TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1720836808" 題型1利用函數(shù)性質解不等式 PAGEREF _Tc1720836808 \h 1
\l "_Tc1941957907" 題型2利用奇偶性、周期性對稱性求值 PAGEREF _Tc1941957907 \h 7
\l "_Tc1030075843" 題型3構造奇偶函數(shù)求函數(shù)值 PAGEREF _Tc1030075843 \h 11
\l "_Tc1619014834" 題型4對稱性、奇偶性的運用 PAGEREF _Tc1619014834 \h 14
\l "_Tc17023901" ◆類型1對稱軸 PAGEREF _Tc17023901 \h 15
\l "_Tc505379056" ◆類型2中心對稱+軸對稱構造周期性 PAGEREF _Tc505379056 \h 19
\l "_Tc607970307" ◆類型3“類”周期函數(shù) PAGEREF _Tc607970307 \h 24
\l "_Tc429757323" ◆類型4對稱性解決恒成立 PAGEREF _Tc429757323 \h 28
\l "_Tc943822800" 題型5三角函數(shù)中的對稱性問題 PAGEREF _Tc943822800 \h 33
\l "_Tc1515582858" 題型6復雜奇函數(shù)問題 PAGEREF _Tc1515582858 \h 38
\l "_Tc1097557339" 題型7函數(shù)的旋轉問題 PAGEREF _Tc1097557339 \h 42
\l "_Tc1909152490" 題型8兩個函數(shù)的對稱問題 PAGEREF _Tc1909152490 \h 46
題型1利用函數(shù)性質解不等式
【例題1】（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，若成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】設，則可得為偶函數(shù)，且在單調遞增，所以的圖象關于直線對稱，在單調遞增，則將轉化為，從而可求出實數(shù)a的取值范圍.
【詳解】設，
因為，
所以為偶函數(shù)，
所以的圖象關于直線對稱，
所以的圖象關于直線對稱，
設，則，
令，則，得，
所以在上遞增，
因為函數(shù)在定義域上單調遞增，
所以在單調遞增，
所以在單調遞增，
因為，
所以，
所以，化簡得，解得．
所以實數(shù)a的取值范圍為，
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵是根據已知條件判斷出的圖象關于直線對稱，在單調遞增，從而可求解不等式.
【變式1-1】1.（2023·湖南常德·常德市一中校考模擬預測）定義在上的可導函數(shù)f（x）滿足，且在上有若實數(shù)a滿足，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】根據已知條件構造函數(shù)，利用偶函數(shù)的定義及導數(shù)法的正負與函數(shù)的單調性的關系，結合偶函數(shù)的性質及函數(shù)的單調性即可求解.
【詳解】由，得.
令，則，即為偶函數(shù).
又時，.
所以在上單調遞減.
由，得，即.
又為偶函數(shù)，
所以，
所以，即，解得，
所以a的取值范圍為.
故選：A.
【點睛】關鍵點睛：解決此題的關鍵是構造函數(shù)，利用偶函數(shù)定義和導數(shù)法求出函數(shù)的單調性，再利用偶函數(shù)和單調性即可解決抽象不等式.
【變式1-1】2.（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】構造，發(fā)現(xiàn)為奇函數(shù)，然后是向右平移1個單位長度，向上平移3個單位長度，可得的對稱中心為，能得到，通過求導可發(fā)現(xiàn)在R上單調遞增，繼而求解不等式
【詳解】解：假設，
所以，所以，
所以為奇函數(shù)，
而是向右平移1個單位長度，向上平移3個單位長度，所以的對稱中心為，所以，
由求導得
因為，當且僅當即，取等號，
所以所以在R上單調遞增，
因為得
所以，解得，
故選：B
【變式1-1】3.（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】令，得到，推得為偶函數(shù)，得到的圖象關于對稱，再利用導數(shù)求得當時，單調遞增，當時，單調遞減，把不等式轉化為恒成立，結合二次函數(shù)的性質，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，
令，則，可得，
可得，
所以為偶函數(shù)，即函數(shù)的圖象關于對稱，
又由，令，
可得，所以為單調遞增函數(shù)，且，
當時，，單調遞增，即時，單調遞增；
當時，，單調遞減，即時，單調遞減，
由不等式，可得，即
所以不等式恒成立，即恒成立，
所以的解集為，所以且，
解得，結合選項，可得BC適合.
