中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題52圖形折疊中的等腰三角形存在性問題(原卷版+解析)

這是一份中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題52圖形折疊中的等腰三角形存在性問題(原卷版+解析)，共68頁。
一、解答題
1．對于面積為S的三角形和直線l，將該三角形沿直線l折疊，重合部分的圖形面積記為，定義為該三角形關(guān)于直線l的對稱度．如圖，將面積為S的ABC沿直線l折疊，重合部分的圖形為，將的面積記為，則稱為ABC關(guān)于直線l的對稱度．
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0，3)，B(－3，0)，C(3，0)．
（1）過點(diǎn)M(m，0)作垂直于x軸的直線，
①當(dāng)時，ABC關(guān)于直線的對稱度的值是 ：
②若ABC關(guān)于直線的對稱度為1，則m的值是 ．
（2）過點(diǎn)N(0，n)作垂直于y軸的直線，求△ABC關(guān)于直線的對稱度的最大值．
（3）點(diǎn)P(－4，0)滿足，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t，0)，若存在直線，使得APQ關(guān)于該直線的對稱度為1，寫出所有滿足題意的整數(shù)t的值．
2．如圖1，在中，，，D為AC的中點(diǎn)，E為邊AB上一動點(diǎn)，連接DE，將沿DE翻折，點(diǎn)A落在AC上方點(diǎn)F處，連接EF，CF．
(1)判斷∠1與∠2是否相等并說明理由；
(2)若與以點(diǎn)C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形全等，求出的度數(shù)：
(3)翻折后，當(dāng)和的重疊部分為等腰三角形時，直接寫出的度數(shù)．
3．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組開展實(shí)踐探究活動，將三角形ABC紙片沿某條直線折疊，使其中一個角的頂點(diǎn)落在一邊上．在△ABC中，AB＝9，BC＝6．
(1)如圖1，若∠ACB＝90°，將△ABC沿CM折疊，使點(diǎn)B與邊AB上的點(diǎn)N重合，求BM的長
(2)如圖2，若∠ACB＝2∠A，將△ABC沿CM折疊，使點(diǎn)B與邊AC上的點(diǎn)N重合，
①求AC的長；
②若O是AC的中點(diǎn)，P為線段ON上的一個動點(diǎn)，將△APM沿PM折疊得到△A′PM，與相交于點(diǎn)，則的取值范圍為．
4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．
(1)如圖1，D為線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)C恰好落在AB邊上，求CD的長；
(2)如圖2，E為線段AB上一點(diǎn)，沿CE翻折△CBE得到△CEB′，若EB′∥AC，求證：AE＝AC；
(3)如圖3，D為線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱為點(diǎn)C′，是否存在異于圖1的情況的C′、B、D為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，若存在，請直接寫出BC′長；若不存在，請說明理由．
5．如圖1，已知直線y=﹣2x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，以O(shè)A、OC為邊在第一象限內(nèi)作長方形OABC．
(1)求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；
(2)將△ABC對折，使得點(diǎn)A的與點(diǎn)C重合，折痕交AB于點(diǎn)D，求直線CD的解析式（圖2）；
(3)在y軸上是否存在一點(diǎn)P（不與C重合），使得是等腰三角形，若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
6．問題背景
折紙是一種將紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動，折紙大約起源于公元1世紀(jì)或者2世紀(jì)時的中國，6世紀(jì)時傳入日本，再經(jīng)由日本傳到全世界，折紙與自然科學(xué)結(jié)合在一起，不僅成為建筑學(xué)院的教具，還發(fā)展出了折紙幾何學(xué)，成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個分支．今天折紙被應(yīng)用于世界各地，其中比較著名的是日本筑波大學(xué)的芳賀和夫發(fā)現(xiàn)的折紙幾何三定理，它已成為折紙幾何學(xué)的基本定理．
芳賀折紙第一定理的操作過程及內(nèi)容如下：
第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD對折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合．再將正方形ABCD展開，得到折痕EF；
第二步：將正方形紙片的右下角向上翻折，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，邊BC翻折至的位置，得到折痕MN，與AB交于點(diǎn)P．
則點(diǎn)P為AB的三等分點(diǎn)，即．
問題解決
如圖1，若正方形ABCD的邊長是2．
(1)CM的長為______；
(2)請通過計(jì)算AP的長度，說明點(diǎn)P是AB的三等分點(diǎn)．
類比探究
(3)將長方形紙片按問題背景中的操作過程進(jìn)行折疊，如圖2，若折出的點(diǎn)P也為AB的三等分點(diǎn)，請直接寫出的值．
7．綜合與實(shí)踐
在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們探究等腰直角三角形中的折疊問題．
問題情境：
如圖，在中，，，點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動，點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)動．
探究發(fā)現(xiàn)：
(1)如圖2，當(dāng)沿DE折疊，點(diǎn)B落在邊AC的點(diǎn)處，且時，發(fā)現(xiàn)四邊形是菱形．請證明；
探究拓廣：
(2)如圖3，奇異小組同學(xué)的折疊方法是沿DE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，延長交AC于點(diǎn)F，，點(diǎn)G在邊BC上運(yùn)動，沿FG折疊使點(diǎn)C落在線段的中點(diǎn)處，求線段DF的長；
探究應(yīng)用：
(3)沿DE折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊AC的三等分點(diǎn)處，請借助圖1探究，并直接寫出BD的長．
8．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在四邊形OABC中，頂點(diǎn)A（0，2），，，且點(diǎn)B在第一象限，△OAB是等邊三角形．
(1)如圖①，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)如圖②，將四邊形OABC沿直線EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，求點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；
(3)如圖③，若將四邊形OABC沿直線EF折疊，使，設(shè)點(diǎn)A對折后所對應(yīng)的點(diǎn)為，△AEF與四邊形EOBF的重疊面積為S，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，m）（0＜m＜1），請直接寫出S與m的函數(shù)關(guān)系式．
9．如圖，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，點(diǎn)P在直線OA上運(yùn)動，連接PB，將△OBP沿直線BP折疊，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)記為O′．
（1）若AP＝AB，則點(diǎn)P到直線AB的距離是 ；
（2）若點(diǎn)O′恰好落在直線AB上，求△OBP的面積；
（3）將線段PB繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)45°得到線段PC，直線PC與直線AB的交點(diǎn)為Q，在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，是否存在某一位置，使得△PBQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出OP的長；若不存在，請說明理由．
10．定義：若a，b，c是△ABC的三邊，且a2+b2＝2c2，則稱△ABC為“方倍三角形”．
（1）對于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是 ．
A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜邊AB＝，則該三角形的面積為 ；
（3）如圖，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P為AC邊上一點(diǎn)，將△ABP沿直線BP進(jìn)行折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，連接CD，AD．若△ABD為“方倍三角形”，且AP＝，求△PDC的面積．
11．如圖1，在中，，，為邊上的中線．
（1）求的長；
（2）動點(diǎn)的速度為，運(yùn)動時間為秒．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)移動時，若是以為腰的等腰三角形，請你求出所有滿足條件的的值．
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)移動時，將沿直線對折，點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，當(dāng)與重疊部分為直角三角形時，請直接寫出的值為_________
