一項是符合題目要求的，請將正確答案填涂在答題紙上的相應(yīng)位置. )
1. 已知集合 ( )
A. (?2, 4) B. [0, 4) C. [0,1] D. {0,1}
2. 下列函數(shù)中，在定義域上為奇函數(shù)，且在[0, +∞ )上遞減的是( )
B. f (x) = csx D. f (x) = ex ? e? x
3. 已知a > b> 0 ，以下四個數(shù)中最大的是( )
A. b B.
4. 已知角α 的頂點在原點，始邊與x 軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點 ,cs ，則角α 的一個可
能值為( )
A. ? B. D.
5. 已知函數(shù)f (x) = 9 lg x ? x + 1，則 f (x) > 0 的解集為( )
A. (0,10) B. (1,10) C. (0,1) (10, +∞) D. (?∞,1) (10, +∞ )
6. 已知定義域為 R 的函數(shù)f (x) 滿足f (x ? 2) 是奇函數(shù)，f (x) 是偶函數(shù)，則下列各數(shù)一定是f (x) 零點 的是( )
A. 2019 B. 2022 C. 2025 D. 2028
7. 深度學(xué)習(xí)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型之一是指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型：L = L0D ，其中，L 表示每一輪優(yōu)化時
使用的學(xué)習(xí)率，L0 表示初始學(xué)習(xí)率，D 表示衰減系數(shù)， G 表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)， G0 表示衰減速度．已知， 某個指數(shù)衰減學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為 0.5 ，衰減速度為18 ．經(jīng)過18 輪迭代學(xué)習(xí)時，學(xué)習(xí)率衰減為
0.4 ，則學(xué)習(xí)率衰減到 0.2 以下所需要的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（ ）（參考數(shù)據(jù)： lg 2 = 0.3010 ）
A. 71 B. 72 C. 73 D. 74
1 1
8. 已知a, b 均為正實數(shù)．則“ > ”是“ a2 + 5b2 > 6ab ”的( )
a b
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分又不必要條件
9. 音樂噴泉曲線形似藤蔓上掛結(jié)的葫蘆，也可稱為“ 葫蘆曲線” .它的性質(zhì)是每經(jīng)過相同的時間間隔，它的振
幅就變化一次.如圖所示，某一條葫蘆曲線的方程為 sin①x , x ≥ 0 ，其中 表示不超過 x 的最大整數(shù).若該條曲線還滿足 ① ∈ (1, 3) ，經(jīng)過點 則該條葫蘆曲線與直線 τ 交點的縱
坐標(biāo)為( )
B. ± C. ± D. ±1
10. 如圖所示，直線 y = kx + m 與曲線y = f(x)相切于(x1, f (x1 )), (x2, f (x2 )) 兩點，其中 x1 < x2 ．若當(dāng) x∈ (0, x1 ) 時，f , (x) > k ，則函數(shù) f (x)? kx 在(0, +∞)上的極大值點個數(shù)為( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空題（本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分．請把結(jié)果填在答題紙上的相應(yīng)位置. )
11. 函數(shù)f 的定義域為
12. 函數(shù)f 的值域為_____ .
13. 已知對任意實數(shù) x ，均有cs = sin , ① ∈ R ，寫出一組滿足條件的(①,φ) = ______ .
14. 已知函數(shù)f (x) = ln (x + 1) ? k 有兩個零點a , b(a < b) ，則a + 2(b + 1) 的取值范圍為 .
15. 已知函數(shù)f (x) = x +1 + ax ? 2 (a > 0) 定義域為 R，最小值記為M(a) ，給出以下四個結(jié)論：
①M(a) 的最小值為 1；
②M(a) 的最大值為 3；
③ f (x) 在(?∞, ?1) 上單調(diào)遞減；
④a 只有唯一值使得y = f(x)的圖象有一條垂直于 x 軸的對稱軸.
其中所有正確結(jié)論的是： .
三、解答題（本大題共 6 小題，共 85 分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．請在
答題紙上的相應(yīng)位置作答. )
16. 已知數(shù)列{an } 的前 n 項和為Sn = n2 + 3n, n ∈ N* .
（1）求{an } 的通項公式：
（2）若等比數(shù)列 {bn }滿足b1 = a2, b2 = a3 ，求 {bn } 的前 n 項和Tn .
17. 已知函數(shù)f (x) = sin ①xcsφ? cs①xsinφ(① > 0,| φ |< ) .
若f ，求φ 的值；
（2）已知f (x) 在[ , ] 上單調(diào)遞減， = ?1 ，從以下三個條件中選一個作為已知，使得函數(shù)
f (x) 唯一確定，求①,φ 的值.