故選：BC.
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用換元法設，從而得到，證明其為偶函數(shù)，則得到的圖象關于對稱，再結合其單調性即可得到不等式組，解出即可.
【變式1-1】4.（2021·廣西·廣西師范大學附屬外國語學校?？寄M預測）設是定義在R上的偶函數(shù)，且當時， .若對任意的，均有，則實數(shù)的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用指數(shù)的運算性質易得時，進而根據偶函數(shù)的性質和函數(shù)在上的單調性，將不等式很成立問題轉化對任意的恒成立，若，易于得出矛盾，在時利用不等式恒成立的意義不難求得的最大值.
【詳解】當時，
若對任意的，均有即為，
由于,當時，為單調遞增函數(shù)，
又∵函數(shù)為偶函數(shù)，
∴等價于，即（∵）,
由區(qū)間的定義可知,若，于是,即，
由于的最大值為，故顯然不可能恒成立；
,即,∴,即,
故的最大值為,
故選：B.
【點睛】本題考查不等式恒成立問題，涉及指數(shù)函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，分類討論思想，關鍵是時，化歸為，再利用偶函數(shù)和單調性轉化為對任意的恒成立，注意對的符號的分類討論.
【變式1-1】5.（2020·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)是定義在的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調遞減，若實數(shù)滿足，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】先利用偶函數(shù)的性質將不等式化簡為，再利用函數(shù)在上的單調性即可轉化為，然后求得的范圍.
【詳解】因為為R上偶函數(shù)，則，
所以，
所以，即，
因為為上的減函數(shù)，，所以，
解得，所以，的范圍為.
【點睛】1.函數(shù)值不等式的求法：（1）利用函數(shù)的奇偶性、特殊點函數(shù)值等性質將函數(shù)值不等式轉化為與大小比較的形式：；
（2）利用函數(shù)單調性將轉化為自變量大小比較的形式，再求解不等式即可.
2.偶函數(shù)的性質：；奇函數(shù)性質：；
3.若在D上為增函數(shù)，對于任意，都有；
若在D上為減函數(shù)，對于任意，都有.
題型2利用奇偶性、周期性對稱性求值
【例題2】（2022·全國·高三階段練習）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，，若對任意，都有，對任意且，都有，則 ．
【答案】2
【分析】根據給定條件，探討函數(shù)的周期性，再利用性質計算作答.
【詳解】因函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且任意，都有，
則當時，，即，有，
則是以6為周期的周期函數(shù)，，
又函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且任意且，都有，
則對，函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，
，所以.
故答案為：2
【變式2-1】1.（2023·全國·高三專題練習）已知定義域為的函數(shù)存在導函數(shù)，且滿足，則曲線在點處的切線方程可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用是偶函數(shù)、周期為4，得關于對稱， 是的對稱軸，即是的極值點，從而，可得答案.
【詳解】的定義域為，由可知，是偶函數(shù)，
由可知，周期為4，
因為，故關于軸對稱，
又因為，所以也是的對稱軸，
因為在上存在導函數(shù)，
所以是的極值點，
即，曲線在點處的切線斜率為0，
故切線方程可能為.
故選：B.
【變式2-1】2.（多選）（2022·山東·濰坊七中高三階段練習）設函數(shù)的定義域為，且滿足，，當時，，則下列說法正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)B．為奇函數(shù)
C．函數(shù)有個不同的零點D．
【答案】ABC
【分析】根據函數(shù)關系式可推導得到關于直線和點對稱，且周期為；令，，由奇偶性定義可得的奇偶性，知AB正確；作出和的圖象，根據圖象可得兩函數(shù)交點個數(shù)，進而確定函數(shù)零點個數(shù)，知C正確；根據周期性可求得，知D錯誤.
