中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練(全國(guó)通用)專題48與圓有關(guān)的等腰三角形的存在性問題(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、解答題
1．如圖1，在中，和是兩條弦，且，垂足為點(diǎn)，連接，過作于，交于點(diǎn)G；
(1)求證：；
(2)如圖2，連接、，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，交于點(diǎn)，連接、、，若，，，求的長(zhǎng)．
2．如圖，是的直徑，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，與過點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)D，直線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，G是的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)，交于E，交于點(diǎn)F，連接．
(1)求證：平分；
(2)連接，判斷的形狀，并說明理由；
(3)若，，求線段的長(zhǎng)．
3．（1）課本再現(xiàn)：如圖1，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．則圖中的與，與有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由，
（2）知識(shí)應(yīng)用：如圖，分別與相切于點(diǎn)A、B、C，且，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)M作交于N．
①求證：是的切線：
②當(dāng)cm，cm時(shí)，求的半徑及圖中陰影部分的面積．
4．已知是圓O的內(nèi)接三角形，高線的延長(zhǎng)線交圓O于點(diǎn)E，連接．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，連接，過O作，求證：；
(3)如圖3，若是直徑，點(diǎn)G、H在弧上，，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接，若，求線段的長(zhǎng)．
5．如圖1，在銳角中，，圓為的外接圓．
(1)求證：平分．
(2)如圖2，點(diǎn)在弧上，分別與，交于點(diǎn)，，且．
①求證：；
②若，，求圓的半徑．
③如圖3，連結(jié)并延長(zhǎng)交于，交于，若，求的值．
6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是等腰直角三角形，點(diǎn)A，點(diǎn)B在x軸上（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)AD與y軸交于點(diǎn)E，連結(jié)BE．
(1)當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B（C，B兩點(diǎn)除外）時(shí)，求證：．
(2)如圖2，過B，D，E三點(diǎn)作⊙H與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為G，延長(zhǎng)EH交⊙H于點(diǎn)F，連結(jié)GF，DG，BF．求的度數(shù)．
(3)在（2）的條件下，若，點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，中是否有一個(gè)角等于，如果存在，求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
7．如圖1，在中，為弦，為直徑，且，垂足為E，P為優(yōu)弧ACB上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接PD．
(1)求證：；
(2)在線段上有一點(diǎn)I，連接．且平分，求證：；
(3)如圖2，在（2）的條件下，若，的半徑為2，過點(diǎn)D作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F；當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
8．已知上兩個(gè)定點(diǎn)A、B和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)C、D，與交于點(diǎn)E．
(1)如圖1，求證；
(2)如圖2，若連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，，，求點(diǎn)O到弦的距離．
9．如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，D為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．
(1)求證：為的切線；
(2)若的半徑為5，，求和的長(zhǎng)．
(3)在（2）的條件下，線段分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)且，求的長(zhǎng)．
10．已知如圖1，在中，弦于點(diǎn)，，，．是的中點(diǎn)．
(1)求的長(zhǎng)；
(2)求的長(zhǎng)；
(3)如圖2，若，連接交于點(diǎn)，試說明的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化，若不變請(qǐng)求出的度數(shù)，并說明理由．
11．如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，且滿足，，的度數(shù)之比為，連接線段．
(1)求的度數(shù)；
(2)求的值；
(3)設(shè)，點(diǎn)為直徑下方半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連，點(diǎn)在自向運(yùn)動(dòng)過程中，的度數(shù)分別與，，的度數(shù)相等時(shí)，求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)．
12．如圖，內(nèi)接于，，點(diǎn)為劣弧上動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)E，作交于，連結(jié)．
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，求證：；
(2)如圖②，若，，請(qǐng)用含有的代數(shù)式表示；
(3)在（2）的條件下，若，
①求證：；
②求的值．
13．四邊形內(nèi)接于，為直徑， E 在的延長(zhǎng)線上，且與相切．平分．
(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若，，求的半徑
14．已知為的外接圓，．