12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（5，0），以原點(diǎn)O為圓心、3為半徑作⊙O，⊙O與x軸交于點(diǎn)B、C．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿y軸正半軸運(yùn)動，運(yùn)動時間為t（s）．連結(jié)AP，將△OAP沿AP翻折，得到△APQ．
（1）當(dāng)△OAQ為等邊三角形時，請直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若△ABQ為直角三角形時，請求出t的值；
（3）求△APQ有一邊所在直線與⊙O相切時，請直接寫出t的值．
13．（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，在RtABC中，∠C＝2∠B＝90°，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，沿AD折疊ADC，使得點(diǎn)C恰好落在AB上的點(diǎn)E處，請寫出AB、AC、CD之間的關(guān)系？并說明理由．
（2）問題解決：如圖②，若（1）中∠C≠90°，其他條件不變，請猜想AB、AC、CD之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）類比探究：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝90°，AB＝BC，AD＝BC，連接AC，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，沿AE折疊，使得點(diǎn)D正好落在AC上的點(diǎn)F處，若BC＝3，求出DE的長．
14．我們知道平行四邊形有很多性質(zhì),現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論．
【發(fā)現(xiàn)與證明】
中，，將沿翻折至，連結(jié)．
結(jié)論1：與重疊部分的圖形是等腰三角形．
結(jié)論2：；
……
(1)請利用圖1證明結(jié)論1或結(jié)論2；
【應(yīng)用與探究】
在中，已知，將沿翻折至，連結(jié)．
(2)如圖，若，，則_____，_____；
(3)已知，當(dāng)長為多少時，是直角三角形？請直接寫出答案
15．如圖，在平行四邊形紙片ABCD中，AD＝6cm，將紙片沿對角線BD對折，邊AB的對應(yīng)邊BF與CD邊交于點(diǎn)E，此時△BCE恰為等邊三角形．
（1）求AB的長度；
（2）重疊部分的面積為 ；
（3）將線段BC沿射線BA方向移動，平移后的線段記作B'C'，請直接寫出B'F+C'F的最小值．
16．定義：有三個角相等的四邊形叫做三等角四邊形．
（1）在三等角四邊形中，，則的取值范圍為_______；
（2）如圖，折疊平行四邊形，使得頂點(diǎn)分別落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．求證：四邊形為三等角四邊形；
（3）如圖，在三等角四邊形中，，若，，，則的長度為_______．
17．綜合與實(shí)踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點(diǎn)，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
獨(dú)立思考：（1）請解答老師提出的問題；
實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將沿著（為的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，連接并延長交于點(diǎn)，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過點(diǎn)的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為，使于點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．該小組提出一個問題：若此的面積為20，邊長，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請你思考此問題，直接寫出結(jié)果．
18．綜合與實(shí)踐
在一次綜合實(shí)踐活動課上，數(shù)學(xué)王老師給每位同學(xué)各發(fā)了一張正方形紙片，要求同學(xué)們僅通過折紙的方法來確定該正方形一邊上的一個三等分點(diǎn)．
“啟航”小組的同學(xué)在經(jīng)過一番思考和討論交流后，進(jìn)行了如下的操作：
第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD的一條邊AD對折，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，得到AD的中點(diǎn)E，然后展開鋪平；
第二步：如圖2，將CD邊沿CE翻折到CF的位置；
第三步：如圖3，再將BC沿過點(diǎn)C的直線翻折，使點(diǎn)B和點(diǎn)F重合，折痕與AB邊交于點(diǎn)G．
他們認(rèn)為：該點(diǎn)G就是AB邊的一個三等分點(diǎn)．
(1)試證明上面的結(jié)論：
(2)“奮進(jìn)”小組的同學(xué)是這樣操作的：
第一步：先將正方形紙片ABCD的一條邊AD對折，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，找到AD的中點(diǎn)E；
第二步：再折出正方形紙片ABCD的對角線AC，以及點(diǎn)B和點(diǎn)E的連線BE，這兩條折痕相交于點(diǎn)F；
第三步：最后，過點(diǎn)F折出AB的平行線GN，分別與AD，BC交于點(diǎn)G和點(diǎn)N．
①請根據(jù)上面的描述，在圖4中畫出所有的折痕，確定點(diǎn)G和點(diǎn)N的位置；
②請結(jié)合①中所畫的圖形，判斷點(diǎn)G是否為AD邊的三等分點(diǎn)，并說明理由．
專題52 圖形折疊中的等腰三角形存在性問題
【題型演練】
一、解答題
1．對于面積為S的三角形和直線l，將該三角形沿直線l折疊，重合部分的圖形面積記為，定義為該三角形關(guān)于直線l的對稱度．如圖，將面積為S的ABC沿直線l折疊，重合部分的圖形為，將的面積記為，則稱為ABC關(guān)于直線l的對稱度．
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0，3)，B(－3，0)，C(3，0)．
（1）過點(diǎn)M(m，0)作垂直于x軸的直線，
①當(dāng)時，ABC關(guān)于直線的對稱度的值是 ：
②若ABC關(guān)于直線的對稱度為1，則m的值是 ．
（2）過點(diǎn)N(0，n)作垂直于y軸的直線，求△ABC關(guān)于直線的對稱度的最大值．
（3）點(diǎn)P(－4，0)滿足，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t，0)，若存在直線，使得APQ關(guān)于該直線的對稱度為1，寫出所有滿足題意的整數(shù)t的值．
【答案】（1）①；②0；（2）；（3）4或1或-9
【分析】（1）①作圖，求出，再根據(jù)定義求值即可；②通過數(shù)形結(jié)合的思想即可得到；
（2）根據(jù)求△ABC關(guān)于直線的對稱度的最大值，即是求最大值即可；
（3）存在直線，使得APQ關(guān)于該直線的對稱度為1，即轉(zhuǎn)變?yōu)锳PQ是等腰三角形，需要分類進(jìn)行討論，分；；，同時需要滿足t的值為整數(shù)．
【詳解】解：（1）①當(dāng)時，根據(jù)題意作圖如下：
，
為等腰直角三角形，
，
，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，
，
，
關(guān)于直線的對稱度的值是：，
故答案是：；
②如圖：
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，當(dāng)時，有
,
ABC關(guān)于直線的對稱度為1，
故答案是：0；
（2）過點(diǎn)N(0，n)作垂直于y軸的直線，要使得△ABC關(guān)于直線的對稱度的最大值，
則需要使得最大，如下圖：
當(dāng)時，取到最大，
根據(jù)，可得為的中位線，
，
，
△ABC關(guān)于直線的對稱度的最大值為：；
（3）若存在直線，使得APQ關(guān)于該直線的對稱度為1，
即為等腰三角形即可，
①當(dāng)時，為等腰三角形，如下圖：
，
；
②當(dāng)時，為等腰三角形，當(dāng)Q在P右側(cè)時，如下圖：
，
；
同理，當(dāng)Q在P左側(cè)時，t=-9
③當(dāng)時，為等腰三角形，如下圖：
設(shè)，則，
根據(jù)勾股定理：，
，
解得：，
（不是整數(shù)，舍去），
綜上：滿足題意的整數(shù)的值為：4或1或-9．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的折疊，對稱類新概念問題、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是讀懂題干信息，搞懂對稱度的概念，再結(jié)合數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想進(jìn)行求解．
2．如圖1，在中，，，D為AC的中點(diǎn)，E為邊AB上一動點(diǎn)，連接DE，將沿DE翻折，點(diǎn)A落在AC上方點(diǎn)F處，連接EF，CF．
(1)判斷∠1與∠2是否相等并說明理由；
(2)若與以點(diǎn)C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形全等，求出的度數(shù)：
(3)翻折后，當(dāng)和的重疊部分為等腰三角形時，直接寫出的度數(shù)．
【答案】(1)，理由見解析
(2)70°
(3)或或70°
【分析】（1）由沿翻折可知， 可知為等腰三角形，，，計(jì)算求解即可；
（2）與全等，分兩種情況討論；①，，，求的值然后判斷此時與是否全等，若全等，則的值即為所求；②，，，求的值然后判斷此時與是否全等，若全等，則的值即為所求；
（3）分情況討論①由題意知（2）中時符合題意，②如圖3，重合部分的等腰三角形中，，，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理即，計(jì)算求解即可；③如圖4，重合部分的等腰三角形，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理即，計(jì)算求解即可.
