1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））數(shù)列滿足，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．若且，數(shù)列單調(diào)遞減
B．若存在無(wú)數(shù)個(gè)自然數(shù)，使得，則
C．當(dāng)或時(shí)，的最小值不存在
D．當(dāng)時(shí)，
【答案】B
【解析】A．， 只要，則，
，
若，即，則或，
顯然時(shí)，，
若，則，因此，
若，則，
所以當(dāng)且時(shí)，對(duì)任意的，，從而，，遞減，A正確，
B．由上面推理，時(shí)，也有無(wú)數(shù)個(gè)正整數(shù)，使得，B錯(cuò)；
C．由選項(xiàng)A知，或時(shí)，遞減，無(wú)最小值，C正確；
D．，，又由以上推理知遞減，所以，
時(shí)，，時(shí)，，則，
所以對(duì)任意，，
下證，
時(shí)，，
時(shí)，，設(shè)，
，
，
，，
依次類推，，
所以，
綜上，對(duì)任意，，
綜上，，D正確．
故選：B．
2．（2022·浙江·杭州高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，若，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A. 由題得所以該選項(xiàng)正確；
B. 由題得，，所以，當(dāng)時(shí)，也滿足，所以，所以該選項(xiàng)正確；
C. 由前面得，，
所以也適合，所以.
設(shè)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以 所以，所以，，，所以所以，所以該選項(xiàng)正確；
D. ,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：D
3．（2022·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系，且，若存在等比數(shù)列滿足，則公比為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，，，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，所以．因?yàn)椋?br>所以．
下面用歸納法證明．當(dāng)時(shí)，，
假設(shè)當(dāng)時(shí)，，那么對(duì)，，所以，
因?yàn)?，所以，所以．因此?
，所以，，
綜上，．
再設(shè)，所以，
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，
所以，所以，所以，所以，
所以，所以，而，
所以取足夠大，易知，即．
設(shè)，，
，所以在單調(diào)遞減，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，即，
而，所以，所以，
所以，當(dāng)足夠大時(shí)，易知須滿足，即．綜上，．
故選：A.
4．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．若有無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，即；
令，則，易證：當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，易得，
即，此時(shí)有無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)，故合題；
當(dāng)時(shí)，則，
設(shè)，則，
則，
所以為單調(diào)遞減數(shù)列，故，
即，
令，，當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?br>所以，
不妨令，顯然，即，
即，累加可得，即，
故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在，不是無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)，故不合題；
綜上：．
故選：B．
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列（公差不為零）和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，，如果關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程有實(shí)數(shù)解，那么以下2021個(gè)方程中，無(wú)實(shí)數(shù)解的方程最多有（ ）
A．1008個(gè)B．1009個(gè)C．1010個(gè)D．1011個(gè)
【答案】C
【解析】由題意得：，
其中，，
代入上式得：，
要想方程無(wú)實(shí)數(shù)解，則，
顯然第1011個(gè)方程有解，
設(shè)方程與方程的判別式分別為和，
則
，
等號(hào)成立的條件是a1=a2021.
所以和至多一個(gè)成立，同理可證：和至多一個(gè)成立，
……，和至多一個(gè)成立，且，
綜上，在所給的2021個(gè)方程中，無(wú)實(shí)數(shù)根的方程最多1010個(gè)
故選：C
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）己知數(shù)列滿足：，．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，，…，依次類推，則；
由得：，
，
，
令，為的前項(xiàng)和，，
又，為遞減數(shù)列，即為遞減數(shù)列，，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
，
，，，
，即，，
，，
，.
故選：B．
7．（2022·浙江·慈溪中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：，且，則下列關(guān)于數(shù)列的敘述正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】首先我們證明：，利用數(shù)學(xué)歸納法．
事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，；
假設(shè)當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，．
設(shè)函數(shù)（），則，則在上單調(diào)遞增，
從而．
當(dāng)時(shí)，設(shè)（），
則，設(shè)，
，則在上單調(diào)遞減，又，
所以存在，使得，時(shí)，，時(shí)，，
故在上先增后減，從而，從而．
對(duì)于A選項(xiàng)：由于，，故數(shù)列單調(diào)遞增，選項(xiàng)A錯(cuò)誤．
對(duì)于B選項(xiàng)，由于單調(diào)遞增且，從而存在，由可得，故，從而．故選項(xiàng)B錯(cuò)誤．
對(duì)于C選項(xiàng)，由于時(shí)，
設(shè)，，
所以是增函數(shù)，，所以（），
時(shí)，，因此有（），
從而，故，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．
對(duì)于D選項(xiàng)，由于，即，令，則，即，其中，故，從而，即，，即，故．從而選項(xiàng)D正確．
故選：D．
8．（2022·浙江省江山中學(xué)高三期中）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，設(shè)集合，對(duì)恒成立，則集合N的元素個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】令，解得，即數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn)為，
其生成函數(shù)為，
所以，作出函數(shù)與函數(shù)的圖像如圖：
故，由蛛網(wǎng)圖：，
,即，
又
，
一方面，由得，
，
，
，且當(dāng)，，
.