(1)如圖1，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，過作的垂線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
①求證：平分；
②設(shè)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示；
(2)如圖2，若，為上的一點(diǎn)，且點(diǎn)位于兩側(cè)，作關(guān)于對(duì)稱的圖形，連接，試猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明．
15．如圖1，在中，，是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的外接圓于點(diǎn)，連接，，．

(1)求證：．
(2)若，求證：．
(3)如圖2，，．
①若，求的長(zhǎng)．
②求的最大值．
16．如圖1，已知等腰內(nèi)接于，，，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，點(diǎn)在射線上，且．
(1)如圖2，若是的直徑．
①求的半徑長(zhǎng)；
②求的長(zhǎng)；
(2)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)與的一條邊平行時(shí)，求的長(zhǎng)．
17．如圖1，為的外接圓，半徑為6，，，點(diǎn)為優(yōu)弧上異于的一動(dòng)點(diǎn)，連接．
(1)求證：平分；
(2)如圖2，平分，且與交于．
花花同學(xué)認(rèn)為：無論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到哪里，始終有；
都都同學(xué)認(rèn)為：的長(zhǎng)會(huì)隨著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而變化．
你贊同誰的觀點(diǎn)，請(qǐng)說明理由；
(3)求的最大值．
18．在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為r，P是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于的限距點(diǎn)的定義如下：若為直線與的一個(gè)交點(diǎn)，滿足，則稱為點(diǎn)P關(guān)于的限距點(diǎn)，如圖1為點(diǎn)P及其關(guān)于的限距點(diǎn)的示意圖．
(1)當(dāng)?shù)陌霃綖闀r(shí)．
①分別判斷點(diǎn)，，關(guān)于的限距點(diǎn)是否存在？若存在，求其坐標(biāo)；
②如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，DE，DF分別切于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)P在的邊上．若點(diǎn)P關(guān)于的限距點(diǎn)存在，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．
(2)保持（1）中D，E，F(xiàn)三點(diǎn)不變，點(diǎn)P在的邊DE，DF上沿F→D→E的方向運(yùn)動(dòng)，的圓心C的坐標(biāo)為，半徑為r，若點(diǎn)P關(guān)于的限距點(diǎn)不存在，則r的取值范圍為______．
專題48 與圓有關(guān)的等腰三角形的存在性問題
【題型演練】
一、解答題
1．如圖1，在中，和是兩條弦，且，垂足為點(diǎn)，連接，過作于，交于點(diǎn)G；
(1)求證：；
(2)如圖2，連接、，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，交于點(diǎn)，連接、、，若，，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）連接，可證得，從而，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)交于，連接，可證得，，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）作于，連接，連接，可證得，結(jié)合（2）的結(jié)論，從而得出，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出，依次解求得，解求得，從而得出，，解求得，從而得出的正余弦三角函數(shù)值，從而得出的三角函數(shù)值，解斜三角形，從而求得的值，進(jìn)一步可求得結(jié)果．
【詳解】（1）證明：如圖1，
連接，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
；
（2）證明：如圖2，
延長(zhǎng)交于，連接，
是的直徑，
，
，
，
，
；
（3）解：如圖3，
作于，連接，連接，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
點(diǎn)、、、共圓，
，，
，
，
，
，
，
，
由（2）得：，
，
，
，
，
，
設(shè)，
，
，
，，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
，
，，
在中，，，
，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
，
，，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理及其推論，解直角三角形，確定圓的條件，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是探究角之間的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)角度和圖形的特殊性．
2．如圖，是的直徑，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，與過點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)D，直線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，G是的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)，交于E，交于點(diǎn)F，連接．
(1)求證：平分；
(2)連接，判斷的形狀，并說明理由；
(3)若，，求線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)等腰三角形，見解析
(3)6
【分析】（1）由切線的性質(zhì)可得出，結(jié)合題意可證，即得出．再根據(jù)同圓半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)，即得出，從而易證平分；
（2）由直徑所對(duì)圓周角為直角可知．再根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可知，．由同弧或等弧所對(duì)圓周角相等可知，從而結(jié)合三角形外角性質(zhì)得：，即，即證明為等腰三角形；