【詳解】（1）解：
由沿翻折可知
∵為的中點(diǎn)
∴
∴為等腰三角形
∴
∵
∴
∴．
（2）解：∵，是等腰三角形，與全等
∴①如圖1，當(dāng)時，為等腰三角形，為等腰三角形
∴，
∵
∴
∴當(dāng)時，點(diǎn)在的下方，不符合題意；
又∵，
∴與不全等，舍去；
②如圖2
當(dāng)時，為等腰三角形，為等腰三角形
∴
∴
∴四邊形AEFD、CDEF均是平行四邊形
∴與全等
∴
∴當(dāng)時，與全等，；
綜上所述，若 與以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形全等，的值為．
（3）解：①由（2）中圖2可知當(dāng)時，在內(nèi)，此時兩個三角形的重疊部分為等腰三角形；
②如圖3，為與重合的等腰三角形
∴，
∵，
∴
∴
∴；
③如圖4，為與重合的等腰三角形
∴
∵，
∴
∴
∴；
綜上所述，當(dāng)和的重疊部分為等腰三角形時，的值為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形，幾何圖形折疊對稱，三角形全等，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角等知識．解題的關(guān)鍵在于正確的分析可能存在的情況．
3．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組開展實(shí)踐探究活動，將三角形ABC紙片沿某條直線折疊，使其中一個角的頂點(diǎn)落在一邊上．在△ABC中，AB＝9，BC＝6．
(1)如圖1，若∠ACB＝90°，將△ABC沿CM折疊，使點(diǎn)B與邊AB上的點(diǎn)N重合，求BM的長
(2)如圖2，若∠ACB＝2∠A，將△ABC沿CM折疊，使點(diǎn)B與邊AC上的點(diǎn)N重合，
①求AC的長；
②若O是AC的中點(diǎn)，P為線段ON上的一個動點(diǎn)，將△APM沿PM折疊得到△A′PM，與相交于點(diǎn)，則的取值范圍為．
【答案】(1)；
(2)①；②．
【分析】（1）由題意得，從而可得，然后證明，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可以求出答案，
（2）①由∠ACB＝2∠A及將△ABC沿CM折疊，使點(diǎn)B與邊AC上的點(diǎn)N重合，得，從而論證，利用相似三角形三邊對應(yīng)成比例求出答案；②利用折疊得到，從而得到，利用相似三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)最長為OA的長，最短為AN的長，從而求出答案.
【詳解】（1）解：如圖1，
將△ABC沿CM折疊，使點(diǎn)B與邊AB上的點(diǎn)N重合，
，
，
∠ACB＝90°，
，
，
，
，
AB＝9，BC＝6，
，
；
（2）解：①如圖2，
將△ABC沿CM折疊，使點(diǎn)B與邊AC上的點(diǎn)N重合，BC＝6，
，
∠ACB＝2∠A，
，
，
，
，
AB＝9，BC＝6，
，
；
，AB＝9，
；
，AB＝9，BC＝6，
，
；
②如圖4，
將△APM沿PM折疊得到△A′PM，
，
，
，
，
，
，
P為線段ON上的一個動點(diǎn)，，
最長，最短，
，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)定理找到三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．
4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．
(1)如圖1，D為線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)C恰好落在AB邊上，求CD的長；
(2)如圖2，E為線段AB上一點(diǎn)，沿CE翻折△CBE得到△CEB′，若EB′∥AC，求證：AE＝AC；
(3)如圖3，D為線段BC上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱為點(diǎn)C′，是否存在異于圖1的情況的C′、B、D為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，若存在，請直接寫出BC′長；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】（1）首先勾股定理得AB=5，再由對稱性得AC'=AC=4，得BC'=1，在Rt△BC'D中，利用勾股定理列方程即可；
（2）由翻折得∠B'=∠B，∠B'CE=∠BCE，再根據(jù)∠AEC=∠B+∠BCE，∠ACE=∠B'CA+∠B'CE，可得∠AEC=∠ACE，從而證明結(jié)論；
（3）當(dāng)∠C'BD=90°時，過點(diǎn)A作AE⊥AC，交BC'延長線于點(diǎn)E，設(shè)BC'為x，則C'E=4-x，在Rt△AC'E中，由勾股定理得，（4-x）2+32=42，解方程從而解決問題．
(1)
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
∵點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)C′恰好落在AB邊上，
∴AC'=AC=4，
∴BC'=1，
在Rt△BC'D中，由勾股定理得，
（3-CD）2=12+CD2，
解得：CD=；
(2)
證明：∵沿CE翻折△CBE得到△CEB′，
∴∠B'=∠B，∠B'CE=∠BCE，
∵EB'∥AC，
∴∠B'=∠B'CA=∠B，
∴∠AEC=∠B+∠BCE，∠ACE=∠B'CA+∠B'CE，
∴∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC；
(3)
存在，BC'=，
∵∠ADC＞45°，
∴∠BDC'不可能為90°，
當(dāng)BC'⊥BC時，過點(diǎn)A作AE⊥AC，交BC'延長線于點(diǎn)E，
∵∠C=∠C'BD=90°=∠E，
∴四邊形ACBE為矩形，設(shè)BC'為x，則C'E=4-x，
∵△ACD翻折后得到△AC'D，
∴AC'=AC=4，
∵AE=BC=3，
在Rt△AC'E中，由勾股定理得，
∴（4-x）2+32=42，
解得：x=，
∵x＜4，
∴x=，
即BC′長為．
【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了翻折變換，勾股定理，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，運(yùn)用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵，同時滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想．
5．如圖1，已知直線y=﹣2x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，以O(shè)A、OC為邊在第一象限內(nèi)作長方形OABC．
(1)求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；
(2)將△ABC對折，使得點(diǎn)A的與點(diǎn)C重合，折痕交AB于點(diǎn)D，求直線CD的解析式（圖2）；
(3)在y軸上是否存在一點(diǎn)P（不與C重合），使得是等腰三角形，若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)A（2，0），C（0，4）
(2)
(3)存在，或或或
【分析】(1)已知直線y=?2x+8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，即可求得A和C的坐標(biāo)；
(2)根據(jù)題意可知△ACD是等腰三角形，由折疊的性質(zhì)和勾股定理可求出AD長，即可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，最后即可求出CD的解析式；
(3)分三種性質(zhì)分別計(jì)算，即可找出符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
(1)
解：當(dāng)x=0時，y=4，
C（0，4）；
當(dāng)y=0時，-2x+4=0，解得，
A（2，0）；
(2)
解：∵A（2，0），C（0，4），
∴OA=2,OC=4，
又∵四邊形OABC是矩形，
∴BC=OA=2，AB=OC=4，
由折疊性質(zhì)可知：CD=AD．設(shè)AD=x，則CD=x，BD=4﹣x，
根據(jù)勾股定理得：，得，
解得：，
此時，，，
設(shè)直線CD為y=kx+4，把代入得，，
解得：
∴直線CD解析式為；
(3)
解：存在y軸上的點(diǎn)P）使得是等腰三角形，
理由如下：
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,m)，
則，，
由(2)知，
①當(dāng)CP=CD時，，
即，
解得或，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)是或；
②當(dāng)DC=DP時，，
即，
解得或，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)是或(舍去)；
③當(dāng)PC=PD時，，
即，
解得，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)是；
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象及其性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
6．問題背景
