例1．已知函數(shù)，．
（1）若恰為的極小值點．
（?。┳C明：；
（ⅱ）求在區(qū)間上的零點個數(shù)；
（2）若，，
又由泰勒級數(shù)知：，．證明：．
【解析】解：（1）證明：（?。┯深}意得：，
因為為函數(shù)的極值點，所以，
令，則，在上單調(diào)遞增，
因為，
所以在上有唯一的零點，
所以；
（ⅱ）由（?。┲海?，，
①當(dāng)時，由，，，得：，
所以在上單調(diào)遞減，，
所以在區(qū)間上不存在零點；
②當(dāng)時，設(shè)，則，
若，令，則，
所以在上單調(diào)遞減，因為；
所以存在，滿足，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；
若，令，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，
又因為，
所以，在上單調(diào)遞減；
若，則，在上單調(diào)遞減；
由得，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
因為，，
所以存在使得，
所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
因為，，所以在區(qū)間上有且只有一個零點；
綜上，在區(qū)間上的零點個數(shù)為2個；
（2）因為①
對，
兩邊求導(dǎo)得：，
，
所以②
比較①②式中的系數(shù)，得：
所以．
例2．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時．若正實數(shù)，滿足，，，，證明：．
【解析】解：（1），，△，
①時，恒成立，
故函數(shù)在遞增，無遞減區(qū)間，
②時，或，
故函數(shù)在，，遞增，在，遞減，
綜上，時，函數(shù)在遞增，無遞減區(qū)間，
時，函數(shù)在，，遞增，在，遞減，
（2），對，恒成立，
即，時，恒成立，
令，，則，
令，
則，在遞減且（1），
時，，，遞增，
當(dāng)，，，遞減，
（1），
綜上，的范圍是，．
（3）證明：當(dāng)時，，
，不妨設(shè)，
下先證：存在，，使得，
構(gòu)造函數(shù)，
顯然，且，
則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，存在，，使得，
即存在，，使得，
又為增函數(shù)，
，即，
設(shè)，則，，
①，
②，
由①②得，，
即．
例3．英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時，，，，．
（1）證明：當(dāng)時，；
（2）設(shè)，若區(qū)間，滿足當(dāng)定義域為，時，值域也為，，則稱為的“和諧區(qū)間”，
（?。r，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由；
（ⅱ）時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）證明：由已知當(dāng)時，，
得，
所以當(dāng)時，．
（2）時，假設(shè)存在，則由知，注意到，
故，所以在，單調(diào)遞增，
于是，即，是方程的兩個不等實根，
易知不是方程的根，
由已知，當(dāng)時，，
令，則有時，，即，
故方程只有一個實根0，故不存在和諧區(qū)間．
時，假設(shè)存在，則由知，
若，，則由，，，知，與值域是，，矛盾，
故不存在和諧區(qū)間，
同理，，時，也不存在，
下面討論，
若，則，故最小值為，于是，
所以，
所以最大值為2，故，
此時的定義域為，，值域為，，符合題意．
若，當(dāng)時，同理可得，，舍去，
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞減，
所以，于是，
若即，則，故，，
與矛盾；
若，同理，矛盾，
所以，即，
由（1）知當(dāng)時，，
因為，所以，從而，，從而，矛盾，
綜上所述，有唯一的和諧區(qū)間，．
例4．給出以下三個材料：
①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作．類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)
一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作，．
②若，定義．
③若函數(shù)在包含的某個開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對于任一有，
我們將稱為函數(shù)在點處的階泰勒展開式．例如，在點處的階泰勒展開式為．
根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：
（1）求出在點處的3階泰勒展開式，并直接寫出在點處的3階泰勒展開式；
（2）比較（1）中與的大?。?br>（3）已知不小于其在點處的3階泰勒展開式，證明：時，．
【解析】（1）解：因為，則，，，
所以，，，
故，即，
同理可得，；
（2）解：由（1）可知，，，
令，則，
則，，
所以在上單調(diào)遞增，又，
故當(dāng)時，，故單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，故單調(diào)遞增，
