注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.
4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
2. 設(shè)，則（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，，為不共線的單位向量，且任意兩個向量的夾角均相等，若，則（ ）
A. B. C. D.
4. 已知雙曲線C的一個焦點到其漸近線的距離與焦距之比為，則C的離心率為（ ）
A. 2B. 4C. D.
5. 若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則下列函數(shù)一定為奇函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
6. 記等比數(shù)列前項和為，且，則（ ）
A. B. C. 2D. 1
7. 若函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)（，且），則a的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
8. 設(shè)A，B是曲線上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，將平面直角坐標系沿x軸折疊，使得上，下兩半部分所成二面角為，則的最小值為（ ）
A. 2B. C. D. 4
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知隨機變量X服從正態(tài)分布，Y服從二項分布，則（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函數(shù)，，則（ ）
A. 的最小正周期為
B. 的最小正周期為
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D. 函數(shù)值域為
11. 已知函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，則（ ）
A
B
C. 若函數(shù)恰有兩個零點，則
D. 函數(shù)（，且），則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，
12. 若，則____________.
13. 已知數(shù)列的各項均不為零，且，若表示事件“，”，則________.
14. 設(shè)拋物線的焦點為F，O為坐標原點，過F的直線交C于A，B兩點，若的外接圓圓心在直線上，則的外接圓的面積為________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15. 在銳角三角形中，角、、對應(yīng)的邊分別為、、，已知.
（1）求；
（2）求的取值范圍.
16. 如圖，在三棱臺中，平面ABC，，.
（1）證明：；
（2）若與平面所成角的正弦值為，求.
17. 已知橢圓的左，右焦點分別為，，左，右頂點分別為A，B，過的動直線交橢圓于P，Q兩點，其中的最大值為，最小值為.
（1）求橢圓C標準方程；
（2）過且與PQ垂直的直線交橢圓于M，N兩點，求的取值范圍.
18. 已知函數(shù)，.
（1）討論的單調(diào)區(qū)間；
（2）若直線為的切線，求a的值.
（3）已知，若曲線在處的切線與C有且僅有一個公共點，求a的取值范圍.
19. 已知有限集合（，），若，則稱A為“完美集”.
（1）已知，，，，成等差數(shù)列，若集合A為“完美集”，求；
（2）已知，是否存在首項為3的等比數(shù)列，使得集合A為“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，說明理由；
（3）已知，且集合A為“完美集”，求A.
數(shù)學(xué)
全卷滿分150分，考試時間120分鐘.
注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.
4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分別求解一元二次不等式和求函數(shù)定義域，得到集合，求其并集即得.
【詳解】由可得，即，
由解得，即得，故.
故選：A.
2 設(shè)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡，即可根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解.
【詳解】，所以，
故選：B.
3. 已知，，為不共線的單位向量，且任意兩個向量的夾角均相等，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到向量之間的夾角為，再依據(jù)向量加法的平行四邊形法則可求得結(jié)果.
【詳解】依題意，任意兩個向量的夾角均為，
由平行四邊形法則可知，，
所以.
故選：B.
4. 已知雙曲線C的一個焦點到其漸近線的距離與焦距之比為，則C的離心率為（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)雙曲線的焦距為2c，求出焦點到其漸近線的距離，由題意得到關(guān)系，結(jié)合的關(guān)系求得離心率.
【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為2c，易知焦點到其漸近線的距離為，所以，，故，
故選：C.
5. 若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則下列函數(shù)一定為奇函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱軸結(jié)合平移得出奇偶性，再結(jié)合奇函數(shù)定義計算判斷即可.
【詳解】因為的圖象關(guān)于直線對稱，將向右平移1個單位長度，
所得圖象關(guān)于y軸對稱，即為偶函數(shù)，B選項錯誤；
因為的圖象關(guān)于直線對稱，將向左平移1個單位長度，
關(guān)于直線對稱，不能得出奇偶性，A，C選項錯誤；
對于D：，可得函數(shù)為奇函數(shù)，D選項正確；
故選：D.
6. 記等比數(shù)列的前項和為，且，則（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由等比數(shù)列通項公式得到，再由求和公式將代入即可化簡求解；
【詳解】設(shè)的公比為q，則，即，，
因為，
所以，所以，
故選：D.
7. 若函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)（，且），則a的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用單調(diào)性建立恒成立的不等式求解.
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，
依題意，恒成立，令函數(shù)，求導(dǎo)得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，
因此，則，解得，所以a的取值范圍為.
故選：B
8. 設(shè)A，B是曲線上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，將平面直角坐標系沿x軸折疊，使得上，下兩半部分所成二面角為，則的最小值為（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先設(shè)，，再根據(jù)二面角得出，最后應(yīng)用，應(yīng)用數(shù)量積化簡結(jié)合基本不等式計算求最小值.