折紙是一種將紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動，折紙大約起源于公元1世紀(jì)或者2世紀(jì)時的中國，6世紀(jì)時傳入日本，再經(jīng)由日本傳到全世界，折紙與自然科學(xué)結(jié)合在一起，不僅成為建筑學(xué)院的教具，還發(fā)展出了折紙幾何學(xué)，成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個分支．今天折紙被應(yīng)用于世界各地，其中比較著名的是日本筑波大學(xué)的芳賀和夫發(fā)現(xiàn)的折紙幾何三定理，它已成為折紙幾何學(xué)的基本定理．
芳賀折紙第一定理的操作過程及內(nèi)容如下：
第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD對折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合．再將正方形ABCD展開，得到折痕EF；
第二步：將正方形紙片的右下角向上翻折，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，邊BC翻折至的位置，得到折痕MN，與AB交于點(diǎn)P．
則點(diǎn)P為AB的三等分點(diǎn)，即．
問題解決
如圖1，若正方形ABCD的邊長是2．
(1)CM的長為______；
(2)請通過計(jì)算AP的長度，說明點(diǎn)P是AB的三等分點(diǎn)．
類比探究
(3)將長方形紙片按問題背景中的操作過程進(jìn)行折疊，如圖2，若折出的點(diǎn)P也為AB的三等分點(diǎn)，請直接寫出的值．
【答案】(1)
(2)說明見解析
(3)
【分析】（1）設(shè)，則，，在中，由勾股定理可得：，進(jìn)而得出的長；
（2）先證△AEP∽△DME，由（1）可知：，再求得，即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)，，，由勾股定理可得： ，∽，，即，解得，從而得到解得， 得到，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)，則，，
在中，由勾股定理可得：，
即，
解得，
∴,
故答案為；
（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝2，
∴∠DEM＋∠DME＝90°，
由折疊的性質(zhì)可知：∠PEM＝∠C＝90°，
∴∠AEP＋∠DEM＝180°－∠PEM＝90°，
∴∠AEP＝∠DME，
又∵∠A＝∠D＝90°，
∴△AEP∽△DME，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴．
即點(diǎn)P為AB的三等分點(diǎn)．
（3）解：設(shè)，，，
在中，由勾股定理可得：，
即，
，
，，
，
又，
∽，
,即，
即，
把代入得，，
解得，
把代入，
解得，（舍去）
∵AC2=AB2+BC2
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是證明三角形相似.
7．綜合與實(shí)踐
在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們探究等腰直角三角形中的折疊問題．
問題情境：
如圖，在中，，，點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動，點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)動．
探究發(fā)現(xiàn)：
(1)如圖2，當(dāng)沿DE折疊，點(diǎn)B落在邊AC的點(diǎn)處，且時，發(fā)現(xiàn)四邊形是菱形．請證明；
探究拓廣：
(2)如圖3，奇異小組同學(xué)的折疊方法是沿DE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，延長交AC于點(diǎn)F，，點(diǎn)G在邊BC上運(yùn)動，沿FG折疊使點(diǎn)C落在線段的中點(diǎn)處，求線段DF的長；
探究應(yīng)用：
(3)沿DE折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊AC的三等分點(diǎn)處，請借助圖1探究，并直接寫出BD的長．
【答案】(1)見解析
(2)DF的長是
(3)或
【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得，，，再由平行和等角對等邊可證得，即可證明．
（2）由（1）可得四邊形和四邊形是菱形，則可得AF、DF都可以用BD進(jìn)行表示，再用三角函數(shù)列出方程求解即可．
（3）分成兩種情況：靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)和靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)，然后設(shè)未知數(shù)用勾股定理列方程即可求得．
（1）
證明：∵沿DE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴四邊形是菱形．
（2）
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，四邊形和四邊形是菱形，
∴，，
∵的中點(diǎn)是點(diǎn)，
∴，
∴，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴．解得，
∴，
∴線段DF的長是．
（3）
當(dāng) 在靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)時， ，
∵沿DE折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)，
∴設(shè) ，則 ，
在中， ，
，
即 ，
解得： ，
當(dāng) 在靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)時， ，
∵沿DE折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)，
∴設(shè) ，則 ，
在中， ，
，
即 ，
解得： ，
或者 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的折疊性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理以及分類討論的思想方法；熟練掌握圖像折疊性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
8．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在四邊形OABC中，頂點(diǎn)A（0，2），，，且點(diǎn)B在第一象限，△OAB是等邊三角形．
(1)如圖①，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)如圖②，將四邊形OABC沿直線EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，求點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；
(3)如圖③，若將四邊形OABC沿直線EF折疊，使，設(shè)點(diǎn)A對折后所對應(yīng)的點(diǎn)為，△AEF與四邊形EOBF的重疊面積為S，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，m）（0＜m＜1），請直接寫出S與m的函數(shù)關(guān)系式．
【答案】(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)
(2)點(diǎn)E坐標(biāo)為，點(diǎn)F坐標(biāo)為
(3)（0＜m＜1）
【分析】（1）根據(jù)A的坐標(biāo)得到OA的長，由B與C的橫坐標(biāo)相同得到BC垂直于x軸，再由三角形ABO為等邊三角形，得到OA=OB=AB=2，且求出∠OBC為30度，在直角三角形OBC中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出n的值，即可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，y），在中，根據(jù)勾股定理列方程即可解出y的值，進(jìn)而得出過F作FM垂直于CB，設(shè)MB=x，求出∠MBF為60度，在直角三角形MBF中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半表示出FB，再利用勾股定理表示出FM，在直角三角形MCF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，進(jìn)而求出點(diǎn)F坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，m）（0＜m＜1），可判斷出點(diǎn)A'落在四邊形EOBF外，重合部分面積兩等邊三角形與面積之差，表示出S與m關(guān)系式即可．
【詳解】（1）解∶∵，，，
BC⊥x軸，OA=2，
∵△ABO為等邊三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∴在中，
∠BOC=30°，OB=2
∴，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）解∶設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，y），
由折疊的性質(zhì)可得，
在中，，
解得：，則點(diǎn)E坐標(biāo)為，
作FM⊥CB于點(diǎn)M，如下圖
設(shè)，
∵，
在中，
，，
在中，
根據(jù)勾股定理得：，
解得：，
，
則點(diǎn)F坐標(biāo)為．
（3）解：∵EF∥OB，
∴為等邊三角形，
∴為等邊三角形，
∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，m）（0＜m＜1），
此時點(diǎn)A'落在四邊形EOBF外時，如下圖所示，
由題意可得，
，
∵，又，
是等邊三角形，，
，
，
得（0＜m＜1）
【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換中折疊的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，牢固掌握以上知識點(diǎn)和會作輔助線是做出本題的關(guān)鍵，此題是一道綜合性較強(qiáng)的試題．
9．如圖，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，點(diǎn)P在直線OA上運(yùn)動，連接PB，將△OBP沿直線BP折疊，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)記為O′．
（1）若AP＝AB，則點(diǎn)P到直線AB的距離是 ；
（2）若點(diǎn)O′恰好落在直線AB上，求△OBP的面積；
（3）將線段PB繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)45°得到線段PC，直線PC與直線AB的交點(diǎn)為Q，在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，是否存在某一位置，使得△PBQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出OP的長；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）4；（2）或；（3）存在，0或4+4或4﹣4或4
【分析】（1）接BP，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為h，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
（2）①當(dāng)P在的右側(cè)，求OP＝O'P＝AO'＝4﹣4，根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論；②當(dāng)P在的左側(cè)，同理可得結(jié)論；
（3）分4種情況：①當(dāng)BQ＝QP時，如圖2，P與O重合，②當(dāng)BP＝PQ時，如圖3，③當(dāng)PB＝PQ時，如圖4，此時Q與C重合；④當(dāng)PB＝BQ時，如圖5，此時Q與A重合，則P與A關(guān)于軸對稱，根據(jù)圖形和等腰三角形的性質(zhì)可計(jì)算OP的長．
【詳解】解：（1）連接BP，
設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為h，
Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，
∴AB＝＝4，
∵AP＝AB，
∴AP＝AB＝4，
∴S△ABP＝AB?h＝AP?OB，
∴h＝OB＝4，
即點(diǎn)P到直線AB的距離是4，
故答案為：4；
（2）存在兩種情況：
①如圖1，當(dāng)P在的右側(cè)，點(diǎn)O′恰好落在直線AB上，則OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，
∵OB＝OA＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝4，∠OAB＝45°，
由折疊得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，
∴△OBP≌△O'BP（AAS），
∴O'B＝OB＝4，
∴AO'＝4﹣4，
Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，
∴S△BOP＝OB?OP＝＝8﹣8；
②如圖所示：當(dāng)P在的左側(cè)，
由折疊得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，
∵∠BAO＝45°，
∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，
∴S△BOP＝OB?OP＝×4×（4+4）＝8+8；
（3）分4種情況：
①當(dāng)BQ＝QP時，如圖2，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，此時OP＝0；
②當(dāng)BP＝PQ時，如圖3，
∵∠BPC＝45°，
∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，
∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，
∴∠APB＝22.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AP＝AB＝4，
∴OP＝4+4；
③當(dāng)PB＝PQ時，如圖4，此時Q與C重合，
∵∠BPC＝45°，
∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，
△PCA中，∠APC＝22.5°，
∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP＝4，
∴OP＝4﹣4；
④當(dāng)PB＝BQ時，如圖5，此時Q與A重合，則P與A關(guān)于對稱，
∴此時OP＝4；
綜上，OP的長是0或4+4或4﹣4或4．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，作出圖形分類討論是解題的關(guān)鍵．
10．定義：若a，b，c是△ABC的三邊，且a2+b2＝2c2，則稱△ABC為“方倍三角形”．
（1）對于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是 ．
A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜邊AB＝，則該三角形的面積為 ；
（3）如圖，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P為AC邊上一點(diǎn)，將△ABP沿直線BP進(jìn)行折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，連接CD，AD．若△ABD為“方倍三角形”，且AP＝，求△PDC的面積．
【答案】（1）A；（2）；（3）－1
【分析】（1）根據(jù)“方倍三角形”定義可得，等邊三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”進(jìn)而可以判斷；
（2）設(shè)Rt△ABC其余兩條邊為a，b，滿足a2＋b2＝3，根據(jù)“方倍三角形”定義，還滿足：a2＋3＝2b2，即可得a和b的值，進(jìn)而可得直角三角形的面積；
（3）根據(jù)題意可得△ABP≌△DBP，根據(jù)“方倍三角形”定義可得△ABD為等邊三角形，從而證明△APD為等腰直角三角形，可得AP＝DP＝ ，延長BP交AD于點(diǎn)E，根據(jù)勾股定理求出BE的長，根據(jù)△PBC為等腰直角三角形，可得PC＝PB＝ ，進(jìn)而可以求△PDC的面積．
【詳解】解：（1）對于①等邊三角形，三邊相等，
設(shè)邊長為a，
則a2＋a2＝2a2，
根據(jù)“方倍三角形”定義可知：
等邊三角形一定是“方倍三角形”；
對于②直角三角形，三邊滿足關(guān)系式：
a2＋b2＝c2，
根據(jù)“方倍三角形”定義可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
故答案為：A；
（2）設(shè)Rt△ABC其余兩條邊為a，b，
則滿足a2＋b2＝3，
根據(jù)“方倍三角形”定義，還滿足：
a2＋3＝2b2，
聯(lián)立解得 ，
則Rt△ABC的面積為：；
故答案為：；
（3）由題意可知：
△ABP≌△DBP，
∴BA＝BD，∠ABP＝∠DBP，
根據(jù)“方倍三角形”定義可知：
BA2+BD2＝2AD2＝2BA2，
∴AD＝AB＝BD，
∴△ABD為等邊三角形，∠BAD＝60°，
∴∠ABP＝∠DBP＝30°，
∴∠PBC＝90°，
∵∠CPB＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DPC＝90°，
∵∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝15°，
∴∠CAD＝45°，
∴△APD為等腰直角三角形，
∴AP＝DP＝ ，
∴AD＝2，
延長BP交AD于點(diǎn)E，如圖，
∵∠ABP＝∠PBD，
∴BE⊥AD，PE＝AD＝AE＝1，
∴BE＝，
∴PB＝BE﹣PE＝ ﹣1，
∵∠CPB＝∠PCB＝45°，
∴△PBC為等腰直角三角形，
∴PC＝PB＝，
∴S△PDC＝PC?PD＝（）×＝﹣1．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)．
11．如圖1，在中，，，為邊上的中線．
（1）求的長；
（2）動點(diǎn)的速度為，運(yùn)動時間為秒．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)移動時，若是以為腰的等腰三角形，請你求出所有滿足條件的的值．
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)移動時，將沿直線對折，點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，當(dāng)與重疊部分為直角三角形時，請直接寫出的值為_________
【答案】（1）；（2）為或，是以為腰的等腰三角形；（3）當(dāng)與重疊部分為直角三角形時，，，．
【分析】（1）由，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，，根據(jù)勾股定理得出即可；