另一方面，（法一）由得，
，
，
且當(dāng)，，
，
必須大于等于
.
所以集合的元素個(gè)數(shù)是2，故選：B.
另一方面，（法二）由，得，
又
.又當(dāng)，，
必須大于等于.
.
所以集合的元素個(gè)數(shù)是2，故選：B.
9．（2022·浙江省嘉善中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】當(dāng)，時(shí)，因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)椋?br>且，
下證，
即證，
即證，
即證，
即證，
即證
令，即證，當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立.
因此，，
所以
，
又因?yàn)椋?br>故選：D.
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則下列有可能成立的是（ ）
A．若為等比數(shù)列，則
B．若為遞增的等差數(shù)列，則
C．若為等比數(shù)列，則
D．若為遞增的等差數(shù)列，則
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>∴，即，
若為等比數(shù)列，則的公比為，
∴，
由，可得，
∴，故AC錯(cuò)誤；
若為遞增的等差數(shù)列，，公差，
由則，
∴，
∴，即，
∴，
∴
，
又，
∴，又
則，
∴當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，
故，故B正確，D錯(cuò)誤.
故選：B.
11．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，則數(shù)列（ ）
A．無(wú)最小項(xiàng)，無(wú)最大項(xiàng)B．無(wú)最小項(xiàng)，有最大項(xiàng)
C．有最小項(xiàng)，無(wú)最大項(xiàng)D．有最小項(xiàng)，有最大項(xiàng)
【答案】D
【解析】數(shù)列各項(xiàng)均為正，
，由得，一般地由數(shù)學(xué)歸納法知當(dāng)時(shí)，由得（否則若，則，，，矛盾），
所以數(shù)列中，時(shí)，，是最小項(xiàng)．
又，，所以，，
記，則，兩邊求導(dǎo)得，即，
時(shí)，，是減函數(shù)，
所以時(shí)，是遞減數(shù)列，因此有上界，時(shí)，，
即，
設(shè)，，時(shí)，，是增函數(shù)，
經(jīng)過(guò)計(jì)算，得，而，所以時(shí)滿足的滿足，即，
從而，而這6個(gè)數(shù)中一定有最大值，此最大值也是數(shù)列的最大項(xiàng)．
故選：D．
12．（2022·浙江浙江·二模）已知為非常數(shù)數(shù)列且，，，下列命題正確的是（ ）
A．對(duì)任意的，，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列
B．對(duì)任意的正數(shù)，存在，，，當(dāng)時(shí)，
C．存在，，使得數(shù)列的周期為2
D．存在，，使得
【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí)：恒成立.此時(shí)數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.A錯(cuò)誤.
令，記，，則，.
，令，取
則在上單調(diào)遞增.
令或.
如圖所示：在區(qū)間內(nèi)總能找到一個(gè)，使得的極限為1.B正確.
假設(shè)存在，，使得數(shù)列的周期為2，即.
則
②-①：，又.
化簡(jiǎn)得：.
記,恒成立.
故在上單調(diào)遞增.
要使，
則需.與為非常數(shù)數(shù)列矛盾.C錯(cuò)誤.
因?yàn)?br>所以
則.
不存在，，使得.D錯(cuò)誤.
