專題13四邊形-5年（2020-2024）中考1年模擬數(shù)學(xué)分類匯編（河南專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

解答題
1. （2020·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．邊在軸上，頂點的坐標(biāo)分別為和．將正方形沿軸向右平移當(dāng)點落在邊上時，點的坐標(biāo)為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先畫出落在上的示意圖，如圖，根據(jù)銳角三角函數(shù)求解的長度，結(jié)合正方形的性質(zhì)，從而可得答案．
【詳解】解：由題意知：
四邊形為正方形，

如圖，當(dāng)落在上時，

由

故選
【點睛】本題考查是平移的性質(zhì)的應(yīng)用，同時考查了正方形的性質(zhì)，圖形與坐標(biāo)，銳角三角函數(shù)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
2.（2020·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為的正方形中，點分別是邊的中點，連接點分別是的中點，連接，則的長度為__________．
【答案】1
【解析】
【分析】過E作，過G作，過H作，與相交于I，分別求出HI和GI的長，利用勾股定理即可求解．
【詳解】過E作，過G作，過H作，垂足分別為P，R，R，與相交于I，如圖，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴，
，
∴四邊形AEPD是矩形，
∴，
∵點E，F(xiàn)分別是AB，BC邊的中點，
∴，
，，
∵點G是EC的中點，
是的中位線，
，
同理可求：，
由作圖可知四邊形HIQP是矩形，
又HP=FC，HI=HR=PC，
而FC=PC，
∴ ，
∴四邊形HIQP是正方形，
∴，
∴
是等腰直角三角形，
故答案為：1．
【點睛】此題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線與勾股定理等知識，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．
3.（2021·河南·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于菱形的性質(zhì)，以下說法不正確的是（）
A. 四條邊相等B. 對角線相等C. 對角線互相垂直D. 是軸對稱圖形
【答案】B
【詳解】菱形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。菱形的四條邊相等，對角線互相垂直平分，但菱形的對角線不一定相等。
故選B
4.（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E為CD的中點．若OE＝3，則菱形ABCD的周長為（）
A. 6B. 12C. 24D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】由菱形的性質(zhì)可得出BO=DO，AB=BC=CD=DA，再根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，結(jié)合菱形的周長公式即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴BO=DO，AB=BC=CD=DA，
∵OE=3，且點E為CD的中點，
是的中位線，
∴BC=2OE=6．
∴菱形ABCD的周長為:4BC=4×6=24．
故選：C．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出BC=6．
5.（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐
綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．

（1）操作判斷
操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；
操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接PM，BM．
根據(jù)以上操作，當(dāng)點M在EF上時，寫出圖1中一個30°的角：______．
（2）遷移探究
小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：
將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．
①如圖2，當(dāng)點M在EF上時，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）拓展應(yīng)用
在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時，直接寫出AP的長．
【答案】（1）或或或
（2）①15，15；②，理由見解析
（3）cm或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，結(jié)合矩形的性質(zhì)得，進而可得；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)，可證，即可求解；
（3）由（2）可得，分兩種情況：當(dāng)點Q在點F的下方時，當(dāng)點Q在點F的上方時，設(shè)分別表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．
【小問1詳解】
解：
，sin∠BME=
【小問2詳解】
∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°
由折疊性質(zhì)得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°
∴BM=BC
①
∴
②
小問3詳解】
當(dāng)點Q在點F的下方時，如圖，
，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)
由（2）可知，
設(shè)
，
即
解得：
∴；
當(dāng)點Q在點F的上方時，如圖，
cm，DQ =3cm，
由（2）可知，
設(shè)
，
即
解得：
∴．
【點睛】本題主要考查矩形與折疊，正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的全等，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.
6.（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）矩形中，M為對角線的中點，點N在邊上，且．當(dāng)以點D，M，N為頂點的三角形是直角三角形時，的長為______．
【答案】2或
【解析】
分析】分兩種情況：當(dāng)時和當(dāng)時，分別進行討論求解即可．
【詳解】解：當(dāng)時，

