注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡和試卷上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，
用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上
無效.
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是
符合題目要求的.
1. 已知向量 ， ，若 ，則 （ ）
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線的坐標運算即可求解.
【詳解】因為向量 ， ，且 ，
所以 ，解得 .
故選：D.
2. 已知 虛數(shù)單位，復數(shù) 滿足 ，則 （ ）
A. B. 5 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用復數(shù)的除法求出復數(shù)，再利用復數(shù)模長公式即可求解.
【詳解】因為 ，
所以 ，
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所以 ，
故選：A.
3. 若集合 ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式求集合，再應用并運算求集合.
【詳解】由 ，
而 ，所以 .
故選：C
4. 已知直線 與圓 相交于點 P，Q，則 （ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得圓心 到直線 的距離，進而可求得 .
【詳解】由圓 ，可得圓心 ，半徑 ，
圓心 到直線 的距離 ，
所以弦長
故選：B.
5. 已知 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】首先利用誘導公式將 轉(zhuǎn)化為 ，然后將式子 轉(zhuǎn)化為關于
的表達式，最后代入 求值.
【詳解】根據(jù)誘導公式，可得 .
則 .
將上式分子分母同時除以 ，得到 .
分子分母同時除以 ，則 .
已知 ，將其代入 ，得到 .
故選：B.
6. 若等差數(shù)列 滿足 ，則 的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角換元可求 的取值范圍.
【詳解】設等差數(shù)列的公差為 ，則 ，
而 ，
故
設 ，故 ，
故選：D.
7. 已知三棱錐 中， 是邊長為 3 的正三角形， ，平面 平面 ，則該
三棱錐的外接球體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取等邊三角形 的中心為 ，可證 為外接球的球心，從而可求半徑，故可求外接球的體積.
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【詳解】
取等邊三角形 的中心為 ，連接 并延長交 于 ，
則 且 ，
因為平面 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，故 ，
故 ，同理 ，
， ，故 ，故 為外接球的球心，
且 ，故外接球的體積為 ，
故選：C .
8. 拋擲一枚骰子一次，觀察向上一面 點數(shù)，將結(jié)果記作 ．若事件 ，事
件 ，事件 C 滿足 ，則事件 C 的個數(shù)為（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】由獨立乘法公式即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，得到 , ,則
，
當 ， ，等式成立；
當 ， ， ；
C 中含 6，從 1,2,3,5 的 4 個元素中選 3 個，共 種.
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同理，當 也有 4 種，共 種.
故選：A.
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目
要求.全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分.
9. 已知點 P 在拋物線 上，點 M 坐標為 ，O 為坐標原點．若 是等腰直角三
角形，則 p 的值可以為（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D.
【答案】CD
【解析】
【分析】對于等腰直角三角形，需要分情況討論直角頂點的位置.可能是 ， 或
者 三種情況. 利用等腰直角三角形的性質(zhì)（兩直角邊相等）以及點在拋物線上這個條件來求
解 的值.
【詳解】因點 ,點 在拋物線 上,故點 不可能是直角頂點.
當 時，因為 是等腰直角三角形，所以 .
則 , 將其代入 得 ，即 .
由題意 ，解得 ；
當 時，因為 是等腰直角三角形，所以 .
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因 ，故 ,即 ,代入 ，解得 .
綜上所得，故 的值可以為 或 .
故選：CD.
10. 已知函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，則實數(shù) 的取值可以是（ ）
A. 1 B. C. 6 D. 9
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正弦函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解即可.
【詳解】函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，
又函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，
所以 ，即 ，
則 ，
又 ，即 ，
當 時， ，當 ， .
故選：ABD.
11. 已知 ， ，且 ，其中 為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（
）
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A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】原因變形為 ，進而變形為 ，令 ，求導可得
函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，從而可得 ，可判斷 A；進而計算可得 ，判斷 B；進
而得 ，計算可判斷 CD.
【詳解】因為 ， ，所以 ，
又因為 ，所以 ，
所以 ，令 ，求導得 ，
當 時， ，所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，
所以 ，所以 ，故 A 正確；
所以 ，所以 ，所以 ，故 B 錯誤；
因為 ，所以 ，故 C 正確；
又 ，所以 ，故 D 正確.
故選：ACD.
【點睛】關鍵點點睛：關鍵在于由原式變形放縮得到 ，進而構(gòu)造函數(shù) ，通
過單調(diào)性解決問題.
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知隨機變量 ，若 ，則 ______．
【答案】0.1##
【解析】
【分析】利用正態(tài)分布的對稱性求概率即可.
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【詳解】由題設，隨機變量的分布曲線關于 對稱，則 ，且 ，
所以 .
故答案為：
13. 的展開式中系數(shù)最大的項為______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二項式定理求得展開式可得結(jié)論.