是曲線y = f (x) 的一個對稱中心；
③ f (x) 在[0,] 上單調(diào)遞增；
18. 已知函數(shù) x3 + x2 ? 4x + a
（1）若a = 0 ，求曲線 y = f (x) 的斜率為 ?4 的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若函數(shù)在[?1,2] 上恰有 1 個零點，直接寫出a 的取值集合.
19. 海水受日月引力會產(chǎn)生潮汐．以海底平面為基準(zhǔn)，漲潮時水面升高，退潮時水面降低．現(xiàn)測得某港口某 天的時刻與水深的關(guān)系表如下所示：（3.1時即為凌晨 3 點 06 分）
時刻：x（時）
0
3.1
6.2
9.3
12.4
15.5
18.6
21.7
24
水深：y（米）
5.0
7.4
5.0
2.6
5.0
7.4
5.0
2.6
4.0
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可以用函數(shù) y = Asin來近似描述這一天內(nèi)港口水深與
時間的關(guān)系，求出這個函數(shù)的解析式；
（2）某條貨船的吃水深度（水面高于船底的距離）為 4.2 米．安全條例規(guī)定，在本港口進港和在港口?？?時，船底高于海底平面的安全間隙至少有 2 米，根據(jù)（1）中的解析式，求出這條貨船最早可行的進港時 間及這條貨船一天最多可以在港口中?？康目倳r長.
20. 已知函數(shù)f (x) = ex (x2 + x)，記其在點 (a, f (a)) 處的切線方程為：y = ga (x) . 定義關(guān)于 x 的函數(shù)Fa (x) = f (x)? ga (x) .
（1）求g1 (x) 的解析式；
（2）當(dāng)a > 0 時，判斷函數(shù)Fa (x) 的單調(diào)性并說明理由；
（3）若 a 滿足當(dāng)x ≠ a時，總有 > 0成立，則稱實數(shù) a 為函數(shù)f (x) 的一個“Q 點”，求
f (x) 的所有 Q 點.
21. 已知集合Ωn = {X X = (x1, x2,..., xn ), xi ∈{0,1}, i = 1, 2,..., n} ，對于任意 X ∈Ωn ，
操作一：選擇X 中某個位置（某兩個數(shù)之間或第一個數(shù)之前或最后一個數(shù)之后），插入連續(xù)k 個1或連續(xù)k 個0 ，得到Y(jié) ∈Ωn+k (k ≥ 1) ；
操作二：刪去X 中連續(xù)k 個1或連續(xù)k 個0 ，得到Y(jié) ∈Ωn?k (1 ≤ k ≤ n?1) ；
進行一次操作一或者操作二均稱為一次“ 10 月變換 ”，在第n 次(n∈ N* ) “ 10 月變換 ”的結(jié)果上再進行1 次“ 10 月變換 ”稱為第n +1次“ 10 月變換 ”.
（1）若對X = (0,1, 0) 進行兩次“ 10 月變換 ”，依次得到Y(jié) ∈Ω4 ，Z ∈Ω2 ．直接寫出Y 和Z 的所有可 能情況.
（2）對于X = (0, 0,..., 0) ∈Ω100 和Y = (0,1, 0,1,..., 0,1) ∈Ω100 至少要對X 進行多少次“ 10 月變換 ”才能 得到Y(jié) ？說明理由 .
（3）證明：對任意X, Y ∈Ω2n ，總能對 X進行不超過n +1次“ 10 月變換 ”得到Y(jié) .
參考答案
一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項中，只有
一項是符合題目要求的，請將正確答案填涂在答題紙上的相應(yīng)位置. )
1. 【答案】D
【分析】先求出集合 A ，將其中非負(fù)整數(shù)代入 y = x ，即可判斷是否屬于集合 B ，進而結(jié)合交集的定義 求解即可.
【詳解】根據(jù)題意， A = {x ?2 < x < 4 }，則集合 A 中的整數(shù)為?1, 0,1, 2,3 ，
當(dāng)x = 0 時，y = 0 = 0 ∈ B，當(dāng) x = 1 時，y = 1 = 1 ∈ B ，
當(dāng)x = 2 時，y = 2 ∈ B，當(dāng) x = 3 時，y = 3 ∈ B ， 所以 A B = {0,1} .
故選：D
2. 【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義、單調(diào)性的判斷方法進行判斷即可. 解：A ．f 為奇函數(shù)，但x = 0 無意義，不符合題意；
B ．f (x) = csx 為偶函數(shù)，不符合題意；
C ． 函數(shù)為奇函數(shù)，在[0, +∞)上遞減，符合題意；
D ．f (?x) = e? x ? ex = ? (ex ? e? x ) = ?f (x)，函數(shù)為奇函數(shù)，在[0, +∞)上遞增，不符合題意； 故選：C .