（3）連接，作交于點(diǎn)M，由圓周角定理可知．根據(jù)勾股定理可得出，即得出，從而由等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股的定理求出．又易證為等腰直角三角形，同理可求出，最后再次利用勾股定理即可求出，進(jìn)而可求出．
【詳解】（1）∵是切線
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴，即平分；
（2）為等腰三角形，理由如下，
∵為的直徑，
∴．
∵G是的內(nèi)心，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴為等腰三角形；
（3）連接，作交于點(diǎn)M，如圖所示：
由圓周角定理可知．
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合題，考查切線的性質(zhì)，圓周角定理及其推論，三角形內(nèi)心的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．在解（3）時(shí)正確作出輔助線也是關(guān)鍵．
3．（1）課本再現(xiàn)：如圖1，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．則圖中的與，與有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由，
（2）知識(shí)應(yīng)用：如圖，分別與相切于點(diǎn)A、B、C，且，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)M作交于N．
①求證：是的切線：
②當(dāng)cm，cm時(shí)，求的半徑及圖中陰影部分的面積．
【答案】（1），見解析；
（2）①見解析；②的半徑是4.8cm，圖中陰影部分的面積是
【分析】（1）連接和，根據(jù)切線的性質(zhì)，可得，即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)題意求證，即可得出，即可得出答案；②根據(jù)，求出的長(zhǎng)，再用三角形面積減去扇形面積即可得出答案．
【詳解】解：（1）如圖1，連接和，
∵和是的兩條切線，
∴，．
又∵，．
∴
∴，．
（2）①證明：∵分別與相切于點(diǎn)A、B、C，
∴分別平分、．
又∵．
∴．
∴．
又∵，
∴
又∵經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)M，
∴是的切線．
②連接，則，
∵cm，cm，
∴，
∴，
∴
即的半徑為2.4cm．
∴（）
綜上所述，的半徑是4.8cm，圖中陰影部分的面積是．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的證明、扇形的面積計(jì)算等，屬于常規(guī)考題，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握?qǐng)A的知識(shí)點(diǎn)，切線的證明與性質(zhì)，圓中的相關(guān)面積計(jì)算等．
4．已知是圓O的內(nèi)接三角形，高線的延長(zhǎng)線交圓O于點(diǎn)E，連接．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，連接，過O作，求證：；
(3)如圖3，若是直徑，點(diǎn)G、H在弧上，，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接，若，求線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)2
【分析】（1）連接，先根據(jù)證明，再根據(jù)圓周角定理得到，進(jìn)一步得到，最后根據(jù)的高線的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)得到，進(jìn)一步得出結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，可得是的直徑，先根據(jù)得到，再證明是的中位線，得到，最后證明即可得到結(jié)論；
（3）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)的半徑為，則先證明是等邊三角形得到和，進(jìn)一步證明以及得到，和，然后根據(jù)勾股定理得到方程，最后消去有關(guān)線段，得到關(guān)于r的方程，求出r的值，并根據(jù)求出答案即可
【詳解】（1）如圖1，連接，
又
的高線的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)
，
（2）如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則是的直徑，
又
是的中位線，
由（1）得，
（3）如圖3，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)的半徑為，則：
是等邊三角形，
，即
在和中
①，
又
②，
得，
又
，即，
即
解得，或（舍去）
【點(diǎn)睛】本題是圓綜合題，主要考查了圓周角定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握?qǐng)A周角定理以及作輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．
5．如圖1，在銳角中，，圓為的外接圓．
(1)求證：平分．
(2)如圖2，點(diǎn)在弧上，分別與，交于點(diǎn)，，且．
①求證：；
②若，，求圓的半徑．
③如圖3，連結(jié)并延長(zhǎng)交于，交于，若，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析；②；③
【分析】（1）證明，即可得出平分；
（2）①連結(jié)，證明，推出，即可求證；②連結(jié)并延長(zhǎng)交于，連結(jié)，根據(jù)，即可求出半徑的長(zhǎng)；③延長(zhǎng)交于，連結(jié)，利用相似三角形的性質(zhì)和判定即可求解．
【詳解】（1）連結(jié)、，
∵，，，
∴，
∴
（2）①連結(jié)
由，，
得，
∴，，
又∵，
∴，
∴，且
②連結(jié)并延長(zhǎng)交于，連結(jié)
則，
由，知，
∴，，
∴
∴，即半徑為
③延長(zhǎng)交于，連結(jié)
∵，，
∴，
∴，
即
∵
∴，
∴，即
又∵，
∴
∴
∵，，
∴
∴
∴，即
∴，
∴
【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合，相似三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)，全等三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠利用性質(zhì)和判定定理，進(jìn)行推理．
6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是等腰直角三角形，點(diǎn)A，點(diǎn)B在x軸上（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)AD與y軸交于點(diǎn)E，連結(jié)BE．
