題型一：函數(shù)與圖象探究題
【中考母題學(xué)方法】
1．（2022·湖北襄陽·中考真題）探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程．結(jié)合已有經(jīng)驗，請畫出函數(shù)的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì)．
(1)繪制函數(shù)圖象
①列表：下列是x與y的幾組對應(yīng)值，其中a＝ ．
②描點：根據(jù)表中的數(shù)值描點（x，y），請補(bǔ)充描出點（2，a）；
③連線：請用平滑的曲線順次連接各點，畫出函數(shù)圖象；
(2)探究函數(shù)性質(zhì)，請寫出函數(shù)y＝-|x|的一條性質(zhì)： ；
(3)運用函數(shù)圖象及性質(zhì)
①寫出方程-|x|＝5的解 ；
②寫出不等式-|x|≤1的解集 ．
【答案】(1)①1；②見解析，③見解析
(2)的圖象關(guān)于軸對稱軸（答案不唯一）
(3)①或；②或
【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描點，連線即可；
（2）觀察函數(shù)圖象，可得函數(shù)性質(zhì)；
（3）①由函數(shù)圖象可得答案；②觀察函數(shù)圖象即得答案．
【詳解】（1）①列表：當(dāng)x=2時，，
故答案為：1；
②描點，③連線如下：
（2）觀察函數(shù)圖象可得：的圖象關(guān)于y軸對稱，
故答案為：的圖象關(guān)于y軸對稱；
（3）①觀察函數(shù)圖象可得：當(dāng)y=5時，x=1或x=-1，
的解是x=1或x=-1，
故答案為：x=1或x=-1，
②觀察函數(shù)圖象可得，當(dāng)x≤-2或x≥2時，y≤1，
∴的解集是x≤-2或x≥2，
故答案為：x≤-2或x≥2．
【點睛】本題考查了列表描點畫函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息，畫出函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象獲取信息是解題的關(guān)鍵．
2．（2020·重慶·中考真題）探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程．結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，請畫出函數(shù)的圖象并探究該函數(shù)的性質(zhì)．
（1）列表，寫出表中a，b的值：a=____ ，b= ．
描點、連線，在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象．
（2）觀察函數(shù)圖象，判斷下列關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的結(jié)論是否正確（在答題卡相應(yīng)位置正確的用“√”作答，錯誤的用“×”作答）：
①函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；
②當(dāng)x=0時，函數(shù)有最小值，最小值為-6；
③在自變量的取值范圍內(nèi)函數(shù)y的值隨自變量x的增大而減?。?br>（3）已知函數(shù)的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式的解集．
【答案】（1），，作圖見解析；（2）①√；②√；③×；（3）x＜-4或-2＜x＜1．
【分析】（1）把對應(yīng)的x的值代入即可求出a和b的值，通過描點，用平滑的曲線連接，即可作出圖象；
（2）觀察圖象即可判斷；
（3）找出函數(shù)的圖象比函數(shù)的圖象低時對應(yīng)的x的范圍即可．
【詳解】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，；
∴，，
故答案為：，．
所畫圖象，如圖所示．
（2）①觀察圖象可知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，故該說法正確；
②觀察圖象可知，當(dāng)x=0時，函數(shù)有最小值，最小值為，故該說法正確；
③觀察圖象可知，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，當(dāng)時，y隨x的增大而增大，故該項題干說法錯誤．
（3）不等式表現(xiàn)在圖象上面即函數(shù)的圖象比函數(shù)的圖象低，因此觀察圖象，即可得到的解集為：x＜-4或-2＜x＜1．
【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)與一元一次不等式，會用描點法畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想得到函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·湖北荊州·中考真題）小愛同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，對函數(shù)進(jìn)行了探究，在經(jīng)歷列表、描點、連線步驟后，得到如
下的函數(shù)圖像．請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：
（1）觀察探究：
①寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：__________；
②方程的解為：__________；
③若方程有四個實數(shù)根，則的取值范圍是__________．
（2）延伸思考：
將函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)的圖象？寫出平移過程，并直接寫出當(dāng)時，自變量的取值范圍．
【答案】（1）①關(guān)于y軸對稱；②；③；（2）將函數(shù)的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度可得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，自變量的取值范圍為或．