【詳解】
，
所以 的展開式中系數(shù)最大的項為 .
故答案為： .
14. 已知橢圓 與雙曲線 有相同的焦點 ， ，點 是 與 的交點．記橢圓
在點 P 處的切線為直線 m，雙曲線 在點 P 處的切線為直線 n， 的平分線與 m，n 分別相交于點 M，
N，則 ______．
【答案】2
【解析】
【分析】由題意可求得 ， ， ，可求的橢圓的方程與雙曲線方程，
分別設出過點 與橢圓和雙曲線相切的方程，利用判別式法求得切線方程，求得 的平分線的
方程，聯(lián)立方程求得交點 的坐標，可求 .
【詳解】因為 ， ， ，所以 ，所以 ， ，
所以 ，設橢圓的長軸為 ，短軸長為 ，
可得 ，解得 ，所以 ，
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所以橢圓的方程為 ，
設雙曲線的實軸為 ，虛軸長為 ，可得 ，解得 ，
所以 ，所以雙曲線的方程為 ，
設過點 與橢圓 相切的切線 的方程為 ，
代入橢圓方程得 ，
整理得 ，
所以 ，解得 ，
所以切線方程為 ，即 ，
設過點 與雙曲線的方程為 相切的切線 的方程為 ，
代入雙曲線方程得 ，
整理得 ，因為直線與雙曲線相切，故 ，
所以 ，解得 ，
所以切線方程為 ，切線 ，
設 ，則 的平分線的傾斜角為 ，所以 ，
所以 ，所以 ，解得 或 （舍去），
所以 的平分線的方程為 ，即 ，
聯(lián)立 ，解得 ，即 ，所以 ，
聯(lián)立 ，解得 ，即 ，所以 ，
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所以 .
故答案為： .
【點睛】關鍵點點睛：關鍵在于利用 法求得兩切線方程，進而與角平分線方程聯(lián)立求得交點坐標，進而
可求比值.
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 懷遠石榴是安徽省懷遠縣的特產(chǎn)，國家地理標志產(chǎn)品，唐代已有栽植．懷遠石榴籽白瑩澈如水晶，果實
大如碗，皮黃而透紅，肉肥核細，汁多味甘．現(xiàn)按照懷遠石榴的果徑大小分為四類：特級果，一級果，二
級果，三級果．某果農(nóng)從其果園采摘的石榴中隨機選取 50 個，測量果徑對照分類標準得到數(shù)據(jù)如表所示：
等級 特級果 一級果 二級果 三級果
個數(shù) 5 10 20 a
（1）求 a 的值并計算三級果所占的百分比；
（2）用樣本估計總體，該果農(nóng)參考以下兩種銷售方案進行銷售．
方案 1：分類出售，各等級石榴的市場價如表所示：
等級 特級果 一級果 二級果 三級果
售價（元/個） 10 8 5 2
方案 2：不分類出售，均按二級果售價出售．
從果農(nóng)的收益考慮，不考慮其它因素應該采用哪種方案較好？說明理由．
【答案】（1）15，30%
（2）選擇方案 1 較好，理由見解析
【解析】
【分析】（1）求出 值，再得出禮品果所占的比例；（2）求出方案 1 中石榴的平均價格，并與方案 2 中的
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平均價格比較即可.
【小問 1 詳解】
，三級果所占的百分比為 ．
【小問 2 詳解】
用樣本估計總體的分布，可得方案 1 的石榴的平均售價為
（元），
因為 ，所以選擇方案 1 較好．
16. 北京時間 2024 年 8 月 8 日凌晨，中國花樣游泳隊以遙遙領先的得分優(yōu)勢，歷史性地登上巴黎奧運會最
高領獎臺．賽后采訪中，主教練透露自己在編排動作時，特別融入了中國元素，以甲骨文“山”字為造型（圖
1），體現(xiàn)了中國花游不畏艱難險阻，逐夢不止的精神．某公司也以此為創(chuàng)意，設計了本公司的 LOGO，如
圖 2． 在 中 ， ， ， 點 B， H， C 在 線 段 上 ， 且
， 和 都是等腰直角三角形， ， 交 于點 D，
交 于點 E．
（1）求 ；
（2）求 ；
（3）求四邊形 的面積．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）在 中，利用余弦定理可求得 ；
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（2）由余弦定理可求得 ，進而利用兩角和的正弦公式可求得 ；
（3）利用正弦定理可求得 ，進而由三角形的面積公式可求結(jié)論.