3. 【答案】D
【分析】首先得 > > b ，而 、 都是正數(shù)，故只需讓它們的平方作差與 0 比較大
小即可.
【詳解】由題意 a > b > 0 ，所以b =
由基本不等式可得 ≥ ,同時注意到 a ≠ b ，所以 > > b ，
而
a2 + b2
·i 2
、 都是正數(shù)，所以
故選：D.
4. 【答案】B
【分析】由題意可求得 tanα = 結(jié)合選項可得結(jié)論. 【詳解】因為α 的終邊經(jīng)過點 ,cs
所以 tanα =
所以角α 的一個可能值為 .
故選：B.
5. 【答案】B
【分析】求導(dǎo)后可得f (x) 單調(diào)性，結(jié)合f (x) 零點可求得結(jié)果. 【詳解】由題意知：f (x) 定義域為(0, +∞)，
( 9 ) ( 9 )
( ln10 , (ln10 ,
:當(dāng)x∈ |0, 時， f ′ (x) > 0；當(dāng) x∈ | , +∞ 時，f ′ (x) < 0；
在 上單調(diào)遞增 上單調(diào)遞減，
又f (1) = f (10) = 0 ， :當(dāng)x∈ (1,10) 時，f (x) > 0 ， 即f (x) > 0 的解集為(1,10) .
故選：B.
6. 【答案】B
【分析】由已知條件確定函數(shù)周期，再逐項判斷即可.
【詳解】因為f (x ? 2)是奇函數(shù)，所以f (x ? 2) = ?f (?x? 2) 且f (?2) = 0 ， 令x ? 2 = t ，可得：f (t ) = ?f (?t ? 4)
因為f (x) 是偶函數(shù)，f (2) = 0 且f (?t ? 4) = f (t + 4) ， 所以f (t + 4) = ?f (t ) ，
所以f (t + 8) = ?f (t + 4) = f (t) ，
所以定義域為 R 的函數(shù)f (x) 一個周期為 8，
所以f (2019) = f (252×8 + 3) = f (3) 無法判斷， f (2022) = f (252×8 + 6) = f (6) = f (?2) = 0 ， f (2025) = f (253×8 +1) = f (1) ，無法判斷.
f (2028) = f (253×8 + 4) = f (4) ，無法判斷. 故選：B
7. 【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件列方程，可得D = ，再由0.5 × < 0.2 ，結(jié)合指對數(shù)關(guān)系和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求
解即可.
由于L = L0D 所以L = ， 依題意 0.4 = ，則
則L = 0.5 ×
由L = 0.5 × ( 0.2 ，得到
所以G >18lg ≈ 73.9 ，
所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為 74 次， 故選：D.
8. 【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】由a, b 均為正實數(shù)，得 a < b ，則a2 + 5b2 ? 6ab = 即
a2 + 5b2 > 6ab ；
1 1
當(dāng)a2 + 5b2 > 6ab時，即(a ? b)(a ? 5b) > 0 ，而a, b 均為正實數(shù)，則有 a < b 或a > 5b ，即 > 或
a b
1 1
所以“ > ”是“ a2 + 5b2 > 6ab ”的充分不必要條件.
a b
故選：A
9. 【答案】C
【分析】根據(jù)曲線方程上的點 可得w= 2 ，將 π 代入計算可得縱坐標(biāo). 將點M代入葫蘆曲線的方程可得
即 = 1 ，由w ∈ 可得w= 2 ，
因此曲線方程為 sin2x
當(dāng) 可得 sin2 × ,
· 3
所以交點的縱坐標(biāo)為 ± .
2
故選：C
10. 【答案】D
【分析】根據(jù)f (x) 斜率為k 的切線條數(shù)，結(jié)合圖象直接判斷即可.
【詳解】
根據(jù)圖象，可分別作出f (x) 斜率為k 的另外三條切線：y = kx + mi (i = 1, 2,3) ，切點分別為 x5 , x3 , x4 ， 如圖所示：當(dāng)x∈ (0, x1 ) U (x3, x2 ) U (x4, x5 ) 時，f , (x) > k ；當(dāng) x∈ (x1, x3 ) U (x2, x4 ) U (x5, +∞) 時， f , (x) < k ；
設(shè)g (x) = f (x)? kx ，則 g, (x) = f , (x)? k ，
: g (x) 在(0, x1 ), (x3, x2 ), (x4, x5 ) 上單調(diào)遞增，在(x1, x3 ), (x2, x4 ), (x5, +∞)上單調(diào)遞減，
:g (x) = f (x)? kx 有x = x1 ，x = x2 和x = x5 三個極大值點. 故選：D.
