時間：120分鐘 滿分：150分 命題人：袁偉銘 審題人：楊小波
第一卷（選擇題）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．
1. 已知直線l：，則直線l的斜率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把一般式轉(zhuǎn)化為斜截式即可得出斜率.
【詳解】由題意得：直線的斜截式方程為，所以直線的斜率為.
故選：B
2. 空間四邊形OABC中，，，，點M在OA上，，點N為BC的中點，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空間向量線性運算法則計算可得結(jié)果.
【詳解】易知
故選：D
3. 、分別是雙曲線左、右焦點，若關(guān)于漸近線的對稱點恰落在以為圓心，為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由對稱可知，再由中位線可知，即可得，，即可得漸近線斜率，進而可得離心率.
【詳解】如圖所示，設(shè)關(guān)于漸近線的對稱點為，
易知，且為中點，，
則，，
所以，，
則，
即一條漸近線傾斜角為，
所以斜率，
所以離心率，
故選：A.
4. 等差數(shù)列的前項和為，其中，又2，，，，8成等比數(shù)列，則的值是（ ）
A 4B. C. 4或D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由等差數(shù)列的前項和公式可求得的值，由等差數(shù)列的性質(zhì)可求得值，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得的值，即可求的值.
【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，且，所以，解得，
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，
因為2，，，，8成等比數(shù)列，所以，解得，
又，所以，所以，所以.
故選：A.
5. 已知直線經(jīng)過點，且與直線垂直，則直線的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)出直線的方程，代入點求出答案.
【詳解】直線與直線垂直，
設(shè)直線的方程是
將代入直線中，，解得，
故直線的方程為.
故選：D.
6. 已知圓，圓，若圓平分圓的周長，則的最小值為（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】把兩圓的方程相減，得到兩圓的公共弦所在直線的方程．由題意知圓的圓心在直線上，可得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求最小值．
【詳解】∵方程表示圓，
∴，即．
圓，圓，
兩圓的方程相減，可得兩圓的公共弦所在直線的方程：．
若圓平分圓的周長，則圓的圓心在直線上，
∵圓的圓心為，
∴，即，
∴，
∴當(dāng)時，取最小值9．
故選：D．
7. 設(shè)為坐標(biāo)原點，直線過拋物線：的焦點，且與交于，兩點，為的準(zhǔn)線，則（ ）
A. B.
C. 以為直徑的圓與相切D. 為等腰三角形
【答案】C
【解析】
【分析】由直線過拋物線的焦點，即可求得，進而判斷A；將直線方程代入拋物線方程，結(jié)合韋達定理得出，由焦半徑公式即可判斷B；由的中點的橫坐標(biāo)得出中點到拋物線的準(zhǔn)線的距離，即可判斷C；分別求出兩點的坐標(biāo)，根據(jù)韋達定理即可判斷D．
【詳解】對于A，直線過拋物線的焦點，可得，所以，故A錯誤；
對于B，拋物線方程為：，與交于兩點，
直線方程代入拋物線方程可得，，所以，
所以，故B不正確；
對于C，的中點的橫坐標(biāo)為，中點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，
所以以為直徑的圓與相切，故C正確；
對于D，由B得，，解得或，
不妨設(shè)，則，
所以，，
所以不是等腰三角形，故D錯誤；
故選：C
8. 在學(xué)習(xí)完“錯位相減法”后，善于觀察的同學(xué)發(fā)現(xiàn)對于“等差×等比數(shù)列”此類數(shù)列求和，也可以使用“裂項相消法”求解．例如，故數(shù)列的前項和．記數(shù)列的前項和為，利用上述方法求（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先將裂成兩項，再運用待定系數(shù)法求解裂成兩項的系數(shù)，接著利用裂項相消法求和即得.
【詳解】設(shè)，
左右對照可得，解得
所以，
則數(shù)列的前項和為：
，
故.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查運用裂項相消法解決“等差×等比數(shù)列”的求和問題，屬于難題.解題的關(guān)鍵在于按照題意，將數(shù)列通項寫成兩項的差的形式，通過待定系數(shù)法確定各項系數(shù)，再裂項相加即可.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，至少有兩項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯或不選得0分．
9. 如圖，已知正方體的棱長為分別為棱的中點，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A. B.
C. D. 不是平面的一個法向量
【答案】BD
【解析】
【分析】以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運算可判斷各項的正誤.
【詳解】由為正方體，
以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則?.
對于選項，，則，故錯誤；
對于選項，，則，故正確；
對于選項，，故，故錯誤；
對于選項，，故不是平面的一個法向量，故正確.
故選：.
