可以節(jié)省3240萬斤，這些糧食可供9萬人吃一年，“3240萬”這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，n是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)n是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．
【詳解】解：3240萬，
故選：C．
2. 如圖，將一個(gè)正六棱柱按如圖所示的方式截去一個(gè)角，則所形成的幾何體的俯視圖為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖形進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：從上面看，看到的圖形上部分是一個(gè)五邊形，下部分是一個(gè)三角形，即看到的圖形如下：
故選：B．
3. 若，則中最大的一個(gè)數(shù)是（）
A. B. C. aD. ab
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了運(yùn)用有理數(shù)的概念、有理數(shù)加減運(yùn)算、有理數(shù)的大小比較等知識(shí)點(diǎn)，掌握有理數(shù)的加減運(yùn)算法則成為解題的關(guān)鍵．
根據(jù)有理數(shù)的概念與運(yùn)算法則進(jìn)行比較即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∴中最大的一個(gè)數(shù)是．
故選：A．
4. 下列圖案中，不能看成是軸對(duì)稱圖形的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)“一個(gè)圖形沿某條直線進(jìn)行折疊，直線兩旁部分能夠完全重合的圖形是軸對(duì)稱圖形”進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：A、軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；
B、不是軸對(duì)稱圖形，故符合題意；
C、是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；
D、是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；
故選B．
5. 如圖，已知直線，分別交直線于點(diǎn)，直線相交于點(diǎn)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查平行線分線段成比例：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．
【詳解】解：∵，
，，，
選項(xiàng)A、B、C正確，不符合題意；D錯(cuò)誤，符合題意；
故選：D．
6. 下列各式中正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析】A. ，不成立；
B. ，成立；
C. ，不成立；
D. ，不成立．
【詳解】A. ，∵，故不能選；
B. ，正確，故能選；
C. ，∵，故不能選；
D. ，∵，故不能選．
故答案為B
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的運(yùn)算，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握乘方運(yùn)算，平方差公式，完全平方公式，同底數(shù)冪除法的法則．
7. 下列命題中，是真命題的是（）
A. 兩條直線被第三條直線所截，同位角相等
B. 過一點(diǎn)有無數(shù)條直線與已知直線平行
C. 在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行
D. 直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做這點(diǎn)到直線的距離
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了命題與定理、平行線的判定、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理是判斷命題的真假關(guān)鍵．
根據(jù)平行線的性質(zhì)、平行公理的推論、平行線的判定、點(diǎn)到直線的距離的定義逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A、兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，故本選項(xiàng)命題是假命題，不符合題意；
B、過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項(xiàng)命題是假命題，不符合題意；
C、在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，是真命題，符合題意；
D、直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這點(diǎn)到直線的距離，故本選項(xiàng)命題是假命題，不符合題意．
故選：C．
8. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，左平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，平移等知識(shí)，利用旋轉(zhuǎn)變換、平移變換的性質(zhì)作出圖形，可得結(jié)論．解題的關(guān)鍵是正確作出圖形，屬于中考常考題型．
【詳解】解：如圖，．
故選：A．
9. 現(xiàn)有五張質(zhì)地均勻，大小完全相同的卡片，在其正面分別標(biāo)有數(shù)字，，0，2，3，把卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽出一張后，不放回，再?gòu)闹须S機(jī)抽出一張，則兩次抽出的卡片所標(biāo)數(shù)字之和為正數(shù)的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】畫樹狀圖法或列表法，根據(jù)題意利用概率計(jì)算公式，進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，共有20種等可能結(jié)果，其中和為正數(shù)的有12種結(jié)果，
所以和為正數(shù)的概率為，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了等可能情形下的概率計(jì)算，掌握概率計(jì)算的方法是解題的關(guān)鍵．
10. 我們知道，通過列表，描點(diǎn)，連線可以畫出一個(gè)函數(shù)的圖象．在畫完函數(shù)的圖象后，何老師給同學(xué)們提出一個(gè)問題：“不通過畫圖，你能解釋為什么函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限嗎？”．聰明的小亮經(jīng)過思考，給出了這樣的解答：“當(dāng)時(shí)，，此時(shí)描出的點(diǎn)都在第一象限；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)描出的點(diǎn)都在第三象限．所以函數(shù)的圖象一定經(jīng)過第一、三象限”．大家不禁為善于思考的小亮鼓掌．最后何老師又給大家留了一道思考題：下面四個(gè)圖象中哪個(gè)是函數(shù)的圖象（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查函數(shù)的圖形，根據(jù)的非負(fù)性，得到，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：∵為二次根式，
∴，，
∴函數(shù)圖象中自變量的取值范圍為：函數(shù)值的范圍為，
觀察圖象可知，只有選項(xiàng)C符合題意；
故選：C．
非選擇題（共90分）
二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）
11. 化簡(jiǎn)分式的結(jié)果是_______.