【詳解】
設(shè)，，
在平面直角坐標系中，過作軸于點，過作軸于點，
則，，，，
折疊后即有，
因為，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以的最小值為.
故選:C.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知隨機變量X服從正態(tài)分布，Y服從二項分布，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】對于A：利用期望即可判斷；對于B：利用方差即可判斷；對于C：利用正態(tài)分布對稱性得概率，二項分布的特性得概率，對于D：利用正態(tài)分布對稱性得概率，二項分布的特性得概率，
【詳解】對于A：，，A選項正確；
對于B：，，B選項錯誤；
對于C：，，C選項正確；
對于D：，，D選項錯誤；
故選：AC.
10. 已知函數(shù)，，則（ ）
A. 的最小正周期為
B. 的最小正周期為
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D. 函數(shù)的值域為
【答案】BD
【解析】
【分析】利用特例法判斷AC；利用降冪公式與余弦函數(shù)的周期公式判斷B；根據(jù)函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化為求時函數(shù)的值域，再結(jié)合輔助公式、正弦函數(shù)的值域判斷D.
【詳解】因為，，的最小正周期不是，A選項錯誤；
因為，所以的最小正周期為，B選項正確；
，，
因為與有可能不相等（例如?。?，所以不恒成立，
函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，C選項錯誤；
因為，
所以為偶函數(shù)，所以只需考慮的情況，
當(dāng)時，，且；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
所以時，函數(shù)的值域為，
根據(jù)周期性可得時函數(shù)的值域為，
根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)可得函數(shù)的值域為，
D選項正確；
故選：BD.
11. 已知函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，則（ ）
A.
B.
C. 若函數(shù)恰有兩個零點，則
D. 函數(shù)（，且），則
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接代入求判斷A；求出，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可判斷B；根據(jù)零點定義可得，利用數(shù)列的單調(diào)性可求出k的最值，即可判斷C；
【詳解】，，，選項A正確；
當(dāng)時，由，且
得，
此時，
因為，
即證當(dāng)時，，則，
易知單調(diào)遞減，，，
所以存在，使得，
所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減，因為，，
所以當(dāng)時，，選項B正確；
依題意即與直線恰有兩個交點，易知在函數(shù)的圖象上，
即 ，所以，
則，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，所以，所以的最小值為8，
所以，選項C錯誤；
因為，所以當(dāng)時，，易知，，所以；
當(dāng)且時，，
所以；選項D正確；
故選：ABD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到根據(jù)零點個數(shù)求解參數(shù)范圍、恒成立問題的求解；求解恒成立問題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值后即可得到參數(shù)的取值范圍.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，
12. 若，則____________.
【答案】##
【解析】
【分析】通過倍角公式將與進行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)已知條件求出的值，最后利用正切函數(shù)的二倍角公式求出的值.
【詳解】由題，所以，
所以.
故答案為：.
13. 已知數(shù)列的各項均不為零，且，若表示事件“，”，則________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)古典概型公式結(jié)合組合數(shù)及乘法原理計算即可.
【詳解】依題意可知事件A為與同號，與異號，
則，，符號有2種情況，剩下的，，，任意選有，
則.
故答案為：.
14. 設(shè)拋物線的焦點為F，O為坐標原點，過F的直線交C于A，B兩點，若的外接圓圓心在直線上，則的外接圓的面積為________.
【答案】
【解析】
【分析】由外接圓圓心為，得到外接圓方程，設(shè)直線，直線方程分別和拋物線方程、圓的方程聯(lián)立，消去，由得到的方程應(yīng)該為同一方程即可求解.
【詳解】
設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，
可得，①，
設(shè)外接圓圓心為，外接圓方程為，
即，與直線聯(lián)立可得，
②，
依題意，①，②同一個方程，
所以，解得，，
所以的外接圓面積為.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15. 在銳角三角形中，角、、對應(yīng)的邊分別為、、，已知.
（1）求；
（2）求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化簡得出的值，結(jié)合為銳角三角形可得出角的值；
（2）求出角的取值范圍，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡得出，結(jié)合正切函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.
【小問1詳解】
因為，由正弦定理可得，
因為為銳角三角形，則，，
所以，，即，所以，.
【小問2詳解】
因為為銳角三角形，可得，解得，
則，
因為，則,所以，可得，
即，所以的取值范圍為.
16. 如圖，在三棱臺中，平面ABC，，.
（1）證明：；
（2）若與平面所成角的正弦值為，求.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作圖，取AC的中點O，連接，由線線垂直得到面面垂直，由面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，從而得到線線垂直，在正方形中得到線線垂直，由線面垂直的證明得到線面垂直，再得到線線垂直；
（2）由（1）得到三直線兩兩垂直，建立空間直角坐標系，設(shè)出長并寫出其他點坐標，由空間向量垂直的性質(zhì)求出平面的法向量，然后由空間向量的夾角公式建立等式，從而求出，從而得到.
