新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)練習(xí)10空間距離與體積問題（2種考法）（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考法1：距離問題
考法2：體積問題
二、命題規(guī)律與備考策略
一.求點(diǎn)到平面的距離的四步驟
二、常見幾何體體積的四種求法
1.直接法求體積（也稱公式法）
直接利用常見幾何體的體積計算公式求解體積即可。
可直接使用公式的題目，“高”一般都可直接或間接找到
2.等體積法求三棱錐體積
1、等體積轉(zhuǎn)化法一般情況下是三棱錐才有的特性。
2、盡可能尋找在表面的三個點(diǎn)，通過三棱錐“換底”求解三棱錐的體積。
【注意】“換底”的結(jié)果是使新底面所對應(yīng)的高簡單易求。
3.多面體割補(bǔ)法求體積
1、分割法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，當(dāng)規(guī)則的幾何體用公式不易求出時，
再將其分割沒轉(zhuǎn)化成比較好求體積的幾何體；
【注意】大多數(shù)情況下，可以把不規(guī)則幾何體分割為三棱錐+四棱錐
多從四棱錐底面對角線或者幾何體表面四邊形對角線處尋找分割的“刀口”
2、補(bǔ)形法：把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，便于計算；
常見的補(bǔ)形有：（1）將正四面體補(bǔ)形成正方體；
（2）將等腰四面體（對棱相等）補(bǔ)形成長方體；
（3）將三條棱兩兩相互垂直且相等的三棱錐補(bǔ)成正方體；
（4）將臺體補(bǔ)成錐體等等。
【注意】題設(shè)條件存在將規(guī)則幾何體切去一些部分剩余的幾何體的情況，補(bǔ)形法可簡化題目。
4.兩部分體積比例法（轉(zhuǎn)移法）
利用祖暅原理和等積変化，把所求的幾何體轉(zhuǎn)化為與它等底、等高的幾何體的體積。
【注意】利用好“同底等高”和“同底比例高”，本質(zhì)就是尋找合適的底面和平行高轉(zhuǎn)化。
三、題型方法
考法1：距離問題
1．（2023?新鄉(xiāng)一模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是CD，PB的中點(diǎn)．
（1）證明：EF∥平面PAD；
（2）若四棱錐P﹣ABCD的體積為32，△DEF的面積為4，求B到平面DEF的距離．
2．（2023?陳倉區(qū)模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是正方形，PD＝AD＝1，PD⊥平面ABCD，點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱PB上的一點(diǎn)，且EF⊥PB．
（1）求證：PA∥平面EDB；
（2）求點(diǎn)F到平面EDB的距離．
3．（2023?貴州模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，E，F(xiàn)分別是棱BC，PA的中點(diǎn)．
（1）證明：EF∥平面PCD．
（2）若AB＝1，AD＝PD＝2，CD＝3，∠PDC＝120°，求點(diǎn)C到平面DEF的距離．
4．（2023?天津模擬）如圖，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2．
（1）若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：MN∥平面CDE；
（2）求二面角E一BC一F的正弦值；
（3）求直線AD到平面EBC的距離．
5．（2023?喀什地區(qū)模擬）如圖，已知三角形P′AB是等腰三角形，P′A＝AB＝2，P′A⊥AB，C，D分別為P′B，P′A的中點(diǎn)，將△P′CD沿CD折到△PCD的位置如圖2，且，取線段PB的中點(diǎn)為E．
（1）求證：CE∥平面PAD；
（2）求點(diǎn)B到面ACE的距離．
6．（2023?安康模擬）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)，G分別是棱BC，AD，PA的中點(diǎn)．
（1）證明：PE∥平面BFG；
（2）若AB＝2，求點(diǎn)C到平面BFG的距離．
7．（2023?涼山州模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，AB＝PA＝2，且直線PD與底面ABCD所成的角為．
（1）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求點(diǎn)C到平面PBD的距離．
8．（2023?江西模擬）如圖，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，P為BB1的中點(diǎn)，M為B1C1的中點(diǎn)，
