新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解答題提分訓(xùn)練專(zhuān)題05 解三角形之求線段長(zhǎng)（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．已知、、分別為三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊，且.
(1)求；
(2)若，則的面積為3，求、.
【答案】(1)
(2)，.
【分析】（1）根據(jù)正弦定理與三角恒等變換，即可求得角的大??；
（2）又余弦定理及三角形面積公式列方程組即可求得、的值.
【詳解】（1）解：在中，由正弦定理及得，
，
又，代入上式，
得，∵，∴，即，
∴，∵，∴，∴，∴.
（2）解：由（1）知，又，∴由余弦定理得，即，……①
又∵的面積為，∴有，即，∴有，……②
解由①②組成的方程組且得，.
2．在中，角，，所對(duì)的三邊分別為，，(三邊均為正整數(shù))，是的角平分線，，，.
(1)求，的值；
(2)求的大小及的長(zhǎng).
【答案】(1)，；
(2)，.
【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理、同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)余弦定理、兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）根據(jù)三角形的面積公式：
，.
又因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，所以.
從而可得：，即有，
可得，根據(jù)大邊對(duì)大角，可得為銳角.
，∴，
利用余弦定理可得：，代入數(shù)據(jù)可得：.
計(jì)算可得：或（不是正整數(shù)，舍去），
因此，即可得：；
（2）在中使用余弦定理可得：
所以的值為，的值為，所以.在中，可得.
使用正弦定理可得：，代入數(shù)據(jù)可得：.
3．已知，，分別為的內(nèi)角，，的對(duì)邊，且
(1)求；
(2)若，的面積為，求，.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知等式由正弦定理邊化角，再由兩角和的正弦公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，可求角.
（2）由三角形面積公式和余弦定理，列方程組求，.
【詳解】（1）已知，由正弦定理得：，
故，
由，得：，
代入上式，于是，
由，得，從而上式消去得，
于是，即，由得.
（2）由的面積為得：，代入，得：①，
由余弦定理得，代入，，，得：②，
由①②解得.
4．在中，角所對(duì)的邊分別為，，，已知，，且.
(1)求的面積；
(2)若是線段的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，利用余弦定理即可得到，進(jìn)而得到角A，再利用三角形面積公式即可得解；
（2）由平面向量中點(diǎn)的性質(zhì)得，再利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>在中，由余弦定理得，
因?yàn)?，所以，又，?br>故的面積.
（2）因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，
所以，則，
所以，
所以，即的長(zhǎng)為.
5．記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，且的面積為.
(1)求a的大??；
(2)若點(diǎn)D在邊BC上，且，求線段AD的長(zhǎng).
【答案】(1)或
(2)或.
【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式分類(lèi)討論即可求得的值.
（2）分類(lèi)討論利用余弦定理即可求得.
【詳解】（1）由題意可得：，解得：，∴或120°.
①當(dāng)時(shí)，由余弦定理得：解得：.
②當(dāng)時(shí)，由余弦定理得：解得：.
綜上：或.
（2）由（1）知，①當(dāng)時(shí)，，易得，解得：.
②當(dāng)時(shí)，，
由余弦定理得：，在中，
有余弦定理可得：
解得：.
綜上：或.
6．如圖，在平面四邊形ABCD中，，于點(diǎn)E，，且△ACD的面積為△ABC面積的2倍．
(1)求值；
(2)當(dāng)時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用三角形面積公式和面積之間的關(guān)系得到；
（2）由正弦定理得，則有，分情況討論即可.
【詳解】（1），，
，，
.
（2）由題,在中,,，
.
又.
在中,由余弦定理,得.
當(dāng)時(shí),.
當(dāng)時(shí),.
綜上:或.
7．已知四邊形內(nèi)接于圓，，，，平分.
(1)求圓的半徑；
(2)求的長(zhǎng).
【答案】(1)(2)8
【分析】（1）連接，由余弦定理求解的長(zhǎng)，再根據(jù)正弦定理求圓的半徑；
（2）由余弦定理求解，再根據(jù)平方公式得，由已知結(jié)合正弦兩角差公式可得的值，再由正弦定理可得的長(zhǎng).