【小問1詳解】
取AC的中點O，連接，
由平面ABC可知，平面平面ABC，
因為，所以，且平面平面，
所以平面，因為平面，所以，
又四邊形為正方形，所以，
又因為，所以平面，因為平面，所以；
【小問2詳解】
如圖，以O(shè)為原點，分別以O(shè)B，OA，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系.
設(shè)，則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則有即，
可取，設(shè)與平面所成的角為，
則，解得，所以.
17. 已知橢圓的左，右焦點分別為，，左，右頂點分別為A，B，過的動直線交橢圓于P，Q兩點，其中的最大值為，最小值為.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過且與PQ垂直的直線交橢圓于M，N兩點，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意根據(jù)橢圓長軸與焦距，建立方程組，可得答案；
（2）設(shè)出直線方程聯(lián)立橢圓方程，寫出韋達定理，結(jié)合直線垂直以及基本不等式，可得答案.
【小問1詳解】
由題意，，，
，解得，
又，橢圓的方程為.
【小問2詳解】
當(dāng)直線PQ與x軸不垂直也不平行時，
不妨設(shè)直線PQ的方程為，設(shè)，，
聯(lián)立橢圓和直線PQ的方程，可得，
由，則，，，
設(shè)直線MN的方程為，設(shè)，，
聯(lián)立橢圓和直線MN的方程，可得，
由，則，，，
又，，，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，，
當(dāng)直線PQ與x軸垂直或平行時，此時，
綜上所述，的取值范圍是.
18. 已知函數(shù)，.
（1）討論的單調(diào)區(qū)間；
（2）若直線為的切線，求a的值.
（3）已知，若曲線在處的切線與C有且僅有一個公共點，求a的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)，并對分和討論，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)切點為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，令，轉(zhuǎn)化為僅一個零點，利用導(dǎo)數(shù)判斷求解；
（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求曲線在處的切線方程為，構(gòu)造函數(shù)，由切線與有且只有一個公共點轉(zhuǎn)化為僅一個零點，并求得導(dǎo)函數(shù)，對分類討論，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值，進而求得正數(shù)的取值范圍．
【小問1詳解】
由，，
當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時，令，解得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，無單調(diào)減區(qū)間；
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
設(shè)切點為，依題意，，所以，
又，代入可得，，
設(shè)，
則，所在單調(diào)遞增，
因為，所以，.
【小問3詳解】
，，
所以曲線在處的切線方程為，即，
設(shè)，，
，
①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有且僅有一個零點，符合題意；
②當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，有且僅有一個零點，符合題意；
③當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因為，，當(dāng)，，所以有兩個零點，不符題意；
④當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因為，，當(dāng)，，所以有兩個零點，不符題意；
綜上，a的取值范圍是.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問解題的關(guān)鍵是將切線與曲線有且只有一個公共點轉(zhuǎn)化為僅一個零點，利用導(dǎo)數(shù)求解.
19. 已知有限集合（，），若，則稱A為“完美集”.
（1）已知，，，，成等差數(shù)列，若集合A為“完美集”，求；
（2）已知，是否存在首項為3的等比數(shù)列，使得集合A為“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，說明理由；
（3）已知，且集合A為“完美集”，求A.
【答案】（1）－2 （2）不存在，理由見解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“完美集”的定義與等差數(shù)列性質(zhì)即可求得結(jié)果.
（2）根據(jù)“完美集”的定義得到等式，解得，不符合題意，得到結(jié)果.
（3）根據(jù)題干，設(shè)，若集合A為“完美集”，
則，再對n分情況討論即可.
【小問1詳解】
依題意，，
，解得；
小問2詳解】
設(shè)數(shù)列的公比為q，依題意，
，，
因為集合A為“完美集”，所以，
整理得，解得，不符題意，
所以不存在首項為3的等比數(shù)列，使得集合A為“完美集”；
【小問3詳解】
設(shè)，若集合A為“完美集”，
則，
易知，，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，顯然不符題意；
當(dāng)時，不妨設(shè)，，故，所以；
當(dāng)時，因為，所以，符合題意；
當(dāng)時，，不符題意；
綜上，或.
【點睛】方法點睛：新定義有關(guān)的問題的求解策略：通過給出的一個新的定義，或約定一種新的運
算，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息
的遷移，達到靈活解題的目的.

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甘肅省張掖市肅南裕固族自治縣2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

甘肅省張掖市肅南裕固族自治縣2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）
上海市大同中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

上海市大同中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）
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