（1）求證：D1M∥平面A1DP；
（2）若AA1＝AB＝2，∠BAD＝60°，求M到平面A1DP的距離．
9．（2023?鄭州模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥AB，PD＝DC＝4，AB＝AD＝2．
（1）證明：平面PBC⊥平面PBD；
（2）求點(diǎn)D到平面PBC的距離．
10．（2023?甘肅模擬）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PB＝PD．
（1）證明：BD⊥PC；
（2）若，PB＝AB＝BD＝2，求點(diǎn)A到平面PCD的距離．
11．（2023?阿勒泰地區(qū)三模）在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，AB＝2BC＝2CD，如圖①，以DE為折痕將△ADE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，如圖②．
（1）證明：CP⊥DE；
（2）若CE⊥平面DEP，且AB＝2，求點(diǎn)C到平面PBD的距離．
12．（2023?射洪市模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝2CD＝2，△APD為?等邊三角形，E為棱PB的中點(diǎn)．
（1）證明：CE∥平面PAD；
（2）當(dāng)PB＝時，求證：平面PAD⊥平面ABCD．并求點(diǎn)E與到平面PCD的距離．
13．（2023?河南模擬）在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，AD＝2，，，△PAD為等邊三角形，∠PDC＝∠ADC＝45°．
（1）證明：平面PDC⊥平面PBC；
（2）求點(diǎn)C到平面PAB的距離．
14．（2023?新疆模擬）如圖，在四棱錐 P﹣ABCD 中，底面ABCD是長方形，2AD＝CD＝PD＝2，PA＝，∠PDC＝120°，點(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AB上，且AF＝．
（1）證明：平面PCD⊥平面PAD；
（2）求點(diǎn)C到平面DEF的距離．
15．（2023?榆林一模）如圖．在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠DAB＝60°，PA⊥PD，且PA＝PD＝，AB＝2CD＝2．
（1）證明：AD⊥PB．
（2）求點(diǎn)A到平面PBC的距離．
16．（2023?呼和浩特模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E、F、G分別是棱AB、AP、PD的中點(diǎn)．
（1）證明：PC∥平面EFG；
（2）若PC＝PD＝CD＝2，AC＝AD＝AP＝2，求點(diǎn)C到平面EFG的距離．
17．（2023?駐馬店三模）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E為CC1上一點(diǎn)，AB＝CE＝2，AA1＝3，D為BB1上一點(diǎn)，三棱錐D﹣A1B1C1的體積為．
（1）求證：平面A1DE⊥平面ABB1A1；
（2）求點(diǎn)E到平面A1C1D的距離．
18．（2023?新余二模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC的中點(diǎn)．
（1）證明：AE⊥平面PBC；
（2）求點(diǎn)P到平面AEF的距離．
19．（2023?鄭州模擬）在幾何體ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝，AC＝3，點(diǎn)D，E在棱AC上，且AD＝DE＝EC，三棱柱DBE﹣A1B1C1是直三棱柱．
（1）求證：平面A1BE⊥平面ABB1；
（2）若A1D＝2，求點(diǎn)A1到平面AB1C的距離．
20．（2023?貴陽模擬）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)．
（1）證明：PO⊥平面ABC；
（2）若點(diǎn)M在BC上且＝2，求點(diǎn)M到平面PAB的距離．
21．（2023?徐匯區(qū)校級三模）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝AD＝1，D1D＝CD＝2，AB⊥AD．
（1）求證：BC⊥平面D1DB；
（2）求點(diǎn)D到平面BCD1的距離．
考法2：體積問題
1．（2023?吳忠模擬）如圖，已知多面體FABCDE的底面ABCD是邊長為2的菱形，F(xiàn)A⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，DE∥AF，且FA＝3DE＝3．
