1.在等差數列an中，a1+a3=6,a4=5，則公差d=( )
A. ?2B. ?1C. 1D. 2
2.若直線l1:1?ax+y+1=0，直線l2:?2x+ay?2=0，若l1⊥l2，則實數a=( )
A. ?1B. 23C. 2D. 3
3.已知圓C1:x2+y2=9，圓C2:(x?4)2+(y?3)2=4，則圓C1與圓C2的位置關系是( )
A. 內含B. 外切C. 相交D. 外離
4.比較下列四個橢圓的形狀，其中更接近于圓的是( )
A. x236+y24=1B. x236+y29=1C. x23+y236=1D. x212+y236=1
5.如圖是瑞典數學家科赫在1904年構造的能夠描述雪花形狀的圖案，圖形的作法是：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊．反復進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線，設原正三角形(圖①)的邊長為2，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的周長依次記為C1,C2,C3,C4，則C5=( )
A. 51227B. 25627C. 5129D. 2569
6.過雙曲線y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)的一個焦點F作一條漸近線的垂線l，垂足為點A，直線l與另一條漸近線相交于點B，若A是線段FB的中點，則雙曲線的漸近線為( )
A. y=±2xB. y=± 3xC. y=± 33xD. y=± 2x
7.如圖，已知二面角α?l?β的大小為60 °，棱l上有兩個點A,B，線段BD與AC分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱l.若AB=1,AC=2,BD=3，則CD=( )
A. 2 2B. 14C. 2 5D. 4
8.設m為正整數，數列a1,a2,?,a3m+2是公比不為1的等比數列，若從中刪去兩項ai和aj(i0n∈N?,a3=9,S3=13．
(1)求數列an的通項公式an及前n項和Sn；
(2)若bn=n?1n∈N?,cn=anbn，求數列cn的前n項和Tn．
17.(本小題12分)
已知圓M過A? 2,? 2,B?2,0,C 2, 2三點．
(1)求圓M的標準方程；
(2)若圓N與圓M關于直線：x?y+2=0對稱，求圓N的方程；
(3)若過點P?1,12的直線l與圓M相交于E,F兩點，且EF=2 3，求直線l的方程．
18.(本小題12分)
如圖，四棱錐P?ABCD中，?PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC//AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB=2．
(1)若點E為線段PD的中點，
①證明：CE//面PAB；
②求直線CE與平面PAB間的距離；
(2)若點E為直線PD上的動點，當直線CE與底面ABCD所成角的正弦值取最大值時，求三棱錐E?ACD的體積．
19.(本小題12分)
設橢圓x2a2+y24=1(a>b>0)的離心率為 63，過點A0,1且斜率為k的直線l與x軸相交于點B，與橢圓相交于點C,D兩點．
(1)求橢圓的方程；
(2)若BC=DA，求k的值：
(3)若圓心在橢圓上，半徑為a2的圓，我們稱是橢圓的“衛(wèi)星圓”，過原點O作橢圓的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓于E,F兩點，試問OE|2+OF|2是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
參考答案
1.C
2.B
3.B
4.D
5.A
6.C
7.A
8.C
9.AC
10.ACD
11.ABD
12.9
13.2n2?12n?1
14.2 2,4 2∪?4 2,?2 2
15.(1)
由題意，以D為坐標原點，分別以DA、DC、DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如下圖：
設正方體棱長為2，則D(0,0,0),A12,0,2,B2,2,0,B12,2,2,D10,0,2，
則E(2,2,1),F1,1,2，所以EF=?1,?1,1,DA1=2,0,2，
所以EF?DA1=?2+0+2=0，所以EF⊥DA1．
(2)
D1B1=DB=(2,2,0)，DA1=2,0,2，
設異面直線A1D與D1B1所成角為θ，
故csθ=|cs|=|D1B1?A1D||D1B1||A1D|=42 2×2 2=12．
所以θ=π3．