∵四邊形矩形，
∴，則，
由平行線分線段成比例可得：，
又∵M為對角線的中點，
∴，
∴，
即：，
∴，
當(dāng)時，

∵M為對角線的中點，
∴為的垂直平分線，
∴，
∵四邊形矩形，
∴，則，
∴
∴，
綜上，的長為2或，
故答案為：2或．
【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，垂直平分線的判定及性質(zhì)等，畫出草圖進行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．
7.（2024·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，對角線，相交于點O，點E為的中點，交于點F．若，則的長為（）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，利用平行四邊形的性質(zhì)、線段中點定義可得出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解∶∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵點E為的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故選：B．
8.（2024·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊在x軸上，點A的坐標(biāo)為，點E在邊上．將沿折疊，點C落在點F處．若點F的坐標(biāo)為，則點E的坐標(biāo)為___________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)正方形的邊長為a，與y軸相交于G，先判斷四邊形是矩形，得出，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，在中，利用勾股定理構(gòu)建關(guān)于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理構(gòu)建關(guān)于的方程，求出的值，即可求解．
【詳解】解∶設(shè)正方形的邊長為a，與y軸相交于G，
則四邊形是矩形，
∴，，，
∵折疊，
∴，，
∵點A的坐標(biāo)為，點F的坐標(biāo)為，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴點E的坐標(biāo)為，
故答案：．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，矩形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識，利用勾股定理求出正方形的邊長是解題的關(guān)鍵．
為響應(yīng)“全民植樹增綠，共建美麗中國”的號召，學(xué)校組織學(xué)生到郊外參加義務(wù)植樹活動，并準(zhǔn)備了A，B兩種食品作為午餐．這兩種食品每包質(zhì)量均為，營養(yǎng)成分表如下．
（1）若要從這兩種食品中攝入熱量和蛋白質(zhì)，應(yīng)選用A，B兩種食品各多少包？
（2）運動量大的人或青少年對蛋白質(zhì)的攝入量應(yīng)更多．若每份午餐選用這兩種食品共7包，要使每份午餐中的蛋白質(zhì)含量不低于，且熱量最低，應(yīng)如何選用這兩種食品？
【答案】（1）選用A種食品4包，B種食品2包
（2）選用A種食品3包，B種食品4包
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：
（1）設(shè)選用A種食品x包，B種食品y包，根據(jù)“從這兩種食品中攝入熱量和蛋白質(zhì)”列方程組求解即可；
（2）設(shè)選用A種食品包，則選用B種食品包，根據(jù)“每份午餐中的蛋白質(zhì)含量不低于”列不等式求解即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)選用A種食品x包，B種食品y包，
根據(jù)題意，得
解方程組，得
答：選用A種食品4包，B種食品2包．
【小問2詳解】
解：設(shè)選用A種食品包，則選用B種食品包，
根據(jù)題意，得．
∴．
設(shè)總熱量為，則．
∵，
∴w隨a的增大而減?。?br>∴當(dāng)時，w最?。?br>∴．
答：選用A種食品3包，B種食品4包．
一、單選題
1．（2024·河南鶴壁·一模）矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（）
A．兩組對邊分別平行B．兩組對角分別相等
C．對角線相等D．對角線互相平分
【答案】C