（1）在線段AB上是否存在點(diǎn)M，使得ME∥平面BCF；
（2）求三棱錐A﹣EFC的體積．
2．（2023?九江三模）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，D為CC1的中點(diǎn)，．
（1）求證：平面AB1C⊥平面ABD；
（2）若，求三棱錐B1﹣ABD的體積．
3．（2023?遵義模擬）如圖，棱臺ABCD﹣A'B'C'D'中，AA'＝BB'＝CC'＝DD'＝，底面ABCD是邊長為4的正方形，底面A′B′C′D′是邊長為2的正方形，連接AC′，BD，DC′．
（1）證明：AC′⊥BD．
（2）求三棱錐D﹣BCC′的體積．
4．（2023?河南模擬）如圖，ABCD﹣A1B1C1D1是棱長為2的正方體，E是B1D1的中點(diǎn)．
（1）證明：CE⊥BD；
（2）求三棱錐A﹣B1CE的體積．
5．（2023?商洛三模）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是等腰梯形，AD∥BC，BC＝2AB＝2AD＝2，，PC⊥底面ABCD，M為棱AP上的一點(diǎn)．
（1）證明：AB⊥CM；
（2）若三棱錐P﹣CDM的體積為，求的值．
6．（2023?重慶模擬）如圖，在正三棱錐S﹣ABC中，E是高SO上一點(diǎn)，，直線AE與底面所成角的正切值為．
（1）求證：AE⊥平面EBC；
（2）求三棱錐E﹣ABC外接球的體積．
7．（2023?江西模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PBC．
（1）證明：四邊形ABCD是正方形；
（2）若PA＝AB＝3，M為PC上一點(diǎn)，且滿足PC＝3PM，求三棱錐P﹣ABM的體積．
8．（2023?重慶模擬）如圖，EA⊥平面ABCD，EA∥FC，AC＝EA＝2FC＝2，四邊形ABCD為菱形．
（1）證明：FA⊥平面EBD；
（2）若直線AB與平面EBD所成角的正弦值為，求三棱錐E﹣BDF的體積．
9．（2023?河南模擬）如圖，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，A1A＝A1B＝A1C＝2，∠BAC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段A1C1上一點(diǎn)．
（1）求證：AB⊥EF；
（2）設(shè)P是棱AA1上的動點(diǎn)（不包括邊界），當(dāng)△PBC的面積最小時，求棱錐P﹣ABC的體積．
10．（2023?湖南模擬）如圖，四邊形ABCD為正方形，四邊形ADEF是梯形，AF∥DE，AD＝DE＝3AF，平面ADEF⊥平面ABCD，且ED⊥BD，點(diǎn)P是線段FC上的一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）．
（1）證明BD⊥FC；
（2）若AF＝1，且直線EC與平面PBD所成角的大小為45°，求三棱錐C﹣PBD的體積．
11．（2023?安陽模擬）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC是等邊三角形，D，E，F(xiàn)分別是棱B1C1，AC，BC的中點(diǎn)．
（1）證明：AD∥平面C1EF；
（2）若2AA1＝3AB＝3，求三棱錐A﹣C1DE的體積．
12．（2023?保定二模）如圖，四棱臺ABCD﹣EFGH的底面是菱形，且∠BAD＝，DH⊥平面ABCD，EH＝2，DH＝3，AD＝4．
（1）求證：AE∥平面BDG；
（2）求三棱錐 F﹣BDG的體積．
13．（2023?烏魯木齊模擬）在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，過點(diǎn)A作AD⊥BC，交線段BC于點(diǎn)D（如圖1），沿AD將△ABD折起，使∠BDC＝90°（如圖2）點(diǎn)E，M分別為棱BC，AC的中點(diǎn)．
（1）求證：CD⊥ME；
（2）求三棱錐A﹣BCD的體積最大值．
14．（2023?烏魯木齊模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，且PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，E是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且PF＝2FC．
（1）證明：DF∥平面PAB；
（2）求三棱錐P﹣AEF的體積．
15．（2023?開封三模）如圖，四邊形ABCD是圓柱OO1的軸截面，EF是圓柱的母線，P是線段AD的中點(diǎn)，已知AB＝4，BC＝6．
（1）證明：BF⊥平面EPF；
（2）若直線AB與平面EPF所成角為60°，求三棱錐B﹣EPF的體積．