(1)當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B（C，B兩點(diǎn)除外）時(shí)，求證：．
(2)如圖2，過B，D，E三點(diǎn)作⊙H與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為G，延長(zhǎng)EH交⊙H于點(diǎn)F，連結(jié)GF，DG，BF．求的度數(shù)．
(3)在（2）的條件下，若，點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，中是否有一個(gè)角等于，如果存在，求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)證明見詳解；
(2)；
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
【分析】（1）根據(jù)為等腰直角三角形，可知，則垂直平分，則，根據(jù)，可知．
（2）根據(jù)是的一個(gè)外角，可知，根據(jù)是的一個(gè)外角，可知，又根據(jù)，，則，在等腰Rt中，，則，故；
（3）分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定即可解決本題，②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作軸與點(diǎn)，同理根據(jù)相似三角形求解即可．
【詳解】（1）解：∵為等腰直角三角形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
（2）解：∵是的一個(gè)外角，
∴，
∵是的一個(gè)外角，
∴，
又∵，，
∴，
在等腰Rt中，，
∴，
∴；
（3）解：①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在Rt中，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴四邊形為矩形，
∴，，
∴，
在等腰Rt中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作⊥軸與點(diǎn)，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在R中，∠EFB=30°，
∴，
∴，，
∵，
∴四邊形為矩形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，其中也考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平面直角坐標(biāo)系，能夠掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．
7．如圖1，在中，為弦，為直徑，且，垂足為E，P為優(yōu)弧ACB上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接PD．
(1)求證：；
(2)在線段上有一點(diǎn)I，連接．且平分，求證：；
(3)如圖2，在（2）的條件下，若，的半徑為2，過點(diǎn)D作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F；當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)．
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可證明；
（2）證明，進(jìn)而命題可證；
（3）連接，先計(jì)算得出是等邊三角形，作于點(diǎn)E，求得的長(zhǎng)，證明，從而求得結(jié)果．
【詳解】（1）證明：∵為弦，為直徑，且，
∴，
∴；
（2）證明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：連接，
∵，，∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，，
∵是的切線，
∴，，
∵且，
∴，
∴，
∴，
由（2）得，
作于點(diǎn)E，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)定理，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
8．已知上兩個(gè)定點(diǎn)A、B和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)C、D，與交于點(diǎn)E．
(1)如圖1，求證；
(2)如圖2，若連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，，，求點(diǎn)O到弦的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)點(diǎn)O到弦的距離是
【分析】（1）如圖1，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等證明，可得結(jié)論；
（2）如圖3，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)三角形的中位線定理得：為的中位
線，則，由和，再由等弧所對(duì)的圓
周角相等得：，所以，求出，從而得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：如圖1，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如圖，過O作于G，
∴，
∵AO=OF，
∴為的中位線，
∴，
∵，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)O到弦的距離是．
【點(diǎn)睛】本題是一道圓的綜合題，其中考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．注意數(shù)形結(jié)合思想在本題中的應(yīng)用．
9．如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，D為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．
(1)求證：為的切線；
(2)若的半徑為5，，求和的長(zhǎng)．
(3)在（2）的條件下，線段分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)且，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)，；
(3)．
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得：∠ACB=∠BCO+∠OCA=90°，根據(jù)同圓的半徑相等和已知相等的角代換可得：∠OCD=90°，可得結(jié)論；
（2）先根據(jù)三角函數(shù)計(jì)算，證明，得，設(shè)設(shè)，利用勾股定理列方程可得x的值，據(jù)此即可求解；
（3）證明，列比例式可得的長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：連接，