【詳解】，，且關于直線對稱；
又，，且關于中心對稱；
，，
則是周期為的周期函數(shù)；
對于A，令，則，
為偶函數(shù)，A正確；
對于B，令，則，
為奇函數(shù)，B正確；
對于C，作出和的圖象如下圖所示，
當時，，又，
由圖象可知：與共有個不同的交點，
則有個不同的零點，C正確；
對于D，，
，D錯誤.
故選：ABC.
【變式2-1】3.（2023·浙江溫州·模擬預測）定義在R上的函數(shù)滿足，，若，則 ， ．
【答案】
【分析】依題意可得，即可得到是以為周期的周期函數(shù)，再由，可得，即可求出，從而得到且，再根據，即可求出，，，最后利用并項求和法計算可得.
【詳解】解：因為，所以，
所以，則，
所以是以為周期的周期函數(shù)，
所以，又，所以，
又，所以，
即且，
由，所以，，，
所以
.
故答案為：；
題型3構造奇偶函數(shù)求函數(shù)值
【例題3】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在，上的最大值和最小值分別為、，則（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】A
【分析】設，，證明函數(shù)為奇函數(shù)，則有，從而可得出答案.
【詳解】解：設，，
因為，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，
所以，
所以，
所以．
故選：A．
【變式3-1】1.（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若，則（ ）
A．B．2C．5D．7
【答案】C
【分析】令，利用函數(shù)奇偶性計算作答.
【詳解】設，
則，即函數(shù)是奇函數(shù)，
，則，而
所以.
故選：C
【變式3-1】2.（2022·河南·高三階段練習（理））已知函數(shù)，若，則（ ）
A．B．2C．5D．7
【答案】C
【分析】設，再利用函數(shù)的奇偶性求解即可
【詳解】設，
則，
故，即，
所以.
故，
因為，所以.
故選：C
【變式3-1】3.（2022·河南省淮陽中學高三階段練習（文））已知函數(shù)，則在上的最大值與最小值之和為 ．
【答案】
【分析】把的圖象向上平移3個單位長度，可得函數(shù)的圖象，可證得為奇函數(shù)，在上的最大值與最小值之和為0，從而得出答案．
【詳解】由題意，得，
把的圖象向上平移3個單位長度，可得函數(shù)的圖象．
當時，，即為奇函數(shù)，
則在上的最大值與最小值之和為0，
故在上的最大值與最小值之和為．
故答案為：．
【變式3-1】4.（2022·江西·貴溪市實驗中學高三階段練習（文））已知函數(shù)，若，則 ．
【答案】
【分析】令，由奇偶性定義可知為奇函數(shù)，由可構造方程求得.
【詳解】令，
，，
為上的奇函數(shù)；
，，即，
解得：.
故答案為：.
【變式3-1】5.若函數(shù)（）的最大值為M，最小值為N，且M+N=4，則實數(shù)的值為 ．
【答案】2
【詳解】試題分析：由題意，，顯然函數(shù)是奇函數(shù)，∵函數(shù)最大值為，最小值為，且，∴-t=-(N-t)，即2t=，∴t=2，故答案為2．
考點：函數(shù)的最值及其幾何意義.