16.(1)設等比數列{an}的公比為q．
已知a3=9，可得a3=a1q2=9①.
又已知S3=13，可得S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=13②.
將①代入②得：a1+a1q+9=13，即a1+a1q=4，a1(1+q)=4③.
由①得a1=9q2，代入③得：9q2(1+q)=4，9(1+q)=4q2，4q2?9q?9=0，解得q=3或q=?34．
因為an>0(n∈N?)，所以q>0，則q=3．
把q=3代入a1q2=9，得a1×32=9，a1=1．
那么數列{an}的通項公式an=a1qn?1=1×3n?1=3n?1．
前n項和Sn=a1(1?qn)1?q=1×(1?3n)1?3=3n?12．
(2)已知bn=n?1，cn=anbn=(n?1)×3n?1．
則Tn=0×30+1×31+2×32+?+(n?1)×3n?1④.
3Tn=0×31+1×32+2×33+?+(n?1)×3n ⑤．
由④ ? ⑤得：
Tn?3Tn=0×30+(1?0)×31+(2?1)×32+?+[(n?1)?(n?2)]×3n?1?(n?1)×3n．
?2Tn=31+32+?+3n?1?(n?1)×3n．
等比數列{3k}(k=1,2,?,n?1)的首項為3，公比為3，項數為n?1項，其和為3(1?3n?1)1?3=3n?32．
所以?2Tn=3n?32?(n?1)×3n=3n?3?2(n?1)×3n2=3n?3?2n×3n+2×3n2=(3?2n)3n?32．
則Tn=(2n?3)3n+34．
則數列{cn}的前n項和Tn=(2n?3)3n+34．

17.(1)設圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0．
把A(? 2,? 2)，B(?2,0)，C( 2, 2)三點分別代入方程可得：
(? 2)2+(? 2)2? 2D? 2E+F=0(?2)2?2D+F=0( 2)2+( 2)2+ 2D+ 2E+F=0
解得F=?4，D=0，E=0，
所以圓M的方程為x2+y2?4=0，其標準方程為x2+y2=4．
(2)設圓N的圓心N(a,b).因為圓N與圓M關于直線x?y+2=0對稱，
則直線MN與直線x?y+2=0垂直，且線段MN的中點在直線x?y+2=0上.
直線x?y+2=0的斜率為1，兩直線垂直斜率之積為?1，所以ba=?1(4)．
線段MN中點(a+02,b+02)在直線x?y+2=0上，即a2?b2+2=0(5)．
由(4)得b=?a，代入(5)式得：a2+a2+2=0，a+2=0，解得a=?2，則b=2．
所以圓N的圓心N(?2,2)，半徑與圓M相同為2．
則圓N的方程為(x+2)2+(y?2)2=4．
(3)當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=?1．
此時M(0,0)到直線l的距離d=1，弦長|EF|=2 r2?d2=2 4?1=2 3，滿足題意．
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y?12=k(x+1)，即kx?y+k+12=0．
圓心M(0,0)到直線l的距離d=|k+12| k2+1．
因|EF|=2 3，弦長公式|EF|=2 r2?d2得2 3=2 4?d2，兩邊平方得解得d=1．
所以|k+12| k2+1=1，兩邊平方得(k+12)2=k2+1．
展開得k2+k+14=k2+1，移項可得k=34．
則直線l的方程為y?12=34(x+1)，即3x?4y+5=0．
綜上所得，直線l的方程為x=?1或3x?4y+5=0．