∵為的直徑，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴為的切線；
（2）解：∵的半徑為5，
∴，
中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
設(shè)，則，
中，，
，
（舍）或，即，
∴；
（3）解：∵，
∴，
設(shè)，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
10．已知如圖1，在中，弦于點(diǎn)，，，．是的中點(diǎn)．
(1)求的長(zhǎng)；
(2)求的長(zhǎng)；
(3)如圖2，若，連接交于點(diǎn)，試說明的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化，若不變請(qǐng)求出的度數(shù)，并說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，不會(huì)發(fā)生變化，理由見解析
【分析】（1）連接，證明，可得，代入數(shù)值求出的長(zhǎng)，再用勾股定理即可求出的長(zhǎng)；
（2）連接，由（1）可知是等腰三角形，再由E是的中點(diǎn)，可得，則是圓O的直徑，再由同弧所對(duì)的圓周角相等，可知，根據(jù)，即可求的長(zhǎng)；
（3）設(shè)與的交點(diǎn)為G，過點(diǎn)G作交于點(diǎn)H，證明，設(shè)，則，在中，由勾股定理求出，再由BP垂直平分，可得，則，又由，可得，進(jìn)而可求出．
【詳解】（1）如圖，連接．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）連接，交的交點(diǎn)為，
∵，
∴是等腰三角形，
∵E是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴是圓O的直徑，
∴．
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3），不會(huì)發(fā)生變化，理由如下：
設(shè)與的交點(diǎn)為G，過點(diǎn)G作交于點(diǎn)H，
由（2）知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，，
解得，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握同弧所對(duì)的圓周角相等，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，且滿足，，的度數(shù)之比為，連接線段．
(1)求的度數(shù)；
(2)求的值；
(3)設(shè)，點(diǎn)為直徑下方半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連，點(diǎn)在自向運(yùn)動(dòng)過程中，的度數(shù)分別與，，的度數(shù)相等時(shí)，求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
(3)能；的長(zhǎng)為：6或或
【分析】（1）由，，的度數(shù)之比為，求得，的度數(shù)即可得出答案；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，用表示即可得到答案；
（3）作直徑，連接，，當(dāng)?shù)亩葦?shù)與的度數(shù)相等時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，；當(dāng)?shù)亩葦?shù)與的度數(shù)相等時(shí)，則，過作于點(diǎn)，求得，進(jìn)而求得；當(dāng)?shù)亩葦?shù)與的度數(shù)相等時(shí)，則，得，即可求得結(jié)果．
【詳解】（1）解：，，的度數(shù)之比為，
，，的度數(shù)分別為：，，，
，，
；
（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示，
設(shè)，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：作直徑，連接，，如圖所示，
，
，
，
，
，
當(dāng)?shù)亩葦?shù)與的度數(shù)相等時(shí)，則，
此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，；
當(dāng)?shù)亩葦?shù)與的度數(shù)相等時(shí)，則，
，，
過作于點(diǎn)，則，
，
；
當(dāng)?shù)亩葦?shù)與的度數(shù)相等時(shí)，則，
。
，
，
綜上所述，的長(zhǎng)為：6或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是綜合應(yīng)用這些知識(shí)解題．
12．如圖，內(nèi)接于，，點(diǎn)為劣弧上動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)E，作交于，連結(jié)．
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，求證：；
(2)如圖②，若，，請(qǐng)用含有的代數(shù)式表示；
(3)在（2）的條件下，若，
①求證：；
②求的值．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)①見解析；②
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理求出，，即可得證結(jié)論；
（2）根據(jù)弧長(zhǎng)的關(guān)系得出；
（3）①延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，證明，得出點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，即可得證結(jié)論；②證明，得，，，推出，，同理得出，過點(diǎn)作于點(diǎn)，分別求出和即可得出的值．
【詳解】（1）解：證明：如圖①，連接，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）可得，，
，則，
，
，
；
（3）①證明：如圖②，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，
則，
又，
，
，
，
即點(diǎn)為的中點(diǎn)，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
即；
②，
，
，
又，
，
，
即，
設(shè)，，
則，
解得或（舍去），
，，
又，
同理得，
，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合知識(shí)，考查了圓周角定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
13．四邊形內(nèi)接于，為直徑， E 在的延長(zhǎng)線上，且與相切．平分．