【詳解】（1）解：如圖，在圓中，連接，
在中，由余弦定理得：，
所以，
設(shè)圓О半徑為R，由正弦定理得：∴，所以半徑；
（2）解：由余弦定理得，
由于，所以，
因?yàn)槠椒?，所以?br>所以，
由正弦定理得.
8．請(qǐng)?jiān)谶@三個(gè)條件：①；②；③，中任選一個(gè)條件補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.如圖，銳角中，，______，，在邊上，且，點(diǎn)在邊上，且，交于點(diǎn).
(1)求的長(zhǎng)；
(2)求及的長(zhǎng).
【答案】(1)5
(2),.
【分析】(1)利用正弦定理，結(jié)合①所給條件即可求解，利用正弦定理，結(jié)合②所給條件可求解，利用正弦定理，結(jié)合③所給條件可求解；(2)利用同角三角函數(shù)的關(guān)系結(jié)合兩角和的余弦公式可求出，再利用余弦定理求出，中利用余弦定理即可求出，進(jìn)而在直角三角形中可求解.
【詳解】（1）選擇①，
在銳角中，，，
由正弦定理得,
所以,
選擇②，
因?yàn)?，所以?br>在中，由余弦定理得,
所以，整理得，
解得或（舍），
選擇③，
因?yàn)?，所以?br>在中，由余弦定理得,
所以，解得.
（2）由（2）知，選擇①，②，③所得結(jié)果一樣，因此選擇②，③也可得，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以
，
因?yàn)椋?br>，
在中，，，
，
，
由，所以，
.
9．在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，點(diǎn)在邊上，且，.
(1)求的值；
(2)若，的面積為，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，，在中，利用正弦定理得，利用正弦定理以及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得出的值；
（2）分析可知，為等腰直角三角形，利用三角形的面積公式可求得，進(jìn)而可求得的值，再利用余弦定理可求得的值.
【詳解】（1）解：設(shè)，，
在中，由正弦定理可得，即，
即，由正弦定理可得，所以，，
因此，.
（2）解：因?yàn)?，，，則為等腰直角三角形，且，
所以，，所以，，
則，，，
由余弦定理可得，故.
10．在中，角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足，．
(1)求csC的值；
(2)若，D是AB的中點(diǎn)，求CD的長(zhǎng)．
【答案】(1)
或；
(2)
或.
【分析】(1)討論，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系求，再由兩角和差余弦公式求的值；
(2)討論，利用正弦定理解可求，再由余弦定理解即可求得CD的長(zhǎng).
【詳解】（1）在中，，，
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，
（2）由(1) 當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以?br>在中，由正弦定理可得，
又，，，所以，
在中，由余弦定理可得
又，，，
所以，所以，
由(1) 當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以?br>在中，由正弦定理可得，
又，，，所以，
在中，由余弦定理可得
又，，，所以
11．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，.
(1)求及；
(2)若，求邊上的高.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）正弦邊角關(guān)系及和角正弦公式得，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)求，再應(yīng)用二倍角公式有，進(jìn)而確定大??；
（2）應(yīng)用余弦定理及求得、，正弦定理求，即可求邊上的高.
【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得?br>所以，又，
所以，又，則.
因?yàn)?，即，又，所以?br>因?yàn)?，所?
（2）由（1）及余弦定理，得.
將，代入，得，
解得或（舍去），則.
因?yàn)?，所以?br>設(shè)邊上的高為，則.
12．已知A，B，C分別為三邊a，b，c所對(duì)的角，向量，，且．
(1)求角C的大??；
(2)若，且，求邊c的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角公式化簡(jiǎn)整理可得角C的大小；
（2）將中的角化邊，再將用三角形的邊角表示出來(lái)，然后利用余弦定理求出邊c的長(zhǎng).
【詳解】（1）由已知得．
因?yàn)?，所以?br>所以．
又，所以，
，則
所以．又，
所以；
（2）由已知及正弦定理得．
因?yàn)?，所以，所以?br>由余弦定理得，
所以，所以，
所以．
13．已知中，角的對(duì)邊分別為，．
(1)求；
(2)若的面積為，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用正弦定理邊化角，再結(jié)合和角公式，可求出．
（2）利用余弦定理，結(jié)合面積公式，計(jì)算即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得：?br>因?yàn)?，所以，，?br>又，所以.