16．（2023?咸陽模擬）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面BB1C1C是邊長為1的正方形，側(cè)面BB1C1C⊥側(cè)面AA1B1B，AB＝4，∠A1B1B＝60°，G是A1B1的中點(diǎn)．
（1）求證：平面GBC⊥平面BB1C1C；
（2）若P為線段BC的中點(diǎn)，求三棱錐A﹣PBG的體積．
17．（2023?河南三模）如圖所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝1，CD＝2，M是DD1的中點(diǎn)．
（1）證明：BC⊥B1M；
（2）若B1M⊥CM，求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的體積．
18．（2023?南寧一模）已知四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝4，BA＝BC＝2，M為PA中點(diǎn)，過C，D，M的平面截四棱錐P﹣ABCD所得的截面為α．
（1）若α與棱PB交于點(diǎn)F，畫出截面α，保留作圖痕跡（不用說明理由），并證明＝3．
（2）求多面體ABCDMF的體積．
19．（2023?平頂山模擬）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，且滿足AD＝DE＝2，CE＝1，將△ADE沿AE向上翻折，使點(diǎn)D到點(diǎn)P的位置，構(gòu)成四棱錐P﹣ABCE．
（1）若點(diǎn)F在線段AP上，且EF∥平面PBC，試確定點(diǎn)F的位置；
（2）若，求四棱錐P﹣ABCE的體積．
20．（2023?河南模擬）已知四棱錐P﹣ABCD，其中AD∥BC，AB⊥AD，CD＝，BC＝2AD＝2，平面PBC⊥平面ABCD，點(diǎn)E是PB上一點(diǎn)，CE⊥PB．
（1）求證：CE⊥平面PAB；
（2）若△CDE是等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)A到直線PC距離最大時，求四棱錐P﹣ABCD的體積．
21．（2023?江西模擬）在邊長為4的等邊△PCD（如圖甲）中，已知點(diǎn)A，B分別為PD，PC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△PAB沿直線AB翻折，使點(diǎn)P在底面ABCD的射影剛好為對角線AC與BD的交點(diǎn)H，連接PC，PD得到四棱錐P﹣ABCD（如圖乙）．
（1）求證：平面PBC⊥平面PBD．
（2）求四棱錐P﹣HBC的體積．
22．（2023?四川模擬）如圖所示，直角梯形ABDE和三角形ABC所在平面互相垂直，DB⊥AB，ED∥AB，AB＝2DE＝2BD＝2，AC＝BC，異面直線DE與AC所成角為45°．
（1）求證：平面ACE⊥平面BCD；
（2）若點(diǎn)F在CE上，當(dāng)△AFB面積最小時，求三棱錐F﹣ABE的體積．
23．（2023?柳南區(qū)二模）某校積極開展社團(tuán)活動，在一次活動過程中，一個數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻薨”這個五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，E、F、G分別是邊長為4的正方形的三邊AB、CD、AD的中點(diǎn)，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形ABCFG沿著線段EF折起，連接AB、CG就得到了一個“芻薨”（如圖2）．
（1）若O是四邊形EBCF對角線的交點(diǎn)，求證：AO∥平面GCF；
（2）若∠AEB＝，求三棱錐A﹣BEF的體積．
24．（2023?江西模擬）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BD⊥平面AB1C，其垂足D落在直線B1C上．
（1）求證：AC⊥B1C；
（2）若P是線段AB上一點(diǎn)，BD＝1，BC＝AC＝2，三棱錐B1﹣PAC的體積為，求的值．
25．（2023?呼和浩特模擬）如圖；在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝AA1＝4，AB＝5，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證 AC⊥BC1；
（Ⅱ）求三棱錐A1﹣CDB1的體積．
26．（2023?贛州二模）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為AB的中點(diǎn)，E為側(cè)棱CC1的中點(diǎn)．
（1）證明：DE∥平面AB1C1；
（2）設(shè)∠BAC＝90°，，且異面直線DE與B1C1所成的角為30°，求三棱錐D﹣AB1C1的體積．