13．（2022·浙江溫州·二模）對(duì)于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)，恒有，則稱數(shù)列有界；若這樣的正數(shù)不存在，則稱數(shù)列無(wú)界，已知數(shù)列滿足：，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界
C．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界D．當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界
【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí)，
令，則，
當(dāng) 時(shí)，，故 ，
因?yàn)?，則，
所以 ，（這是因?yàn)椋?br>令 ，則，
故時(shí)單調(diào)遞增函數(shù)，
故，則，
假設(shè) ，則，
故由歸納法可得成立，所以 ，
故數(shù)列無(wú)界，故A錯(cuò)；
又由，
設(shè)
則 ，
故遞減，則，
所以 ，則 ，
則 ，
故 ，則，
故 ，
即當(dāng)時(shí)，數(shù)列有界，故B正確
當(dāng) 時(shí)，，由， ，
假設(shè) ，則 ，即成立，
所以此時(shí) 都無(wú)界，故C,D錯(cuò)誤；
14．（2022·北京市育英學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試）為不超過(guò)x的最大整數(shù)，設(shè)為函數(shù)，的值域中所有元素的個(gè)數(shù).若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，，，，故，即，
當(dāng)時(shí)，，，，故，即，
當(dāng)時(shí)，，，，故，即，
以此類推，當(dāng)，時(shí)，，，故可以取的個(gè)數(shù)為，
即，當(dāng)n=1時(shí)也滿足上式，故，
所以，，所以.
故選：D
15．（2022·浙江浙江·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解析： ，且，
∴，，則，
∵，
∴，即數(shù)列遞減，則，
∵，
∴兩邊取倒數(shù)得，即，則，
∵數(shù)列遞減，
∴當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即，，，，
∴根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，即，
∴.
同理：，與選項(xiàng)范圍不符.
故選：B
16．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，記表示數(shù)列的前n項(xiàng)乘積.則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所?
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.
當(dāng)n=1時(shí)，符合.
假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即.
當(dāng)時(shí)，，所以顯然成立；
因?yàn)椋?，所以，即?br>所以結(jié)論成立.
綜上所述：對(duì)任意的均成立.
記函數(shù)..
因?yàn)椋裕▁=1取等號(hào)），所以在單調(diào)遞增，
所以，即，所以，即，
所以數(shù)列為單調(diào)遞增函數(shù)，所以.
記，則（x=1取等號(hào)），所以在上單調(diào)遞增，所以，即.
所以，所以，
所以，累加得：.
因?yàn)?，所以，即，所以?br>所以，
即.
記，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即.
所以，所以，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以，所?br>即.
綜上所述：.
故選：C
17．（2022·浙江·湖州中學(xué)高三階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，其前n項(xiàng)和為，則下列關(guān)于數(shù)列的敘述錯(cuò)誤的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞增.
用數(shù)學(xué)歸納法先證：
當(dāng)時(shí)，有；
假設(shè)n＝k時(shí)，，
由于，
∴根據(jù)在上單調(diào)遞增可知，
即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，，∴由數(shù)學(xué)歸納法原理可知.
對(duì)于選項(xiàng)A，
令，∵，故g(x)在單調(diào)遞增，故g(x)＞g(0)＝0，即，即，
∴，故A正確.
對(duì)于選項(xiàng)B，
令h(x)＝，，∵，令m(x)＝，則，
令，則，
∴，即在單調(diào)遞增，
∴，∴，即在單調(diào)遞增，
，
在單調(diào)遞增，，即，即.
故(*)，從而選項(xiàng)B錯(cuò)誤.
對(duì)于選項(xiàng)C，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)時(shí)，有成立，
當(dāng)n＝k時(shí)，假設(shè)，
若，
則由(*)可知，
與假設(shè)矛盾，故.
故.從而選項(xiàng)C正確.
對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，
故.故選項(xiàng)D正確.
故選：B.
18．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高三期末）已知無(wú)窮項(xiàng)實(shí)數(shù)列滿足： ， 且 ， 則（ ）
A．存在， 使得B．存在， 使得
C．若， 則D．至少有2021個(gè)不同的， 使得
【答案】D
【解析】因?yàn)?，故?br>所以，其中，
故，否則，矛盾.
又，故即，
故當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤.
當(dāng)時(shí)，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：若，則.
當(dāng)時(shí)，符合，
設(shè)當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.
由數(shù)學(xué)歸納法可得.
故當(dāng)時(shí)，，
故為遞減數(shù)列，故不成立，
故B錯(cuò)誤.
取， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證：，
當(dāng)時(shí)，，命題成立；
設(shè)當(dāng)時(shí)，，
則，故當(dāng)時(shí)命題成立，
由數(shù)學(xué)歸納法可得命題成立.
若，則即或，
從而或，
或或，
從而或或或，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，故?br>所以即，所以此時(shí)有不同的的值有個(gè)，
而，故D成立（此時(shí)無(wú)需討論其余情況）.
同理若，此時(shí)至少有個(gè)不同的，使得成立，
但時(shí)即即，故C不成立.
故選：D.