（2）由及余弦定理知，,①
由面積公式：整理得：,②
結(jié)合①②可得,即得
，所以．
14．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
(1)求.
(2)若點(diǎn)D在邊AC上，且，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行角換邊得，結(jié)合余弦定理即可求出的值；
（2）利用轉(zhuǎn)化法得，兩邊同平方得，結(jié)合（1）中整理的式子即可解出的值.
【詳解】（1）據(jù)已知條件及正弦定理得
整理得，
又據(jù)余弦定理，則有，因?yàn)?br>則；
（2）因?yàn)椋?br>所以，
故,
即
所以,
整理得
故,
化解得，因?yàn)椋?br>故，
則.
15．如圖,在中,,,為線段上一點(diǎn),．
(1)求的值;
(2)當(dāng)時(shí),求線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 在中,由正弦定理得到之間的關(guān)系, 在中,由正弦定理得到之間的關(guān)系,根據(jù)和即可得的值;
(2)先由得到,又有,在中,由余弦定理即可得的長(zhǎng).
【詳解】（1）解:由題知在中,由正弦定理可得:
,
即,
在中,由正弦定理可得:
,
即,
因?yàn)?
所以,
所以,
因?yàn)?
所以;
（2）當(dāng)時(shí),
由(1)可知,
在中,由余弦定理可得:
,
即,
代入化簡(jiǎn)可得,
解得或（舍）,
故．
16．在中，，，分別為角、、的對(duì)邊，．
(1)求；
(2)若角的平分線交于，且，，求．
【答案】(1)?；
(2)?．
【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊角互換得到，然后根據(jù)正弦的和差公式得到，再進(jìn)行邊角互換得到，最后利用余弦定理求即可；
（2）根據(jù)角平分線定理得到，然后利用等面積的思路得到，解方程即可得到，，最后利用余弦定理求即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
即，
即，所以，
因?yàn)?，所?
（2）因?yàn)榻??的平分線?交?于?，且，
由角平分線定理得：，又，
即，
所以，即，所以，，
由余弦定理得，，所以.
17．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.
(1)求；
(2)若的面積為，求邊上的中線的長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式，結(jié)合正弦定理、余弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求出結(jié)果；
（2）利用三角形面積公式，及（1）的相關(guān)結(jié)論，再結(jié)合平面向量的四邊形法則，利用向量的線性表示出，最后利用求模公式即可求邊上的中線的長(zhǎng).
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
所以，
即，
所以，
由余弦定理及得：
，
又，
所以，
即，
所以，
所以.
（2）由，
所以，
由（1），
所以，
因?yàn)闉檫吷系闹芯€，
所以，
所以
，
所以，
所以邊上的中線的長(zhǎng)為：.
18．已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，.
(1)求角；
(2)若為的中點(diǎn)，且的面積為，，求的長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)即可得出答案；
（2）由面積公式及余弦定理求解即可.
【詳解】（1）由，根據(jù)正弦定理可得，得，得
，∵，，
∴，∴，即.
（2）根據(jù)題意可知，的面積為，
故，解得；
在中，利用余弦定理可得：，
化簡(jiǎn)求解得：，故，
在和中，，
，因?yàn)椋?br>不難求得：.
19．一塊土地形狀為四邊形，其中，
(1)求這塊土地的面積；
(2)若為中點(diǎn)，在CD邊上，且EF將這塊土地面積平分，求CF的長(zhǎng)度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為，結(jié)合余弦定理來(lái)求得正確答案.
（2）設(shè)，結(jié)合正弦定理、兩角和的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式等知識(shí)求得，利用三角形的面積列方程，由此求得的長(zhǎng).
【詳解】（1）由已知得，，
，所以，
在三角形中，由余弦定理得，解得.
所以這個(gè)四邊形的面積為：
.
（2）連接，
由于，又將四邊形面積平分，
故，
設(shè)，則由正弦定理得，
所以，所以，
，
設(shè)，則，
解得，所以.