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，能熟記知識點是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)即可解決問題．
【詳解】解：矩形的性質(zhì)是：①矩形的四個角都是直角，②矩形的對邊相等且互相平行，③矩形對角線相等且互相平分；
菱形的性質(zhì)是：①菱形的四條邊都相等，菱形的對邊互相平行；②菱形的對角相等，③菱形的對角線互相平分且垂直，并且每條對角線平分一組對角，
所以矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是對角線相等，
故選：．
2．（2024·河南商丘·一模）如圖，矩形中，，，點P為平面內(nèi)一點，且，點Q為CD上一個動點，則的最小值為（）
A．11B．C．D．13
【答案】A
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短；作點關(guān)于的對稱點，連接，，則：，再根據(jù)，進行求解即可．
【詳解】解：作點關(guān)于的對稱點，連接，，則，
∴，
又∵，
∴當(dāng)四點共線時，的值最小為，
∵矩形，
∴，
∴，
∴的值最小為；
故選A．
3．（23-24九年級上·河南焦作·期中）若菱形兩條對角線的長度分別是方程的兩個根，則該菱形的邊長為（）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程；可求方程的根為，，從而可得對角線長為和，由可求解；掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：解方程得
，，
菱形兩條對角線是方程的兩個根，
菱形的邊長為：=
；
故選：A.
4．（2024·河南商丘·二模）如圖，在平行四邊形中，，，，以點C為圓心，適當(dāng)?shù)拈L為半徑畫弧，分別交于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線交邊于點E，連接，則的面積為（）
A．5B．4C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，角平分線的作法，平行四邊形的性質(zhì)，過點作交于點，求得，根據(jù)題意可得是的平分線，即可證明為等腰三角形，求得，即可求得的面積．
【詳解】解：如圖，過點作交于點，
四邊形為平行四邊形，
，，
，
，
由題意可得是的平分線，
，
，
，
，
，
的面積為，
故選：D．
5．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）如圖，菱形的對角線相交于點，過點作，交于點，連接，若，則的長為（）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及勾股定理等知識，由菱形的性質(zhì)得，進而由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得，則，再由勾股定理得，然后由菱形面積求出的長即可．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴是邊上的中線，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
故選：C．
6．（2024·河南信陽·二模）下列命題中，真命題是（）
A．對角線相等的四邊形是平行四邊形
B．對角線相等的平行四邊形是矩形
C．對角線互相垂直的四邊形是菱形
D．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
【答案】B
【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)判定定理．根據(jù)平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定即可進行解答．
【詳解】解：A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故A不符合題意；
B、對角線相等的平行四邊形是矩形，故B符合題意；
C、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故C不符合題意；
D、對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，故D不符合題意；
故選：B．
7．（2024·河南·模擬預(yù)測）把邊長為5的正方形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到正方形，邊與交于點O，則四邊形的周長是（）