題型4對稱性、奇偶性的運用
◆類型1對稱軸
【例題4-1】（2022·寧夏·銀川一中高三階段練習（文））已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，當時，，則的所有根之和等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據二次函數(shù)對稱性求和即可．
【詳解】解：當時，，
∴ 對稱軸為，
為奇函數(shù)，
，
，
關于中心對稱，
設為圖像上任意一點，
則在上，
，
即，
對稱軸為．
作出圖像如下：
由圖像知有4個根，
不妨設，
由二次函數(shù)的對稱性知
，
，
∴ 所有根的和為．
故選：A．
【變式4-1】1.已知函數(shù)有唯一零點，則負實數(shù)（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】函數(shù)有有唯一零點，設
則函數(shù)有唯一零點，則 3e|t|-a（2t+2-t）=a2，
設∴ 為偶函數(shù)，
∵函數(shù) 有唯一零點，∴與有唯一的交點，
∴此交點的橫坐標為0， 解得 或（舍去），故選A．
【變式4-1】2.已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與的圖像的交點為，，…，，且，則
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】求出f（x）的對稱軸，y=|x2-ax-5|的圖象的對稱軸，根據兩圖象的對稱關系，求和，解方程可得所求值．
【詳解】∵f（x）=f（a-x），
∴f（x）的圖象關于直線x=對稱，
又y=|x2-ax-5|的圖象關于直線x=對稱，
當m為偶數(shù)時，兩圖象的交點兩兩關于直線x=對稱，
∴x1+x2+x3+…+xm=?a=2m，解得a=4．
當m奇數(shù)時，兩圖象的交點有m-1個兩兩關于直線x=對稱，另一個交點在對稱軸x=上，
∴x1+x2+x3+…+xm=a?+=2m．
解得a=4．
故選D．
【點睛】本題考查了二次型函數(shù)圖象的對稱性的應用，考查轉化思想以及計算能力．
【變式4-1】3.已知函數(shù)，下面是關于此函數(shù)的有關命題，其中正確的有
①函數(shù)是周期函數(shù)；
②函數(shù)既有最大值又有最小值；
③函數(shù)的定義域為，且其圖象有對稱軸；
④對于任意的，（是函數(shù)的導函數(shù)）
A．②③B．①③C．②④D．①②③
【答案】A
【詳解】函數(shù)定義域為，當或時，，又，，，，……時，，且均為變號零點.又因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)關于直線對稱，函數(shù)圖像如下圖，
故②③正確.
點睛：本題考查函數(shù)的綜合知識：
①函數(shù)對于定義域內任意實數(shù)，存在非零常數(shù)，滿足，則函數(shù)為周期函數(shù)；
②函數(shù)對于定義域內任意實數(shù)滿足，則函數(shù)關于直線對稱，特別地當時，函數(shù)關于直線對稱；
③在函數(shù)定義域內，存在常數(shù)使得，則叫做函數(shù)的零點.
◆類型2中心對稱+軸對稱構造周期性
【例題4-2】已知函數(shù)為定義域為的偶函數(shù)，且滿足，當時，.若函數(shù)在區(qū)間上的所有零點之和為__________．
【答案】5
【詳解】∵足，∴，又因函數(shù)為偶函數(shù)，∴，即，∴，令，，，即求與交點橫坐標之和.，
作出圖象：
由圖象可知有10個交點，并且關于中心對稱，∴其和為故答案為：5
【變式4-2】1.定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調遞減，若方程在上有實數(shù)根，則方程在區(qū)間上所有實根之和是（ ）
A．30B．14C．12D．6
【答案】A
【解析】根據條件可得出的圖象關于對稱，的周期為4，從而可考慮的一個周期，利用，根據在上是減函數(shù)可得出在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，然后根據在上有實數(shù)根，可判斷該實數(shù)根是唯一的，并可判斷在一個周期內有兩個實數(shù)根，并得這兩實數(shù)根和為2，從而得出在區(qū)間這三個周期內上有6個實數(shù)根，和為30.
【詳解】由知函數(shù)的圖象關于直線對稱，
∵，是R上的奇函數(shù)，
∴，
∴，
∴的周期為4，
考慮的一個周期，例如，
由在上是減函數(shù)知在上是增函數(shù)，
在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
對于奇函數(shù)有，，
故當時，，當時，，
當時，，當時，，
方程在上有實數(shù)根，
則這實數(shù)根是唯一的，因為在上是單調函數(shù)，
則由于，故方程在上有唯一實數(shù)，
在和上，
則方程在和上沒有實數(shù)根，
從而方程在一個周期內有且僅有兩個實數(shù)根，
當，方程的兩實數(shù)根之和為，
當，方程的所有6個實數(shù)根之和為.
