一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.
1. 設(shè)復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為，
所以，
所以的共軛復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：D
2. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意得，，
，
∴.
故選：B.
3. 已知是直線的一個方向向量，若，則實數(shù)的值為（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】因為直線的斜率為，所以直線的一個方向向量為，
所以若，則，解得.
故選：A.
4. 已知等差數(shù)列的前項和為，且，等比數(shù)列的首項為1，若，則的值為（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】B
【解析】由題得，
所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，
則.
故選：B
5. 已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，角的終邊與圓交于點.動點以為起點，沿圓周按逆時針方向運動到點，點運動的軌跡長為，當角的終邊為射線時，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題得，且圓O的半徑為，
所以，
所以.
故選：C
6. 已知雙曲線虛軸的兩個端點分別為，左?右焦點分別為，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題，
所以，即，所以，即.
故選：A
7. 若函數(shù)是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意得，函數(shù)定義域為.
∵，
∴，
∵且，∴，則，
∵，∴，解得，
當時，，，不合題意，
∴的取值范圍是.
故選：B.
8. 已知，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】已知，所以，
則，
所以，
當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為1，且，則下列說法正確的是（ ）
A. 數(shù)據(jù)的方差為4
B. 數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17
C. 數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差大于1
D. 若數(shù)據(jù)的中位數(shù)為分位數(shù)為，則
【答案】AB
【解析】對于A：數(shù)據(jù)的方差為，A選項正確；
對于B：數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，B選項正確；
對于C：數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
方差，C選項錯誤；
對于D：若取數(shù)據(jù)，平均數(shù)為10，方差為1，
則中位數(shù)為，因為，所以第5個數(shù)為分位數(shù)，
所以，D選項錯誤.
故選：AB.
10. 如圖，已知圓臺的軸截面為，其中為圓弧的中點，，則（ ）
A. 圓臺的體積為
B. 圓臺母線所在直線與平面所成角的最大值為
C. 過任意兩條母線作圓臺的截面，截面面積的最大值為
D. 過三點的平面與圓臺下底面的交線長為
【答案】ABD
【解析】A.∵，∴圓臺上底面圓半徑為，下底面圓半徑為，
∴圓臺高，
∴圓臺的體積，A正確.
B.由，，得，由得，.
如圖，將圓臺補成圓錐，頂點記為，底面圓的圓心記為，連接，
∵為圓弧的中點，∴.
∵平面，平面，∴，
∵平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面，
此時母線所在直線與平面所成的角最大，最大為，，B正確.
C.由得，，∴，
當兩條母線所在直線夾角為時，截面面積最大，最大值為，C錯誤.
D.如圖，在梯形中，連接并延長交的延長線于點，連接交底面圓于點，則為截面與底面圓的交線.
由得，，，∴，，
取中點，則，
∴，D正確.
故選：ABD.
11. 已知定義在上的偶函數(shù)滿足，設(shè)在上的導(dǎo)函數(shù)為，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由題得，所以即，
所以奇函數(shù)，故，
又由得函數(shù)關(guān)于點對稱，，
所以，故，
所以 ，即函數(shù)是周期為6的函數(shù)，
所以也是周期為6的函數(shù)，即，
由求導(dǎo)得即，
所以，
對于A，，故A正確；
對于B，由函數(shù)關(guān)于點對稱得，故B錯誤；
對于C，由上也是周期為6的函數(shù)，即，C正確；
對于D，由得，
且即，且即，
且即，
所以，
所以，
所以，故D正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.
12. 曲線C：在點M（1，e）處的切線方程為_____________．
【答案】
【解析】因為，所以切線斜率為，切線方程為，
13. 已知分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上三個不同的點，直線的方程為，且的平分線經(jīng)過點，設(shè)內(nèi)切圓的半徑分別為，則__________.
【答案】5
【解析】由題意可知
，
所以由，
由上得，且
所以，
所以，所以即，
令得，故直線經(jīng)過點，
聯(lián)立，
所以，
所以同理可得，
所以.
故答案為：5.