A．B．10C．D．
【答案】A
【分析】在中，利用勾股定理的知識求出的長，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，在中，由勾股定理可求，，從而可求四邊形的周長．本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意連接構(gòu)造等腰是解題的關(guān)鍵，注意旋轉(zhuǎn)中的對應(yīng)關(guān)系．
【詳解】解：連接，
四邊形是正方形，
，
旋轉(zhuǎn)角，，
，
在對角線上，
，
在中，，
，
在等腰中，，
在中，，
，
四邊形的周長是：，
故選：A．
8．（23-24·河南南陽·期中）菱形周長為20，對角線交于點O，，點E在上，，交于點F，則的長為（）
A．3B．C．5D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，先根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出，則，再證明，進一步證明，利用相似三角形的性質(zhì)推出，則．
【詳解】解：∵菱形周長為20，對角線交于點O，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選A．
9．（2024·河南周口·三模）關(guān)于矩形的性質(zhì)，以下說法正確的是（）
A．四條邊相等B．對角線相等
C．對角線互相垂直D．有一組鄰邊相等
【答案】B
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的對邊平行且相等，四個角都是直角，對角線互相平分且相等等內(nèi)容進行逐項分析，即可作答．
【詳解】解：A、矩形的性質(zhì)：四條邊不一定相等，故該選項是錯誤的；
B、矩形的性質(zhì)：對角線相等，故該選項是正確的；
C、矩形的性質(zhì)：對角線不一定互相垂直，故該選項是錯誤的；
D、矩形的性質(zhì)：一組鄰邊不一定相等，故該選項是錯誤的；
故選：B．
10．（2024·河南周口·二模）如圖，在菱形中，對角線交于點O，過點O作于點M，交于點N，連接．若，，則的長為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)等積法求出，根據(jù)勾股定理求出，證明，得出，求出，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案．
【詳解】解：∵四邊形為菱形，
∴，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：C．
11．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）如圖，菱形的對角線相交于點，過點作，交于點，連接，若，則的長為（）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及勾股定理等知識，由菱形的性質(zhì)得，進而由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得，則，再由勾股定理得，然后由菱形面積求出的長即可．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴是邊上的中線，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
故選：C．
12．（2024·河南安陽·三模）關(guān)于平行四邊形的性質(zhì)，下列說法正確的是（）
A．任何一條過平行四邊形中心的直線都能將它的周長和面積平分
B．對角線互相平分且相等
C．對角線平分一組對角
D．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
【答案】A
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟記平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
分別根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)逐一判斷即可．
【詳解】解：A、任何一條過平行四邊形中心的直線都能將它的周長和面積平分，正確，故此選項符合題意；
B、平行四邊形對角線互相平分，不一定相等，原說法錯誤，故此選項不符合題意；
C、平行四邊形對角線不一定平分一組對角，原說法錯誤，故此選項不符合題意；
D、平行四邊形是中心對稱圖形，不一定是軸對稱圖形，原說法錯誤，故此選項不符合題意；
故選：A．
13．（2024·河南洛陽·三模）如圖，在菱形中，對角線交于點，為的中點，已知，，則菱形的周長為（）
A．B．C．4D．24
【答案】B
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出．根據(jù)菱形的性質(zhì)得出對角線互相垂直，再通過直角三角形的性質(zhì)得出菱形的一條邊是關(guān)鍵．由菱形的性質(zhì)可得出，，再根據(jù)勾股定理得出的長，結(jié)合菱形的周長公式即可得出結(jié)論．
【詳解】解：四邊形為菱形，
，，
為直角三角形．
，且點為的中點，
，
在中，，
，
在中，
，
．
故選：B．
14．（2024·河南駐馬店·一模）如圖，在菱形中，E，F(xiàn)分別為，的中點，若菱形的周長為16．則的長度為（）
A．1B．2C．3D．
【答案】B
【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，
首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，然后利用三角形中位線的性質(zhì)求解即可．
【詳解】∵菱形的周長為16
∴
∵E，F(xiàn)分別為，的中點，
∴是得中位線
∴．
故選：B．
15．（2024·河南開封·二模）將含角的三角板按如圖所示的方式擺放在一矩形紙片上，使得，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等邊對等角，根據(jù)等邊對等角，結(jié)合平行線的性質(zhì)，得到，進而得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及對頂角相等，求出的度數(shù)即可．
【詳解】解：由題意，得：，
∴，
∵，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故選B．
16．（2024·河南開封·二模）圖（1）的杜嶺二號方鼎是河南博物院九大鎮(zhèn)院之寶之一，方鼎的口呈正方形（如圖（2）），正方形的對角線與相交于點O，則下列說法不正確的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．利用正方形的性質(zhì)，進行判斷即可．