【答案】##
【解析】
【分析】本題主要考查了分式加減運(yùn)算，根據(jù)異分母分式加減運(yùn)算法則，先通分，然后再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．
【詳解】解：
．
故答案為：．
12. 若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍____．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查了不等式的解集，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．根據(jù)已知解集得到為負(fù)數(shù)，即可確定出的范圍．
【詳解】解：不等式的解集為，
，
解得．
故答案為：．
13. 如圖，直尺經(jīng)過一副三角板的直角頂點(diǎn)，若，，的大小為__________．
【答案】##50度
【解析】
【分析】此題主要考查了三角形的外角定理，平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握三角形的外角定理，平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
先根據(jù)三角形外角定理得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)．
【詳解】解：∵是的一個(gè)外角，
，
，
，
，
，
故答案為：．
14. 如圖，平行于地面的圓桌正上方有一個(gè)燈泡(看作一個(gè)點(diǎn))，它發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成圓形陰影，經(jīng)測(cè)量得，地面上圓形陰影的半徑比桌面半徑大0.5米，桌面的直徑為2米，桌面距離地面的高度為1.5米，則燈泡到桌面的距離為米_____．
【答案】3
【解析】
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，先根據(jù)題意畫出幾何模型如圖，米、（米）、米、，可得，即，然后將相關(guān)數(shù)據(jù)代入即可解答．
【詳解】解：構(gòu)造幾何模型如圖：
依題意知：米，（米），米，
∵,
∴
∴ ，即，解得：，
故：燈泡距離桌面3米．
故答案為：3．
15. 如圖，拋物線過點(diǎn)，與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC，點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，連接AD，CD，AD交BC于點(diǎn)P．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．
利用待定系數(shù)法求得拋物線的表達(dá)式為，過點(diǎn)A作x軸的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則，推導(dǎo)出、為定值；求得的函數(shù)表達(dá)式為，推導(dǎo)出，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最大，的值最小，進(jìn)而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)即可．
【詳解】解：∵拋物線過點(diǎn)，代入拋物線得：
∴，解得：．
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，解得或6，
∴；
設(shè)直線解析式為，代入得：
，解得：，
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為；
如圖：過點(diǎn)A作x軸的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，即，
∵和等高，
∴，
∵軸，
∴，代入直線的函數(shù)表達(dá)式得：
，解得：，
∴，
∴為定值．
∴要使的值最小，則的長(zhǎng)最大．
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，，則，
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，
令，則，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最大，的值最小，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
故答案為：．
三．解答題（共8小題，滿分75分）
16. （1）計(jì)算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法是解題的關(guān)鍵．
（1）先算零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)二次根式，再算加減即可；
（2）整理后，利用配方法求解即可．
【詳解】解：（1）
（2）
解得：．
17. 為了豐富學(xué)生的閱讀資源，某校圖書館準(zhǔn)備采購(gòu)文學(xué)名著和人物傳記兩類圖書．經(jīng)了解，30本文學(xué)名著和20本人物傳記共需1150元，20本文學(xué)名著比20本人物傳記多100元．（注：所采購(gòu)的文學(xué)名著價(jià)格都一樣，所采購(gòu)的人物傳記價(jià)格都一樣．）