14. 程大位（1533-1606）是明代珠算發(fā)明家，微州人.他所編撰的《直指算法統(tǒng)宗》是最早記載珠算開平方、開立方方法的古算書之一，它完成了計算由籌算向珠算的轉(zhuǎn)變，使算盤成為主要的計算工具.算盤其形長方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”.現(xiàn)有一種算盤（如圖1）共三檔，自右向左分別表示個位、十位和百位，檔中橫以梁，梁上一珠，下?lián)芤恢橛涀鲾?shù)字5：梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1.例如：圖2中算盤表示整數(shù)506.如果撥動圖1中算盤的3枚算珠，則可以表示不同的三位整數(shù)的個數(shù)為__________.
【答案】26
【解析】由題“百位”撥動3枚算珠可以表示的不同的三位整數(shù)有：300、700；
“百位”撥動2枚算珠可以表示的不同的三位整數(shù)有：
210、250、201、205，610、650、601、605；
“百位”撥動1枚算珠可以表示的不同的三位整數(shù)有：
120、102、160、106、111、151、115、155；
520、502、506、560、511、551、515、555.
則符合條件的三位整數(shù)的個數(shù)為26.
故答案為：26.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 一個不透明的盒子中裝有規(guī)格完全相同的3個小球，標號分別為，現(xiàn)采用有放回的方式摸球兩次，每次摸出1個小球，記第一次摸到的小球號碼為，第二次摸到的小球號碼為.
（1）記“”為事件，求；
（2）完成兩次摸球后，再將與前面3個球規(guī)格相同的4號球和5號球放入盒中，并進行第三次摸球，且將第三次摸到的小球號碼記為，號碼中出現(xiàn)偶數(shù)的個數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學期望.
解：（1）兩次摸球，摸出的小球號碼的所有情況共種，
其中，滿足“”的情形有：
時，；時，；時，；共5種情況，
故；
（2）X的可能取值為，
則，，
，，
故X的分布列為：
故
16. 已知函數(shù).
（1）若，求在上的極大值；
（2）若函數(shù)，討論函數(shù)在上零點的個數(shù).
解：（1）當時，，
則，
令，得或或，
因此，當變化時，，的變化情況如下表所示：
所以當時，有極大值，極大值為.
（2）
，
當時，由，得或，
其中，，則，
當或時，方程無解，此時函數(shù)只有一個零點，
當時，方程只有一解為，此時函數(shù)只有一個零點，
當時，方程有兩個不同的解且均不等于，此時函數(shù)有三個零點，
當時，方程有一解且不等于，此時函數(shù)有兩個零點.
綜上，當或時，函數(shù)只有一個零點，
當時，函數(shù)有三個零點，
當時，函數(shù)有兩個零點.
17. 如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，為等邊三角形.
（1）若分別是棱的中點，證明：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
解：（1）如圖，取的中點，連接.
∵分別是棱的中點，∴.
∵，∴.
∵，平面，平面，
∴平面，同理可得平面，
∵平面，∴平面平面，
∵平面，∴平面.
（2）
如圖，連接，取的中點，連接，
∵且，∴且，
∴四邊形為平行四邊形，故，
∵，∴，且，
∵，
∴，故等邊三角形，
∴，.
∵為等邊三角形，∴.
在中，由余弦定理得，，
∴，即，故兩兩互相垂直.
以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，
由得，
∴，
設(shè)平面的一個法向量為，則，
令，則，故
取平面的一個法向量，則，
∴平面與平面夾角的余弦值為.
18. 已知動點滿足關(guān)系式.
（1）求動點的軌跡方程；
（2）設(shè)動點的軌跡為曲線，拋物線的焦點為，過上一點作的兩條切線，切點分別為，弦的中點為，平行于的直線與相切于點.
①證明：三點共線；
②當直線與有兩個交點時，求的取值范圍.
解：（1）設(shè)，
則即 ，
所以由雙曲線定義可知動點的軌跡是以為焦點的雙曲線的下支，且
所以動點的軌跡方程為.
（2）①證明：由（1）曲線:,，設(shè)，
對函數(shù)求導(dǎo)得，
所以兩切線方程為：，即，
又切線過點P，所以，
即滿足，即滿足方程，
所以，
設(shè)，則由，
所以，即三點在直線上，即三點共線；
②由上得，所以直線的方程為即，
聯(lián)立，
因為直線與有兩個交點，則由題意可知方程有兩個不等負根，
所以，
所以.
所以的取值范圍為.
19. 設(shè)是各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列，其前項和為.
（1）若對任意都成立，且.
①求數(shù)列的通項公式；
②已知首項為，公比滿足的無窮等比數(shù)列，當無限增大時，其前項和無限趨近于常數(shù)，則稱該常數(shù)為無窮等比數(shù)列的各項和.現(xiàn)從數(shù)列中抽取部分項構(gòu)成無窮等比數(shù)列，且的各項和不大于，求的最大值.
（2）若對任意都成立，試證明：.
解：（1）①因為對任意都成立，所以，且，所以，
則數(shù)列是等比數(shù)列，又，
作差得，，所以，
又數(shù)列為等比數(shù)列，故數(shù)列的公比為，
又因為，所以，所以，
所以是以1為首項以為公比的等比數(shù)列，
所以數(shù)列的通項公式為；
②因為，設(shè)數(shù)列，公比為，其中，
則數(shù)列的各項和等于，所以，
又因為，所以，
當時，由，得，
即時滿足題意，所以；
（2）記，，因為 對任意都成立，且，
得，即，
要證：，
只需證：，
只需證：，
只需證：，
只需證：，
若為奇數(shù)，只需證，
因為，所以，
所以成立；
若為偶數(shù)，只需證，
因為，所以，又，
所以成立；
綜上可知，對任意，不等式都成立.
X
0
1
2
3
P
0
+
0
0
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增