(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若，，求的半徑
【答案】(1)，理由見解析；
(2)5．
【分析】（1）連接，，先證，得點(diǎn)B在線段的垂直平分線上，再證點(diǎn)O在線段的垂直平分線上，從而有垂直平分線段，即可得解；
（2）連接，，先證，得，，從而求得，，，再利用勾股定理求得，，從而即可得解．
【詳解】（1）解：，理由如下：如下圖，連接，，
∵四邊形內(nèi)接于，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴點(diǎn)B在線段的垂直平分線上，
∵，
∴點(diǎn)O在線段的垂直平分線上，
∴垂直平分線段，
∴；
（2）解∶ 連接，，
∵與相切，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴的半徑為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、圓周角定理、直角三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定以及性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的判定以及相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．已知為的外接圓，．
(1)如圖1，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，過作的垂線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
①求證：平分；
②設(shè)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示；
(2)如圖2，若，為上的一點(diǎn)，且點(diǎn)位于兩側(cè)，作關(guān)于對(duì)稱的圖形，連接，試猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明．
【答案】(1)①見解析；②
(2)，證明見解析
【分析】（1）①證明，可得，即可得證；②首先求出，得到，根據(jù)等邊對(duì)等角得到，，在四邊形中，利用內(nèi)角和列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可；
（2）猜想，，三者之間的數(shù)量關(guān)系為：，交于點(diǎn)，連接，，由已知可得；利用同弧所對(duì)的圓周角相等，得到，，由于與關(guān)于對(duì)稱，于是，則得為等腰直角三角形，為直角三角形；利用勾股定理可得：，；利用得到，等量代換可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：①連接，
則，
在和中，
，
∴，
∴，即平分；
②∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在四邊形中，，
即，
化簡(jiǎn)得：；
（2），，三者之間的數(shù)量關(guān)系為：．理由：
延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，如圖，
，，
．
，．
．
．
與關(guān)于對(duì)稱，
，
，
．
．
．
即．
，
，即．
在和中，
，
．
．
．
【點(diǎn)睛】本題是一道圓的綜合題，主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理及其推論，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)．根據(jù)圖形的特點(diǎn)恰當(dāng)?shù)奶砑虞o助線是解題的關(guān)鍵．
15．如圖1，在中，，是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的外接圓于點(diǎn)，連接，，．

(1)求證：．
(2)若，求證：．
(3)如圖2，，．
①若，求的長(zhǎng)．
②求的最大值．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)①；②
【分析】（1）由等弧所對(duì)的圓周角相等得，由余角的性質(zhì)得，進(jìn)而可證結(jié)論成立；
（2）通過證明，得，由補(bǔ)角的性質(zhì)可證，等量代換得，進(jìn)而可證；
（3）①由，結(jié)合勾股定理求出和，由得，設(shè)，利用求出，再利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)；
②通過證明，可得，設(shè)，表示出和，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（3）①∵，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)．
∵，
∴，
．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴A，C，P，D四點(diǎn)共圓，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的知識(shí)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)，相似三角形的判定，以及二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
16．如圖1，已知等腰內(nèi)接于，，，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，點(diǎn)在射線上，且．
(1)如圖2，若是的直徑．
①求的半徑長(zhǎng)；
②求的長(zhǎng)；
(2)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)與的一條邊平行時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)①6；②
(2)或
【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理和含角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；利用的結(jié)論和勾股定理解答即可；
（2）利用分類討論的方法分或兩種情況解答：當(dāng)時(shí)，利用平行線的性質(zhì)和三角形的你還記得了得到為直角三角形，利用（1）的方法解答即可；當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)A作，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：
是直徑，
，
，
∴ 圓的半徑長(zhǎng)為6；
，
，
；
（2）情形1：如圖1，當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
情形2：如圖2，當(dāng)時(shí)，則，
，

過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
.