故選：A.
【點睛】本題考查了由可判斷關于對稱，周期函數(shù)的定義，增函數(shù)和減函數(shù)的定義，考查了計算和推理能力，屬于難題.
【變式4-2】2.已知定義域為的函數(shù)的圖像關于原點對稱，且，若曲線在處切線的斜率為4，則曲線在處的切線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由函數(shù)的圖像關于原點對稱，得出，再由得出函數(shù)的最小正周期為，由原函數(shù)與導函數(shù)具有相同的周期性可得函數(shù)的最小正周期為，由此可得選項.
【詳解】因為定義域為的函數(shù)的圖像關于原點對稱，所以，
因為，，兩式相減可得，，故，故；
因為，故所求切線方程為，
故選：B．
【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，以及導函數(shù)的周期性，求原函數(shù)的切線問題，屬于較難題.
【變式4-2】3.若函數(shù)是上的奇函數(shù)，又為偶函數(shù)，且時，，比較，，的大小為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由題意可知，函數(shù)的周期，再由當時，
可知函數(shù)在上為增函數(shù)，然后計算比較即可.
【詳解】函數(shù)是上的奇函數(shù)，又為偶函數(shù)，
，，
，即函數(shù)的周期，
時，，，
即，函數(shù)在上為增函數(shù)，
，，
，
.
故選：D.
【點睛】本題考查函數(shù)性質的綜合應用，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于常考題.
【變式4-2】4.(多選)（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？级＃┒x在上的函數(shù)，其導函數(shù)分別為，若，，則（ ）
A．是奇函數(shù)
B．關于對稱
C．周期為4
D．
【答案】ABD
【分析】對于選項A，利用已知條件，即得結果.對于選項B，由題意可推導出為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以，即即可證明；對于選項C，由關于對稱和關于對稱，即得結果.對于選項D，通過賦值，利用C中推導的結論和已知條件，由等差數(shù)列的前項和即得結果.
【詳解】因為可得為偶函數(shù)，所以，則為奇函數(shù)，故A正確；
因為，偶函數(shù)，時偶函數(shù)，
所以為偶函數(shù)，所以關于對稱，
因為，為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，
所以為奇函數(shù)，關于對稱，
，
則其中為常數(shù)，又故，有關于對稱，B正確；
令等價于，，所以，
因為關于對稱，所以，
所以令等價于，所以，所以，
故可看成數(shù)列，
而因為關于對稱，所以，，
故是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以沒有周期性，故C不正確；
，
所以，故D正確.
故選：ABD.
【點睛】結論點睛：本題考查利用抽象函數(shù)關系式求解函數(shù)周期性、對稱性、奇偶性的問題；對于與導數(shù)有關的函數(shù)性質，有如下結論：
①若連續(xù)且可導，那么若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)；若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；
②若連續(xù)且可導，那么若關于對稱，則關于點對稱；若關于對稱，則關于對稱.
◆類型3“類”周期函數(shù)
【例題4-3】設函數(shù)的定義域為，如果存在非零常數(shù)，對于任意，都有，則稱函數(shù)是“似周期函數(shù)”，非零常數(shù)為函數(shù)的“似周期”．現(xiàn)有下面四個關于“似周期函數(shù)”的命題：
①如果“似周期函數(shù)”的“似周期”為，那么它是周期為2的周期函數(shù)；
②函數(shù)是“似周期函數(shù)”；
③如果函數(shù)是“似周期函數(shù)”，那么“或”．
以上正確結論的個數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
根據題意，首先理解“似周期函數(shù)”的定義，逐一分析，從而可判斷命題的真假.