27．（2023?內(nèi)江三模）在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，過點(diǎn)A作AD⊥BC，交線段BC于點(diǎn)D（如圖1），沿AD將△ABD折起，使∠BDC＝90°（如圖2），點(diǎn)E、M分別為棱BC、AC的中點(diǎn)．
（1）求證：CD⊥ME；
（2）在圖2中，當(dāng)三棱錐A﹣BCD的體積取最大值時，求三棱錐A﹣MDE的體積．
28．（2023?河南模擬）如圖，四邊形ABCD為菱形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，BD＝ED＝2FB．
（1）證明：平面EAC⊥平面FAC；
（2）記三棱錐A﹣EFC的體積為V1，三棱錐A﹣BFC的體積為V2，求．
29．（2023?南昌三模）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD與ABEF均為直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，DA⊥平面ABEF，AB⊥AF，AD＝AB＝2BC＝2BE＝2，G為直線AF上一點(diǎn)，AG＝1．
（1）求證：BG∥平面DCE；
（2）若BF與CE所成的角為60，求多面體ABCDEF的體積．
30．（2023?德陽模擬）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，P為AB邊上一動點(diǎn)，PD∥BC交AC于點(diǎn)D，現(xiàn)將△PDA沿PD翻折至△PDA'．
（1）△PDA沿PD翻折中是否會改變二面角C﹣BA'﹣P的大小，并說明理由；
（2）若PB＝CB＝2PD＝2，E是A'C的中點(diǎn)．求證：DE∥平面A'PB，并求當(dāng)平面PDA'⊥平面PBCD時四棱錐A'﹣PBCD的體積．
31．（2023?唐山二模）在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，BC＝1，∠BAD＝120°，PA⊥CD，PD⊥AC，點(diǎn)E是棱PD上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)．
（1）證明：PA⊥平面ABCD；
（2）若平面PAC與平面EAC的夾角的余弦值為，求四棱錐P﹣ABCD的體積．
32．（2023?合肥模擬）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為4，點(diǎn)M為棱AA1的中點(diǎn)，P，Q分別為棱BB1，CC1上的點(diǎn)，且B1P＝CQ＝1，PQ交BC1于點(diǎn)N．
（1）求證：MN∥平面ABCD；
（2）求多面體BDMPQ的體積．
33．（2023?五華區(qū)模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，△PAD為等邊三角形，M為PA的中點(diǎn)，PD⊥AB，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）證明：平面CDM⊥平面PAB；
（2）若AD∥BC，AD＝2BC，AB＝2，直線PB與平面MCD所成角的正弦值為，求三棱錐P﹣MCD的體積．
34．（2023?河南模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面四邊形ABCD為矩形，2OH＝2PO＝DC＝2，PO⊥平面ABCD，H為DC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面DPO⊥平面POC；
（2）求三棱錐H﹣POD體積的最大值．
35．（2023?鄭州模擬）如圖所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，C1E⊥平面ABCD，C1E＝4，點(diǎn)H在CC1上，且．
（1）若四邊形ABCD為平行四邊形，求證：EH∥平面AB1D1；
（2）若點(diǎn)F在BD上，EF∥BC，∠DBC＝90°，BC＝3，F(xiàn)B＝2，求四棱錐H﹣BCEF的體積．
36．（2023?山西模擬）如圖①，在矩形ABCD中，，E為AD的中點(diǎn)，如圖②，沿BE將△ABE折起，點(diǎn)P在線段AD上．
（1）若AP＝2PD，求證：AB∥平面PEC；
（2）若平面ABE⊥平面BCDE，是否存在點(diǎn)P，使得平面AEC與平面PEC的夾角為90°？若存在，求此時三棱錐C﹣APE的體積；若不存在，說明理由．
37．（2023?赤峰模擬）如圖，一半圓的圓心為O，AB是它的一條直徑，AB＝2，延長AB至C，使得BC＝OB，設(shè)該半圓所在平面為α，平面α外有一點(diǎn)P，滿足平面POC⊥平面α，且OP＝CP＝，該半圓上點(diǎn)Q滿足．
（1）求證：平面POQ⊥平面POC；
（2）若線段CQ與半圓交于R，求三棱錐O﹣PQR的體積．