18.(1)①如圖，取PA的中點F，連接EF,FB，有EF/?/AD，EF=12AD，
又BC//AD，BC=12AD，所以EF//BC,EF=BC，
所以四邊形BCEF是平行四邊形，所以CE/?/BF，
因為CE?平面PAB，BF?平面PAB，
所以CE//面PAB；
②如圖，取AD的中點O，連接OP,OB，
因為PA=PD,∠APD=90 °，所以AD⊥PO,PO=12AD=1，
由BC//AD,BC=OD=CD=1,CD⊥OD，
四邊形BCDO是正方形，有AD⊥BO,OB=1，
因為PO∩BO=O，PO,BO?平面PBO，
所以AD⊥平面PBO，因為AD?平面ABCD，
所以平面ABCD⊥平面PBO，
在平面PBO內作直線BO的垂線Oz，
則Oz⊥平面ABCD，有Oz⊥OB,Oz⊥OD，
以O坐標原點，分別以OB,OD,Oz所在直線為坐標軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為BC//AD，所以BC⊥平面PBO，因為BP?平面PBO，所以BC⊥BP，
由PC=2，CB=1，知BP= 3，
由cs∠BOP=OP2+OB2?BP22OP×OB=1+1?32×1×1=?12，知∠BOP=2π3，
從而有P(?12,0, 32)，A(0,?1,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0)，
有PA=(12,?1,? 32),AB=(1,1,0)，
設平面PAB的法向量為m=x,y,z，
由m?PA=12x?y? 32z=0m?PA=x+y=0，取x=1，則y=?1,z= 3，
得平面PAB的一個法向量為m=1,?1, 3，
因為CE//面PAB，所以C到平面PAB的距離即為直線CE與平面PAB間的距離，
又BC=(0,1,0)，所以C到平面PAB的距離d=|m?BC||m|=|0?1+0| 1+1+3= 55，
所以CE與平面PAB間的距離為 55．
(2)DP=(?12,?1, 32),CD=(?1,0,0)，
設DE=λDP=(?12λ,?λ, 32λ)(0≤λ≤1)，
CE=CD+DE=(?1,0,0)+(?12λ,?λ, 32λ)=(?1?12λ,?λ, 32λ)，
底面ABCD的一個法向量為n=(0,0,1)，
設直線CE與底面ABCD所成的角為θ，
所以sinθ=csCE,n=CE?nCE?n= 32λ1× (1+12λ)2+λ2+34λ2= 32λ 1+λ+2λ2
= 32 1λ+1+2λ≤ 32 2 1λ?2λ+1= 32 2 2+1，
當且僅當1λ=2λ，即λ= 22時取等號，此時DE=(? 24,? 22, 64)，
所以E到平面ABCD的距離為d=DE?nn= 641= 64，
又S?ACD=12×2×1=1，所以三棱錐E?ACD的體積為VE?ACD=13S?ACD?d=13×1× 64= 612．

19.(1)橢圓x2a2+y24=1(a>b>0)，其中b=2．
離心率e=ca(c為半焦距)，且e= 63，又c2=a2?b2，即c2=a2?4．
由e=ca= 63可得c= 63a，將其代入c2=a2?4，得到( 63a)2=a2?4．
即23a2=a2?4，解得a2=12．
所以橢圓的方程為x212+y24=1．
(2)過點A(0,1)且斜率為k的直線l方程為y=kx+1．
令y=0，可得x=?1k，所以B(?1k,0)．
設C(x1,y1)，D(x2,y2)，將y=kx+1代入橢圓方程x212+y24=1，得到x212+(kx+1)24=1．
化簡得(1+3k2)x2+6kx?9=0．
由韋達定理可得x1+x2=?6k1+3k2．
因為BC=DA，所以(x1+1k,y1)=(?x2,1?y2)，即x1+x2=?1k．
所以?6k1+3k2=?1k，兩邊同時乘以k(1+3k2)得?6k2=?(1+3k2)．
即?6k2=?1?3k2，解得k=± 33．
(3)由(1)知a=2 3，則“衛(wèi)星圓”半徑r= 3．
設“衛(wèi)星圓”方程為(x?m)2+(y?n)2=3，因為圓心(m,n)在橢圓x212+y24=1上，所以m212+n24=1，即m2+3n2=12．
設切線方程為y=tx，由圓心到切線的距離等于半徑可得|tm?n| 1+t2= 3．
整理得(m2?3)t2?2mnt+n2?3=0．
設切線OE，OF的斜率分別為t1，t2，則t1+t2=2mnm2?3，t1t2=n2?3m2?3．
將y=t1x代入橢圓方程x212+y24=1得(1+3t12)x2=12，則xE2=121+3t12，yE2=12t121+3t12，所以|OE|2=xE2+yE2=12(1+t12)1+3t12．
同理|OF|2=12(1+t22)1+3t22．
因為t1+t2=2mnm2?3，t1t2=n2?3m2?3，m2+3n2=12，
所以|OE|2+|OF|2=12(1+t12)1+3t12+12(1+t22)1+3t22=12×(1+t12)(1+3t22)+(1+t22)(1+3t12)(1+3t12)(1+3t22)
=12×2+4t1+t22?8?6t1t2t1t21+3t1+t22?6?9t1t2t1t2=12×2+42mnm2?32?8?6n2?3m2?3n2?3m2?31+32mnm2?32?6?9n2?3m2?3n2?3m2?3
=12×2m4+12m2+6n4+8m2n2?12n2m4+12m2+9n4+6m2n2?36n2+36
=12×212?3n22+1212?3n2+6n4+812?3n2n2?12n212?3n22+1212?3n2+9n4+612?3n2n2?36n2+36
=12×432?96n2324?72n2=16
所以|OE|2+|OF|2是定值16．

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