目錄
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc134171158" 類型一：倒序相加法求和 PAGEREF _Tc134171158 \h 1
\l "_Tc134171159" 類型二：錯位相加法求和 PAGEREF _Tc134171159 \h 3
\l "_Tc134171160" 類型三：裂項相消法求和 PAGEREF _Tc134171160 \h 6
\l "_Tc134171161" 類型四：分組法求和 PAGEREF _Tc134171161 \h 9
\l "_Tc134171162" 類型五：數(shù)列的其他求和方法 PAGEREF _Tc134171162 \h 11
\l "_Tc134171163" 類型六：數(shù)列不等式問題 PAGEREF _Tc134171163 \h 14
類型一：倒序相加法求和
典型例題：設函數(shù)，設，．求數(shù)列的通項公式．
【答案】
試題分析：通過，將已知倒序相加得出的式子，注意是否滿足即可.
詳細解答：；
時，，
，
相加得 ，
所以，又，
所以對一切正整數(shù)，有；
題型專練：
多選題
1．（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）對于三次函數(shù)，給出定義：設是函數(shù)的導數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”．某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．若函數(shù)，則（ ）
A．一定有兩個極值點
B．函數(shù)在R上單調(diào)遞增
C．過點可以作曲線的2條切線
D．當時，
2．（2022·全國·校聯(lián)考模擬預測）對于三次函數(shù)，給出定義：設是函數(shù)的導數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”.某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的極大值點為
B．有且僅有3個零點
C．點是的對稱中心
D．
單選題
3．（2023·全國·本溪高中校聯(lián)考模擬預測）“數(shù)學王子”高斯是近代數(shù)學奠基者之一，他的數(shù)學研究幾乎遍及所有領域，在數(shù)論、代數(shù)學、非歐幾何、復變函數(shù)和微分幾何等方面都作出了開創(chuàng)性的貢獻．我們高中階段也學習過很多高斯的數(shù)學理論，比如高斯函數(shù)、倒序相加法、最小二乘法、每一個n階代數(shù)方程必有n個復數(shù)解等．已知某數(shù)列的通項，則（ ）
A．48B．49C．50D．51
4．（2022·全國·哈師大附中校聯(lián)考模擬預測）函數(shù)，其中，記，則（ ）
A．B．
C．D．
填空題
5．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若函數(shù)，數(shù)列為等差數(shù)列，，則______．
6．（2022·黑龍江哈爾濱·哈九中校考三模）設函數(shù)，，．則數(shù)列的前n項和______．
7．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前n項和為，且，設函數(shù)，則______．
8．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，則______；設數(shù)列滿足，則此數(shù)列的前2023項的和為______.
類型二：錯位相加法求和
典型例題：已知等比數(shù)列的前n項和為，其中，且.
(1)求數(shù)列的通項公式以及前n項和；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
試題分析：
(1)由求出，再由求出,即可代入等比數(shù)列的通項公式和前項和公式求解.
(2)把(1)求出的代入得到的通項公式，再用錯位相減法即可求前項和.
詳細解答：
（1）記等比數(shù)列的公比為q，顯然，否則；
故，解得，
故，
則，；
（2）依題意，；
故，
故，
兩式相減可得，
，
則.
題型專練：
單選題
9．（2023·江蘇南通·三模）復數(shù)的虛部為( ).
A．B．C．1011D．2022
10．（2023·陜西安康·陜西省安康中學統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列的首項為，，則數(shù)列的前2023項和為（ ）
A．B．
C．D．
填空題
11．（2023·江西鷹潭·二模）已知等差數(shù)列滿足：，，數(shù)列的前n項和滿足，則數(shù)列的前n項和________.
解答題
12．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預測）設正項數(shù)列的前n項和為，且，當時，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項公式．
13．（2023·全國·模擬預測）已知等比數(shù)列的公比為2，數(shù)列滿足，，．
(1)求和的通項公式；
(2)記為數(shù)列的前n項和，證明：．
14．（2023·安徽合肥·二模）已知數(shù)列的前n項和為，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前n項和．
15．（2023·江西上饒·統(tǒng)考二模）設數(shù)列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
16．（2023·全國·模擬預測）已知等差數(shù)列的前項和為，，．數(shù)列的前項積為，且滿足．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)設，求的前項和．
17．（2023·全國·模擬預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，，正項數(shù)列滿足，且．
(1)求和的通項公式；
(2)若數(shù)列的前n項和為，集合共有兩個子集，求實數(shù)k的取值范圍．
七、3單選題(
18．（2023·陜西安康·陜西省安康中學?？寄M預測）已知數(shù)列的首項為,數(shù)列的前項和小于實數(shù)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·貴州遵義·校考模擬預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，其中，記的前n項和為，若，其中表示不超過x的最大整數(shù)值，則的值域為（ ）
A．B．
C．D．
20．（2022·海南·校聯(lián)考模擬預測）設數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的前項和為，那么等于（ ）
A．B．C．D．
類型三：裂項相消法求和
典型例題：已知數(shù)列的前項和為，若.
(1)求；
(2)記，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
試題分析：（1）利用可得時，有，結(jié)合可求.
（2）利用裂項相消法可求.
詳細解答：（1）因為，故，
所以，整理得到，
故當時，有，故，
故，也符號該式，
而，故，
故.
（2）,
故當時，，
當時，有
.
而時，也符合該式，故 .
題型專練：
解答題
21．（2023·江西南昌·南昌縣蓮塘第一中學校聯(lián)考二模）在數(shù)列中，，（k為常數(shù)，），且，，構(gòu)成公比不等于1的等比數(shù)列．
(1)求k的值；
(2)設，求數(shù)列的前n項和．
22．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學校考二模）已知數(shù)列滿足：.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和.
23．（2023·全國·模擬預測）已知正項數(shù)列滿足，.
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設，求數(shù)列的前n項和.
24．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考二模）已知等差數(shù)列滿足，．
(1)求的通項公式；
(2)設的前n項和為，求數(shù)列的前n項和．
25．（2023·全國·長郡中學校聯(lián)考二模）已知正項數(shù)列的前項和為，且，（且）.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設數(shù)列的前項和為，求證：.
26．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列的公差為，前n項和為，現(xiàn)給出下列三個條件：①成等比數(shù)列；②；③.請你從這三個條件中任選兩個解答下列問題.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，且，設數(shù)列的前n項和為，求證：.
