1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、 直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個基本事實和一個定理，并能應(yīng)用定理解決問題.
1.基本事實1：過_______________的三個點，有且只有一個平面.基本事實2：如果一條直線上的_______在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi).基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有_____過該點的公共直線.基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線______.
2.“三個”推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.推論2：經(jīng)過兩條______直線，有且只有一個平面.推論3：經(jīng)過兩條______直線，有且只有一個平面.3.空間中直線與直線的位置關(guān)系
_____直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；_____直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點；
異面直線：不同在_____一個平面內(nèi)，沒有公共點.
4.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系
5.等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角___________.6.異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍：______.
1.過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.2.分別在兩個平行平面內(nèi)的直線平行或異面.
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)沒有公共點的兩條直線是異面直線.(　 　)(2)直線與平面的位置關(guān)系有平行、垂直兩種.(　 　)(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.(　 　)(4)兩兩相交的三條直線共面.(　 　)
1.(多選)如圖是某正方體的平面展開圖，則在這個正方體中，下列說法正確的是A.BM與ED平行B.CN與BM成60°角C.CN與BE是異面直線D.DM與BN是異面直線
正方體的直觀圖如圖所示.很顯然，BM與ED不平行，故A錯誤；連接AN，AC，易知△ACN是等邊三角形，CN與BM所成角即為∠ANC＝60°，故B正確；連接BE，易知CN∥BE，故C錯誤；連接BN，DM，易知DM與BN是異面直線，故D正確.
2.已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與bA.一定是異面直線B.一定是相交直線C.不可能是平行直線D.不可能是相交直線
由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b∥c，則a∥b，與已知a，b為異面直線相矛盾.
3.如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則(1)當(dāng)AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為菱形；
∴四邊形EFGH為平行四邊形，∵四邊形EFGH為菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)當(dāng)AC，BD滿足條件__________________時，四邊形EFGH為正方形.
AC＝BD且AC⊥BD
∵四邊形EFGH為正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∴AC＝BD且AC⊥BD.
例1　已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點共面；
(2)若A1C交平面DBFE于點R，則P，Q，R三點共線；
(3)DE，BF，CC1三線交于一點.
共面、共線、共點問題的證明(1)共面：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi).(2)共線：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.(3)共點：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必經(jīng)過A.點AB.點BC.點C但不過點MD.點C和點M
①證明：四邊形BCHG是平行四邊形；
故GH∥BC且GH＝BC，所以四邊形BCHG是平行四邊形.
②C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？
命題點1　空間位置關(guān)系的判斷例2　(1)(多選)下列推斷中，正確的是A.M∈α，M∈β，α∩β＝l?M∈lB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC.l?α，A∈l?A?αD.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合
(2)(2023·龍巖模擬)若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是A.異面或平行 B.異面或相交C.異面 D.相交、平行或異面
命題點2　異面直線所成的角例3　(1)如圖所示，圓柱O1O2的底面半徑為1，高為2，AB是一條母線，BD是圓O1的直徑，C是上底面圓周上一點，∠CBD＝30°，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為
連接AO2，設(shè)AO2的延長線交下底面圓周上的點為E，連接CE，易知∠CAE(或其補角)即為異面直線AC與BD所成的角，連接CD(圖略)，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BD＝2，∠CBD＝30°，得BC＝ ，CD＝1.
(2)(2023·長治模擬)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝2，E為BB1上一點，平面AEC1將三棱柱分為上、下體積相等的兩部分，則AE與B1C1所成角的余弦值為
如圖，作C1H⊥A1B1于點H，
易得AC⊥平面BB1C1C，
平面AEC1將三棱柱分為兩個體積相等的四棱錐C1－A1AEB1和A－BCC1E，
即 ＝ ，則x＝1，所以E為BB1的中點，取CC1中點為F，連接EF，則EF∥B1C1，∠AEF(或其補角)即為異面直線AE與B1C1所成角，
(1)點、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體(長方體、正方體)模型來判斷，常借助正方體為模型.(2)求異面直線所成角的方法
跟蹤訓(xùn)練2　(1)(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，以下四個選項正確的是A.直線AM與CC1是相交直線B.直線AM與BN是平行直線C.直線BN與MB1是異面直線D.直線AM與DD1是異面直線
(2)如圖，在圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝ SB，則異面直線SC與OE所成角的正切值為
如圖，過點S作SF∥OE，交AB于點F，連接CF，則∠CSF(或其補角)為異面直線SC與OE所成的角.
(3)平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為
例4　(1)(多選)用一個平面α截正方體，把正方體分為體積相等的兩部分，則下列結(jié)論正確的是A.這兩部分的表面積一定不相等B.截面不會是三角形C.截面不會是五邊形D.截面可以是正六邊形
空間幾何體的切割(截面)問題
如圖，一個平面α截正方體，把正方體分為體積相等的兩部分，則平面α一定過正方體的中心，所以這兩部分的表面積相等，根據(jù)對稱性，截面不會是三角形、五邊形，但可以是正六邊形(如圖).
(2)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60°，以D1為球心， 為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為______.
如圖，連接B1D1，易知△B1C1D1為正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分別取B1C1，BB1，CC1的中點M，G，H，連接D1M，D1G，D1H，
由題意知G，H分別是BB1，CC1與球面的交點.
由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，
(1)作截面應(yīng)遵循的三個原則：①在同一平面上的兩點可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線.(2)作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實3作交線；②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.
跟蹤訓(xùn)練3　(1)(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和C1C上(異于端點)，則過三點A，F(xiàn)，E的平面被正方體截得的圖形(截面)可能是A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形
(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中點，平面α經(jīng)過直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為_____.
