一、選擇題
1. 有理數(shù)的相反數(shù)是（ ）
A. 2025B. C. D.
【答案】A
【解析】的相反數(shù)是．
故選：A．
2. 植樹時，只要栽下兩個樹，就可以把剩下的樹栽在一條直線上，其理由是（ ）
A. 兩點之間線段最短
B. 線段的中點到線段的兩個端點的距離相等
C. 兩點確定一條直線
D. 經(jīng)過三個點可以畫出一條直線或三條直線
【答案】C
【解析】植樹時，只要栽下兩個樹，就可以把剩下的樹栽在一條直線上，即兩點確定一條直線．
故選：C．
3. 下列計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、，本選項不符合題意；
B、，本選項符合題意；
C、和不是同類項，不能合并，本選項不符合題意；
D、和不同類項，不能合并，本選項不符合題意；
故選：B．
4. 如圖，用圓規(guī)比較兩條線段和的長短，其中正確的是（ ）
A. B. C. D. 不能確定
【答案】A
【解析】由圖可知，，
故選：A．
5. 下列運用等式的性質(zhì)變形錯誤的是（ ）
A. 由，得B. 由，得
C. 由，得D. 由，得
【答案】D
【解析】A. 由，得，變形正確，不符合題意；
B. 由，得，變形正確，不符合題意；
C. 由，得，變形正確，不符合題意；
D. 由，若，則有，故變形錯誤，符合題意．
故選：D．
6. 將方程去分母，下列變形正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
去分母得：，
故選C．
7. 如圖，在同一平面內(nèi)，，從頂點畫一條射線，若∠，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】當(dāng)射線在內(nèi)部時，如圖：
∵，
當(dāng)射線在外部且是外側(cè)時，如圖：
∵，
的度數(shù)為或
故選：D．
8. 我國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)綜》中記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托，折回索子卻量竿，卻比竿子短一托”其大意是：有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再量竿，就比竿短5尺．若設(shè)竿長尺，繩索長尺，根據(jù)題意可列方程組為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】竿長x尺，繩索長y尺，
根據(jù)題意得：
．
故選：A．
9. 已知有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根據(jù)數(shù)軸可知且，
A、，選項正確，不符合題意；
B、，選項錯誤，符合題意；
C、，選項正確，不符合題意；
D、，選項正確，不符合題意；
故選：B．
10. 計算機利用的是二進制數(shù)，它共有兩個數(shù)字0，1，將一個十進制數(shù)轉(zhuǎn)化為二進制數(shù)，需要將該數(shù)寫為若干個的數(shù)字之和，依次寫出1，0即可．例如：十進制數(shù)20可以寫為二進制數(shù)，因為，十進制數(shù)39可以寫為二進制數(shù)，因為，則將十進制數(shù)25寫為二進制數(shù)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵，
將十進制數(shù)25寫為二進制數(shù)為，
故選：B
二、填空題
11. 若把逆時針旋轉(zhuǎn)記作“”，則順時針旋轉(zhuǎn)應(yīng)記作_________．
【答案】
【解析】把逆時針旋轉(zhuǎn)記作“”，那么順時針旋轉(zhuǎn)應(yīng)記作．
故答案為：．
12. 第三屆北斗規(guī)模應(yīng)用國際峰會于2024年10月24日在株洲召開，本屆峰會以“同世界共北斗”為主題，為全國人民呈上了一場精彩紛呈的科技盛宴．開放首日，接待觀眾超過了120000人次，將數(shù)據(jù)120000用科學(xué)記數(shù)法表示為__________．
【答案】
【解析】將數(shù)據(jù)120000用科學(xué)記數(shù)法表示為．
故答案為：．
13. 體育用品商店的每個排球的價格為元，每個籃球的價格為元，學(xué)校到體育用品商店購買9個排球，8個籃球共需的費用為___________元．
【答案】
【解析】∵每個排球的價格為元，
∴購買9個排球需要元；
∵每個籃球的價格為元，
∴購買8個籃球需要元．
∴一共需要元
故答案為：．
14. 一個角的余角為，則這個角的補角是______度．
【答案】130
【解析】設(shè)這個角為x，則：90°?x＝40°，
解得：x＝50°，
則它的補角是：180°?50°＝130°．
故答案為：130．
15. 如果關(guān)于x的方程和方程的解相同，那么a的值為______．
【答案】4
【解析】方程，
解得：，
把代入第二個方程得：，
去分母得：，
解得：，
故答案為4
16. 如圖，點是線段上一點，點是線段的中點，若線段，，則線段的長為___________．
【答案】
【解析】∵線段，，
∴
∵點是線段的中點，
∴
故答案為：
17. 若，則代數(shù)式的值等于__________．
【答案】
【解析】∵，
∴．
故答案為：．
18. 定義：表示有理數(shù)到離它最近的整數(shù)的距離，如，，．