（1）求每本文學(xué)名著和人物傳記各多少元？
（2）若學(xué)校要求購(gòu)買文學(xué)名著比人物傳記多20本，總費(fèi)用不超過2000元，請(qǐng)求出人物傳記至多買多少本？
【答案】（1）每本文學(xué)名著25元，每本人物傳記20元；
（2）人物傳記至多買33本．
【解析】
【分析】本題主要考查的是二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．解決這個(gè)問題的關(guān)鍵就是找出等量關(guān)系和不等式關(guān)系．
（1），首先設(shè)每本文學(xué)名著元，每本人物傳記元，然后根據(jù)題意列出二元一次方程組，從而得出答案；
（2），設(shè)購(gòu)買人物傳記本，文學(xué)名著（）本，根據(jù)題意列出不等式，從而求出不等式的解，最后根據(jù)m為整數(shù)得出答案．
【小問1詳解】
解：設(shè)每本文學(xué)名著元，每本人物傳記元，
，
解得，
答：每本文學(xué)名著25元，每本人物傳記20元．
【小問2詳解】
解：設(shè)購(gòu)買人物傳記本，文學(xué)名著本，
，
解得：，
為整數(shù)，
，
∴人物傳記至多買33本．
18. 北京冬奧會(huì)的開幕式驚艷了世界，在這背后離不開志愿者們的默默奉獻(xiàn)，這些志愿者很多來自高校，在志愿者招募之時(shí)，甲、乙兩所大學(xué)就積極組織了志愿者選拔活動(dòng)，對(duì)報(bào)名的志愿者進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試，現(xiàn)從兩所大學(xué)參加測(cè)試的志愿者中分別隨機(jī)抽取了20名志愿者的測(cè)試成績(jī)進(jìn)行整理和分析（成績(jī)得分用x表示，滿分100分，共分成五組：A．，B．，C．；D．，E．），下面給出了部分信息：
a．甲校20名志愿者的成績(jī)?cè)贒組的數(shù)據(jù)是：90，91，91，92；
b．乙校20名志愿者的成績(jī)是：82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．
c．甲校抽取志愿者成績(jī)的扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：
d．甲、乙兩校抽取的志愿者成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表所示：
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）由上表填空：________，_______，________．
（2）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者參加了此次測(cè)試，估計(jì)甲乙兩校此次參加測(cè)試的志愿者中，成績(jī)?cè)?0分以上的志愿者共有多少人？
【答案】（1）；96；90
（2）325人
【解析】
【分析】本題主要考查了求中位數(shù)，求眾數(shù)，求扇形圓心角度數(shù)，用樣本估計(jì)總體，正確讀懂統(tǒng)計(jì)圖是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求出中位數(shù)和眾數(shù)即可；再用360度乘以甲校C等級(jí)的占比即可得到答案；
（2）用甲乙兩校的人數(shù)分別乘以其樣本中得分在90分以上的人數(shù)占比，然后求和即可得到答案．
【小問1詳解】
解：E的人數(shù)：（人）,
把甲校的成績(jī)從低到高排列，處在第10名和第11名的成績(jī)分別為91分，92分，
∴甲校的中位數(shù)；
∵乙校得分中，得96分的人數(shù)最多，
∴乙校的眾數(shù)；
，
故答案為：；96；90；
【小問2詳解】
解：人，
∴估計(jì)甲乙兩校此次參加測(cè)試的志愿者中，成績(jī)?cè)?0分以上的志愿者共有325人．
19. 項(xiàng)目化學(xué)習(xí)
項(xiàng)目主題：確定不同運(yùn)動(dòng)效果的心率范圍，
項(xiàng)目背景：最大心率指人體在進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)心臟每分鐘跳動(dòng)的最大次數(shù)．某校綜合與實(shí)踐小組的同學(xué)以“探究不同運(yùn)動(dòng)效果的心率范圍”為主題展開項(xiàng)目學(xué)習(xí)．
驅(qū)動(dòng)任務(wù)：探究最大心率與年齡的關(guān)系．
收集數(shù)據(jù)：綜合與實(shí)踐小組的同學(xué)通過某醫(yī)學(xué)雜志收集到不同年齡最大心率數(shù)據(jù)如下：
問題解決：
（1）根據(jù)表中的信息，可以推斷最大心率y（次/分）是年齡x（周歲）的______函數(shù)關(guān)系（填“一次”“二次”或“反比例”）；求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
（2）已知不同運(yùn)動(dòng)效果時(shí)的心率如下：
20周歲的小李想要達(dá)到提升耐力的效果，他的運(yùn)動(dòng)心率應(yīng)該控制在______次/分至______次分；30周歲的小美想要達(dá)到燃燒脂肪的效果，她的運(yùn)動(dòng)心率應(yīng)該控制在______次/分至______次/分．