【詳解】解：∵正方形的對角線與相交于點O，
∴
∴，
故選項正確；選項B錯誤；
故選B．
17．（2024·河南新鄉(xiāng)·期末）從下列四個條件：①②③④中選擇兩個作為補充條件，使成為正方形，下列四種情況，你認(rèn)為錯誤的是（）
A．①②B．①③C．②③D．③④
【答案】B
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、特殊四邊形的判定、正方形的判定依次判斷即可．
【詳解】A．∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴當(dāng)①時，是矩形，
當(dāng)②AB=BC時，矩形ABCD是正方形，此選項正確，不符合題意；
B．∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴當(dāng)①時，是矩形，
當(dāng)③AC=BD時，這是矩形的性質(zhì)，無法判定矩形ABCD是正方形，故此選項錯誤，符合題意；
C．∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ 當(dāng)②AB=BC時，平行四邊形ABCD是菱形，
當(dāng)③AC=BD時，菱形ABCD是正方形，此選項正確，不符合題意；
D．∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴當(dāng)③AC=BD時，平行四邊形ABCD是矩形，
當(dāng)④時，矩形ABCD是正方形，此選項正確，不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、正方形的判定，熟練掌握正方形的判定方法并能靈活運用是解答的關(guān)鍵．
18．（2024·河南許昌·期中）如圖，要使平行四邊形ABCD成為矩形，需添加的條件是（）
A．AB＝BCB．AC⊥BDC．∠1＝∠2D．∠ABC＝90°
【答案】D
【分析】根據(jù)矩形的判定定理，菱形的判定定理逐一判斷即可．
【詳解】解：A、由AB＝BC，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得出平行四邊形ABCD是菱形，不符合題意；
B、由AC⊥BD，根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可得出平行四邊形ABCD是菱形，不符合題意；
C、由∠1＝∠2，根據(jù)對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形可得出平行四邊形ABCD是菱形，不符合題意；
D、由∠ABC＝90°，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形可得出平行四邊形ABCD是矩形，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了對矩形的判定定理的應(yīng)用，注意：矩形的判定定理有：①有一個角是直角的平行四邊形是矩形，②有三個角是直角的四邊形是矩形，③對角線相等的平行四邊形是矩形．
二、填空題
19．（2024·河南鶴壁·一模）如圖所示，在矩形中，，．連接對角線，將矩形折疊，使點B落在射線上，點B的對應(yīng)點記為，折痕與邊，分別交于點E，F(xiàn)，當(dāng)時，的長度為．
【答案】或
【分析】連接交于點O，根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理證明為等邊三角形，得，，分兩種情況討論，一是點在線段上，設(shè)交于點G，可證明，則，求得，求出；二是點在線段延長線上，延長、交于點H，可證明，則，求得，根據(jù)直角三角形的角的性質(zhì)和勾股定理，求得，于是得到問題的答案．
【詳解】連接交于點O，
四邊形為矩形，
，
，
，，
，
為等邊三角形，
，，
①當(dāng)點在線段上，設(shè)交于點G，
，
在矩形中，根據(jù)折疊性質(zhì)得
，，，
，
，
，
，
②當(dāng)點在線段延長線上，延長、交于點H，
，，
，
，
，
，
在中
，
，
綜上所述：的長度為或．
【點睛】此題是幾何變換綜合題，重點考查了矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、菱形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，熟練掌握以上知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵．
20．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）如圖，在菱形中，對角線與相交于點O，且，，，交于E，則．
【答案】/
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，，，求出和，求出，根據(jù)菱形的面積公式求出即可．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，
∴，，，，
則：由勾股定理得：，
∴，
∴，即：，
解得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和勾股定理，能求出菱形的對角線和牢記菱形的面積公式是解此題的關(guān)鍵．
三、解答題
21．（2024·河南濮陽·三模）如圖，在矩形中，延長到D，使，延長到E，使，連接．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)連接，若，求的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，再根據(jù)，，即可求證；
（2）先通過菱形的性質(zhì)及勾股定理求解到的長，再通過勾股定理即可求出的長．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，
∴，
∴，即，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴平行四邊形是菱形．
（2）解：連接，如圖：
∵四邊形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴．
22．（2024·河南南陽·二模）王老師善于通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的，聯(lián)系的，發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣．下面是王老師在“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”主題下設(shè)計的問題，請你解答．