相關(guān)試卷

甘肅省隴南市禮縣2024-2025學年高三下學期開學摸底考試數(shù)學試題（原卷版+解析版）：

這是一份甘肅省隴南市禮縣2024-2025學年高三下學期開學摸底考試數(shù)學試題（原卷版+解析版），共6頁。試卷主要包含了本試卷主要考試內(nèi)容等內(nèi)容，歡迎下載使用。

甘肅省酒泉市瓜州縣2024-2025學年高三下學期開學摸底考試數(shù)學試題（原卷版+解析版）：

這是一份甘肅省酒泉市瓜州縣2024-2025學年高三下學期開學摸底考試數(shù)學試題（原卷版+解析版），共6頁。

甘肅省隴南市西和縣2024-2025學年高三下學期開學摸底考試數(shù)學試題（原卷版+解析版）：

這是一份甘肅省隴南市西和縣2024-2025學年高三下學期開學摸底考試數(shù)學試題（原卷版+解析版），共11頁。試卷主要包含了 已知，則的最小值為等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

甘肅省隴南市西和縣2024-2025學年高一下學期開學摸底考試 數(shù)學試卷

甘肅省隴南市西和縣2024-2025學年高一下學期開學摸底考試 數(shù)學試卷
山東省濟南市高三開學摸底考試數(shù)學試題

山東省濟南市高三開學摸底考試數(shù)學試題
2023屆山東省濟南市高三開學摸底考試數(shù)學試題掃描版含答案

2023屆山東省濟南市高三開學摸底考試數(shù)學試題掃描版含答案
2023屆山東省濟南市高三開學摸底考試數(shù)學試題 掃描版

2023屆山東省濟南市高三開學摸底考試數(shù)學試題 掃描版
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
開學考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部