10. 2022年卡塔爾世界杯會徽正視圖近似伯努利雙紐線．伯努利雙紐線最早于 1694 年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線．定義在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點，距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線，已知點是時的雙紐線上一點，下列說法正確的是（ ）
A. 雙紐線是中心對稱圖形
B.
C. 雙紐線上滿足的點有2個
D. 的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】A.先由雙紐線的定義得到方程，將 替換方程中的 判斷；B. 由求解判斷；C. 由方程令求解判斷；D. 由 ，結(jié)合余弦定理判斷.
【詳解】由到定點的距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線，
則雙紐線的方程為，
將替換方程中的，方程不變，
故雙紐線關(guān)于原點成中心對稱，故A正確；
由等面積法得，則，
所以，故B正確；
令，得，解得，
所以雙曲線上滿足的點有一個，故C錯誤；
因為，所以，
由余弦定理得，
所以，
所以的最大值為，故D正確.
故選：ABD.
11. 南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列. 如數(shù)列，它的前后兩項之差組成新數(shù)列，新數(shù)列為等差數(shù)列， 則數(shù)被稱為二階等差數(shù)列，現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前6項分別為，設(shè)其通項公式則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 數(shù)列的公差為2B.
C. 數(shù)列的前7項和最大D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用二階等差數(shù)列定義可知數(shù)列的公差為，可得，計算可知B正確，再由累加法可得，利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)可得數(shù)列的前6項和最大，將代入計算可得D正確.
【詳解】因為二階等差數(shù)列，其前6項分別為4，8，10，10，8，4，
從第二項開始，每一項與前一項的差組成新數(shù)列的前5項為，
易知新數(shù)列的公差為，即數(shù)列的公差為，即A錯誤.
易知是以首項為4，公差為的等差數(shù)列，
利用等差數(shù)列前項和公式可得,即B正確.
由等差數(shù)列通項公式可得，
所以，，……，，
累加可得；
，
利用二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，且前6項均為正數(shù)，
易知，所以，因此數(shù)列的前6項和最大，即C錯誤；
由可得，即D正確.
故選：BD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)二階等差數(shù)列定義求出數(shù)列的通項公式，再由數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論.
第二卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分．
12. 已知（1，3），（3，-1）是等差數(shù)列圖像上的兩點，若5是p，q的等差中項，則的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)出等差數(shù)列的通項公式，代入給定的兩個點的坐標(biāo)，求出通項公式.利用等比中項求得的值，最后求得的值.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列通項公式為，代入點的坐標(biāo)得，解得，即，由于是的等差中項，故，所以.
【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式的函數(shù)特征，考查等差中項的公式，考查等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì). 等差數(shù)列通項公式的若用函數(shù)觀點來看，是一個一次函數(shù)，并且自變量值正整數(shù).若成等差數(shù)列，則有.
13. “蒙日圓”涉及幾何學(xué)中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點，必在一個與橢圓同心的圓上．稱此圓為該橢圓的“蒙日圓”，該圓由法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日最先發(fā)現(xiàn)．如圖，已知長方形R的四條邊均與橢圓相切，則長方形R的面積的最大值為__________．
【答案】8
【解析】
【分析】結(jié)合橢圓方程以及“蒙日圓”定義，求出“蒙日圓”的方程，設(shè)圓心與長方形中相鄰的兩個頂點的兩條射線夾角大小為，表示出長方形的面積，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，幾尅去的答案.
【詳解】由題意長方形R的四條邊均與橢圓相切，
故任意一個長方形R的四個頂點都在同一個圓上，而（為橢圓的長半軸、短半軸長），
當(dāng)長方形的四條邊邊恰好通過橢圓的四個頂點時，
此時長方形頂點到原點的距離為，
結(jié)合橢圓的“蒙日圓”定義可知，該圓的方程為，即半徑為，
設(shè)圓心與長方形中相鄰的兩個頂點的兩條射線夾角大小為，
則長方形的兩條邊長為，
則長方形面積，
當(dāng)時，，
故答案為：8
14. 如圖，在中，，過中點的動直線與線段交于點，將沿直線向上翻折至，使得點在平面內(nèi)的射影落在線段上，則斜線與平面所成角的正弦值的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根據(jù)正余弦定理求解三角形，再以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，并求出點的軌跡方程，并利用，求得點的坐標(biāo)的范圍，相結(jié)合后，即可求解線面角正弦值的取值范圍.