19．（2022·浙江杭州·高三期末）若數(shù)列滿足，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足
B．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足
C．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足
D．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q部滿足
【答案】C
【解析】對(duì)選項(xiàng)，令，且，則有：，故選項(xiàng)正確；
對(duì)選項(xiàng)，由，得：
令，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足題設(shè)，所以B正確；
對(duì)選項(xiàng)，由，
令，得，，，，
令，得，，，
則，，從而，與矛盾，所以錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)，存在數(shù)列，比如，則有：，故選項(xiàng)正確；
故選：
20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，且，，對(duì)，與有且僅有一個(gè)成立，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】當(dāng)滿足時(shí)，，
令，則或有一項(xiàng)為1，而，
∴，又是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，
∴，，，，
此時(shí)的最小值為，
當(dāng)滿足時(shí)，，，，，，，時(shí)，
，
因?yàn)椋?br>所以的最小值為20
故選：B.
21．（2022·浙江·海亮高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列，，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．對(duì)任意的，存在，使數(shù)列是遞增數(shù)列；
B．對(duì)任意的，存在，使數(shù)列不單調(diào)；
C．對(duì)任意的，存在，使數(shù)列具有周期性；
D．對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，存在.
【答案】C
【解析】A選項(xiàng)，要想保證數(shù)列是遞增數(shù)列，則必有，其中，因?yàn)?，所以?dāng)或2時(shí)，取得最大值，此時(shí)為，故，解得：，而，不合題意，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，?shù)列是遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；
令，令，解得：，，即，為其不動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)椋裕?br>，令得：，，且，從蛛網(wǎng)模型可以看出，
當(dāng)時(shí)，隨著的增大，趨向于不動(dòng)點(diǎn)或不動(dòng)點(diǎn)或變?yōu)橹芷跀?shù)列，且此時(shí)數(shù)列的值均在A點(diǎn)的左邊，故對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，均有，C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C
22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是等差數(shù)列，，存在正整數(shù)，使得，.若集合中只含有4個(gè)元素，則的可能取值有（ ）個(gè)
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，，根據(jù)周期性知集合最多有3個(gè)元素，不符合；
當(dāng)時(shí)，，取，此時(shí)，滿足條件；
當(dāng)時(shí)，，即，，在單位圓的五等分點(diǎn)上不可能取到4個(gè)不同的正弦值，故不滿足；
當(dāng)時(shí)，，取，此時(shí)，滿足條件；
當(dāng)時(shí)，，取，此時(shí)，滿足條件；
當(dāng)時(shí)，，取，此時(shí)，滿足條件；
故選：C
23．（2022·上海民辦南模中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；對(duì)于任意實(shí)數(shù)，則集合的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A．0個(gè)B．有限個(gè)C．無(wú)數(shù)個(gè)D．不能確定，與的取值有關(guān)
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意，則，則集合的元素有無(wú)數(shù)個(gè)；
當(dāng)時(shí)，則，根據(jù)題意，則，則集合的元素有無(wú)數(shù)個(gè)；
當(dāng)且時(shí)，，
若，則；若，則；
若，則；若，則.
而，則時(shí)，數(shù)列遞減且無(wú)下限（※）；時(shí)，數(shù)列遞增且無(wú)上限（*）.
（1）若，則，根據(jù)（※）可知，在求解的迭代過(guò)程中，終有一項(xiàng)會(huì)首次小于0，不妨設(shè)為；
（2）若，則；
①若，則，接下來(lái)進(jìn)入（2）或（3）；
②若，接下來(lái)進(jìn)入（3）；
（3）若，則，接下來(lái)進(jìn)入（1）或 （4） ；
（4）若，則，接下來(lái)進(jìn)入（2）或（3）.
若，則進(jìn)入（4）.
若，則進(jìn)入②.
若，則進(jìn)入①.
如此會(huì)無(wú)限循環(huán)下去，會(huì)出現(xiàn)無(wú)限個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng).
綜上：集合的元素個(gè)數(shù)為無(wú)數(shù)個(gè).
故選：C.
24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，滿足，，則下列成立的是（ ）
A．B．
C．D．以上均有可能
【答案】C
【解析】由題設(shè)，，，即數(shù)列均為正項(xiàng)，
∴，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
當(dāng)時(shí)，有，以此類推可得與題設(shè)矛盾，
綜上，，故，即.