【分析】（1）①根據(jù)函數(shù)圖象可直接進(jìn)行作答；②由函數(shù)圖象及方程可得當(dāng)y=-1時，自變量x的值，則可看作直線y=-1與函數(shù)的圖象交點問題，進(jìn)而問題可求解；③由題意可看作直線y=a與函數(shù)的圖象有四個交點的問題，進(jìn)而問題可求解；
（2）由函數(shù)圖象平移可直接進(jìn)行求解，然后結(jié)合函數(shù)圖象可求解x的范圍問題．
【詳解】解：（1）①由圖象可得：該函數(shù)的一條性質(zhì)為關(guān)于y軸對稱，（答案不唯一）；
故答案為關(guān)于y軸對稱；
②由題意及圖象可看作直線y=-1與函數(shù)的圖象交點問題，如圖所示：
∴方程的解為；
故答案為；
③由題意可看作直線y=a與函數(shù)的圖象有四個交點的問題，如圖所示：
∴由圖象可得若方程有四個實數(shù)根，則的取值范圍是；
故答案為；
（2）由題意得：將函數(shù)的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度可得到函數(shù)的圖象，則平移后的函數(shù)圖象如圖所示：
∴由圖象可得：當(dāng)時，自變量x的取值范圍為或．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2021·廣西河池·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點（A在B的右側(cè)），與y軸交于點C．
（1）求直線CA的解析式；
（2）如圖，直線與拋物線在第一象限交于點D，交CA于點E，交x軸于點F，于點G，若E為GA的中點，求m的值．
（3）直線與拋物線交于，兩點，其中．若且，結(jié)合函數(shù)圖象，探究n的取值范圍．
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【分析】（1）由中，得，，，利用待定系數(shù)法即可得，直線CA的解析式為；
（2）根據(jù)直線與拋物線在第一象限交于點D，交CA于點E，交x軸于點F，可得，且，，，從而，，而是等腰直角三角形，可得，是等腰直角三角形，即可列，解得m=2或m=3（舍去）；
（3）由得：或，①若，即，根據(jù)且，可得，且，即解得；②若，即，可得：且，即解得，綜合可得結(jié)果．
【詳解】解：（1）在中，
令得，
令得或，
∴，，，
設(shè)直線CA的解析式為，則，
解得，
∴直線CA的解析式為；
（2）∵直線x=m與拋物線在第一象限交于點D，交CA于點E，交x軸于點F，
∴，且，，，
∴，，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵E為GA的中點，
∴，
∴，
解得或，
∵時，D與A重合，舍去，
∴；
（3）由得：或，
①若，即，
∵且，
∴，且，
解得；
②若，即，
可得：且，
解得．
綜上所述，n的取值范圍是或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、等腰三角形性質(zhì)等知識，用含m的代數(shù)式表示相關(guān)點坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度及分類討論思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
5．（2024·寧夏·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象平移得到．依此想法，數(shù)學(xué)小組對反比例函數(shù)圖象的平移進(jìn)行探究．
(1)【動手操作】
列表：
描點連線：在已畫出函數(shù)的圖象的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象．
(2)【探究發(fā)現(xiàn)】
①將反比例函數(shù)的圖象向___________平移___________個單位長度得到函數(shù)的圖象．
②上述探究方法運用的數(shù)學(xué)思想是（ ）
整體思想 B．類比思想 C．分類討論思想
(3)【應(yīng)用延伸】
①將反比例函數(shù)的圖象先___________，再___________得到函數(shù)的圖象．
②函數(shù)圖象的對稱中心的坐標(biāo)為___________．
【答案】(1)圖見解析
(2)①左，1；②B
(3)①右平移2個單位長度；向下平移1個單位長度（向下平移1個單位長度；向右平移2個單位長度）；
②
【分析】（1）列表，描點、連線畫出函數(shù)的圖象即可；
（2）結(jié)合圖象填空即可；
（3）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空即可．
【詳解】（1）描點、連線畫出函數(shù)圖象如圖所示：
（2）①函數(shù)的圖象可以看作是由函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度，
②上述探究方法運用的數(shù)學(xué)思想是類比思想．
故答案為：左，1；B
（3）①函數(shù)的圖象可以看作是由函數(shù)的圖象向右平移2個單位長度；
向下平移1個單位長度（向下平移1個單位長度；向右平移2個單位長度）而得到；
②根據(jù)平移的性質(zhì)，函數(shù)圖象的對稱中心的坐標(biāo)為．
故答案為：右平移2個單位長度；向下平移1個單位長度（向下平移1個單位長度；向右平移2個單位長度）；
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象，正比例函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象與幾何變換，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
【中考模擬即學(xué)即練】
1．（2024·北京石景山·二模）中國茶文化博大精深，自古以來中國人有飲茶的傳統(tǒng)．某校茶文化社團(tuán)探究了剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的時間．部分內(nèi)容如下：