二、填空題（本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分．請把結(jié)果填在答題紙上的相應(yīng)位置. )
11. 【答案】(?∞,0]
【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)為正和二次根號下非負(fù)可求定義域.
,故 x ≤ 0 ，故函數(shù)的定義域為(?∞,0] ，
【詳解】由題設(shè)有
〔1 ? x > 0 {
lln(1? x) ≥ 0
故答案為：(?∞,0] .
12. 【答案】[0, 2]
【分析】分別求出每一段函數(shù)的值域，再求并集即可.
當(dāng) 0 ≤ x ≤ 1時， f (x) = = x ，在 0 ≤ x ≤ 1上單調(diào)遞增，所以f (x)∈ [0,1]；
當(dāng) ?1 ≤ x < 0 時，f 上單調(diào)遞減，所以f (x)∈ (1, 2]；
綜上所述，f (x)∈ [0, 2]， 故答案為：[0, 2].
( 2π )
13. 【答案】|(?1, 3 , （答案不唯一） 【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式變形即可求解.
( π ) 「 π ( π )7 ( 2π )
【詳解】注意到cs|(x ? 6 , = sin L|2 ? (|x ? 6 ,」| = sin (|?x+ 3 , = sin (x+φ), ∈R ，
故可以直接讓(,φ) = ?1,,) ，
事實上，根據(jù)函數(shù)周期性可知 , k ∈ Z . 故答案為 答案不唯一）.
14. 【答案】(2, +∞)
【分析】令f (x) = 0 ，得到 ln (x +1) = k ，構(gòu)造函數(shù) y1 = ln(x +1) ，y2 = k ，根據(jù)條件，數(shù)形結(jié)合得到
b+ 1 = 從而有a + 2(b+1) = a +1+ ?1，通過換元a +1 = t ∈(0,1) ，得到 a + 2(b+1) = t + ?1(0 < t 0 ， ?1 < a < 0, b > 0 ，
且 = k ，得到b+ 1 = ，
2 2
所以 a + 2(b+1) = a + a +1 = a +1+ a +1?1，令a +1 = t ∈(0,1) ，
則 又易知y = t + 在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，
所以y∈ (2, +∞) ，即a + 2(b+1) 的取值范圍為(2, +∞) ，
故答案為：(2, +∞) .
15. 【答案】 ②③④
【分析】分類討論后可得 故可求M(a) ，故可判斷①②的正誤，結(jié)合
?(1+ a)x +1, x ≤ ?1 l
f (x) 的形式可判斷 C 的正誤，對于④,結(jié)合解析式的形式可得若對稱則a = 1 ，可證明此時圖像對稱.
【詳解】由題設(shè)可得
?(1+ a)x +1, x ≤ ?1 l
當(dāng) 0 < a < 1時， M (a) = 2 ? a ，此時1 < M(a) < 2
當(dāng)a ≥ 1 時，M ，此時1< M 故 1 的值域為(1, 3]，
故①錯誤，②正確；
當(dāng)x < ?1時， f (x) = ?(a +1)x +1，因 a +1> 0 ， 故f (x) 在(?∞, ?1) 上單調(diào)遞減，故③正確；
因為1+ a,1? a, ?1? a 互不相等，若y = f(x)的圖象有一條垂直于 x 軸的對稱軸， 則1 ? a = 0 即a = 1 ，
此時f (x) = x +1 + x ? 2 ， f (1? x) = 1? x +1 + 1? x? 2 = x+1 + x? 2 = f (x)，
故 為f 的圖象的對稱軸，故④正確；
故答案為：②③④.
三、解答題（本大題共 6 小題，共 85 分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．請在
答題紙上的相應(yīng)位置作答. )
16. 【答案】（1）an = 2n+ 2 ，n ∈ N*
n 3
（2）T = 18( 4 )n ?18
【分析】（1）借助關(guān)系式 即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可求出等比數(shù)列{bn }中的b1, b2 ，進而求出公比，代入等比數(shù)列前 n 項和公式即可求 出Tn .
【小問 1 詳解】
因為數(shù)列{an }的前 n 項和為Sn = n2 + 3n, n ∈ N* ， 當(dāng)n = 1 時， a1 = S1 = 12 + 3×1 = 4 ；
當(dāng)n ≥ 2 時， an = Sn ? Sn?1 = n2 + 3n ? (n?1)2 + 3(n?1) = 2n+ 2 ；
又因為 a1 = 4 = 2×1+ 2 ，符合 an = 2n+ 2 ，
所以{an }的通項公式為：an = 2n+ 2 ，n ∈ N* .