（2）根據(jù)BP=2t,是以為腰的等腰三角形，分兩種情況；當(dāng)時，，列方程2t=5；當(dāng)時，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理得到求出，列方程解方程即可；
（3）當(dāng)與重疊部分為直角三角形時，分三種情況，當(dāng)時，得出，列方程；當(dāng)時，PE⊥AC，根據(jù)面積，根據(jù)勾股定理，列方程；當(dāng)時，交AC于G，EG⊥AC，根據(jù)面積，根據(jù)勾股定理，，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理得到，再列方程，解方程即可．
【詳解】解：（1）∵，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴，
∴根據(jù)勾股定理得出；
（2）∵動點(diǎn)的速度為，運(yùn)動時間為秒，
∴BP=2t,
∵是以為腰的等腰三角形，分兩種情況；
當(dāng)時，，
∴2t=5,
∴；
當(dāng)時，設(shè)，則，，
根據(jù)勾股定理得到，
解得，
，
∴，
∴ ，
綜上所述，為或，是以為腰的等腰三角形；
（3）當(dāng)與重疊部分為直角三角形時，分三種情況，
當(dāng)時，
∵AE⊥BC，
∴，
∴，
∵折疊，
∴，
∴，
得出，
∴，
解得；
當(dāng)時，PE⊥AC，
∴S△AEC=，
即，
在Rt△EPC中根據(jù)勾股定理，
，
解得；
當(dāng)時，交AC于G，EG⊥AC，
∴S△AEC=，
即，
在Rt△EPC中根據(jù)勾股定理，
，
設(shè)，則，，
在Rt△PGC′中
根據(jù)勾股定理，
得到，
解得，
，
；
綜上所述：當(dāng)與重疊部分為直角三角形時，，，．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，直角三角形性質(zhì)，折疊性質(zhì)，分類思想運(yùn)用，解方一元一次方程，圖形動點(diǎn)，本題難度不大，涉及知識較多，掌握以上知識，根據(jù)點(diǎn)P的位置畫出準(zhǔn)確圖形是解題關(guān)鍵．
12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（5，0），以原點(diǎn)O為圓心、3為半徑作⊙O，⊙O與x軸交于點(diǎn)B、C．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿y軸正半軸運(yùn)動，運(yùn)動時間為t（s）．連結(jié)AP，將△OAP沿AP翻折，得到△APQ．
（1）當(dāng)△OAQ為等邊三角形時，請直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若△ABQ為直角三角形時，請求出t的值；
（3）求△APQ有一邊所在直線與⊙O相切時，請直接寫出t的值．
【答案】（1）（0，）；（2）5；（3）或或或15．
【分析】（1）如圖，連接OQ，交PA于D，根據(jù)點(diǎn)A 坐標(biāo)可得OA的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得PA垂直平分OQ，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得OQ=OA，∠AOQ=60°，可得∠POQ=30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得PQ=OP，利用勾股定理即可求出OP的長，即可得點(diǎn)P坐標(biāo)；
（2）分∠BAQ=90°，∠AQB=90°，∠ABQ=90°三種情況，根據(jù)折疊的性質(zhì)及勾股定理分別求出OP的長即可得答案；
（3）分AQ與⊙O在x軸上方相切、AP與⊙O相切、PQ所在直線與⊙O相切、AQ所在直線與⊙O在x軸下方相切四種情況，根據(jù)三角形面積公式、勾股定理及相似三角形的性質(zhì)分別求出OP的長即可得答案．
【詳解】（1）如圖，連接OQ，交PA于D，
∵點(diǎn)A（5，0），
∴OA=5，
∵將△OAP沿AP翻折，得到△APQ，
∴PA垂直平分OQ，
∵△OAQ為等邊三角形，
∴OQ=OA=5，∠AOQ=60°，OD=OQ=，
∴∠POQ=30°，
∴PQ=OP，
在Rt△POD中，OP2=OD2+PD2，即OP2=（）2+，
解得：OP=，
∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿y軸正半軸運(yùn)動，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，）．
（2）①如圖，當(dāng)∠BAQ=90°時，連接OQ，
∵將△OAP沿AP翻折，得到△APQ，
∴OA=AQ，OP=PQ，
∴△OAQ是等腰直角三角形，
∴∠AOQ=45°，
∴∠POQ=45°，
∴∠POQ=∠PQO=45°，
∴∠OPQ=90°，
∴四邊形POAQ是正方形，
∴OP=OA=5，
∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿y軸正半軸運(yùn)動，
∴．
②當(dāng)∠AQB=90°時，
∵將△OAP沿AP翻折，得到△APQ，
∴OA=AQ=5，OP=PQ，∠AQP=∠AOP=90°，
∵∠AQB=90°，
∴點(diǎn)B、P、Q三點(diǎn)在同一條直線上，
∵以原點(diǎn)O為圓心、3為半徑作⊙O，⊙O與x軸交于點(diǎn)B、C，
∴OB=3，
∴AB=OB+OA=8，
∴BQ===，
∴BP=BQ-PQ=BQ-OP，
在Rt△OBP中，OP2=BP2-OB2，即OP2=（-OP）2-32，
解得：OP=，
∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿y軸正半軸運(yùn)動，
∴．
③當(dāng)∠ABQ=90°時，
∵A（5，0），點(diǎn)P在y軸正半軸，將△OAP沿AP翻折，得到△APQ，
∴點(diǎn)Q在第一象限，
∴∠ABQ≠90°，不符合題意，
綜上所述：t的值為5或．
（3）①如圖，當(dāng)AQ與⊙O在x軸上方相切時，切點(diǎn)為D，連接OQ、OD，OQ交AP于E，
∴OD⊥AQ，
∵OA=5，OD=3，
∴AD==4，
∵將△OAP沿AP翻折，得到△APQ，
∴OA=AQ=5，AP垂直平分OQ，
∴DQ=AQ-AD=1，
∴OQ===，
∴OE==，
∴S△OAP=，即，
∴，
在△OAP中，AP2=OP2+OA2，即，
解得：OP=，（負(fù)值舍去），
∴t=．
②如圖，當(dāng)AP與⊙O相切時，切點(diǎn)為D，連接OD，
∴OD⊥AP，
∴S△OAP=，即，
∴AP=，
在△OAP中，AP2=OP2+OA2，即，
解得：OP=，
∴t=．
③如圖，當(dāng)PQ所在直線與⊙O相切時，切點(diǎn)為D，與x軸交于F，
∴OQ⊥QF，
∵∠AQP=90°，
∴OD//AQ，
∴△OFD∽△AFQ，
∴，即，
解得：，
∵S△OPF=，即，
∴，
在Rt△OPF中，PF2=OP2+OF2，即，
解得：，
∴．
④當(dāng)AQ所在直線與⊙O在x軸下方相切時，切點(diǎn)為D，連接OQ，與AP交于G，
∴OD⊥QD，
∴AD==4，
∴QD=AD+AQ=9，
∴OQ==，
∵AP垂直平分OQ，
∴OG=，
∴S△AOP=，即，
∴，
在Rt△AOP中，AP2=OA2+OP2，即，
解得：OP=15，
∴t=15．
綜上所述：△APQ有一邊所在直線與⊙O相切時t的值為或或或15．
【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、切線的性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理，靈活運(yùn)用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．
13．（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，在RtABC中，∠C＝2∠B＝90°，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，沿AD折疊ADC，使得點(diǎn)C恰好落在AB上的點(diǎn)E處，請寫出AB、AC、CD之間的關(guān)系？并說明理由．
（2）問題解決：如圖②，若（1）中∠C≠90°，其他條件不變，請猜想AB、AC、CD之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）類比探究：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝90°，AB＝BC，AD＝BC，連接AC，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，沿AE折疊，使得點(diǎn)D正好落在AC上的點(diǎn)F處，若BC＝3，求出DE的長．
【答案】（1），理由見解析；（2），理由見解析；（3）
【分析】（1）由翻折的性質(zhì)可知：，，然后證明為等腰直角三角形，從而得到，故此可證得；
（2）由翻折的性質(zhì)得到，，，由三角形外角的性質(zhì)可證明，從而得到，于是可證明；
（3）過點(diǎn)作，垂足為，由直角三角形性質(zhì)和勾股定理可求得的長，從而得到的長，設(shè)，則，，求解即可．根據(jù)，建立方程求解即可．
【詳解】解：（1）．理由如下：
如圖①，，
，
由翻折的性質(zhì)可知：，，，
∴，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）．理由如下：
如圖②，由翻折的性質(zhì)得：，，，
，，
，
，
，
，
；
（3）如圖，過點(diǎn)作，垂足為．
，，
．
，
，
，
在中，，
，，
．
．
在中，，，，
，
由折疊得：，，，
，，
設(shè)，則，，
在中，，
，
解得：，
的長為．