∴，
，
綜上，的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系，等腰直角三角形的性質(zhì)，過點(diǎn)A作利用直角三角形的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．
17．如圖1，為的外接圓，半徑為6，，，點(diǎn)為優(yōu)弧上異于的一動(dòng)點(diǎn)，連接．
(1)求證：平分；
(2)如圖2，平分，且與交于．
花花同學(xué)認(rèn)為：無論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到哪里，始終有；
都都同學(xué)認(rèn)為：的長(zhǎng)會(huì)隨著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而變化．
你贊同誰的觀點(diǎn)，請(qǐng)說明理由；
(3)求的最大值．
【答案】(1)見詳解
(2)花花，理由見詳解
(3)
【分析】（1）根據(jù)等弦對(duì)等弧、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等可得，即可證明平分；
（2）由（1）可知，，結(jié)合平分，可得，再由可推導(dǎo)，可推導(dǎo)，即可證明，所以贊同花花的觀點(diǎn)；
（3）在右側(cè)作，與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，首先證明，由全等三角形的性質(zhì)可知，故可推導(dǎo)；過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，由三角函數(shù)可得，可知，則可得，故當(dāng)為直徑時(shí)，的值最大，結(jié)合半徑為6，即可獲得答案．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）贊同花花的觀點(diǎn)，理由如下：
由（1）可知，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴無論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到哪里，始終有；
（3）如下圖，在右側(cè)作，與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∴，
在中，，
∴，
∴，
當(dāng)為直徑時(shí)，的值最大，即，
此時(shí)，
即的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等弦對(duì)等弧、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握并綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
18．在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為r，P是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于的限距點(diǎn)的定義如下：若為直線與的一個(gè)交點(diǎn)，滿足，則稱為點(diǎn)P關(guān)于的限距點(diǎn)，如圖1為點(diǎn)P及其關(guān)于的限距點(diǎn)的示意圖．
(1)當(dāng)?shù)陌霃綖闀r(shí)．
①分別判斷點(diǎn)，，關(guān)于的限距點(diǎn)是否存在？若存在，求其坐標(biāo)；
②如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，DE，DF分別切于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)P在的邊上．若點(diǎn)P關(guān)于的限距點(diǎn)存在，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．
(2)保持（1）中D，E，F(xiàn)三點(diǎn)不變，點(diǎn)P在的邊DE，DF上沿F→D→E的方向運(yùn)動(dòng)，的圓心C的坐標(biāo)為，半徑為r，若點(diǎn)P關(guān)于的限距點(diǎn)不存在，則r的取值范圍為______．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①畫出圖形，由圖可求解；
②分兩種情況：Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)在線段，上時(shí)，分別求解即可；
（2）過點(diǎn)C作于M，如圖，求得，根據(jù)點(diǎn)P關(guān)于的限距點(diǎn)不存在，所以或，求解即可．
【詳解】（1）解：①如圖，
從圖中可以看出點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的限距點(diǎn)不存在，
點(diǎn)關(guān)于的限距點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為；
②如圖所示，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
．
切于點(diǎn)，
．
，
，．
，分別切于點(diǎn)，點(diǎn)，
，，．
．．
，，
，，，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于的限距點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，
直線的延長(zhǎng)線與點(diǎn)交點(diǎn)滿足，
點(diǎn)關(guān)于的限距點(diǎn)存在，其橫坐標(biāo)滿足；
Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)在線段，上時(shí)，
直線與的交點(diǎn)滿足或，
點(diǎn)關(guān)于的限距點(diǎn)不存在；
綜上所述，點(diǎn)關(guān)于的限距點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為：；
（2）解：由（1）可知，，
，，
∴，
過點(diǎn)C作于M，如圖，
則，
∵點(diǎn)P關(guān)于的限距點(diǎn)不存在，
∴或，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查新定義，圓的有關(guān)概念與性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，圓的切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解決此類問題常用的方法，本題是閱讀型題目，準(zhǔn)確理解新定義并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

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