所以的最小值為，所以，
故在上單調(diào)遞增，又，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．
（3）證明：令，則，
所以．則在上單調(diào)遞增，又，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即，
因為在點處的3階泰勒展開式為：，
所以，
又在處的3階泰勒展開式為：，
當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，
故．
例5．利用拉格朗日（法國數(shù)學(xué)家，插值公式，可以把二次函數(shù)表示成的形式．
（1）若，，，，，把的二次項系數(shù)表示成關(guān)于的函數(shù)，并求的值域（此處視為給定的常數(shù)，答案用表示）；
（2）若，，，，求證：．
【解析】（1）解：由題意，
又，所以，
當(dāng)時，，則的值域是；
當(dāng)時，，所以的值域是，，．
（2）證明：因為，，，，
所以，
，
因為，，，，
所以，，
所以，
所以，
，
因為，，，，
所以，，
所以，
所以，
綜上，原不等式成立．
例6．用拉格朗日中值定理證明不等式：．
【解析】證明：設(shè)，，
則符合拉格朗日中值定理的條件，即存在，
使，
因為，由，，
可知，，，
即，
可得，
即有，
令，可得，
即有．
例7．已知函數(shù)、，的圖象在，（2）處的切線與軸平行．
（1）求，的關(guān)系式并求的單調(diào)減區(qū)間；
（2）證明：對任意實數(shù)，關(guān)于的方程：在，恒有實數(shù)解；
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)是在閉區(qū)間，上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在內(nèi)至少存在一點，使得．如我們所學(xué)過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理條件．試用拉格朗日中值定理證明：
當(dāng)時，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．
【解析】解：（1）因為，（1分）
由已知有（2），所以即（2分）
即，由知．
當(dāng)時得或，的減區(qū)間為；（3分）
當(dāng)時得：，的減區(qū)間為和；（4分）
綜上所述：當(dāng)時，的減區(qū)間為；
當(dāng)時，的減區(qū)間為和；（5分）
（2），（6分）
，
可化為，令（7分）
則，，
即又因為，所以，，即，（8分）
故在區(qū)間，內(nèi)必有解，
即關(guān)于的方程在，恒有實數(shù)解（9分）
（3）令，，（10分）
則符合拉格朗日中值定理的條件，即存在，
使（11分）
因為，由，可知，（12分）
即，
（14分）
例8．已知，，
（1）若在處取得極值，試求的值和的單調(diào)增區(qū)間；
（2）如圖所示，若函數(shù)的圖象在，連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)圖象上任意兩點的連線斜率不小于．
【解析】解：（1），（1分）
依題意，有，即．（2分）
，．
令，得或，（5分）
從而的單調(diào)增區(qū)間為：及；（6分）
（2）；，（7分）
（9分）．（12分）
由（2）知，對于函數(shù)圖象上任意兩點、，在、之間一定存在一點，（c），使得（c），又，故有（c），證畢．（14分）
【同步練習(xí)】
一、單選題
1．十八世紀早期，英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了公式，（其中，，，），現(xiàn)用上述公式求的值，下列選項中與該值最接近的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因為,
則,
當(dāng)時，則有,
又 ,
則
,
故選∶C．
2．公元1715年英國數(shù)學(xué)家布魯克·泰在他的著作中陳述了“泰勒公式”，如果滿足一定的條件，泰勒公式可以用函數(shù)在某一點的各階導(dǎo)數(shù)值構(gòu)建一個多項式來近似表達這個函數(shù).泰勒公式將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表示為簡單的多項式函數(shù)，使得它成為分析和研究許多數(shù)學(xué)問題的有力工具，例如：，其中，，試用上述公式估計的近似值為（精確到0.001）（ ）
A．1.647B．C．D．1.646
【答案】B
【解析】由題意可知，結(jié)果只需精確到0.001即可，
令，取前6項可得：
所以的近似值為，
故選：B.
3．計算器是如何計算，，，，等函數(shù)值的呢？計算器使用的是數(shù)值計算法，其中一種方法是用容易計算的多項式近似地表示這些函數(shù)，通過計算多項式的值求出原函數(shù)的值，如，，其中，英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了這些公式，可以看出，右邊的項用得越多，計算得出的和的值也就越精確．運用上述思想，可得到的近似值為（ ）
A．0.50B．0.52C．0.54D．0.56
【答案】C
【解析】由題意可得，，
故.