∵，
∴，
令，則，
當(dāng)時(shí)，即遞減，當(dāng)時(shí)，即遞增，
∴，故上，即，
∴
故選：C
25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足，，給出下列三個(gè)結(jié)論：①若，則數(shù)列僅有有限項(xiàng)；②若，則數(shù)列單調(diào)遞增；③若，則對(duì)任意的，陼存在，使得成立．則上述結(jié)論中正確的為（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】A
【解析】對(duì)于①，∵，∴，
又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)都為正數(shù)，∴，
∴數(shù)列單調(diào)遞減，∴，∴；
∵，即
∴，
∴
，
∴，即，
∴，即，而為定值，
∴數(shù)列僅有有限項(xiàng)，命題正確；
對(duì)于②，先用數(shù)學(xué)歸納法證明.
（1）當(dāng)時(shí)，，顯然成立；
（2）假設(shè)時(shí)，，
則，
記，，
，∴在上單調(diào)遞增，
，
∴，
∴對(duì)，都有.
∵∴，
∴，
又在上單調(diào)遞增，
又，∴，
∴數(shù)列單調(diào)遞增，命題正確；
對(duì)于③，
∵，
∴，即，
又，∴，
∴，
∴，
∴，
顯然存在上界，即存在上界，
∴命題錯(cuò)誤.
故選：A
二、多選題
26．（2022·全國(guó)·清華附中朝陽(yáng)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若且，數(shù)列單調(diào)遞減
B．若存在無(wú)數(shù)個(gè)自然數(shù)，使得，則
C．當(dāng)或時(shí)，的最小值不存在
D．當(dāng)時(shí)，
【答案】ACD
【解析】A選項(xiàng)，，
令，解得：，
令，解得：
綜上：且，
所以且，數(shù)列單調(diào)遞減，A正確；
B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以存在無(wú)數(shù)個(gè)自然數(shù)，使得，
故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，當(dāng)或時(shí)，，
所以數(shù)列單調(diào)遞減，所以最小值不存在，C正確；
D選項(xiàng)，，
所以，
所以，
故
，
因?yàn)?，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，，
所以，
又因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
最大值為，
綜上：，D正確.
故選：ACD
27．（2022·福建省福州第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．若，則
【答案】ACD
【解析】對(duì)于C，由知：n=1時(shí)，，
假設(shè) ，則 ，矛盾，所以 ，
類推可知：，
又設(shè) ， ，
故 即時(shí)， ，
因此 ，即 ，
整理得： ，
因?yàn)?，所以 ，
所以成立，即C正確；
對(duì)于A，由，，用累加法可得： ，
所以 ，故A正確；
對(duì)于B，由知 ，所以 ，B錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由時(shí)，，將選 x代換 可得： ，
所以 ，
整理得 ，
取 ，累加可得： ，D正確.
故選：ACD.
28．（2022·江蘇·高三開(kāi)學(xué)考試） 已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（ ）
A．
B．
C． 當(dāng)時(shí)，
D． 當(dāng)數(shù)列單調(diào)遞增時(shí)，的取值范圍是
【答案】ACD
【解析】，①
時(shí)，，②
①－②，，A正確；
當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，
∴，時(shí)，不滿足條件，B錯(cuò)誤；
時(shí),因?yàn)椋?，則，滿足，故此時(shí)①，
又②，兩式相減得：，
為奇數(shù)時(shí)是首項(xiàng)為0，公差為2的等差數(shù)列，共25項(xiàng)；
為偶數(shù)時(shí)是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，共25項(xiàng)，
所以，
C正確；
是單調(diào)遞增數(shù)列，∴，即，即；
，即，即；
，即，即，即，
，即，依次類推可知，D正確.
對(duì)于D，法二：由，
，
要使單調(diào)遞增，則必有且，
∴且，D正確，
故選：ACD.
29．（2022·湖北武漢·高三開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列滿足：，，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．，成等差數(shù)列B．
C．D．，一定不成等比數(shù)列
【答案】BCD
【解析】因?yàn)椋?br>所以，且，
所以①，
所以②
所以，②-①整理得：
因?yàn)椋?br>所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，
所以，即，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于A選項(xiàng)，若，成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，由遞推關(guān)系得，顯然不滿足等差數(shù)列，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，
所以，即，
所以，因?yàn)?，所以?br>所以，從第2項(xiàng)起，數(shù)列介于以為首項(xiàng)，公比分別為和為公比的等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間，
所以，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，假設(shè)，成等比數(shù)列，設(shè)之間的公比為，
由可得即，
因?yàn)?，所以，解得?br>因?yàn)闉閱握{(diào)遞增數(shù)列，所以，
由可得，即整理得，所以成等比數(shù)列，
所以以此類推能得到成等比數(shù)列，與矛盾，故假設(shè)不成立，故D正確；
故選：BCD
30．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列，對(duì)任意的正整數(shù)m、n都有，則下列結(jié)論可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】對(duì)于A，可取，此時(shí)，所以，與為正項(xiàng)數(shù)列矛盾，舍去；
對(duì)于C，可取，此時(shí)，所以，與為正項(xiàng)數(shù)列矛盾，舍去；
對(duì)于B，可取，則，
所以，即，
故累加后可得，整理得到，
時(shí)，也符合該式，從而.