27．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前n項之積為，且，．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
類型四：分組法求和
典型例題：已知數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
試題分析：（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)計算即可；
（2）分組求和即可.
詳細解答：（1）數(shù)列為等比數(shù)列，
，．
設的公比為，
則，，
，解得或．
由單調(diào)遞增，得，
故．
（2）由上可知，，
．
題型專練：
單選題
28．（2023·陜西西安·長安一中?？级＃┮阎獢?shù)列滿足，，則等于（ ）
A．B．C．D．
填空題
29．（2023·遼寧·遼寧實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列的前n項和為，，且，若，則______．
解答題
30．（2023·全國·學軍中學校聯(lián)考二模）設數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)在數(shù)列的任意與項之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項的和為，求的值.
31．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）設數(shù)列的前n項和為，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設且，求數(shù)列的前n項和為．
32．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)數(shù)列的前n項和為，若，求n的最大值．
33．（2023·江西上饒·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列為非零數(shù)列，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
34．（2023·全國·模擬預測）已知數(shù)列的前項和滿足.
(1)求及；
(2)令，求數(shù)列的前項和.
35．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若，求數(shù)列的前項和．
36．（2023·全國·模擬預測）記為正項數(shù)列的前項和，已知．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和．
類型五：數(shù)列的其他求和方法
典型例題：已知數(shù)列的前n項和為，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列前n項的和．
【答案】(1)
(2)
試題分析：
(1)根據(jù)求解即可；
(2)由于時，，當時，，所以分和兩種情況討論求解即可.
詳細解答：（1）因為數(shù)列的前項和為，
所以當時，，
當時，，
顯然，當時，滿足，
所以.
（2）由（1）知，
因為時，，當時，，
所以當時，，
當時，①，②，
所以①②得，因為，
所以，
所以
題型專練：
單選題
37．（2023·湖南長沙·湖南師大附中?？家荒＃┮阎c和數(shù)列滿足，若分別為數(shù)列的前項和，則（ ）
A．B．C．D．0
填空題
38．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列，其中第一項是，接下來的兩項是，再接下來的三項是，依此類推.將該數(shù)列前項的和記為，則使得成立的最小正整數(shù)的值是______.
解答題
39．（2023·湖南長沙·湖南師大附中校考模擬預測）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點在函數(shù)的圖象上，其中n為正整數(shù)，
(1)證明：數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)設，定義，且記，求數(shù)列的前n項和．
40．（2023·黑龍江大慶·鐵人中學?？级＃┮阎獢?shù)列的前n項和為，___________，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知數(shù)列，當時，，.記數(shù)列的前n項和為，求.
在下面三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.
①；②；③.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
41．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前n項之積為.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前50項和.
42．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考二模）已知為數(shù)列的前n項和，，; 是等比數(shù)列，，，公比．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)數(shù)列和的所有項分別構(gòu)成集合A，B，將的元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個新數(shù)列，求．
43．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）記，為數(shù)列的前n項和，已知，．
(1)求，并證明是等差數(shù)列；
(2)求．
44．（2023·全國·模擬預測）在數(shù)列中，，．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
類型六：數(shù)列不等式問題
典型例題：已知數(shù)列滿足，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，且數(shù)列的前n項和為，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
試題分析：
（1）寫出當時的等式，再與原式兩式相除求解即可；
（2）由（1），再根據(jù)錯位相減求解可得，再化簡不等式可得，再設，根據(jù)作差法判斷的單調(diào)性，進而可得最大值.
詳細解答：（1），
當時，，
兩式相除得；，
又符合上式，故；
（2），
，
，
錯位相減得：
，
，
即，由，得，
設，則，
故，
由，
由可知，隨著的增大而減小，
故，
故恒成立，知單調(diào)遞減，
故的最大值為，則
題型專練：
單選題
45．（2023·福建·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列滿足，，恒成立，則的最小值為（ ）
A．3B．2C．1D．
解答題
46．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學?？寄M預測）已知數(shù)列中，，為數(shù)列的前項和，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和，求證：．
47．（2023·天津·校聯(lián)考二模）已知數(shù)列滿足：，正項數(shù)列滿足：，且，，.
(1)求，的通項公式；
(2)已知，求：；
(3)求證：.
48．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學?？寄M預測）已知數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列，設，數(shù)列滿足．
(1)證明：數(shù)列成等差數(shù)列．
(2)若對一切正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
49．（2023·天津·統(tǒng)考二模）已知為等差數(shù)列，數(shù)列滿足，且，，.
(1)求和的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和；
(3)設的前項和為，證明：.
50．（2023·河南·校聯(lián)考二模）已知數(shù)列滿足，且，．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)記，，．證明：．
51．（2023·海南·?？谑协偵饺A僑中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在上只有一個零點，求的取值范圍；
(2)若，記數(shù)列的前項和為，證明：．
52．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列（公比不為1），的前n項和，且，
(1)求數(shù)列：，的通項公式；
(2)設的前項和為.對于任意正整數(shù)，當恒成立時，求的最小值.