【詳解】，得，即，
中，根據(jù)余弦定理，，
根據(jù)正弦定理，，得
如圖，以底面點為空間原點建系，根據(jù)底面幾何關(guān)系，得點,,
設(shè)點，翻折后點的投影在軸上，所以的縱坐標(biāo)為0，即，，
由，根據(jù)兩點間距離公式，，
整理為
如右圖，在翻折過程中，作于點，則，
并且，平面，
所以平面，平面,
所以，即，其中，
又動點在線段上動，設(shè)，故，且，
由，得，，
又因為，對應(yīng)的的取值為，即,
.
則斜線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查空間向量解決角問題，關(guān)鍵1，求點的軌跡，關(guān)鍵2，根據(jù)幾何關(guān)系可得，根據(jù)坐標(biāo)運算，即可求解.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知點都在圓上；
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知圓與圓相交于，求直線的方程，并求.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法，設(shè)圓一般方程為，列出方程組求出，然后化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（2）根據(jù)兩圓的方程相減可得直線的方程，利用點到直線的距離公式和弦長公式計算可求出．
【小問1詳解】
設(shè)圓的一般方程為，
∵點都在圓上，
∴，解得，
∴圓的一般方程為，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
【小問2詳解】
圓，圓，
圓與的方程相減得，即，
∴直線的方程為，
圓的圓心，半徑，
∵到直線的距離為，
∴.
16. 求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）過點；
（2）焦點在直線上；
（3）焦點到準(zhǔn)線的距離是4．
【答案】（1）或．
（2）或．
（3）或或或．
【解析】
【分析】（1）分過點的拋物線開口向左或開口向上兩種情況設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可；
（2）由直線與坐標(biāo)軸的交點為焦點，再由拋物線的性質(zhì)求解即可；
（3）由拋物線的性質(zhì)求解即可；
【小問1詳解】
由于點在第二象限，所以過點的拋物線開口向左或開口向上．
若拋物線開口向左，焦點在軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為．
將點的坐標(biāo)代入，可得，所以，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
若拋物線開口向上，焦點在軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為．
將點的坐標(biāo)代入，可得，所以，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
綜上所述，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．
【小問2詳解】
因為直線與軸的交點為，所以拋物線的焦點為，所以，解得，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
因為直線與軸的交點為，所以拋物線的焦點為，所以，解得，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
綜上所述，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．
【小問3詳解】
焦點到準(zhǔn)線的距離，焦點可在軸或軸上，故有四種情況，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或或或．
17. 已知等比數(shù)列的前項和為，且，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列及數(shù)列的前項和.
（3）設(shè)，求的前項和.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】(1)由及可得q的值，由可得的值，可得數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）可得，由可得，可得=，由列項相消法可得的值；
（3）可得，可得的值.
【詳解】解：（1）由題意得：，可得，，
由，可得，由，可得，可得，
可得;
(2)由，可得，
由，可得，可得，
可得的通項公式：=，
可得：
① -②得：=，
可得;
(3)由 可得
，
可得：=
==
【點睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)列的求和，綜合性大，難度中等.
18. 如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點，作交于點．
（1）求證：面；
（2）求平面與平面的夾角的大??；
（3）求點到平面的距離．
【答案】（1）證明見解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量坐標(biāo)，再利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.
（2）求得平面和平面的法向量坐標(biāo)，再利用面面角的向量求法求解.
（3）先根據(jù)相似三角形的邊長成比例確定F的位置，再求得平面的法向量坐標(biāo)，再利用點到平面的距離公式求解即可.
【小問1詳解】
在四棱錐中，底面，底面，
則，由底面是正方形，得，
以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因為，則，