20．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，其面積為，且
(1)求角A的大?。?br>(2)若的平分線交邊于點(diǎn)，求的長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理及三角形面積公式即可求解，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合余弦定理即可得解；
（2）由向量的數(shù)量積運(yùn)算法則和余弦定理求出或，利用三角恒等變換和正弦定理進(jìn)行求解，得到正確答案.
【詳解】（1），
由正弦定理得：，即
即，即
所以，
因?yàn)?，所?
（2）由（1）知：，所以，
即，解得：，
由余弦定理得：，所以，
解得：，解得：或
當(dāng)?shù)茫海?br>則，
所以，
在三角形ABT中，由正弦定理得：，，
即，解得：；
當(dāng)時(shí)，同理可得：；
綜上：
21．在中，角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)求角；
(2)若角的平分線與交于點(diǎn)，，，求線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）利用余弦定理角化邊或利用正弦定理邊化角即可求解；
（2）在和中用兩次正弦定理可得，然后在中利用余弦定理可得的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得的大小，再在中利用余弦定理即可求解.
【詳解】（1）解法一：由余弦定理可得，
即，整理可得，
所以，
因?yàn)?，所?
解法二：由正弦定理可得，
因?yàn)?，?br>所以，
因?yàn)?，所以?
因?yàn)?，所?
（2）如圖所示
由題意可得是角的平分線，，，
在中，由正弦定理可得，
即，解得，
在中，由正弦定理可得，
即，解得，
所以，由正弦定理邊角互化得，
在中由余弦定理解得，
所以，
在由余弦定理得，
解得.
22．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，點(diǎn)在邊上，．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中和在中，分別利用正弦定理求出，再結(jié)合已知即可得解；
（2）在中，利用余弦定理求出，在中，再次利用余弦定理即可得解.
【詳解】（1）解：在中，
由，得，
在中，
由，得，
則，
因?yàn)?，所以?br>又，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以；
（2）解：在中，，
，
即，解得（舍去），
在中，，
則，
所以，
即.
23．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，且．
(1)求B；
(2)若的周長(zhǎng)為，求BC邊上中線的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）已知條件結(jié)合余弦定理求得，再由正弦定理求.
（2）由（1）求出角，利用三角形周長(zhǎng)求出各邊的長(zhǎng)，再由余弦定理求BC邊上中線的長(zhǎng)．
【詳解】（1）由，有，
又，所以，即，
由余弦定理，得．
又，所以，
由及正弦定理，得，所以，
由，得，所以，解得.
（2）由（1）可知，，所以，
所以，由，得．
因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，
所以，解得．
設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則，如圖所示:
在中由余弦定理，得：
，
所以BC邊上中線的長(zhǎng)為．
24．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且.
(1)求的值;
(2)給出以下三個(gè)條件:條件①:;條件②:,;條件③:.這三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確,請(qǐng)選出正確的條件并回答下面的問(wèn)題:
（i）求的值;
（ii）求的角平分線的長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)①③正確,（i）;（ii）
【分析】（1）將原式直接利用輔助角公式,容易求出,結(jié)合則易知;
（2）結(jié)合,此時(shí)是三邊最大,而條件②中與已知矛盾,故條件①③正確,再結(jié)合面積公式,余弦定理以及三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）解:由題意知
,
即
,,
故;
（2）由（1）得,
,故條件②不成立,即條件①③正確,
在中,由余弦定理可得:
,
即,
對(duì)于條件①:,
與上式結(jié)合可得,
對(duì)于條件③:,
故,所以,
將代入可得: ,
（i）在中,由正弦定理可得:
,
即,
,
（ii）是的角平分線,
,
,
,,
在中,由余弦定理可得
,
故.
綜上:條件①③正確, ,.
25．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.
(1)求；
(2)如圖，若為外一點(diǎn)，且，，，，求.并求.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根據(jù)條件，運(yùn)用倍角公式和差公式正弦定理化簡(jiǎn)即可；
（2）連接，先求出，再求出，利用兩角差的正弦公式求出，運(yùn)用正弦定理求出BC即可.