此時(shí)
，
故成立，
若成立，取，則，
但此時(shí)，，不成立，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于D，
可令，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，滿足題干條件，
此時(shí)，，故D選項(xiàng)可能成立
故選： D
31．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．
C．?dāng)?shù)列為單調(diào)遞增的等差數(shù)列
D．滿足不等式的正整數(shù)n的最小值為63
【答案】ABD
【解析】因?yàn)?，所以，所以?br>則，解得，
，所以，，所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)正確；
因?yàn)椋裕?br>所以，又，
所以，
所以為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，
則數(shù)列不是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，所以C選項(xiàng)不正確；
，
則，
，
解得，又，
所以正整數(shù)n的最小值為63，所以D選項(xiàng)正確．
故選：ABD．
32．（2022·福建南平·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點(diǎn)，其中且.記，如記為，記為，記為，以此類推；設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.則（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】由題，第一圈從點(diǎn)到點(diǎn)共8個(gè)點(diǎn)，由對(duì)稱性可知；第二圈從點(diǎn)到點(diǎn)共16個(gè)點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，即 ，以此類推，可得第圈的個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的這項(xiàng)的和為0，即，
設(shè)在第圈，則，由此可知前圈共有個(gè)數(shù)，故，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故A正確；
，故B正確；
所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故C錯(cuò)誤；
，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，…，，所以
，故D正確.
故選：ABD
33．（2022·全國(guó)·長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于恒成立，若定義，，則以下說(shuō)法正確的是（ ）
A．是等差數(shù)列B．
C．D．存在使得
【答案】BC
【解析】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由，得，故，即，
所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，故，
A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
則，所以，
，B選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，，
假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，
當(dāng)時(shí)，由可得，則，，，，，將上式相加可得，又，則，故，即時(shí)也成立，
故，C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由知不成立，
當(dāng)時(shí)，由C選項(xiàng)知：，則 ，，，，，上式相加得，又由上知，，則，可得，又由可得，，即，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：BC.
34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，如，表示十進(jìn)制的數(shù)要用10個(gè)數(shù)碼．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而電子計(jì)算機(jī)用的數(shù)是二進(jìn)制數(shù)，只需兩個(gè)數(shù)碼0和1，如四位二進(jìn)制的數(shù)，等于十進(jìn)制的數(shù)13．把m位n進(jìn)制中的最大數(shù)記為，其中m，，為十進(jìn)制的數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A：即是：，A正確；
對(duì)于B：即是：
即是：，B正確；
對(duì)于C、D：
，即是：

，即是：
構(gòu)造函數(shù)：，求導(dǎo)得：

，，單調(diào)遞增；
，，單調(diào)遞減；
代入得：
即是：，
，D正確.
故選：ABD
35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．B．
C．若，則D．
【答案】BCD
【解析】，則，又，所以，A不正確.
令函數(shù)，則，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，又易得是遞增數(shù)列，，故，所以，B正確.
易知是遞增數(shù)列，所以，則，則，即，所以，即，所以，所以，
而當(dāng)時(shí)，則有，C正確.
令函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，則，
所以，，，
所以，D正確.
故選：BCD.