故選：．
二、填空題
4．英國數(shù)學(xué)家泰勒(1685-1731)以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級數(shù)聞名于世，由泰勒公式，我們得到(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，)，其拉格朗日余項是可以看出，右邊的項用得越多，計算得到的e的近似值也就越精確.若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余項不超過時，正整數(shù)n的最小值是_____
【答案】6
【解析】依題意得，即，，，所以的最小值是6．
故答案為：6
三、解答題
5．給出以下三個材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作.類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作.②若，定義.③若函數(shù)在包含的某個開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對于任一有，我們將稱為函數(shù)在點處的階泰勒展開式.例如，在點處的階泰勒展開式為.根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：
(1)求出在點處的階泰勒展開式，并直接寫出在點處的階泰勒展開式；
(2)比較（1）中與的大小.
(3)證明：.
【解析】（1），，，
，，，
，即；
同理可得：；
（2）由（1）知：，，
令，則，
，，
在上單調(diào)遞增，又，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
，，
在上單調(diào)遞增，又，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
綜上所述：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；
（3）令，則，
，在上單調(diào)遞增，
又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即；
在點處的階泰勒展開式為：，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
①當(dāng)時，由（2）可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以；
②當(dāng)時，設(shè)，，
，，
當(dāng)，由（2）可知，所以，
，即有；
當(dāng)時，，
所以，時，單調(diào)遞減，從而，即．
綜上所述：.
6．在高等數(shù)學(xué)中，我們將在處可以用一個多項式函數(shù)近似表示，具體形式為：（其中表示的n次導(dǎo)數(shù)），以上公式我們稱為函數(shù)在處的泰勒展開式.
(1)分別求，，在處的泰勒展開式；
(2)若上述泰勒展開式中的x可以推廣至復(fù)數(shù)域，試證明：.（其中為虛數(shù)單位）；
(3)若，恒成立，求a的范圍.（參考數(shù)據(jù)）
【解析】（1）因為函數(shù)在處的泰勒展開式為（其中表示的n次導(dǎo)數(shù)），
所以，，在處的泰勒展開式分別為：
，
，
；
（2）證明：把在處的泰勒展開式中的替換為，可得
，
所以，即；
（3）由在處的泰勒展開式，先證，
令，
，易知，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
再令，，易得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
而，
所以 恒成立，
當(dāng)時， ，所以成立，
當(dāng)時，令，，易求得，
所以必存在一個區(qū)間，使得在上單調(diào)遞減，
所以時，，不符合題意.
綜上所述，.
7．英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時，，.
(1)證明：當(dāng)時，；
(2)設(shè)，若區(qū)間滿足當(dāng)定義域為時，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”.
（i）時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由；
（ii）時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由已知當(dāng)時，，
得，
所以當(dāng)時，.
（2）（i）時，假設(shè)存在，則由知，注意到，
故，所以在單調(diào)遞增，
于是，即是方程的兩個不等實根，
易知不是方程的根，
由已知，當(dāng)時，，令，則有時，，即，
故方程只有一個實根0，故不存在“和諧區(qū)間”.
（ii）時，假設(shè)存在，則由知
若，則由，知，與值域是矛盾，
故不存在“和諧區(qū)間”，
同理，時，也不存在，
下面討論，
若，則，故最小值為，于是，
所以，
所以最大值為2，故，此時的定義域為，值域為，符合題意.
若，當(dāng)時，同理可得，舍去，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以
，于是，
若即，則，故，
與矛盾；
若，同理，矛盾，
所以，即，
由（1）知當(dāng)時，，
因為，所以，從而，，從而，矛盾，
綜上所述，有唯一的“和諧區(qū)間”.
8．計算器是如何計算，，，，等函數(shù)值的？計算器使用的是數(shù)值計算法，其中一種方法是用容易計算的多項式近似地表示這些函數(shù)，通過計算多項式的值求出原函數(shù)的值，如
，
，
其中.