【小問 2 詳解】
設(shè)等比數(shù)列{bn }的公比為q .
因為等比數(shù)列{bn }滿足b1 = a2, b2 = a3 ，即b1 = 6 ，b2 = 8 ，
所以 所以 n ?18 ，
4
所以{bn }的前 n 項和Tn = 18( 3 )n ?18 .
17. 【答案】（1） ；
（2）選擇條件，答案見解析.
【分析】（1）逆用差角的正弦公式化簡函數(shù) f (x) ，借助特殊角的三角函數(shù)值求出φ .
（2）根據(jù)給定條件，結(jié)合單調(diào)區(qū)間及最小值可得 0< ≤ 2 ，且 ?φ = ，選擇①結(jié)合對稱中心求
出,φ ;選擇②結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求出φ 值，矛盾；選擇③,由最大值點求出,φ .
【小問 1 詳解】
依題意，函數(shù)f (x) = sin(wx ?φ) ，由 f (0) =? ,得 ?sinφ = ? ,
即sinφ = ，而|φ |< ，解得φ = ， 所以φ 的值是 .
【小問 2 詳解】
由 在 上單調(diào)遞減，得函數(shù)f (x) 的最小正周期 = π , 解得0 < w ≤ 2 ， 由f () =?1 ，得 = ?1 ，又 ?φ < w?φ ≤ ?φ,而|φ |< ，
即 ? < φ < ， < ?φ < ，因此 w?φ = ，
選擇① , (,0) 是曲線y = f (x) 的一個對稱中心，而
則函數(shù)f (x) 的最小正周期T = 2π = 4( 2π ? 5π) = π ,解得w= 2 ， w 3 12
由 w?φ = 得φ = ? ,函數(shù) = sin唯一確定，經(jīng)驗證符合題意， 所以w= 2,φ = ?
選擇 即sin(? w?φ) = ，化簡得sin(w+φ) = ? ,
π 2π π π π 2π 7π π π
又φ < w+φ ≤ +φ , ? < φ < ， < +φ < ，于是 w+φ = ? ,
3 3 2 2 6 3 6 3 6
聯(lián)立 w?φ = 解得w= ,φ = ? ,不符合題意，函數(shù) f (x) 不能確定.
選擇③ , f (x) 在[0,] 上單調(diào)遞增，f ,) = 1 ，則函數(shù)f (x) 的最小正周期 解得w= 2 ，由 w?φ = ，得φ = ? , 函數(shù)f = sin唯一確定，經(jīng)驗證符合題意， 所以w= 2,φ = ?
18. 【答案】（1）y = ?4x 和12x + 3y ?1 = 0 ；
（2） (?∞, ?2), (1, +∞) ；
13 4 7
（3）[? , ? ) { } . 3 3 3
【分析】（1）設(shè)斜率為 ?4 的直線與y = f(x)相切于 求導(dǎo)得f , (x) = 2x2 + 2x ? 4 ，
令 2xEQ \* jc3 \* hps13 \\al(\s\up 5(2),0) + 2x0 ? 4 = ?4 ，解得 x0 = 0 或x0 = ? 1，求出切點坐標(biāo)，再利用點斜式即可得切線方程；
（2）求導(dǎo)得 f , (x) = 2(x + 2)(x ?1) ，令f′ (x) > 0，即可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）將問題轉(zhuǎn)化為直線y =?a 與 g(x) = x3 + x2 ? 4x 的圖象在[?1,2] 上只有一個交點，利用導(dǎo)數(shù)求出
g(x) 的單調(diào)區(qū)間、最值，作出圖象，結(jié)合圖象求解即可. 【小問 1 詳解】
解：因為 a = 0 ，
所以f (x) = x3 + x2 ? 4x ，f , (x) = 2x2 + 2x ? 4 ，
設(shè)斜率為 ?4 的直線與y = f(x)相切于
令 2xEQ \* jc3 \* hps13 \\al(\s\up 5(2),0) + 2x0 ? 4 = ?4 ，解得 x0 = 0 或x0 = ? 1，
當(dāng)x0 = 0 時，切點為(0, 0) ， 此時切線方程為y = ?4x ；
當(dāng)x0 = ? 1 時，切點為 (?1,) ,
此時切線方程為
即12x + 3y ?1 = 0 ；
綜上，所求切線方程為：y = ?4x 和12x + 3y ?1 = 0 ； 【小問 2 詳解】
解：因為f (x) = x3 + x2 ? 4x + a ，
所以f , (x) = 2x2 + 2x ? 4 = 2(x + 2)(x ?1) ， 令f′ (x) > 0，得 x < ?2 或x > 1 ，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞, ?2), (1, +∞) ； 【小問 3 詳解】
解：令f (x) = x3 + x2 ? 4x+ a = 0 ，
則 g,(x) = 2x2 + 2x ? 4 = 2(x + 2)(x ?1) ，
所以當(dāng)x [ 1,1) 時，g,(x) < 0 ， g(x) 單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈ (1, 2] 時，g ,(x) > 0 ， g(x) 單調(diào)遞增；
所以 min = g 又 ， ，
又因為函數(shù)在 [?1,2] 上恰有 1 個零點，
即直線y =?a 與y = g(x) 的圖象在[?1,2] 上只有一個交點， 如圖所示：
由此可得 ?a = ? 或 < ?a ≤
解得 ≤ a < ?