38．（2023?赤峰三模）如圖，在四棱錐P﹣ABMN中，△PNM是邊長為2的正三角形，AN⊥NP，AN∥BM，AN＝3，BM＝1，，C，D分別是線段AB，NP的中點(diǎn)．
（1）求證：CD∥平面PBM；
（2）求四棱錐P﹣ABMN的體積．
39．（2023?西安模擬）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，側(cè)面PAB⊥底面ABC，∠PAB＝∠BAC＝150°，PA＝AC＝4，AB＝4，E、F分別是PB、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AB⊥EF；
（2）求四棱錐A﹣PEFC的體積．
40．（2023?江西模擬）如圖：在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，M為線段SA上一點(diǎn)，且2SM＝AM，平面CDM與側(cè)棱SB交于點(diǎn)N．
（1）求；
（2）平面CDM將四棱錐S﹣ABCD分成了上下兩部分，求四棱錐S﹣MNCD和多面體ABCDMN的體積之比．
41．（2023?南昌一模）已知直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD為菱形，且AB＝AD＝BD＝2，，點(diǎn)E為B1D1的中點(diǎn)．
（1）證明：AE∥平面BDC1；
（2）求三棱錐E﹣BDC1的體積．
42．（2023?河南模擬）在如圖所示的多面體ABCDE中，AE⊥平面ABC，AE∥CD，AE＝2CD＝2，CA＝CB＝3，AB＝2．
（1）證明：平面ABE⊥平面BDE；
（2）求多面體ABCDE的體積．
43．（2023?丹東模擬）如圖，PA，PB是圓錐的母線，延長底面圓O直徑AB到點(diǎn)C，使得BC＝OB，直線CE與圓O切于點(diǎn)D，已知AB＝2，二面角P﹣EC﹣A的大小為60°．
（1）求該圓錐的側(cè)面積；
（2）若平面PAE⊥平面PAC，求三棱錐P﹣AEC的體積．
44．（2023?四川模擬）如圖，四棱臺ABCD﹣EFGH中，底面ABCD是菱形，點(diǎn)M，N分別為棱BC，CD的中點(diǎn)，CG⊥MN，，AE＝EF＝1，AB＝2．
（1）證明：平面ABFE⊥平面ABCD；
（2）當(dāng)時，求多面體ABMN﹣EFGH的體積．
45．（2023?遂寧模擬）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，H為△ABC的內(nèi)心，直線AH與BC交于M，∠PAB＝∠PAC，∠PCA＝∠PCB．
（1）證明：平面PAM⊥平面ABC；
（2）若AB⊥BC，PA＝AB＝3，BC＝4，求三棱錐M﹣PAC的體積．
46．（2023?廣州三模）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為正方形，AB＝AP＝2，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段PB，PD的中點(diǎn)，G是線段PC上的一點(diǎn)．
（1）求證：平面EFG⊥平面PAC；
（2）若直線AG與平面AEF所成角的正弦值為，且G點(diǎn)不是線段PC的中點(diǎn)，求三棱錐E﹣ABG體積．
47．（2023?咸陽二模）如圖，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝8，AB＝4，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：MN∥平面C1DE；
（Ⅱ）求三棱錐N﹣C1DE的體積．
48．（2023?江西模擬）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝B1A＝B1C，D是AC的中點(diǎn)，AB1⊥BD．
（1）證明：B1D⊥平面ABC；
（2）若，點(diǎn)B1到平面ACC1A1的距離為，求三棱錐C1﹣A1B1C的體積．
49．（2023?成都模擬）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△A1B1C1與△AB1C1均是邊長為2的正三角形，且AA1＝．
（Ⅰ）證明：平面AB1C1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求四棱錐A﹣BB1C1C的體積．
50．（2023?定西模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，AC與BD交于點(diǎn)O，OP⊥底面ABCD，OP＝，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，連接OE，OF，EF．
（1）求證：平面OEF∥平面PCD；
（2）求三棱錐O﹣PEF的體積．