【答案】（1）一次，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）140，160，114，133
【解析】
【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握一次函數(shù)的判斷及待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)“年齡增加5周歲，最大心率減少5次/分”即可判定函數(shù)類型，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式；
（2）分別將和代入（1）中求得的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)效果對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)心率占最大心率的百分比計(jì)算即可．
小問1詳解】
解：根據(jù)表中的信息可知，年齡增加5周歲，最大心率減少5次/分，
∴可以推斷最大心率y（次/分）是年齡x（周歲）的一次函數(shù)關(guān)系．
故答案為：一次．
設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（k、b為常數(shù)，且）．
將和分別代入,
得，解得：，
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為．
【小問2詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，（次/分），（次/分），
∴小李的運(yùn)動(dòng)心率應(yīng)該控制在140次/分至160次/分；
當(dāng)時(shí)，，（次/分），（次/分），
∴小美的運(yùn)動(dòng)心率應(yīng)該控制在114次/分至133次/分．
故答案為：140，160；114，133．
20. 舞獅文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，其中高樁舞獅是一項(xiàng)集體育與藝術(shù)于一體的競(jìng)技活動(dòng)，也被廣泛應(yīng)用于各種慶典活動(dòng)，成為傳承中國(guó)傳統(tǒng)文化的重要載體（如圖①所示）．在舞獅表演中，梅花樁垂直于地面，且在一直線上（如圖②所示）．如果在樁頂處測(cè)得樁頂和樁頂?shù)难鼋欠謩e為和，且樁與樁的高度差為米，兩樁的距離為米．
（1）舞獅人從跳躍到，隨后再跳躍至，所成的角；
（2）求樁與樁的距離的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米）
【答案】（1）
（2）米
【解析】
【分析】本題主要考查仰俯角解直角三角形的運(yùn)用，理解并掌握解直角三角形的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)仰俯角，平角為即可求解；
（2）過點(diǎn)作，分別交于點(diǎn)，則四邊形、、都是矩形，設(shè)米，則米，在中，由函數(shù)函數(shù)的計(jì)算，得到，在中，，得到，由，即可求解．
【小問1詳解】
解：在樁頂處測(cè)得樁頂和樁頂?shù)难鼋欠謩e為和，
∴，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：過點(diǎn)作，分別交于點(diǎn)，
∵，，，
∴，
∴四邊形、、都是矩形，
∴，
設(shè)米，則米，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴ ，
解得，（米），
答：樁與樁的距離的長(zhǎng)約為米．
21. 如圖，已知在中，，以A為圓心，的長(zhǎng)為半徑作圓，是的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．

（1）請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)過點(diǎn)A作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，連接．
①試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；
②若，的半徑為3，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見解析（2）①與相切，理由見解析；②6
【解析】
【分析】（1）使用尺規(guī)作圖作線段垂線，分別以點(diǎn)、點(diǎn)為圓心，作半徑相同的圓弧，交于一點(diǎn)，連接點(diǎn)A與該點(diǎn)并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
（2）①根據(jù)垂直平分線性質(zhì)求得，則與相切；
②在中，由勾股定理可得即可得，在中，由即可求解．
【小問1詳解】
如圖，為所作垂線；
【小問2詳解】
①與相切，理由如下∶
在中，是的垂線，
，且是的垂直平分線，
，
，
與相切于點(diǎn)，
，即，
與相切；
②在中，
根據(jù)勾股定理，得：
在中，
【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的判定定理、垂直平分線性質(zhì)和勾股定理，銳角三角函數(shù)，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．