【詳解】
解：①∵“似周期函數(shù)”的“似周期”為，
，，
故它是周期為2的周期函數(shù)，故①正確；
②若函數(shù)是“似周期函數(shù)”，則存在非零常數(shù)，使，
即恒成立，故成立，但無解，故②錯誤；
③若函數(shù)是“似周期函數(shù)”， 則存在非零常數(shù)，則，
即恒成立，故恒成立，
即恒成立，
故，故或，故③正確．
所以以上正確結論的個數(shù)是2.故選：C.
【變式4-3】1.已知函數(shù)滿足當時，，且當時，；當時，且).若函數(shù)的圖象上關于原點對稱的點恰好有3對，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先作出函數(shù)在上的部分圖象，再作出關于原點對稱的圖象，分類利用圖像列出有3個交點時滿足的條件，解之即可.
【詳解】先作出函數(shù)在上的部分圖象，再作出關于原點對稱的圖象，
如圖所示，當時，對稱后的圖象不可能與在的圖象有3個交點；
當時，要使函數(shù)關于原點對稱后的圖象與所作的圖象有3個交點，

則，解得.
故選：C.
【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點個數(shù)問題，考查學生數(shù)形結合的思想、轉化與化歸的思想，是一道中檔題.
【變式4-3】2.設函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，．若對任意，都有，則m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】作出圖示，求出當時，函數(shù)的解析式，求出成立的x的值，運用數(shù)形結合的思想可得選項．
【詳解】解：時，，，，即右移1個單位，圖像變?yōu)樵瓉淼?倍．
如圖所示：當時，，令，解得，
所以要使對任意，都有，則，，
故選：B．
【點睛】
易錯點睛：圖像解析式求解過程容易求反，畫錯示意圖，畫成向左側擴大到2倍，導致題目出錯，需加深對抽象函數(shù)表達式的理解，平時應加強這方面練習，提高抽象概括、數(shù)學建模能力．
【變式4-3】3.定義在上函數(shù)滿足，且當時，.則使得在上恒成立的的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意可得，在區(qū)間上，，作函數(shù)的圖象，如圖所示，然后結合圖像可求出的最小值
【詳解】根據題設可知，當時，，故，
同理可得：在區(qū)間上，，
所以當時，.
作函數(shù)的圖象，如圖所示.
在上，由，得.
由圖象可知當時，.
故選：D.
【點睛】此題考查函數(shù)在給定區(qū)間上恒成立問題，考查數(shù)形結合思想，屬于中檔題
◆類型4對稱性解決恒成立
【例題4-4】已知函數(shù)，且對于任意的，恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
本題根據函數(shù)的解析式先判斷函數(shù)的奇偶性與單調性，再運用單調性轉化不等式，接著運用參變分離構建新函數(shù)，最后借導函數(shù)求函數(shù)在指定區(qū)間內的最大值即可解題.
【詳解】
的定義域為，
，∴為奇函數(shù)，
又在上單調遞增，
∴，∴，
又，則，，∴恒成立；
設，
則，當時，
∴在內單調遞減，的最大值為從負數(shù)無限接近于，，
∴，，故選：B.
【變式4-4】1.已知函數(shù)（），函數(shù)（）.若任意的，存在，使得，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】問題轉化為函數(shù)的值域是值域的子集，分別求出和的值域，得到關于m的不等式組，解出即可.
【詳解】對任意的，存在，使得，
即在上的值域是在上的值域的子集，
，
當時， ，
在上單調遞增，的值域為，
又在上單調遞減，的值域為：，
，
，方程無解
當時，， 在上單調遞減，的值域為
的值域為：，
，解得
當時，，顯然不滿足題意.
綜上，實數(shù)的取值范圍為
故選：D.
【點睛】關鍵點睛：解決此題的關鍵是將所求問題轉化為函數(shù)的值域是值域的子集.