【點(diǎn)睛】本題是三邊形綜合題，主要考查的是翻折的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．我們知道平行四邊形有很多性質(zhì),現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論．
【發(fā)現(xiàn)與證明】
中，，將沿翻折至，連結(jié)．
結(jié)論1：與重疊部分的圖形是等腰三角形．
結(jié)論2：；
……
(1)請利用圖1證明結(jié)論1或結(jié)論2；
【應(yīng)用與探究】
在中，已知，將沿翻折至，連結(jié)．
(2)如圖，若，，則_____，_____；
(3)已知，當(dāng)長為多少時，是直角三角形？請直接寫出答案
【答案】(1)證明見解析；(2)45，；(3)2或3或4或6．
【分析】(1)結(jié)論1的證明：根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得到∠DAC=∠ACB，根據(jù)折疊對應(yīng)角相等得到∠ACB=∠ACB’，進(jìn)而得到∠DAC=∠ACB’即可證明；
結(jié)論2的證明：由折疊得到CB=CB’，由平行四邊形ABCD得到BC=AD，由此得到CB’=AD，由結(jié)論1得到ED=EB’，由此∠EB’D=∠EDB’，∠EAC=∠ECA，由對頂角相等得到∠AEC=∠DEB’，由此即可證明；
(2)根據(jù)對折的性質(zhì)求得∠AB’C=30°，從而求得∠CB’D=45°，由于B’D∥AC，得出∠ACB’=∠CB’D=45°，進(jìn)而即可求得∠ACB=45°；作AG⊥BC于G，根據(jù)解直角三角形即可求得BC；
(3)分或或三種情況分類討論．
【詳解】解：(1)結(jié)論1的證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
由折疊知，∠ACB=∠ACB'，
∴∠EAC=∠ACB'，
∴AE=CE，
即△ACE是等腰三角形；
結(jié)論2的證明：由折疊知，BC=B'C，AD=BC，
∴B'C=AD，
由結(jié)論1可知：AE=CE，
∴DE=B'E，
∴，
∵，
∴，
且，
∴，
∴；
(2)在?ABCD中，∠B=30°，將△ABC沿AC翻折至△AB’C，
∴∠AB’C=30°，
∵∠AB’D=75°，
∴∠CB’D=45°，
∵B’D∥AC，
∴∠ACB’=∠CB’D=45°，
∵∠ACB=∠ACB’，
∴∠ACB=45°；
作AG⊥BC于G，如下圖所示：
∴AG=CG，
∵∠B=30°，
∴，，
∴，
故答案為：45°，；
(3)∵AD=BC，BC=B’C，
∴AD=B’C，
∵AC∥B’D，
∴四邊形ACB’D是等腰梯形，
∵∠B=30°，
∴∠AB’C=∠CDA=30°，
∵△AB’D是直角三角形，
當(dāng)∠B’AD=90°，AB＞BC時，
設(shè)∠ADB’=∠CB’D=y，
∴∠AB’D=y-30°，
∵∠AB’D+∠ADB’=90°，
∴y-30°+y=90°，解得y=60°，
∴∠AB’D=y-30°=30°，
∴AB’=AB=，
∴，
∴BC=2；
當(dāng)∠ADB’=90°，AB＞BC時，如下圖，
∵AD=BC，BC=B’C，
∴AD=B’C，
∵AC∥B’D，
∴四邊形ACB’D是等腰梯形，
∵∠ADB’=90°，
∴四邊形ACB’D是矩形，
∴∠ACB’=90°，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，AB=，
∴，
當(dāng)∠B’AD=90°且AB＜BC時，如下圖，
∵AD=BC，BC=B’C，
∴AD=B’C，
∵AC∥B’D，∠B’AD=90°，
∴∠B’GC=90°，
∵∠B=30°，AB=，
∴∠AB′C=30°，
∴，
G是BC的中點(diǎn)，
在Rt△ABG中，，
∴BC=6；
當(dāng)∠AB’D=90°時，如下圖所示，
∵AD=BC，BC=B’C，
∴AD=B’C，
∵AC∥B’D，
∴四邊形ACDB’是等腰梯形，
∵∠AB’D=90°，
∴四邊形ACDB’是矩形，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=30°，AB=，
∴，
∴當(dāng)BC的長為2或3或4或6時，△AB’D是直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直角三角形等問題，本題難度較大，熟練掌握折疊圖形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．如圖，在平行四邊形紙片ABCD中，AD＝6cm，將紙片沿對角線BD對折，邊AB的對應(yīng)邊BF與CD邊交于點(diǎn)E，此時△BCE恰為等邊三角形．
（1）求AB的長度；
（2）重疊部分的面積為 ；
（3）將線段BC沿射線BA方向移動，平移后的線段記作B'C'，請直接寫出B'F+C'F的最小值．
【答案】（1）12cm；（2）cm2；（3）
【分析】（1）證明A，D，F(xiàn)共線，△ABF是等邊三角形即可解決問題．
（2）根據(jù)S△DEB=S△DCB求解即可．
（3）首先判定四邊形ADC′B′是平行四邊形，得到C′F=B′D，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)D′，可判斷當(dāng)F，B′，D′共線時，C′F+B′F最短，即為DF′，過F作FH⊥DG，垂足為H，在△D′HF中利用勾股定理求出D′F的長即可．
【詳解】解：（1）∵△BCE是等邊三角形，
∴∠C=60°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C=60°，CD∥AB，
∴∠EDB=∠DBA，
由翻折可知，∠ABD=∠DBF，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=EB=EC，
∴∠DCB=90°，
∵AD∥BC，
∴BD⊥AF，
∴A，D，F(xiàn)共線，AD=DF=6cm，
∵BA=BF，∠A=60°，
∴△ABF是等邊三角形，
∴AB=AF=12cm；
（2）∵∠DBC=90°，BC=AD=6cm，∠C=60°，
∴BD=BC=cm，
∵DE=EC，
∴S△DEB=S△DCB=××6×=cm2；
（3）由平移可知：BC=B′C′，BC∥B′C′，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AD=B′C′，AD∥B′C′，
∴四邊形ADC′B′是平行四邊形，
∴C′F=B′D，
作點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)D′，
則B′D=B′D′，即C′F+B′F=B′D′+B′F，
當(dāng)F，B′，D′共線時，C′F+B′F最短，即為DF′，
∵△ABF是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∴AG=3，DG===D′G，
過F作FH⊥DG，垂足為H，同理可求：GH=，
∴HD′=HG+D′G=，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠FDE=∠F=60°，
∴HF=DF=3，
∴D′F==，即C′F+B′F的最小值為．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，翻折變換，最短路徑，等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對邊平行且相等，直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半．
16．定義：有三個角相等的四邊形叫做三等角四邊形．
（1）在三等角四邊形中，，則的取值范圍為_______；
（2）如圖，折疊平行四邊形，使得頂點(diǎn)分別落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．求證：四邊形為三等角四邊形；
（3）如圖，在三等角四邊形中，，若，，，則的長度為_______．
【答案】（1）；（2）見解析；（3）
【分析】（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°，根據(jù)0＜∠D＜180°即可確定出∠A的范圍；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)可得∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠E=∠DAE，∠F=∠DCF，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等，判斷出∠DAB=∠DCB=∠ABC即可得結(jié)論；
（3）如圖，過點(diǎn)D作DE//BC，交BA延長線于E，作DF//AB，交BC延長線于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，可得四邊形DEBF是平行四邊形，根據(jù)及平行四邊形的性質(zhì)可得AD=DE=BF=，CD=DF=7，可求出AE的長，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得AG=EG=AE=1，CH=HF=CF，利用勾股定理可得DG的長，利用平行四邊形的面積可求出DH的長，利用勾股定理可求出CH的長，進(jìn)而求出CF的長，即可求出BC的長．
【詳解】（1）∵四邊形的內(nèi)角和為（4-2）×180°=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∵，0＜∠D＜180°，
∴180°＜3∠A＜360°，
∴，
故答案為：
（2）∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
∵折疊平行四邊形，使得頂點(diǎn)分別落在邊上的點(diǎn)處，
∴DE=DA，DF=DC，
∴，
∵，，，
∴，
∴四邊形是三等角四邊形