22. △ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連接AD，在線段AD上有一點(diǎn)M，連接CM，以AM為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，向右作等腰直角三角形AMN．
（1）如圖1，若sin∠MCD＝，CD＝4，求線段MN的長(zhǎng)；
（2）如圖2，將等腰直角三角形AMN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α°＜45°），連接CM、DM、CN，若DM∥CN，求證：4DM2+CN2＝CM2；
（3）如圖3，線段MN交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別為線段BC、線段AC上的點(diǎn)，連接PM、QN，將△DPM沿PM翻折得到ΔD'PM，將△EQN沿QN翻折得到ΔE'QN，若AM＝3DM，BC＝8，在線段BC上找一點(diǎn)F，連接FD'、FE'，請(qǐng)直接寫出FD'+FE'的最小值．
【答案】（1）4﹣2
（2）見解析（3）
【解析】
【分析】（1）首先利用解直角三角形求出DM＝，得到AM=4﹣，然后利用解直角三角形得到MN的值；
（2）連接BM并延長(zhǎng)交CN于E，首先利用△BAM≌△CAM得到∠MBA＝∠ACN，BM＝AN，再利用△BDM∽△BCE得出結(jié)果；
（3）利用勾股定理得到GN＝，在利用△GFD∽△GNA求出MF＝GF＝，得出結(jié)果．
【小問1詳解】
解：∵∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AB＝AC，
∴AD＝CD＝＝4，AD⊥BC，
∵sin∠MCD＝，
∴tan∠MCD＝＝，
∴DM＝CD?tan∠MCD＝4×＝，
∴AM＝AD﹣DM＝4﹣，
在Rt△AMN中，
MN＝＝＝4﹣2；
【小問2詳解】
證明：如圖1，
連接BM并延長(zhǎng)交CN于E，
∵∠BAC＝∠MAN＝90°，
∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，
即：∠BAM＝∠CAN，
在△BAM和△CAN中，
，
∴△BAM≌△CAM（SAS），
∴∠MBA＝∠ACN，BM＝CN，
∴點(diǎn)A、B、C、E共圓，
∴∠BEC＝∠BAC＝90°，
∴EM2+CE2＝CM2，
∵DM∥CN，
∴△BDM∽△BCE，
∴，
∴CE＝2DM，EM＝BM，
∴EM＝CN，
∴4DM2+CN2＝CM2；
【小問3詳解】
如圖2，
∵AD＝CD＝BC＝4，AM＝3DM，
∴DM＝1，AM＝3，MN＝＝3，NE＝MN＝，
∵M(jìn)D′＝DM＝1，NE′＝NE＝，
∴點(diǎn)D′在以M為圓心，1為半徑的圓上，點(diǎn)E′在以N為圓心，為半徑的圓上，
作點(diǎn)M關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接GN交BC于F，交⊙N于E′，
則FD'+FE'的最小，
在Rt△AGN中，AG＝DG+AD＝1+4＝5，AN＝3，
∴GN＝＝＝，
∵DF∥AN，
∴△GFD∽△GNA，
∴，
∴，
∴GF＝，
∴MF＝GF＝，
∴FD'+FE'＝MF﹣MD′+FN﹣NE′＝GF+FN﹣NE′﹣MD′＝GN﹣NE′﹣MD′，
即：．
【點(diǎn)睛】本題是幾何綜合題，利用軸對(duì)稱確定最小值時(shí)點(diǎn)F的位置是解決問題的關(guān)鍵．
23. 定義：在平面直角坐標(biāo)系中有兩個(gè)函數(shù)的圖象，如果在這兩個(gè)圖象上分別取點(diǎn)，（為自變量取值范圍內(nèi)的任意數(shù)），都有點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱（這三個(gè)點(diǎn)可以重合），那么稱這兩個(gè)函數(shù)互為“中心對(duì)稱函數(shù)”．例如：和互為“中心對(duì)稱函數(shù)”．
（1）如果點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，那么三個(gè)數(shù)，，滿足的等量關(guān)系是；
（2）已知函數(shù)：① 和；②和；③和，其中互為“中心對(duì)稱函數(shù)”的是_____ （填序號(hào)）；
（3）已知函數(shù)的“中心對(duì)稱函數(shù)”的圖象與反比例函數(shù)
的圖象在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)，，且的面積為4．
①求的值；
②反比例函數(shù)的“中心對(duì)稱函數(shù)”的圖象在第一象限內(nèi)是否存在最低點(diǎn)，若存在，直接寫出反比例函數(shù)的“中心對(duì)稱函數(shù)“的函數(shù)表達(dá)式和該函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)最低點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；
（4）已知三個(gè)不同的點(diǎn)，，都在二次函數(shù)（，，為常數(shù)，且）的“中心對(duì)稱函數(shù)”的圖象上，且滿足．如果恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）②③ （3）①；②
（4）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，得點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn)連線的中點(diǎn)，即可得到；