【變式4-4】2.已知是定義在R上的函數(shù)，且關于直線對稱.當時， ，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】結合復合函數(shù)的單調性，可知在上單調遞減，由關于直線對稱，可知為偶函數(shù)，從而可將題中不等式轉化為，整理得對任意的恒成立，進而結合二次函數(shù)的性質，可求出的取值范圍.
【詳解】當時，，
函數(shù)在上單調遞減，且是R上的增函數(shù)，
根據復合函數(shù)的單調性可知，函數(shù)在上單調遞減，且；
當時，，易知函數(shù)在上單調遞減，且.
∴函數(shù)在上單調遞減.
∵關于直線對稱，∴關于對稱，即為偶函數(shù)，
∴不等式可化為，
∴恒成立，
即，整理得，
令，
∴對任意的，恒成立，
∴，
即，解得.
故選：D.
【點睛】本題考查不等式恒成立問題，考查函數(shù)的奇偶性、單調性的應用，考查學生的推理能力與計算能力，屬于較難題.
【變式4-4】3.已知，，若對于，使得，則實數(shù)m的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】先分析題意即，再利用單調性求解的最小值和的最小值，解不等式即得結果.
【詳解】依題意，對于，使得，只需.
時，，，
故當，即時，單調遞增，
當，即時，單調遞減.
而函數(shù)，顯然在單調遞減.
故根據復合函數(shù)單調性可知，在單調遞減，在上單調遞增，故.
對于，，
當時，故是單調遞減的，
當時，故是單調遞增的，
故.
故依題意知，，即.
所以實數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集.
題型5三角函數(shù)中的對稱性問題
【例題5】（2022·湖南·長沙一中高三階段練習）已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸與其相鄰的一個對稱中心的距離為，將的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)的圖象在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意，根據余弦函數(shù)的周期性質，結合函數(shù)圖象平移性質以及單調性，可得答案.
【詳解】由函數(shù)的圖象的一條對稱軸與其相鄰的一個對稱中心的距離為，則函數(shù)的周期，則，則，
由將的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，可得，
由，，函數(shù)的圖象在區(qū)間上是增函數(shù)，故，解得，
由，當時，，
故選：B.
【變式5-1】1.（2023·天津·統(tǒng)考二模）設函數(shù)，.當時，與的圖象所有交點的橫坐標之和為（ ）
A．4051B．4049C．2025D．2023
【答案】B
【分析】判斷兩函數(shù)的對稱性或周期，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結合，確定交點個數(shù)，進而求得答案.
【詳解】函數(shù)的最小正周期為2，直線為其一條對稱軸，
，其圖象關于直線對稱，
故可作出函數(shù)函數(shù)，得圖象如圖：
由圖像可知，在直線的右側，包含的1012個周期，
在每個周期內和的圖象都有2個交點，
則共有2024個交點，
根據對稱性可知，在直線的左側，和的圖象也有2024個交點，
且在直線的兩側的交點是關于直線兩兩對稱的，
故這4048個交點的橫坐標之和為，
而也是這兩函數(shù)圖象的一個交點的橫坐標，
故與的圖象所有交點的橫坐標之和為，
故選：B
【點睛】方法點睛：解決此類函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，首先要明確函數(shù)的性質，比如周期性對稱性等，然后采用數(shù)形結合的方法，即作出函數(shù)圖象，解決問題，關鍵在于要能正確的作出函數(shù)圖象.
【變式5-1】2.已知函數(shù)與在（，且）上有個交點，，……，，則
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
由圖可知交點成對出現(xiàn)，每對交點關于點（0，1）對稱，橫坐標和為0，縱坐標和為2，所以 ，選B.
【變式5-1】3.已知函數(shù)，若不等式對任意均成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題設，構造，易證為奇函數(shù)，利用導數(shù)可證為增函數(shù)，結合題設不等式可得，即對任意均成立，即可求的范圍.
【詳解】由題設，令，
∴，
∴為奇函數(shù)，又，即為增函數(shù)，
∵，即，
∴，則，
∴對任意均成立，又，當且僅當時等號成立，
∴，即 .
