一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.
1. 命題“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】命題“”的否定是.
故選：D
2. 下列表達式中不正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】對于正確；對于中無任何元素，而有一個元素錯誤；
對于C，，C正確；對于D，數(shù)對滿足，則D正確.
故選：B
3. 已知實數(shù)且，函數(shù)的大致圖象如下，則，的取值范圍可能為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由圖象可知函數(shù)是減函數(shù)，所以；
當時，，所以．
故選：C.
4. 若復數(shù)的實部為，則點的軌跡是（ ）
A. 直徑為2的圓B. 實軸長為2的雙曲線
C. 直徑為1的圓D. 虛軸長為2的雙曲線
【答案】A
【解析】因為，所以，即，
所以點的軌跡是直徑為2的圓.
故選：A.
5. 如圖，均為直角三角形，為直角頂點，，且，設這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)列為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，這些直角三角形是相似的，并且相鄰兩個三角形的相似比為，
從而這些三角形的周長從小到大組成的數(shù)列是等比數(shù)列，公比，
首項為的周長，因此.
故選：C.
6. 在銳角中，，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由余弦定理可知：，
在銳角三角形中又有，
即
故答案為：C．
7. 過且傾斜角為的直線與曲線交于A，兩點，分別過A，作曲線的兩條切線，，若，，交于，直線的傾斜角為，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如圖，設，，，
由于曲線，則，
所以在A點的切線方程為，
同理在點的切線方程為，
由于點是兩切線的交點，所以，
則為，且過，
且，設，，
，
當且僅當時“”成立，
故選：C.
8. 拓撲排序（Tplgical Srting）是圖論中的一個概念，它適用于有向無環(huán)圖（DAG，DirectedAcyclic Graph）.拓撲排序的結(jié)果是一個線性序列，該序列滿足對于圖中每一條有向邊，頂點在序列中都出現(xiàn)在頂點之前，每個頂點出現(xiàn)且只出現(xiàn)一次.如果圖中含有環(huán)，則無法進行拓撲排序.在一所大學的計算機科學系，學生們必須按照特定的順序選修一系列專業(yè)課程.這些課程之間存在先修要求，意味著某些課程必須在其他課程之前完成.例如，如果課程是課程的先修課，那么學生必須首先完成課程才能選修課程.下圖展示了五門課程及其之間的先修關(guān)系.箭頭表示了先修的要求方向，即箭頭起點的課程必須在箭頭終點的課程之前完成.如果沒有直接的先修關(guān)系，兩門課程可以互換位置.根據(jù)圖形，下列代表了這五門課程的一個正確拓撲排序為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】課程和課程A沒有先修關(guān)系，所以它們可以互換位置.
根據(jù)圖中的箭頭指向，我們知道課程依賴于課程A，
課程依賴于課程A和課程，而課程依賴于課程和課程.
因此，一個有效的拓撲排序應該是先列出沒有其他課程作為先修要求的課程（如），
然后是它的后續(xù)課程（如A），接著是依賴于A或的課程（如和），
最后是所有其他課程都作為其先修課程的課程（如）.選項C符合.
故選：C
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. （多選題）某個國家某種病毒傳播的中期，感染人數(shù)和時間（單位：天）在天里的散點圖如圖所示，下面四個回歸方程類型中有可能適宜作為感染人數(shù)和時間的回歸方程類型的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】根據(jù)圖象可知，函數(shù)圖象隨著自變量的變大，函數(shù)值增長速度越來越快，
結(jié)合選項，可判定為指數(shù)函數(shù)或的特征，
故選：BD.
10. 將兩個各棱長均為1的正三棱錐和的底面重合，得到如圖所示的六面體，則（ ）
A. 該幾何體的表面積為
B. 該幾何體體積為
C. 過該多面體任意三個頂點的截面中存在兩個平面互相垂直
D. 直線平面
【答案】AC
【解析】對于A，，所以表面積為，故A對；
對于B，如圖所示：
設點在平面內(nèi)的投影為，為的中點，則由對稱性可知為三角形的重心，
所以，又因為，
所以正三棱錐的高為，
所以題圖所示幾何體的體積為，故B錯；
對于C，由B選項可知面，由對稱性可知三點共線，
所以面，而面，
所以面面，故C正確；
對于D，建立如圖所示的空間直角坐標系：
其中軸平行，因為，
所以，
設平面的法向量為，所以，
不妨取，解得，所以取，
又，
而，所以直線與平面不平行，故D錯.