①__________，②若，則有_________種可能的值．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】①或，
故答案為：；
②設(shè)，相當(dāng)于，則
設(shè)的小數(shù)部分為，
當(dāng)時，，此時，
∴或或或
解得：或或或或或或
當(dāng)時，，
∴或或或
解得：或（舍去）或或或或或（舍去）
則或或或
綜上所述，可能為，共種可能的值．
故答案為：．
三、解答題
19. 計算：
（1）；
（2）．
(1)解：
；
(2)解：
．
20. 解下列方程（組）：
（1）；
（2）．
(1)解：
(2)解：，
得：
解得：
把代入①得：
解得：
則方程組的解為．
21. 已知
（1）化簡；
（2）若，求的值．
解：(1)
(2)當(dāng)時，
22. 如圖，在平面上有四個點，請按下列要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）
（1）作直線，作射線，作線段；
（2）用圓規(guī)在射線上作線段；
（3）在直線上求作點，使得最?。?br>(1)解：如圖，直線，射線，線段即為所求；
(2)解：如圖，線段即為所求；
(3)解：如圖，點即為所求；
23. 如圖，已知，是內(nèi)的一條射線，且，
（1）求的度數(shù)；
（2）作射線平分，在內(nèi)作射線，使得，求的度數(shù)．
(1)解：因為，，
所以；
(2)解：因為，
所以，
因為平分，
所以．
因為，
所以，
所以．
24. 某校組織學(xué)生研學(xué)，某班在車上準(zhǔn)備了5箱礦泉水，每箱的瓶數(shù)相同，到達(dá)目的地后，先從車上搬下2箱礦泉水，分發(fā)給班上每位學(xué)生1瓶礦泉水，有2位學(xué)生未領(lǐng)到；接著又從車上搬下3箱礦泉水，繼續(xù)分發(fā)，最后班上每位學(xué)生都有2瓶礦泉水，還剩下20瓶礦泉水．求每箱有多少瓶礦泉水？該班有多少人參加了這次研學(xué)？
解：設(shè)每箱礦泉水有x瓶，則有人參加此次研學(xué)旅行活動，
根據(jù)題意得：
解得：．
∴
答：每箱礦泉水有24瓶，有人參加此次研學(xué)旅行活動．
25. 十八世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家歐拉，他創(chuàng)造并推廣了大量的數(shù)學(xué)符號，使數(shù)學(xué)表達(dá)更加簡捷與方便，把關(guān)于的多項式用符號的形式來表示，把等于的多項式的值用來表示，例如：當(dāng)時，的值記為．
（1）已知，
①填空：__________，②若，則____________；
（2）已知，若，求的值；
（3）把方程的解稱為多項式的“不動點”，試求多項式的不動點．
(1)解：①∵，
∴，
②∵，
∴，
解得，
故答案為：，；
(2)解：∵，，
∴
解得
∴
∴
(3)解：由題意可得，，
解得，
∴多項式不動點為．
26. 【閱讀材料】
“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題思想方法．
如圖1，數(shù)軸上的點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，且，點是線段的中點．
（1）填空：點表示的數(shù)是___________；
（2）若動點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，當(dāng)點到達(dá)點時，、兩動點同時停止運動，設(shè)運動的時間為秒．
①點、表示的數(shù)分別為__________，___________（用含的代數(shù)式表示）
②在、兩點運動的過程中，若，求運動時間的值；
（3）【類比遷移】
我們發(fā)現(xiàn)角的很多運算方法和線段運算方法一樣，如圖2，已知，平分，射線從出發(fā)，以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，射線從出發(fā)，以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，射線、同時旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線到達(dá)時，射線、同時停止旋轉(zhuǎn)．設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒，在旋轉(zhuǎn)過程中，存在某一時刻，使得，求旋轉(zhuǎn)時間的值．
(1)解：∵，
∴，
∴點A表示的數(shù)為，B表示的數(shù)為8，
∵點C是線段的中點，
∴點C表示的數(shù)是．
故答案為：
(2)解：①設(shè)運動時間為t秒，
則：點P表示的數(shù)為：；點Q表示的數(shù)為：；
故答案為：，；
②∵點P表示的數(shù)為：；點Q表示的數(shù)為：；
∴，
∵，
∴，即，
∵當(dāng)點Q到達(dá)點A時，兩動點的運動同時停止．
∴；
當(dāng)時，有，解得：；
當(dāng)時，有，解得：．
綜上，當(dāng)或時，．
(3)解：∵，平分．
∴，
由題意可得：，
∴，
∵當(dāng)?shù)竭_(dá)時，運動同時停止．
∴；
當(dāng)時，，
當(dāng)時，有，解得：；
當(dāng)時，有，解得：；
即旋轉(zhuǎn)時間的值為或．

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