【小問 1 詳解】
在 中，由余弦定理，
，所以 ．
【小問 2 詳解】
中， ，在 中，由余弦定理，
，
則 ，
．
【小問 3 詳解】
在 中， ， ，
由正弦定理， ，
，
四邊形 的面積為 ．
17. 如 圖 ， 三 棱 柱 中 ， 側(cè) 面 是 菱 形 ， 側(cè) 面 是 正 方 形 ， ，
，點 是 的中點．
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（1）求證： 平面 ；
（2）若 ，求平面 與平面 的夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中點 O，由余弦定理求出 ，然后由勾股定理得 ，再由線面垂直的判
定定理可得答案；
（2）以 O 為原點， ， ， 分別為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標系，設 ，由
求出得點 坐標，求出平面 、平面 的法向量，再由二面角的向量求法可得答案．
【小問 1 詳解】
取 的中點 O，連接 ， ， ，
在菱形 中， ，則 為正三角形， ，
從而 ，由余弦定理，
，
又 ，正方形 中， ，
所以 ，即 ．
在正方形 中， ， ，
， 平面 ，所以 平面 ；
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【小問 2 詳解】
平面 ，則 ，
又 為中位線， ，所以 ．
在正三角形 中， ，
由（1）知， 平面 ， 平面 ，則 ，
而 ，所以 ，
如圖，以 O 為原點， ， ， 分別為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標系，
則 ， ， ， ， ，
設 ， ，則 ，
由 ，解得點 ．
， ， ，
設平面 的法向量為 ，
由 ，取 ，則 ，
平面 的法向量為 ．
設平面 的法向量為 ，
由 ，取 ，則 ， ，
平面 的法向量為 ．
設平面 與平面 的夾角為 ，
則 ．
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18. 已知函數(shù) ．
（1）求函數(shù) 在 處的切線方程；
（2）求函數(shù) 的極值；
（3）若關于 的方程 有兩個根 和 ，求證： ．
【答案】（1）
（2）極大值為 ，無極小值．
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程；
（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)的極值；
（ 3） 由 （ 2） 不 妨 令 ， ， 構(gòu) 造 ，
， 利 用 導 數(shù) 說 明 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 ， 即 可 得 到 ， 再 構(gòu) 造
， ，利用導數(shù)說明 ，即可得證.
【小問 1 詳解】
因為 ，所以 ，則 ，
又 ，
故 在 處的切線方程為 ，即 ．
【小問 2 詳解】
函數(shù) 的定義域為 ，又 ，
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令 ，解得 ；令 ，解得 ，
故 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
所以 的極大值為 ，無極小值．
【小問 3 詳解】
由（2）不妨令 ， ， ，
構(gòu)造 ， ，
則 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ，
在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減， ，
由 ，則 ，
所以 ，當且僅當 時等號成立，
構(gòu)造 ， ，
，令 ，得 ；令 ，得 ，
在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減， ，
由 ，則 ，
所以 ，當且僅當 時等號成立，
所以 ，又等號不同時成立，
所以 ．
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式的基本步驟
（1）作差或變形；
（2）構(gòu)造新的函數(shù) ；
（3）利用導數(shù)研究 的單調(diào)性或最值；
（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
特別地：當作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值
問題．
第 16頁/共 18頁
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19. 在反詐騙題材電影《孤注一擲》中有這樣一個情節(jié)，作為程序員的男主角通過在拍照時擺出數(shù)字“6”的
手勢向朋友發(fā)出求救信號，因為數(shù)字 6 的二進制表達式為 110．進位計數(shù)制是一種計數(shù)方法，可使用有限的
數(shù)字符號代表所有的數(shù)值，可使用數(shù)字符號的數(shù)目稱為基數(shù)，基數(shù)為 即可稱為 m 進制，
例如我們最常用的十進制，就是用 0~9 這十個阿拉伯數(shù)字表示所有的數(shù)值．對于正整數(shù) n，若它的二進制表
達式為 ，則 ，其中 ， ，
，1，2，…， ，如 ， ．
（1）用二進制表示正整數(shù) 2025；
（2）對于正整數(shù) n，若 ，記 ，求證： ；
（3）記 表示正整數(shù) n 的二進制表達式中 0 的個數(shù)，求 ．
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）3280
【解析】
【分析】（1）利用二進制計算可求結(jié)論；
（2）借助二進制的定義計算可得 ， ，即可得證；
（3）計算出 ， 的個數(shù)，即可得.
【小問 1 詳解】
．
【小問 2 詳解】
設 ，
則 ，
，
，
第 17頁/共 18頁
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，所以 ．
【小問 3 詳解】
，
對于 ， 的正整數(shù) n 共有
（個），
的有 8 個，也符合，所以 的自然數(shù) n 共有 個，
．
【點睛】關鍵點點睛：本題最后一小問關鍵點在于結(jié)合二進制的定義，得到 的自
然數(shù) n 共有 個，再結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)計算得到結(jié)果.
第 18頁/共 18頁

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