故選：AC.
11. 笛卡爾葉形線是一個代數(shù)曲線，首先由笛卡爾在1638年提出．如圖，葉形線經(jīng)過點，點在C上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 直線與C有3個公共點B. 若點P在第二象限，則
C. D.
【答案】BCD
【解析】因為葉形線經(jīng)過點，所以．
聯(lián)立，解得，所以直線與C只有1個公共點，A錯誤．
．
因為點P在第二象限，所以，，
所以，B正確．
若點P在第四象限，則，可推出 ．
因為，
所以．當點P在第二、四象限時，，
所以．當點P是原點或在第一象限時，易得，
所以，C正確．
由，可得，解得，所以，D正確．
故選：BCD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則__________.
【答案】
【解析】由題意可得，
設直線與曲線的切點為，則
又切點在曲線上，所以，聯(lián)立解得，即.
，設直線與曲線的切點為，
所以，又，
聯(lián)立兩式，解得.
故答案為：2
13. 在的展開式中，若的系數(shù)為，則______．
【答案】
【解析】由二項式的展開式的通項公式可得第，
令，可得系數(shù)為，
所以，
則，
則.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)（，）在區(qū)間上單調(diào)，且滿足，，則所有滿足題意的的取值之和為______．
【答案】4
【解析】因為，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，
因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，
所以，則，即，
由函數(shù)在上單調(diào)，得，即，
所以，即，解得，而，故或1或2．
當時，，則，，
結(jié)合，得，此時，
當時，，
因為在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，滿足題意；
當時，，則，，
結(jié)合，得，此時，
當時，，
因為在上不單調(diào)，
故在上不單調(diào)，此時不合題意；
當時，，則，，
結(jié)合，得，此時，
當時，，
因為在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，滿足題意．
綜上，或，所以所有滿足題意的的取值之和為4．
故答案為：4
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 如圖所示，A，B，C是相隔不遠的三座山峰的峰頂，地理測繪員要在A，B，C三點進行測量在C點測得B點的仰角為30°，B與C的海拔高度相差180m；在B點測得A點的仰角為45°．設A，B，C在同一水平面上的射影為，，，且．
（1）求A與C兩點的海拔高度差；
（2）已知該地大氣壓強p（Pa）隨海拔高度h（m）的變化規(guī)律是（），是海平面大氣壓強，設A，C兩處測得的大氣壓強分別為，，估計的值．
參考數(shù)據(jù)：，．
解：（1）如圖，作,
所以，
在△中，因為，
所以，由正弦定理得 ,
解得，同理，
作,
所以，
所以兩點的海拔高度差為.
（2）設A，C兩處的海拔高度為，
由題可知，
由得，，
所以估計的值為.
16. 近年來，我國新能源汽車蓬勃發(fā)展，極大地促進了節(jié)能減排.彭先生計劃在這6個國產(chǎn)新能源品牌或在這4個國產(chǎn)燃油汽車品牌中選擇購車.預計購買新能源汽車比燃油車多花費40000元.據(jù)測算，每行駛5公里，燃油汽車約花費3元，新能源汽車約消耗電1千瓦時.如果購買新能源汽車，彭先生使用國家電網(wǎng)所屬電動汽車公共充電設施充電，充電價格分為峰時、平時、谷時三類，具體收費標準（精確到0.1元/千瓦時）如表：
（1）若彭先生在6個新能源汽車品牌中選出2個品牌作比較，求品牌被選中概率.
（2）若彭先生選購新能源汽車，他在18：00，18：30，19：00，19：30，..，23：30這12個時間點中隨機選擇一個時間點給車充電，每次充電30千瓦時（用時不超過半小時）.設為彭先生每次充電的費用，求的分布列和數(shù)學期望.
（3）求新能源汽車在某個時間段充電1千瓦時的平均費用.