【詳解】（1）解：由，得，
即，
由正弦定理得，
整理得，
∴，又，∴，∴；
又，∴；
（2）解：
連接，因?yàn)?，，?br>所以，，
所以，所以．
又，所以，
所以，
在中，由正弦定理可得，即，
所以.
26．如圖，為內(nèi)的一點(diǎn)，的內(nèi)角記為，記為，且，在中的對(duì)邊分別記為，，，，.
(1)求；
(2)若，，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)，利用正弦定理得到化簡(jiǎn)求解；
（2）在中，利用余弦定理化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)，，利用勾股定理得到，進(jìn)而有，然后在中，利用余弦定理求解.
【詳解】（1）解：由題知：在中，，
由正弦定理得，
所以，即，
因?yàn)椋?br>所以，，
即；
（2）在中，由余弦定理知：，
所以，
解得或（舍），
因?yàn)?，?br>所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理知：，
所以，即.
27．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.
(1)求角C；
(2)若，D為邊BC的中點(diǎn)，的面積且，求AD的長(zhǎng)度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根據(jù)正弦定理，將等式中的邊轉(zhuǎn)化成角，然后通過(guò)三角函數(shù)恒等變換求出角的正切值，進(jìn)而求出角.
（2）首先由面積可得，利用面積公式可得，再利用余弦定理得，通過(guò)聯(lián)立方程可求出，最后在中使用余弦定理即可求出的長(zhǎng)度.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br>又，所以，
因?yàn)?，所以，所以?br>即，又，所以；
（2）由面積可得，
則，即，得①，
又，所以②，
聯(lián)立①②得或，又，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以.
28．在中，點(diǎn)D在線段AC上，，且．
(1)求的值；
(2)若，，求線段BD的長(zhǎng)度．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由，可知，利用三角形面積公式，結(jié)合已知條件即可得出答案；
（2）設(shè)，則，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，結(jié)合條件，即可求出結(jié)果．
【詳解】（1）在中，點(diǎn)D在線段AC上，，所以，
則，
即，
又因?yàn)?，則，
則，即．
（2）設(shè)，則，又，，，
在中，由余弦定理得，則，
在中，由余弦定理得，則，
又，即，所以，解得：，
所以．
29．在△ABC中，角的對(duì)邊分別為，且
(1)求角C；
(2)若，D為BC中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一：由正弦定理結(jié)合得到，從而得到；
法二：由余弦定理得到，從而得到，求出；
（2）法一：由求出，進(jìn)而得到，由正弦定理求出，故，在中，由余弦定理求出答案；
法二：求出，在中，由正弦定理得到，因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以，進(jìn)而利用向量的數(shù)量積運(yùn)算法則求出答案.
【詳解】（1）法一：，由正弦定理，得
，
整理得：，
因?yàn)?，所?br>故，又，所以，
法二：，
由余弦定理，得，
得，
故，
又，所以；
（2）法一：因?yàn)椋蕿殇J角，
因?yàn)?，所?br>又，
由正弦定理知，，所以BC=，
又D為BC中點(diǎn)，所以，
在中，由余弦定理知：
，
解得：.
法二：
，
在中，由正弦定理得，即，
因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以，
，
所以.
30．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，為邊上一點(diǎn)，若.
(1)證明：平分；
(2)若為銳角三角形，，，，求的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）分別在△ABD、△ACD中利用正弦定理進(jìn)行邊化角，結(jié)合題意化簡(jiǎn)整理；
（2）在中，由余弦定理結(jié)合題意求出，再由可求得，在三角形△ACD中，由余弦定理即可求出的長(zhǎng).
【詳解】（1）設(shè)∠BAD＝α，∠CAD＝β，
在△ABD中，由正弦定理得：，即，
在△ACD中，由正弦定理得：，即
由題意可得：，則
∵，則
∴，
又因?yàn)椋?br>所以?=?，即，
所以AD平分∠BAC；
（2）在中，由余弦定理得：，
化簡(jiǎn)得：，所以或，
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闉殇J角三角形，
所以不符合題意.
因?yàn)?，設(shè)，
所以，解得：，所以，
在三角形△ACD中，由余弦定理可得，
.
故的長(zhǎng)為.

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