（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，函數(shù)和互為“中心對(duì)稱函數(shù)”，分別將①，②，③組內(nèi)的兩函數(shù)相加，若結(jié)果為，則互為“中心對(duì)稱函數(shù)”，由此即可得出答案；
（3）先求出函數(shù)的“中心對(duì)稱函數(shù)”是，由，為函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象在第一象限的兩個(gè)交點(diǎn)，可設(shè)，，再利用割補(bǔ)法求三角形面積得，進(jìn)而得，再將的代數(shù)式代入點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)的值相等，得，求解即可得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得的值，然后求出的“中心對(duì)稱函數(shù)”為，根據(jù)不等式公式可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在第一象限內(nèi)的值最小，求解即可得該函數(shù)在第一象限內(nèi)最低點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）由“中心對(duì)稱函數(shù)”的定義得的“中心對(duì)稱函數(shù)”為，根據(jù)，都在的圖象上，可得，，再根據(jù)，將，的代數(shù)式代入不等式，得，結(jié)合，將不等式化簡(jiǎn)變形得，再根據(jù)點(diǎn)，的縱坐標(biāo)相等，得拋物線的對(duì)稱軸為，即，即可得到的取值范圍為，然后令，化為頂點(diǎn)式為，根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可得的取值范圍．
【小問1詳解】
解：點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，
，
故答案為：．
【小問2詳解】
解：①令，，
，
和不互為“中心對(duì)稱函數(shù)”，
②令，
，
和互為“中心對(duì)稱函數(shù)”，
③令和，
，
和互為“中心對(duì)稱函數(shù)”，
故答案為：②③．
【小問3詳解】
解：函數(shù)的“中心對(duì)稱函數(shù)”是，
如圖，令函數(shù)與軸，軸的交點(diǎn)分別為，，
令，則，故，
令，則，得，故，
點(diǎn)，為函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象在第一象限的兩個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)，，
，的面積為4，
，
，
，
，
解得，，
，
，
，
的“中心對(duì)稱函數(shù)”為，
當(dāng)時(shí)，，
，即時(shí)，的值最小，
的函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)最低點(diǎn)坐標(biāo)為．
【小問4詳解】
解：的“中心對(duì)稱函數(shù)”為，
，都在的圖象上，
，，
，
，
，
，
，
，
，
點(diǎn)，的縱坐標(biāo)相等，
拋物線的對(duì)稱軸為，即，
，
，
，
令，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，
時(shí)，，即，
恒成立，
．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了中心對(duì)稱的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題，不等式的求解，解題關(guān)鍵是讀懂題意，理解“中心對(duì)稱函數(shù)”的定義，利用中心對(duì)稱的性質(zhì)找到的等量關(guān)系，利用割補(bǔ)法求三角形面積，確定反比例函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握不等式的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的對(duì)稱性求對(duì)稱軸及利用二次函數(shù)的增減性求最值．
學(xué)校
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
甲
92
a
95
乙
92
b
年齡x/周歲
12
17
22
27
32
37
42
47
最大心率y/（次/分）
208
203
198
193
188
183
178
173
運(yùn)動(dòng)效果
運(yùn)動(dòng)心率占最大心率的百分比
燃燒脂肪
提升耐力
學(xué)校
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
甲
92
a
95
乙
92
b
年齡x/周歲
12
17
22
27
32
37
42
47
最大心率y/（次/分）
208
203
198
193
188
183
178
173
運(yùn)動(dòng)效果
運(yùn)動(dòng)心率占最大心率的百分比
燃燒脂肪
提升耐力

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