英國數(shù)學(xué)家泰勒（B．Taylr，1685―1731）發(fā)現(xiàn)了這些公式，可以看出，右邊的項用得越多，計算得到的和的值也就越精確.例如，我們用前三項計算，就得到.
像這些公式已被編入計算器內(nèi)，計算器利用足夠多的項就可確保其顯示值是精確的.
試用你的計算器計算，并與上述結(jié)果進行比較.
【解析】用計算器計算得，
和數(shù)值比較發(fā)現(xiàn)，
通過計算的答案只能精確到小數(shù)點后第3位.
9．給出以下三個材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作．類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作．②若，定義．③若函數(shù)在包含的某個開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對于任一有，我們將稱為函數(shù)在點處的階泰勒展開式．例如，在點處的階泰勒展開式為．
根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：
（1）求出在點處的階泰勒展開式，并直接寫出在點處的階泰勒展開式；
（2）比較（1）中與的大?。?br>（3）已知不小于其在點處的階泰勒展開式，證明：．
【解析】（1），，，
，，，
，即；
同理可得：；
（2）由（1）知：，，
令，則，
，，
在上單調(diào)遞增，又，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
，，
在上單調(diào)遞增，又，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
綜上所述：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.
（3）令，則，
，在上單調(diào)遞增，又，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即；
在點處的階泰勒展開式為：，
，
①由（2）知：當(dāng)時，，
當(dāng)時，；
②由（2）知：當(dāng)時，，
，
令，則，
在上單調(diào)遞減，，即當(dāng)時，，
，；
綜上所述：.
10．已知函數(shù)，.
（1）若恰為的極小值點.
①證明：；
②求在區(qū)間上的零點個數(shù)；
（2）若，，又由泰勒級數(shù)知：，證明：
【解析】（1）①由題意得：，
因為為函數(shù)的極值點，所以，，
令，則，在上單調(diào)遞增.
因為，，
所以在上有唯一的零點，所以；
②由①知：，，，
（i）當(dāng)時，由，，，，得，
所以在上單調(diào)遞減，，
所以在區(qū)間上不存在零點；
（ii）當(dāng)時，設(shè)，則.
（a）若，令，則，
所以在上單調(diào)遞減，
因為，，
所以存在，滿足，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；
（b）若，令，，
則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，
又因為，
所以，在上單調(diào)遞減；
（c）若，則，在上單調(diào)遞減.
由（a）（b）（c）得，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
因為，，
所以存在使得，
所以，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
因為，，
所以在區(qū)間上有且只有一個零點.
綜上，在區(qū)間上的零點個數(shù)為個；
（2）因為，（*）
對，
兩邊求導(dǎo)得：，
，
所以，（**）
比較（*）（**）式中的系數(shù)，得
所以.
11．英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中.這些公式被編入計算工具，計算工具計算足夠多的項就可以確保顯示值的精確性.比如，用前三項計算，就得到.試用你的計算工具計算，并與上述結(jié)果比較.
【解析】依題意，用前5項計算，即
．
與用前三項計算的結(jié)果比較可以發(fā)現(xiàn)，用前5項計算的結(jié)果精確度更高，同時可知，當(dāng)取的項數(shù)足夠多時，可以達到更高的精確度，甚至達到任意精確度的要求．
四、雙空題
12．記為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)且，若存在，則稱階可導(dǎo)．英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)：若在附近階可導(dǎo)，則可構(gòu)造（稱為次泰勒多項式）來逼近在附近的函數(shù)值．據(jù)此計算在處的3次泰勒多項式為=_________；在處的10次泰勒多項式中的系數(shù)為_________
【答案】 330
【解析】∵，∴，，
∴，∴；
∵，∴，，，…，，，
∴，，，…，，，
∴．
故的系數(shù)為．
故答案為：；330.

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新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)《導(dǎo)數(shù)》壓軸題突破練第16講 同構(gòu)法巧證不等式（2份，原卷版+解析版）：

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新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)《導(dǎo)數(shù)》壓軸題突破練第15講 證明不等式之虛設(shè)零點（2份，原卷版+解析版）：

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