(1)定理證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
已知：如圖1，在中，，D為的中點．
求證：①______．
證明：如圖2，延長至點E，使，連結(jié)．
∵D為的中點，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形
又∵②_____，
∴是矩形，
∴，
∴③_____．
（將上述求證過程中①②③空格補充完整）
(2)定理運用：如圖3在菱形中，與相交于點O，于E，點是的中點．

①求證：點是四邊形的外接圓圓心，并畫出這個外接圓；
②若，，求菱形的周長．
(3)拓展提升
如圖4，在中，，，是邊上中線，將沿翻折，點A的對稱點記為，當(dāng)垂直于的一邊時，請直接寫出的長．

【答案】(1)①；②；③
(2)①見解析；②菱形的周長為20；
(3)的長為或．
【分析】（1）按照題目的提示填空即可求解；
（2）①連接，利用直角三角形的性質(zhì)證明，即可證明結(jié)論成立；
②利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得，利用菱形的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理證得，再利用余弦函數(shù)的定義即可求解；
（3）分兩種情況討論，利用勾股定理結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）已知：如圖1，在中，，D為的中點．
求證：①．
證明：如圖2，延長至點E，使，連結(jié)．

∵D為的中點，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形
又∵②，
∴是矩形，
∴，
∴③．
故答案為：①；②；③；
（2）①證明：連接，

∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵點是的中點，
∴，
∴點是四邊形的外接圓圓心，如圖所示；
②∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的周長為；
（3）解：當(dāng)時，設(shè)，

∵是邊上中線，
∴，
由折疊的性質(zhì)得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
當(dāng)時，此時與重合，
∴，
綜上，的長為或．
【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
23．（2024·河南安陽·二模）如圖，在平行四邊形中，
(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)完成以下基本作圖：作的平分線交于點E，在線段上截取，使(保留作圖痕跡，不寫作法)；
(2)在(1) 所作的圖形中，連接，求證∶ 四邊形是菱形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了作圖??復(fù)雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是：
（1）根據(jù)基本作圖，即可作得；
（2）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及所作的圖，可證得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，可證得，據(jù)此即可證得結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖，，即為所求，
；
（2）證明：∵四邊形為平行四邊形，
∴且，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴，
∴四邊形是菱形．
24．（2024·河南周口·一模）如圖，四邊形是平行四邊形．
(1)尺規(guī)作圖：作對角線的垂直平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)若直線分別交于E，F(xiàn)兩點，連接，判斷四邊形的形狀，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)四邊形是菱形，見解析
【分析】本題考查作圖—基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定：
（1）根據(jù)線段垂直平分線的作圖方法作圖即可．
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、菱形的判定可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求．
（2）解：四邊形是菱形，理由如下：
設(shè)與交于點O．
由作圖可知，垂直平分線段，
∴．
∵四邊形是平行四邊形，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴四邊形是菱形．
25．（2023·河南周口·三模）如圖，在平行四邊形中，，，點是直線上一點，連接，將沿直線折疊，點落在點處，若四邊形是菱形，則的長為．

【答案】1或
【分析】需要分兩種情況討論：①點落在線段上；②點落在線段的延長線上．計算出每種情況下的長度即可得到答案．
【詳解】①如圖，當(dāng)點落在線段上．
四邊形是菱形，,
．
又，
為等邊三角形．
．
②如圖，當(dāng)點落在線段的延長線上時．

連接，交于點．
四邊形是菱形，
，，，．
．
．
故答案為：或．
【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)（菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直且平分，每一條對角線平分一組對角），以及利用銳角三角函數(shù)解直角三角形．牢記菱形的性質(zhì)及利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵．
26．（2024·河南濮陽·三模）如圖，在矩形中，延長到D，使，延長到E，使，連接．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)連接，若，求的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，再根據(jù)，，即可求證；
（2）先通過菱形的性質(zhì)及勾股定理求解到的長，再通過勾股定理即可求出的長．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，
∴，
∴，即，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴平行四邊形是菱形．
（2）解：連接，如圖：
∵四邊形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴．
27．（2024·河南安陽·二模）如圖，在平行四邊形中，
(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)完成以下基本作圖：作的平分線交于點E，在線段上截取，使(保留作圖痕跡，不寫作法)；
(2)在(1) 所作的圖形中，連接，求證∶ 四邊形是菱形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了作圖??復(fù)雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是：
（1）根據(jù)基本作圖，即可作得；
（2）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及所作的圖，可證得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，可證得，據(jù)此即可證得結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖，，即為所求，
；
（2）證明：∵四邊形為平行四邊形，
∴且，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴，
∴四邊形是菱形．

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