a．探究活動在同一社團(tuán)活動室進(jìn)行，室溫；
b．經(jīng)查閱資料得知，茶水口感與茶葉類型及水的溫度有關(guān)．某種普洱茶用的水沖泡，等茶水溫度降至飲用，口感最佳；某種綠茶用的水沖泡，等茶水溫度降至飲用，口感最佳；
c．同時用不同溫度的熱水沖泡茶葉，記放置時間為x（單位：），普洱茶茶水的溫度為（單位：），綠茶茶水的溫度為（單位：）．記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：
對以上數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，補(bǔ)充完成以下內(nèi)容．
(1)可以用函數(shù)刻畫與x、與x之間的關(guān)系，在同一平面直角坐標(biāo)系中，已經(jīng)畫出與x的函數(shù)圖象，請畫出與x的函數(shù)圖象；
(2)探究活動中，當(dāng)綠茶茶水的放置時間約為__________時，其飲用口感最佳，此時普洱茶茶水的溫度約為__________（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；
(3)探究活動中，當(dāng)普洱茶茶水的溫度為時，再繼續(xù)放置，測得其溫度為，則m__________60（填“>”“=”或“﹤”）．
【答案】(1)見詳解
(2)5.5；66.0
(3)>
【分析】本題考查了從函數(shù)圖象獲取信息、用描點法畫函數(shù)圖象，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）先把列表的數(shù)值分別在圖象中描點出來，再依次連接，即可作答．
（2）結(jié)合圖象以及題干“某種普洱茶用的水沖泡，等茶水溫度降至飲用，口感最佳；某種綠茶用的水沖泡，等茶水溫度降至飲用，口感最佳；且結(jié)合函數(shù)圖象”，進(jìn)行作答即可．
（3）相比較：某種普洱茶用的水沖泡，放置，此時測得其溫度為接近，以及結(jié)合圖象，進(jìn)行作答即可．
【詳解】（1）解：依題意，得與x的函數(shù)圖象，如圖所示：
（2）解：∵某種普洱茶用的水沖泡，等茶水溫度降至飲用，口感最佳；某種綠茶用的水沖泡，等茶水溫度降至飲用，口感最佳；且結(jié)合函數(shù)圖象
∴綠茶茶水降至飲用，大概時間輕為5.5，其飲用口感最佳，
此時普洱茶茶水的溫度約為（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；
故答案為：5.5；66.0．
（3）解：∵某種普洱茶用的水沖泡，放置，此時測得其溫度為接近，
∴當(dāng)普洱茶茶水的溫度為時，再繼續(xù)放置，測得其溫度為，則
故答案為：>．
2．（2024·廣東深圳·三模）在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達(dá)式→利用函數(shù)圖象研究其性質(zhì)→運用函數(shù)解決問題”的學(xué)習(xí)過程．結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，探究過程如下，請補(bǔ)充完整．
（1）列表：
（2）描點并連線．
（3）觀察圖象并填空：
① ，
②寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：
③圖象與x軸圍成的三角形面積為
④當(dāng)時，直接寫出x的取值范圍
【答案】（2）見解析；（3）①，；②當(dāng)時，y隨x增大而增大（或）當(dāng)時，y隨x增大而減?。ɑ颍┊?dāng)時，y取最??；③16；④或
【分析】本題考查畫函數(shù)圖象，利用函數(shù)圖象分析解決問題，掌握描點畫圖是解題的關(guān)鍵．
（2）根據(jù)表格描出各點，然后連接即可得到圖象；
（3）①把給的任一點的坐標(biāo)代入求出，然后把x=2代入解題即可；
②觀察圖象得到性質(zhì)即可；
④先根據(jù)求出自變量x的值，然后借助圖象回答即可．
【詳解】（2）如圖
（3）①把x=0，代入得，解得，
∴當(dāng)x=2時，，
故答案為：，；
②當(dāng)時，y隨x增大而增大 （或）當(dāng)時，y隨x增大而減小 （或）當(dāng)時，y取最小
③令，則，解得，，
∴圖象與x軸圍成的三角形面積為，
故答案為：16 ；
④令，則，解得，，
∴由圖像可知，當(dāng)時，直接寫出x的取值范圍或．
3．（2024·河南商丘·二模）有這樣一個問題：探究函數(shù) 的圖象與性質(zhì)，小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù) 的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究，下面是小明的探究過程，請補(bǔ)充完整：
(1)自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)數(shù)值如下表：
其中
(2)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點．并畫出該函數(shù)的大致圖象；
(3)觀察函數(shù)圖象，寫出一條該函數(shù)的性質(zhì) ；
(4)進(jìn)一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：
①函數(shù)圖象與x軸有 個交點，所以對應(yīng)的方程 有 個互不相等的實數(shù)根；
②若關(guān)于x的方程有3個互不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是
【答案】(1)
(2)見解析
(3)由函數(shù)圖象知當(dāng)或時，y隨x的增大而增大，當(dāng)時，y隨x的增大而減小(答案不唯一)
(4)①2，2；②
【分析】本題主要考查了求函數(shù)值，畫函數(shù)圖象以及從函數(shù)圖象上獲取信息等知識．
（1）直接把代入函數(shù)式即可求出m的值．
（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，直接描點連線即可．