所以實數(shù) a 的取值集合為
y = 2.4sin x+ 5, 0 ≤ x < 24
（2）最早可行的進港時間為 1 時 2 分， 5 時 10 分出港；這條貨船一天中最多可以在港口中?？康目倳r長 為 8 小時 16 分.
【分析】（1）由公式 可求，由表格可得周期 T = 12.4 ? 0 = 12.4 ，進而求
,代入最高點(3.1, 7.4) 可求φ;
（2）由題意可知進港條件為 y ≥ 6.2 ，解不等式即可. 【小問 1 詳解】
由表格可知y 的最大值為 7.4，最小值為 2.6，
所以 = 2.4, b =
由表格可知T = 12.4 ? 0 = 12.4 ，
所以 =
所以y = 2.4sin
將點(3.1, 7.4) 代入可得： 7.4 = 2.4sin 所以 ×3.1+φ = + 2kπ, k ∈ Z ，
解得φ = 0 + 2kπ, k ∈ Z ，
因為 φ < ，所以φ = 0 ，
所以y = 2.4sin x+ 5, 0 ≤ x < 24 .
【小問 2 詳解】
貨船需要的安全水深為 4.2 + 2 = 6.2 米, 所以進港條件為 y ≥ 6.2 .
令 2.4sin x + 5 ≥ 6.2 ,
即sin 5π x ≥ 1 ,
31 2
所以 π + 2kπ ≤ 5π x ≤ 5π + 2kπ, k ∈ Z ,
6 31 6
31 62k 31 62k
解得 + ≤ x ≤ + , k ∈ Z , 30 5 6 5
因為0 ≤ x < 24 ，
31 31 所以k = 0 時， ≤ x ≤ ,
30 6
403 527
k = 1時， ≤ x ≤ 30 30
因為 （時） = 1 時 2 分, （時）= 5 時 10 分. （時） = 13 時 26 分，（時） = 17 時 34 分.
因此，貨船可以在 1 時 2 分進港，早晨 5 時 10 分出港；或在下午 13 時 26 分進港，下午 17 時 34 分出港. 則該貨船最早進港時間為 1 時 2 分，?？靠倳r長為 8 小時 16 分鐘.
20. 【答案】（1）g1 (x) = 5ex ? 3e
（2）當(dāng)a > 0 時，F(xiàn)a (x) 在(?∞, a)上單調(diào)遞減；在(a, +∞ )上單調(diào)遞增
（3）f (x) 的所有 Q 點為a = ?4 或a = ? 1
【分析】 (1)先求出 f (x) 的導(dǎo)函數(shù)f′ (x)，然后求出 f (1), f , (1) 的值，再根據(jù)點斜式即可求出切線方程 g1 (x)；
(2)求出Fa (x) 的導(dǎo)函數(shù)Fa , (x)，判斷 Fa , (x) 在a > 0 時的符號，即可判斷函數(shù)Fa (x) 的單調(diào)性；
(3)根據(jù)題意，當(dāng) x ≠ a 時，總有 > 0 成立，即 Fa (x) 與 x? a 同號，即可找到滿足條件的 a
值.