36．（2022·海南·嘉積中學(xué)高三階段練習(xí)）“0，1數(shù)列”在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用，它是指各項(xiàng)的值都等于0或1的數(shù)列．設(shè)A是一個(gè)有限“0，1數(shù)列”，表示把中每個(gè)0都變?yōu)?，0，每個(gè)1都變?yōu)?，1，所得到的新的“0，1數(shù)列”，例如，則．設(shè)是一個(gè)有限“0，1數(shù)列”，定義，、2、3、．則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則
B．對(duì)任意有限“0，1數(shù)列”，則中0和1的個(gè)數(shù)總相等
C．中的0，0數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)總與中的0，1數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)相等
D．若，則中0，0數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為
【答案】BCD
【解析】若，則，，A錯(cuò)誤；
由的定義知，B正確；
因?yàn)橹械拿恳粋€(gè)，數(shù)對(duì)只能由中的一個(gè)，數(shù)對(duì)變來(lái)，且中的每一個(gè)，數(shù)對(duì)必生成一個(gè)中的，數(shù)對(duì)，C正確；
記中的，數(shù)對(duì)與，數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)分別為，，由C選項(xiàng)知．
又因?yàn)橹械拿恳粋€(gè)，數(shù)對(duì)只能由中的一個(gè)或者一個(gè)，數(shù)對(duì)變來(lái)，
且由B選項(xiàng)知，中有個(gè)，從而，所以，故，D正確，
故選：BCD．
37．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））設(shè)數(shù)列滿足，其中為實(shí)數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和是，下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，一定是遞減數(shù)列
B．當(dāng)時(shí)，不存在使是周期數(shù)列
C．當(dāng)時(shí)，
D．當(dāng)時(shí)，
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，設(shè)單調(diào)遞增，
因?yàn)?，，所以?br>，，依次類推可得，
所以當(dāng)時(shí)，一定是遞減數(shù)列，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，，
，
由可得，設(shè)，
因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在性定理可知存在常數(shù)使，則可得，，存在使是周期數(shù)列，故選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于C：當(dāng)，，，
假設(shè)當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，成立，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：
①首先證明,時(shí)，,：
設(shè),，對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法證明,，
當(dāng)時(shí)，,．
假設(shè),，
則，且，
,．
由數(shù)學(xué)歸納法知,對(duì)所有成立．
∴當(dāng)c＝時(shí)，,，
②再證明：≥1－：
，當(dāng)c＝時(shí)，
由得，
∵,，∴，
∴≤，
∴≤≤≤…≤＝，
∴≥1－，
③最后證明：，
當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，
當(dāng)時(shí)，∵，
，
，
又∵，∴．故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
38．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，若是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，且，則數(shù)列所有項(xiàng)的和為_(kāi)_______．
【答案】【解析】依題意，
由于是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，
所以，
，所以.
對(duì)于，，，
兩式相除得，
所以的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)，分別成公比為的等比數(shù)列，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，首項(xiàng)為，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，首項(xiàng)為，
所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
的偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
.
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.
所以，
所以數(shù)列所有項(xiàng)的和為.
故答案為：4.5
39．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和__________．
【答案】
【解析】由，知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，知在單調(diào)遞增且，設(shè)，則為奇函數(shù)且在單調(diào)遞增，結(jié)合奇函數(shù)的對(duì)稱性可得在單調(diào)遞增，由題得，又是等差數(shù)列，可得，當(dāng)時(shí)，，同理，即，不合題意，當(dāng)時(shí)，同理可得，也不合題意，所以，又公差為2，可得，所以.
故答案為：.
40．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足：.若數(shù)列單調(diào)遞減，則c的取值范圍是________；若數(shù)列單調(diào)遞增，則c的取值范圍是__________.
【答案】 【解析】①若數(shù)列單調(diào)遞減，
∵，∴，∴，
∴恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
即恒成立，∴c＜0.
②數(shù)列單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，
而在上單調(diào)遞增，
∴，即，
假設(shè)當(dāng)n＝k，k∈時(shí)，，
則，即，
故由數(shù)學(xué)歸納法可得，即數(shù)列單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，
∵，∴，即，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴.
∴，
令，
故當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，而在上單調(diào)遞減，
∴，即，與題意矛盾.
綜上，的取值范圍是.
41．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題．黎曼猜想研究的是無(wú)窮級(jí)數(shù)，我們經(jīng)常從無(wú)窮級(jí)數(shù)的部分和入手．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則______．（其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)）
【答案】88
【解析】由題意可得，，
當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，
又當(dāng)時(shí)，，
數(shù)列是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，
，即，
當(dāng)時(shí)， ①,
設(shè)，
由①可得，=，
，∴，∴，
∴
且，
∵，∴.
．
故答案為：88．
42．（2022·上?！とA東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)于正數(shù)，直線與函數(shù)的圖像恰好有個(gè)不同的交點(diǎn)，則___________.
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，即，；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)周期為2，
畫(huà)出函數(shù)圖象，如圖所示：
與函數(shù)恰有個(gè)不同的交點(diǎn)，
根據(jù)圖象知，直線與第個(gè)半圓相切，
故，故，
.