，設(shè)平面的法向量為，
則，令，得，則，
而平面，所以平面.
【小問2詳解】
由（1）知，，且，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，得，
，而，則，
即，則的一個法向量為，
因此，
而，則，
所以平面與平面的夾角為.
【小問3詳解】
因為底面，底面,
所以
底面是正方形，所以,
,平面,
所以平面,平面,
所以，所以在為直角三角形，
又由題知，所以在也為直角三角形，
故與相似，
則，
,，
而，所以，
所以是線段PB中靠近點P的三等分點，
由第（1）小問可知，，，，
因為是線段PB中靠近點P的三等分點，所以點，
設(shè)平面的一個法向量為，
而，，
則有，令，則，，，
，，
設(shè)B點到平面的距離為，
則；
故B點到平面的距離為.
19. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中， 已知圓O：x2＋y2＝4，橢圓C：＋y2＝1，A為橢圓右頂點．過原點O且異于坐標(biāo)軸的直線與橢圓C交于B，C兩點，直線AB與圓O的另一交點為P，直線PD與圓O的另一交點為Q，其中D(－，0).設(shè)直線AB，AC的斜率分別為k1，k2.
(1) 求k1k2的值；
(2) 記直線PQ，BC的斜率分別為kPQ，kBC，是否存在常數(shù)λ，使得kPQ＝λkBC？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由；
(3) 求證：直線AC必過點Q.
【答案】(1) －；(2)存在，λ＝；(3) 證明見解析
【解析】
【分析】
(1) 直接設(shè)出B(x0，y0)，C(－x0，－y0)，求出k1，k2，并運用橢圓方程消去y0即可；
(2) 設(shè)出直線AP為y＝k1(x－2)，與圓聯(lián)立得出點P坐標(biāo)，與橢圓聯(lián)立得出點B坐標(biāo)，通過斜率公式求出kPQ和kBC即得λ的值；
(3) 通過直線PQ與x軸垂直時特殊的位置，猜想直線AC過點Q，再證明當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時，直線AC也過點Q，先通過直線PQ方程與圓方程聯(lián)立，求出點Q坐標(biāo)，再通過證明斜率相等來證明三點共線，從而證得直線AC必過點Q.
【詳解】(1) 設(shè)B(x0，y0)，則C(－x0，－y0)，＋＝1，
因為A(2,0)，所以k1＝，k2＝，
所以k1k2＝.
(2) 設(shè)直線AP方程為y＝k1(x－2)，聯(lián)立
得(1＋)x2－4x＋4(－1)＝0，解得xP＝，yP＝k1(xP－2)＝，
聯(lián)立得(1＋4)x2－16x＋4(4－1)＝0，
解得xB＝，yB＝k1(xB－2)＝，
所以kBC＝，kPQ＝＝＝，
所以kPQ＝kBC，故存常數(shù)λ＝，使得kPQ＝kBC.
(3) 設(shè)直線AC方程為y＝k2(x－2)，
當(dāng)直線PQ與x軸垂直時，Q，
則，所以k1＝－，即B(0,1)，C(0，－1)，所以k2＝，
則kAQ＝＝＝k2，所以直線AC必過點Q.
當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時，設(shè)直線PQ方程為y＝
，
聯(lián)立解得xQ＝，yQ＝，
因為k2＝＝＝－，
所以kAQ＝＝－＝k2，故直線AC必過點Q.
【點睛】本題考查直線與橢圓相交問題，考查橢圓中的定值與定點問題，設(shè)出直線方程是常用方法．本題方法是設(shè)出直線方程，求出交點坐標(biāo)，求斜率，驗證結(jié)論．本題對學(xué)生的運算求解能力要求較高，屬于難題．

相關(guān)試卷

廣東省深圳外國語學(xué)校高中園2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題：

這是一份廣東省深圳外國語學(xué)校高中園2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題，共4頁。

廣東省深圳市深圳科學(xué)高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題：

這是一份廣東省深圳市深圳科學(xué)高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題，共4頁。

2.廣東省深圳實驗學(xué)校高中部2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第三階段考試數(shù)學(xué)試題：

這是一份2.廣東省深圳實驗學(xué)校高中部2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第三階段考試數(shù)學(xué)試題，共10頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

廣東省深圳市翠園中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

廣東省深圳市翠園中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題
廣東省深圳市翠園中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

廣東省深圳市翠園中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）
_廣東省深圳實驗學(xué)校高中園2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

_廣東省深圳實驗學(xué)校高中園2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題
2022-2023學(xué)年廣東省深圳市翠園中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年廣東省深圳市翠園中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部