相關試卷

新高考數(shù)學三輪沖刺練習培優(yōu)專題06 數(shù)列求和與遞推綜合歸類（2份，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學三輪沖刺練習培優(yōu)專題06 數(shù)列求和與遞推綜合歸類（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學三輪沖刺練習培優(yōu)專題06數(shù)列求和與遞推綜合歸類原卷版doc、新高考數(shù)學三輪沖刺練習培優(yōu)專題06數(shù)列求和與遞推綜合歸類解析版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共52頁， 歡迎下載使用。

新高考數(shù)學二輪復習分層練習專題15 數(shù)列的求和方法和不等式問題（2份，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學二輪復習分層練習專題15 數(shù)列的求和方法和不等式問題（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學二輪復習分層練習專題15數(shù)列的求和方法和不等式問題原卷版doc、新高考數(shù)學二輪復習分層練習專題15數(shù)列的求和方法和不等式問題解析版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共41頁， 歡迎下載使用。

新高考數(shù)學專題復習專題37數(shù)列求和中的不等式問題專題練習(學生版+解析)：

這是一份新高考數(shù)學專題復習專題37數(shù)列求和中的不等式問題專題練習(學生版+解析)，共14頁。試卷主要包含了題型選講，數(shù)列中與不等式有關的參數(shù)問題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

新高考數(shù)學二輪復習分層訓練專題15 數(shù)列的求和方法和不等式問題（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學二輪復習分層訓練專題15 數(shù)列的求和方法和不等式問題（2份打包，原卷版+解析版）
新高考數(shù)學二輪復習講義專題15 數(shù)列的求和方法和不等式問題（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學二輪復習講義專題15 數(shù)列的求和方法和不等式問題（2份打包，原卷版+解析版）
高中數(shù)學高考專題19 數(shù)列的求和問題（原卷版）

高中數(shù)學高考專題19 數(shù)列的求和問題（原卷版）
高考數(shù)學三輪沖刺壓軸小題10 復雜數(shù)列的求和問題 (2份打包，解析版+原卷版)

高考數(shù)學三輪沖刺壓軸小題10 復雜數(shù)列的求和問題 (2份打包，解析版+原卷版)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部