故答案為：.
43．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)△AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an，bn，cn，n=1，2，3…，若，，，，則的最大值是________________.
【答案】【解析】由，得：，
又，所以，，所以，所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)三角形為等邊三角形，所以的最大值是.
故答案為：
44．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“k階相消數(shù)列”.已知“2階相消數(shù)列”的通項(xiàng)公式為，記，，，則當(dāng)___________時(shí)，取得最小值
【答案】2020
【解析】由已知得
故
故，的周期為3
設(shè)，其中，故的周期為3
由題意有
由和差化積公式有
故
因此
若，不存在這樣的對(duì)任意恒成立，故舍
則
，，
由三倍角公式有
故，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
時(shí)，
，故，此時(shí)最小，此時(shí)
故答案為：2020
45．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若數(shù)列滿足，且對(duì)任意都有，則的最小值為_(kāi)_______.
【答案】8
【解析】根據(jù)題意，數(shù)列滿足
當(dāng)時(shí)，有，則，，
分析可得：在中，最大為，
設(shè)，則有，
且，
變形可得：，所以數(shù)列是首項(xiàng)為6﹣8＝﹣2，公比為的等比數(shù)列，則，
則，
即，又為遞增數(shù)列，且，
所以若對(duì)任意任意都有成立，則，即的最小值為8；
故答案為8
46．（2022·全國(guó)·高三開(kāi)學(xué)考試（理））用表示自然數(shù)的所有因數(shù)中最大的那個(gè)奇數(shù)，例如：9的因數(shù)有1，3，9，，10的因數(shù)有1，2，5，10，，那么__________．
【答案】
【解析】由題意得
所以
47．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，，，取，，，，則，，的大小關(guān)系為_(kāi)_______.（用“”連接）
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上遞增且恒大于零，
故
當(dāng)時(shí)，是一個(gè)關(guān)于的對(duì)稱函數(shù)，滿足，
且其在上遞增，在上遞減，
故
，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故
，故，
故答案為：
四、雙空題
48．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列對(duì)任意的，都有，且．
①當(dāng)時(shí)，_________．
②若存在，當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，恒為常數(shù)P，則P＝_________．
【答案】 2 1
【解析】由題設(shè)通項(xiàng)公式，可得，
故從第二項(xiàng)開(kāi)始形成周期為3的數(shù)列，而，故．
當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)為偶數(shù)，故；
若為奇數(shù)，由，故，不滿足；
若為偶數(shù)，則直到為奇教，有，
故，當(dāng)時(shí)滿足條件，此時(shí)，即，
故答案為：2，1
49．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式中，當(dāng)《雪花》這個(gè)節(jié)目開(kāi)始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺(tái)中央，十分壯觀.理論上，一片雪花的周長(zhǎng)可以無(wú)限長(zhǎng)，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過(guò)程：從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程
若第1個(gè)圖中的三角形的周長(zhǎng)為1，則第n個(gè)圖形的周長(zhǎng)為_(kāi)__________；若第1個(gè)圖中的三角形的面積為1，則第n個(gè)圖形的面積為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】記第個(gè)圖形為，三角形邊長(zhǎng)為，邊數(shù)，周長(zhǎng)為，面積為
有條邊，邊長(zhǎng)；有條邊，邊長(zhǎng)；有條邊，邊長(zhǎng)；
分析可知，即；，即
當(dāng)?shù)?個(gè)圖中的三角形的周長(zhǎng)為1時(shí)，即，
所以
由圖形可知是在每條邊上生成一個(gè)小三角形，即
即，，，
利用累加法可得
數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，故是以為公比的等比數(shù)列，
當(dāng)?shù)?個(gè)圖中的三角形的面積為1時(shí)，，即，此時(shí)，，有條邊，
則
所以， 所以
故答案為：，
50．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于正整數(shù)n，設(shè)是關(guān)于x的方程：的實(shí)根，記，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則______；若，為的前n項(xiàng)和，則______．
【答案】 1 506
【解析】當(dāng)時(shí)，
，即，
令，
因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，
所以函數(shù)在上都是增函數(shù)，
又，，
所以函數(shù)在存在唯一零點(diǎn)，
即，則，
所以，
方程，
即為，
即為，
令，則，
則有，
令，
則函數(shù)在上遞增，
因?yàn)椋?br>，
所以，使得，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，
所以
.
故答案為：1；506.

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