51．（2023?廣西一模）如圖，三棱錐A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AB＝CD＝，BC＝2，E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（1）證明：平面BEF⊥平面ABC；
（2）求多面體BCDFE的體積．
52．（2023?柳州模擬）陽馬，中國古代算數(shù)中的一種幾何形體，是底面為長方形，兩個三角面與底面垂直的四棱錐體．如圖，四棱錐P﹣ABCD就是陽馬結(jié)構(gòu)，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，AB＝AD＝2，．
（1）證明：EF∥平面PAD；
（2）若，求三棱錐G﹣DEF的體積．
53．（2023?宜賓模擬）圓柱O1O2中，四邊形DEFG為過軸O1O2的截面，，DE＝16，△ABC為底面圓O1的內(nèi)接正三角形，AB∥DE．
（1）證明：CO2⊥平面ABFG；
（2）求三棱錐G﹣BCF的體積．
54．（2023?河南模擬）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，∠BCD＝90°，AB＝AC＝AD．
（1）證明：平面ABD⊥平面BCD；
（2）若BD＝2，BC＝1，當(dāng)直線AB與平面ACD所成的角最大時，求三棱錐A﹣BCD的體積．
55．（2023?朝陽區(qū)二模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD＝2，E是PC的中點(diǎn)，平面ABE與線段PD交于點(diǎn)F．
（1）證明：F為PD的中點(diǎn)；
（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線BE與平面PAD所成角的正弦值．
條件①：三角形BCF的面積為；
條件②：三棱錐P﹣BCF的體積為1．
56．（2023?銅仁市模擬）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E為AB的中點(diǎn)，沿DE將△ADE折起，使得點(diǎn)A到點(diǎn)P位置，且PE⊥EB，M為PB的中點(diǎn)，N是BC上的動點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合）．
（I）求證：平面EMN⊥平面PBC；
（Ⅱ）設(shè)三棱錐B﹣EMN和四棱錐P﹣EBCD的體積分別為V1和V2，當(dāng)N為BC中點(diǎn)時，求的值．
57．（2023?江西模擬）如圖，在幾何體ABCDE中，AB＝BC，AB⊥BC，已知平面ABC⊥平面ACD，平面ABC⊥平面BCE，DE∥平面ABC，AD⊥DE．
（1）證明：DE⊥平面ACD；
（2）若AC＝2CD＝2，設(shè)M為棱BE上的點(diǎn)，且滿足2BM＝ME，求當(dāng)幾何體ABCDE的體積取最大值時AM與CD所成角的余弦值．
58．（2023?湖北模擬）如圖所示，六面體ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠BAD＝，AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且BB1⊥平面ABCD，AA1＝CC1，，平面BEF與平面ABCD的交線為l．
（1）證明：直線l⊥平面B1BDD1．
（2）已知EF＝2，三棱錐B1﹣BDF的體積＝，若D1F與平面BDD1所成角為θ，求sinθ的取值范圍．
59．（2023?汕頭一模）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD與ABEF均為直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，DA⊥平面ABEF，AB⊥AF，AD＝AB＝2BC＝2BE＝2．
（1）已知點(diǎn)G為AF上一點(diǎn)，且AG＝2，求證：BG與平面DCE不平行；
（2）已知直線BF與平面DCE所成角的正弦值為，求該多面體ABCDEF的體積．
60．（2023?福建模擬）如圖，在四面體ABCD中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，△DBC為直角三角形，其中D為直角頂點(diǎn)，∠DCB＝60°．E、F、G、H分別是線段AB、AC、CD、DB上的動點(diǎn)，且四邊形EFGH為平行四邊形．
（1）求證：BC∥平面EFGH，AD∥平面EFGH；
（2）設(shè)二面角A﹣BC﹣D的平面角為θ，求θ在區(qū)間[0，]變化的過程中，線段DA在平面BCD上的投影所掃過的平面區(qū)域的面積；
（3）設(shè)λ＝（λ∈（0，1）），且平面ABC⊥平面BCD，則當(dāng)λ為何值時，多面體ADEFGH的體積恰好為？

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