1.若直線上有兩個點在平面外，則A.直線上至少有一個點在平面內(nèi)B.直線上有無窮多個點在平面內(nèi)C.直線上所有點都在平面外D.直線上至多有一個點在平面內(nèi)
2.(多選)下列命題中不正確的是A.空間四點共面，則其中必有三點共線B.空間四點不共面，則其中任意三點不共線C.空間四點中有三點共線，則此四點不共面D.空間四點中任意三點不共線，則此四點不共面
對于平面四邊形來說不成立，故A不正確；若四點中有三點共線，則根據(jù)“直線與直線外一點可以確定一個平面”知四點共面，與四點不共面矛盾，故B正確；由B的分析可知C不正確；平面四邊形的四個頂點中任意三點不共線，但四點共面，故D不正確.
3.已知平面α，β，γ兩兩垂直，直線a，b，c滿足a?α，b?β，c?γ，則直線a，b，c不可能滿足以下哪種關(guān)系A(chǔ).兩兩垂直 B.兩兩平行C.兩兩相交 D.兩兩異面
如圖1，可得a，b，c可能兩兩垂直；如圖2，可得a，b，c可能兩兩相交；如圖3，可得a，b，c可能兩兩異面.
4.在底面半徑為1的圓柱OO1中，過旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB＝2，E是 的中點，F(xiàn)是AB的中點，則A.AE＝CF，AC與EF是共面直線B.AE≠CF，AC與EF是共面直線C.AE＝CF，AC與EF是異面直線D.AE≠CF，AC與EF是異面直線
5.如圖，已知四面體ABCD 的各條棱長均等于4，E，F(xiàn) 分別是棱AD，BC 的中點.若用一個與直線EF垂直，且與四面體的每一個面都相交的平面α 去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積的最大值為
將正四面體補成正方體如圖所示，
由于EF⊥平面α，且平面α與四面體的每一個面都相交，故截面為平行四邊形MNKL，且KL＋KN＝4，又KL∥BC，KN∥AD，且AD⊥BC，∴KN⊥KL，∴ 平行四邊形MNKL 為矩形，
當(dāng)且僅當(dāng)KN＝KL＝2 時取等號.
6.(2021·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為
7.(2023·廣州模擬)如圖為四棱錐A－DEFG的側(cè)面展開圖(點G1，G2重合為點G)，其中AD＝AF，G1D＝G2F.E是線段DF的中點，請寫出四棱錐A－DEFG中一對一定相互垂直的異面直線____________________________________.(填上你認為正確的一個結(jié)論即可，不必考慮所有可能的情形)
AE，DF(或AE，DG或AE，GF
還原該四棱錐的直觀圖如圖所示，連接DF和GE，相交于點O，連接AO，∵DG＝FG，DE＝EF，GE＝GE，∴△GDE≌△GFE，∴∠DGO＝∠FGO，又∵DG＝FG，GO＝GO，∴△DGO≌△FGO，
∵AD＝AF，OD＝OF，∴AO⊥DF，
∵AO∩OE＝O，AO，OE?平面AOE，∴DF⊥平面AOE，又AE?平面AOE，∴DF⊥AE.
8.如圖是某機械零件的幾何結(jié)構(gòu)，該幾何體是由兩個相同的直四棱柱組合而成的，且前后、左右、上下均對稱，每個四棱柱的底面都是邊長為2的正方形，高為4，且兩個四棱柱的側(cè)棱互相垂直.則這兩個四棱柱的表面相交的交線段總長度為______.
9.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；
(2)設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線.
(1)三棱錐P－ABC的體積；
(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值.
如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補角).
12.如圖，E，F(xiàn)分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，C1D1的中點，若AB＝6，則過A，E，F(xiàn)三點的截面的面積為
連接EF，作直線EF分別與直線DC，DD1的延長線相交于點P，Q，連接AP交BC于點M，連接AQ交A1D1于點N，連接NF，ME.則五邊形AMEFN即為過A，E，F(xiàn)三點的截面，如圖所示.
在平面ABD中，過E作EG∥AB，交DB于點G，連接GF，如圖，
則GF∥CD，∴∠EGF(或其補角)即為AB與CD所成角，
∴∠EGF＝120°，∴AB與CD所成角的大小為60°.
(1)球O的表面積為_____；
(2)若D是BC的中點，過點D作球O的截面，則截面面積的最小值是_____.
15.(2023·重慶模擬)如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長為2，AB⊥BC，AB＝BC＝2，過AB，BB1的中點E，F(xiàn)作平面α與平面AA1C1C垂直，則平面α與該直三棱柱所得截面的周長為 __________.
如圖所示，取AC的中點D，連接BD，取A1C1的中點D1，連接B1D1，取AD的中點G，連接EG，連接EF，分別取C1D1，B1C1的中點M，N，連接MN，F(xiàn)N，GM，可得EG∥BD，BD∥B1D1，MN∥B1D1，即有EG∥MN，又由AB＝BC，可得BD⊥AC，因為AA1⊥平面ABC，可得AA1⊥BD，
又AC∩AA1＝A，AC，AA1?平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C，可得EG⊥平面AA1C1C，由面面垂直的判定定理，可得平面EGMNF⊥平面AA1C1C，則平面EGMNF即為平面α，
16.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，點E是PB的中點.
(1)線段PA上是否存在一點G，使得點D，C，E，G共面？若存在，請證明，若不存在，請說明理由；
存在.當(dāng)G為PA的中點時滿足條件.如圖，連接GE，GD，則GE是△PAB的中位線，所以GE∥AB.又AB∥DC，所以GE∥DC，所以G，E，C，D四點共面.
(2)若PC＝2，求三棱錐P－ACE的體積.

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