【小問 1 詳解】
: f (x) = ex (x2 + x)，
f , (x) = ex (x2 + x)+ ex (2x +1) = ex (x2 + 3x +1) 當(dāng) a = 1 時，f (1) = 2e ，f , (1) = 5e ，
故f (x) 在(1, 2e) 處的切線方程為：y ? 2e = 5e (x ?1) ，
即y = 5ex ? 3e ，
:g1 (x) = 5ex ? 3e ； 【小問 2 詳解】
由(1) 知：ga (x) = f , (a)(x ? a) + f (a)
= ea (a2 + 3a +1)(x ? a)+ ea (a2 + a)
= ea (a2x + 3ax + x ? a3 ? 2a2 )
Fa (x) = f (x)? ga (x) = ex (x2 + x)? ea (a2x + 3ax + x ? a3 ? 2a2 )，
:Fa, (x) = ex (x2 + x)+ ex (2x+1)? ea (a2 + 3a +1)
= ex (x2 + 3x +1)? ea (a2 + 3a +1)
= ex x2 + 3x +1? ea?x (a2 + 3a +1)
令h (x) = x2 + 3x +1? ea?x (a2 + 3a +1)，
則 h, (x) = 2x + 3 + ea?x (a2 + 3a +1) = ，
令φ(x) = ex (2x + 3)+ ea (a2 + 3a +1)， 則φ, (x) = ex (2x + 5)，
當(dāng)x < ? 時，φ ′ (x) < 0 ，φ(x)單調(diào)遞減， 當(dāng)x > ? 時，φ ′ (x) > 0 ，φ(x)單調(diào)遞增， 故
( 5 ) ? 5 ( ( 5 ) ) 2
φ|( ? 2 , = e 2 |(2 × (| ? 2 , + 3, + ea (a + 3a+1)
5
= ?2e? 2 + ea (a2 + 3a +1)
'.' a > 0 ，∴ ea+2 + 3a + 1) ? 2 > 0 ， 即φ(x) > 0 恒成立，即?′ (x) > 0恒成立， 即?(x)在R 上單調(diào)遞增，
又'.' h (a) = a2 + 3a +1? e0 (a2 + 3a +1) = 0 ，
故當(dāng)x < a 時，h (a) < 0 ，即 Fa, (x) < 0 ，F(xiàn)a (x) 單調(diào)遞減； 當(dāng)x > a 時，h (a) > 0 ，即 Fa, (x) > 0 ，F(xiàn)a (x) 單調(diào)遞增；
綜上所述：當(dāng) a > 0 時，F(xiàn)a (x) 在(?∞, a)上單調(diào)遞減；在(a, +∞)上單調(diào)遞增； 【小問 3 詳解】
'.' 當(dāng)x ≠ a時，總有 > 0成立，
又'.' Fa (a) = ea (a2 + a)? ea (a3 + 3a2 + a ? a3 ? 2a2 ) = 0 ，
故Fa (x) 與x? a 同號， 即當(dāng)x < a 時，
Fa (x) < 0 ，
當(dāng)x > a 時，F(xiàn)a (x) > 0 ，
即Fa (x) 在R 上單調(diào)遞增，即
Fa , (x) ≥ 0 恒成立，
:由(2) 知：h (a) = 0 ，即 Fa, (a) = 0 ，
故當(dāng)x > a 時，φ(x) = ex (2x + 3)+ ea (a2 + 3a +1) ≥ 0 恒成立，
'.'φ(x) = ex (2x + 3)+ ea (a2 + 3a +1) ≥ ea (2a + 3)+ ea (a2 + 3a +1) = ea (a2 + 5a + 4) ≥ 0 ， 解得： a ≤ ?4 或a ≥ ?1 ，
當(dāng)x < a 時，φ(x) = ex (2x + 3)+ ea (a2 + 3a +1) ≤ ea (a2 + 5a + 4) ≤ 0 恒成立，
解得： ?4 ≤ a ≤ ?1，故 a = ?4 或a = ? 1 ， 故f (x) 的所有 Q 點為a = ?4 或a = ? 1 .
【點睛】方法點睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題，著重考 查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于此類問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用 導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化 為函數(shù)的最值問題.
21. 【 答 案 】（1） Y = (0,1,1, 0) ， Z = (0, 0) ，或 Y = (0, 0,1, 0) ， Z = (1, 0) ，或 Y = (0,1, 0, 0) ， Z = (0,1) .
（2）51
（3）證明見解析
【分析】（1）直接根據(jù)定義得到所有可能的情況即可；
（2）先對段落數(shù)估計，證明一定需要 51次操作，然后構(gòu)造 51次操作的例子，即可說明至少需要的操作次 數(shù)為51；
（3）先給出具體的操作方式，然后證明該操作方式下操作的總次數(shù)不會超過n +1 . 【小問 1 詳解】
由于對Y ∈Ω4 進行一次“ 10 月變換 ”后就得到了Z ∈Ω2 ，說明 Y 一定含有2 個相同且相鄰的數(shù)，從而Y 只可能是(0,1,1, 0) ，(0, 0,1, 0) ，(0,1, 0, 0) ，對應(yīng)的 Z 分別是(0, 0) ，(1,0) ，(0,1).
【小問 2 詳解】
對每個Ωn 中的元素，將其所有連續(xù)的0 和連續(xù)的1各自記為一個段落，則容易得到：
若對某個A 進行一次操作一得到B ，則 B 的段落數(shù)或者和A 的段落數(shù)相等，或者比A 的段落數(shù)多1，或者 比A 的段落數(shù)多2 ；
若對某個A 進行一次操作二得到 C ，則 C 的段落數(shù)或者和A 的段落數(shù)相等，或者比A 的段落數(shù)少1，或者 比A 的段落數(shù)少2 .