（4）假設彭先生一年駕車約行駛30000公里，按新車使用8年計算，如果只考慮購車成本與能源消耗支出，計算說明選擇新能源汽車和燃油汽車哪個的總花費更少.
解：（1）記事件A：品牌被選中，則.
（2）由題，在18：00-21：00有6個時間點，充電價格為1.0元/千瓦時，
在21：00-23：00有4個時間點，充電價格為0.7元/千瓦時，
在23：00，23：30有2個時間點，充電價格為0.4元/千瓦時，
可能的取值有，則，
分布列如下：
所以元.
（3）充電1千瓦時的費用為1.8元的概率為，
充電1千瓦時的費用為1.5元的概率為，
充電1千瓦時的費用為1.2元的概率為，
所以充電1千瓦時的平均費用為元.
（4）若彭先生選擇新能源汽車，則需要的能源消耗支出為元，
若彭先生選擇新燃油汽車，則需要的能源消耗支出為元，
結(jié)合購車成本有，所以新能源汽車花費更少.
17. 已知橢圓的左、右焦點分別為、，上頂點為，長軸長為，若為正三角形．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點，斜率為的直線與橢圓相交，兩點，求的長；
（3）過點的直線與橢圓相交于，兩點，，直線的方程．
解：（1）依題意可得，解得，所以，
所以橢圓的標準方程為.
（2）由（1）知，，故該直線為，
由，消去可得，
故，所以.

（3）顯然的斜率存在（否則軸，根據(jù)對稱性，，與題設矛盾），
設，，直線為，
由，消去得，顯然，
由韋達定理可得：①，，
又，則，故②，
由①②得，，故，
即，化簡可得，解得.
故直線為.

18. 如圖為正四棱錐為底面的中心．
（1）求證：平面，平面平面；
（2）設為上的一點，．
在下面兩問中選一個，
①若，求直線與平面所成角的大?。?br>②已知平面與平面所成銳二面角大小為，若，求的長．
解：（1）因為底面是正方形，所以，
平面，平面，
所以平面；
，由四棱錐是正四棱錐，
可得平面，平面，所以，
由，平面，
所以平面，
又因為平面，所以平面平面；
（2）選①，如圖，以點為原點，所在的直線分別為軸的
正方向建立空間直角坐標系，由，得
，
，，
由得，
所以，
因為平面，即平面，
所以是平面的一個法向量，
設直線與平面所成角為，
，
由，得，
所以直線與平面所成角為；
選②，同①以點為原點，所在的直線分別為軸的
正方向建立空間直角坐標系，設，得
，
，
由得，
所以，，
設為平面的一個法向量，
則得，令得，
所以，因為平面，
所以是平面的一個法向量，
設平面與平面所成銳二面角的大小為，得，
由，
解得，即.
19. 已知函數(shù).
（1）若是定義域上的增函數(shù)，求的取值范圍；
（2）當時，證明：；
（3）若函數(shù)有兩個極值點，證明：.
解：（1）由題意知函數(shù)的定義域為，
在上恒成立，即在上恒成立.
又，當且僅當時，等號成立，
所以，即實數(shù)的取值范圍是.
（2）當時，，，
所以要證，即證，即證.
構(gòu)造函數(shù)，證明，
令，則，
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，當且僅當時，等號成立.
再構(gòu)造函數(shù)，證明，
令，則，
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，當且僅當時，等號成立，
綜上所得，所以，
又等號不同時成立，（取等號的條件是，取等號的條件是）
所以，即.
（3）先求出的大致范圍，.
由題意知是方程的兩個不同的根.
設，則方程有兩個不同的正實數(shù)根，
所以，解得.
再化簡，
，則，
所以.
由，得，
所以要證，即證，
即證，即證，
即證，即證.
令，即證.
令，
則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即，
所以不等式成立.充電時間段
充電價格
（元/千瓦時）
充電服務費
（元/千瓦時）
峰時
10：00-15：00和18：00-21：00
1.0
平
時
7：00-10：00，15：00-18：00和200-23：00
0.7
0.8
谷時
當日23：00-次日7：00
0.4
54
45
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