（3）如圖，過點(diǎn)D作DE//BC，交BA延長線于E，作DF//AB，交BC延長線于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴DE=BF，DF=BE，∠B+∠E=180°，∠B+∠F=180°，∠E=∠F，
∵∠DAB=∠B=∠BCD，∠DAE+∠DAB=180°，∠DCB+∠DCF=180°，
∴∠DAE=∠E=∠DCF=∠F，
∴AD=DE=BF=，CD=DF=7，
∴AE=BE-AB=CD-AB=2，
∵DG⊥BE，DH⊥BF，
∴AG=EG=AE=1，CH=HF=CF，
∴DG=，
∴S平行四邊形DEBF=BE·DG=BF·DH，即7×5=DH，
解得：DH=，
∴CH==，
∴CF=2CH=，
∴BC=BF-CF=．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了三等角四邊形的判定與性質(zhì)，翻折變換-折疊問題，四邊形的內(nèi)角和定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識；證明三角形全等和運(yùn)用勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．
17．綜合與實(shí)踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點(diǎn)，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
獨(dú)立思考：（1）請解答老師提出的問題；
實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將沿著（為的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，連接并延長交于點(diǎn)，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過點(diǎn)的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為，使于點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．該小組提出一個問題：若此的面積為20，邊長，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請你思考此問題，直接寫出結(jié)果．
【答案】（1）；見解析；（2），見解析；（3）．
【分析】（1）如圖，分別延長，相交于點(diǎn)P，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，利用AAS可證明△PDF≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，即可得；
（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，F(xiàn)C=FC′，可得FD=FC′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠FDC′=∠FC′D，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可證明四邊形DGBF是平行四邊形，可得DF=BG=，可得AG=BG；
（3）如圖，過點(diǎn)M作MQ⊥A′B于Q，根據(jù)平行四邊形的面積可求出BH的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根據(jù)可得A′B⊥AB，即可證明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，進(jìn)而可證明△A′NH∽△CBH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得A′H、NH的長，根據(jù)NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MQ的長，根據(jù)S陰=S△A′MB-S△A′NH即可得答案．
【詳解】（1）．
如圖，分別延長，相交于點(diǎn)P，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，,
∵為的中點(diǎn)，
∴，
在△PDF和△BCF中，，
∴△PDF≌△BCF，
∴，即為的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）．
∵將沿著所在直線折疊，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，
∴∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，，
∵為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴∠FDC′=∠FC′D，
∵=∠FDC′+∠FC′D，
∴，
∴∠FC′D=∠C′FB，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，DC=AB，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∴．
（3）如圖，過點(diǎn)M作MQ⊥A′B于Q，
∵的面積為20，邊長，于點(diǎn)，
∴BH=50÷5=4，
∴CH=，A′H=A′B-BH=1，
∵將沿過點(diǎn)的直線折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為，
∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，
∵于點(diǎn)，AB//CD，
∴，
∴∠MBH=45°，
∴△MBQ是等腰直角三角形，
∴MQ=BQ，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，
∴∠A′=∠C，
∵∠A′HN=∠CHB，
∴△A′NH∽△CBH，
∴，即，
解得：NH=2，
∵，MQ⊥A′B，
∴NH//MQ，
∴△A′NH∽△A′MQ，
∴，即，
解得：MQ=，
∴S陰=S△A′MB-S△A′NH=A′B·MQ-A′H·NH=×5×-×1×2=．
【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．
18．綜合與實(shí)踐
在一次綜合實(shí)踐活動課上，數(shù)學(xué)王老師給每位同學(xué)各發(fā)了一張正方形紙片，要求同學(xué)們僅通過折紙的方法來確定該正方形一邊上的一個三等分點(diǎn)．
“啟航”小組的同學(xué)在經(jīng)過一番思考和討論交流后，進(jìn)行了如下的操作：
第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD的一條邊AD對折，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，得到AD的中點(diǎn)E，然后展開鋪平；
第二步：如圖2，將CD邊沿CE翻折到CF的位置；
第三步：如圖3，再將BC沿過點(diǎn)C的直線翻折，使點(diǎn)B和點(diǎn)F重合，折痕與AB邊交于點(diǎn)G．
他們認(rèn)為：該點(diǎn)G就是AB邊的一個三等分點(diǎn)．
(1)試證明上面的結(jié)論：
(2)“奮進(jìn)”小組的同學(xué)是這樣操作的：
第一步：先將正方形紙片ABCD的一條邊AD對折，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，找到AD的中點(diǎn)E；
第二步：再折出正方形紙片ABCD的對角線AC，以及點(diǎn)B和點(diǎn)E的連線BE，這兩條折痕相交于點(diǎn)F；
第三步：最后，過點(diǎn)F折出AB的平行線GN，分別與AD，BC交于點(diǎn)G和點(diǎn)N．
①請根據(jù)上面的描述，在圖4中畫出所有的折痕，確定點(diǎn)G和點(diǎn)N的位置；
②請結(jié)合①中所畫的圖形，判斷點(diǎn)G是否為AD邊的三等分點(diǎn)，并說明理由．
【答案】(1)證明見解析；
(2)①畫圖見解析；②點(diǎn)G是AD邊上的一個三等分點(diǎn)，理由見解析
【分析】（1）設(shè)正方形的邊長為a，BG的長為x，根據(jù)軸對稱和正方形的性質(zhì)，推導(dǎo)得，再根據(jù)勾股定理的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；
（2）①結(jié)合題意，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖，即可得到答案；
②根據(jù)正方形、相似三角形、矩形的性質(zhì)，通過證明△AEF∽△CBF、△AFG∽△CFN，從而完成證明．
（1）
設(shè)正方形的邊長為a，BG的長為x
∵四邊形ABCD是正方形，
∴，．
∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，
∴
∵CD翻折至CF，CB翻折至CF，
∴，，，．
∴
∴點(diǎn)E，F(xiàn)和G三點(diǎn)共線
∴．
在中，由勾股定理得，即
解得：
∴點(diǎn)G是AB邊上的一個三等分點(diǎn)；
（2）
①根據(jù)題意，折痕和點(diǎn)G和點(diǎn)N的位置如圖：
；
②∵四邊形ABCD是正方形，
∴，．
∴，．
∴△AEF∽△CBF
∴
∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，
∴．
∴．
∵，
∴△AFG∽△CFN
∴
∵，，且，
∴四邊形AGNB是矩形
∴
又∵，
∴
∴
∴點(diǎn)G是AD邊上的一個三等分點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形、正方形、軸對稱、勾股定理、相似三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱、相似三角形的性質(zhì)，從而完成求解．