（3）根據(jù)函數(shù)圖象回答即可．
（4）①②根據(jù)函數(shù)圖象回答即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，．
故答案為：．
（2）函數(shù)圖象如下所示：
（3）由函數(shù)圖象知當(dāng)或時，y隨x的增大而增大，
當(dāng)時，y隨x的增大而減?。?答案不唯一)
（4）①由函數(shù)圖象知， 函數(shù)圖象與x軸有2個交點，所以對應(yīng)的方程 有2個互不相等的實數(shù)根；
故答案為：2，2．
②由函數(shù)圖象知，函數(shù) 的圖象與直線、有兩個交點，
當(dāng)時，函數(shù)的圖象與直線有3個交點，
即時，關(guān)于x的方程有3個互不相等的實數(shù)根，
故答案為：．
4．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程．結(jié)合已有經(jīng)驗，請畫出函數(shù)的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì)．
(1)繪制函數(shù)圖象
列表：下列是x與y的幾組對應(yīng)值，其中________；
描點：根據(jù)表中的數(shù)值描點；
連線：請用平滑的線順次連接各點，在圖中畫出函數(shù)圖象；
(2)探究函數(shù)性質(zhì)
請寫出函數(shù)的一條性質(zhì)：________________；（寫一條即可）
(3)運用函數(shù)圖象及性質(zhì)
根據(jù)圖象，求不等式的解集．
【答案】(1)，圖見解析
(2)函數(shù)的圖象有最低點（答案不唯一）
(3)
【分析】本題考查通過列表，描點，連線，畫函數(shù)圖象，通過函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)；
（1）把代入即可求出m的值；直接描點，用平滑的曲線的進(jìn)行連線即可畫出函數(shù)圖象；
（2）根據(jù)圖象即可求解；
（3）圖象法解不等式即可．
【詳解】（1）把代入，得
，
∴．
如圖，
故答案為：；
（2）函數(shù)的圖象有最低點（答案不唯一）．
故答案為：函數(shù)的圖象有最低點（答案不唯一）；
（3）由圖象可知不等式的解集是．
5．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）《函數(shù)）復(fù)習(xí)課后，為加深對函數(shù)的認(rèn)識，李老師引導(dǎo)同學(xué)們對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行探究，過程如下，請完成探究過程：
(1)初步感知：函數(shù)的自變量取值范圍是 ；
(2)作出圖象：①列表：
表中 ， ；
②描點，連線：在平面直角坐標(biāo)系中，描出以表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，根據(jù)描出的點畫出該函數(shù)的圖象；
(3)研究性質(zhì)：
小明觀察圖象，發(fā)現(xiàn)這個圖象為雙曲線，進(jìn)一步研究中，小明將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，他判斷該函數(shù)圖象就是反比例函數(shù)通過某種平移轉(zhuǎn)化而來，反比例函數(shù)是中心對稱圖形，對稱中心為，則函數(shù)的對稱中心為 ；
(4)拓展應(yīng)用：當(dāng)時，關(guān)于的方程有實數(shù)解，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)①，0；②見解析
(3)
(4)
【分析】本題考查了分式有意義的條件，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合等知識．熟練掌握分式有意義的條件，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合是解題的關(guān)鍵．
（1）由題意知，，求解作答即可；
（2）①將，分別代入求解即可；②描點連線即可；
（3）由圖象與反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)的對稱中心為，然后作答即可；
（4）由題意知，當(dāng)時，函數(shù)中，，把，代入函數(shù)得，，解得，把，代入函數(shù)得，解得，然后作答即可．
【詳解】（1）解：∵函數(shù)
∴，解得，
∴函數(shù)的自變量的取值范圍是．
故答案為：．
（2）①時，，
．
當(dāng)時，，
，
故答案為：，0；
②函數(shù)圖象如圖所示：
（3）函數(shù)的對稱中心為，
故答案為：；
（4）當(dāng)時，函數(shù)中，，
把，代入函數(shù)得，，解得，
把，代入函數(shù)得，解得，
當(dāng)時，關(guān)于的方程有實數(shù)解，的取值范圍是．
6．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）小明在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進(jìn)一步研究了函數(shù)的圖象與性質(zhì)．其探究過程如下：
(1)繪制函數(shù)圖象，如圖，
列表：下表是與的幾組對應(yīng)值，其中 ；
描點：根據(jù)表中各組對應(yīng)值，在平面直角坐標(biāo)系中描出各點；
連線：用平滑的曲線順次連接各點，畫出了部分圖象，請你把圖象補(bǔ)充完整；
(2)通過觀察函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)： ．
(3)利用函數(shù)圖象，解不等式．
【答案】(1)?2，見解析
(2)圖象關(guān)于軸對稱
(3)或x0時，則令，整理得，
解得或x=1，
當(dāng)時，則令，整理得，
解得，
觀察圖象可知，當(dāng)或x

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