這表明，每次“ 10 月變換 ”下，變換前后元素的段落數(shù)之差的絕對值不超過2 .
現(xiàn)在，X = (0, 0,..., 0) ∈ Ω100 的段落數(shù)為1 ， Y = (0,1, 0,1,..., 0,1)∈ Ω100 的段落數(shù)為100 .
故若對X進行k 次“ 10 月變換 ”后可以得到Y(jié) ，則由前面的結(jié)論知 X, Y 包含的段落數(shù)之差的絕對值不超 過2k ，所以 99 ≤ 2k ，得 k ≥ 50 .
如果k = 50 ，則再次由前面的結(jié)論可知，變換過程中每次都是操作二，且有 49 次變換后相比變換前的段 落數(shù)多2 ，有1次變換后相比變換前的段落數(shù)多1 .
但在只進行操作二的情況下，0 的數(shù)量不可能減少，但X, Y 包含的0 的個數(shù)分別是100, 50 ，矛盾. 所以k ≥ 51 .
下面的變換過程表明k = 51 是可行的： X = (0, 0,..., 0) ∈ Ω100 ，
X1 = (0, 0,..., 0) ∈ Ω50 ，
X2 = (0,1, 0, 0,..., 0) ∈ Ω51 ，
X3 = (0,1, 0,1, 0, 0,..., 0) ∈ Ω52 ，
...
X50 = (0,1, 0,1,..., 0,1, 0) ∈Ω99 ， Y = X51 = (0,1, 0,1,..., 0,1) ∈ Ω100 .
所以，至少要對X進行51次“ 10 月變換 ”才能得到Y(jié) . 【小問 3 詳解】
由于A 能通過 “ 10 月變換 ”得到B，當(dāng)且僅當(dāng) B 能通過 “ 10 月變換 ”得到A ，所以我們不妨設(shè) X 的段 落數(shù)a 不小于Y 的段落數(shù)b ，則1≤ b≤ a ≤ 2n .
此時，我們再不妨設(shè)Y 中0 的段落數(shù)不超過1的段落數(shù)，從而Y 中0 的段落數(shù)不超過 .
顯然，如果X 不含1，則只需要一次操作使X含1的個數(shù)與Y相等，然后再插入至多 個連續(xù)的0 構(gòu)成的 段落即可，由 +1 = n+1知結(jié)論成立.
下面考慮X含1的情況，進行如下操作：
第一步：如果X 的1的個數(shù)小于Y ，則在 X 的任意一個1右側(cè)增加若干個1使得二者含1數(shù)量相等，否則跳 過該步驟；
第二步：我們不斷對X進行增加或刪除連續(xù)若干個0 的操作.
準(zhǔn)備工作：如果X和Y開頭的數(shù)碼不同，則在開頭增加或刪去若干個0 ，否則跳過該步驟. 然后反復(fù)進行以下步驟：
情況 1：如果當(dāng)前的X 的第一個和Y不一致的段落對應(yīng)的數(shù)字是由1組成的，則在X 的該段落中間添加若 干個0 （數(shù)量與 Y 的下一個段落的0 的個數(shù)相等），或者在該段落末尾刪去X 的下一個由0 組成的段落；
情況 2：如果當(dāng)前的X 的第一個和Y不一致的段落對應(yīng)的數(shù)字是由0 組成的，則在X 的該段落中間添加或 刪去若干個0 ，使得該段的 0 的個數(shù)與Y 的該段落的0 的個數(shù)相等.
如此反復(fù)后，如果第一步進行了操作，則最終X和Y一致；如果第一步?jīng)]有進行操作，則最終X相比Y 在末尾多出若干個1 .
第三步：如果X相比Y在末尾多出若干個1，則刪除多余的1，否則跳過該步驟.
至此，我們就將X操作變成了Y .
由于每執(zhí)行一次第二步的操作時，使得段落數(shù)增加1的準(zhǔn)備工作和段落數(shù)減少2 的刪除0 的操作的總次數(shù) 不超過 而增加0 的操作的次數(shù)不超過 ，同時第一步和第三步不可能同時進行操作，所以總的
a ? b+1 b a 3 2n 3 1
操作次數(shù)不會超過 + +1 = + ≤ + = n+1+ ，故需要的操作次數(shù)不超過 n +1 . 2 2 2 2 2 2 2
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于對“ 10 月變換 ”定義的理解，只有理解了定義，方可解決相應(yīng)的 問題.

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