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：構造并證明其奇偶性、單調性，結合題設不等式可將問題轉化為對任意均成立.
題型6復雜奇函數(shù)問題
【例題6】已知函數(shù)，若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
構造函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性與單調性，將所求不等式轉化為，即，再利用函數(shù)單調性解不等式即可.
【詳解】
，
令，則，可得是奇函數(shù)，
又，
又利用基本不等式知當且僅當，即時等號成立；
當且僅當，即時等號成立；
故，可得是單調增函數(shù)，
由得，
即，即對恒成立.
當時顯然成立；當時，需，得，
綜上可得，故選：D.
【變式6-1】1.對于定義在上的函數(shù)，點是圖像的一個對稱中心的充要條件是：對任意都有，判斷函數(shù)的對稱中心 .
【答案】
【分析】根據點是圖像的一個對稱中心的充要條件，列出式子，即可得出結果.
【詳解】解：因為，
由于
.
即，.
所以是的一個對稱中心.
故答案為：.
【變式6-1】2.設函數(shù)，若，滿足不等式，則當時，
的最大值為
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】因為,所以函數(shù)為奇函數(shù),又因為為單調減函數(shù),且所以為上減函數(shù),因此
,因為,所以可行域為一個三角形及其內部,其中,因此直線過點時取最大值,選B.
點睛：(1)運用函數(shù)性質解決問題時，先要正確理解和把握函數(shù)相關性質本身的含義及其應用方向.
(2)在研究函數(shù)性質特別是奇偶性、周期、對稱性、單調性、最值、零點時，要注意用好其與條件的相互關系，結合特征進行等價轉化研究.如奇偶性可實現(xiàn)自變量正負轉化，周期可實現(xiàn)自變量大小轉化，單調性可實現(xiàn)去，即將函數(shù)值的大小轉化自變量大小關系, 對稱性可得到兩個對稱的自變量所對應函數(shù)值關系.
【變式6-1】3.已知函數(shù)，若 ，其中，則的最小值為
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】通過函數(shù)解析式可推得，再利用倒序相加法求得
，得到的值，然后對分類討論利用基本不等式求最值即可得出答案.
【詳解】解：因為，
所以
，
令
則所以
所以，所以，其中，則.
當時
當且僅當 即 時等號成立；
當時
，
當且僅當 即 時等號成立；
因為，所以的最小值為.
故選：A.
【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.
題型7函數(shù)的旋轉問題
【例題7】（2021?青島開學）將函數(shù)的圖象繞點逆時針旋轉，得到曲線，對于每一個旋轉角，曲線都是一個函數(shù)的圖象，則最大時的正切值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先畫出函數(shù)的圖象，然后根據由圖可知當此圓弧繞點逆時針方向旋轉角大于時，曲線都不是一個函數(shù)的圖象，求出此角即可．
【詳解】解：由，得，
，則函數(shù)的圖像是以為圓心的圓的一部分，
先畫出函數(shù)的圖象,
這是一個圓弧AB，圓心為,如圖所示，
由圖可知當此圓弧繞點逆時針方向旋轉角大于時，
曲線都不是一個函數(shù)的圖象，
即當圓心在x軸上時，
所以最大值即為，
，所以最大時的正切值為.
故選：B.
【變式7-1】1.（2021春?池州期末）設是含數(shù)1的有限實數(shù)集，是定義在上的函數(shù)，若的圖象繞原點逆時針旋轉后與原圖象重合，則在以下各項中的取值只可能是
A．B．1C．D．0
【答案】B
【分析】直接利用定義和函數(shù)的應用求出結果．
【詳解】解：由題意可得：
問題相當于圓上由6個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉個單位后與下一個點會重合．
設處的點為，
的圖象繞原點逆時針旋轉后與原圖象重合，
旋轉后的對應點也在的圖象上，
同理的對應點也在圖象上，
以此類推，對應的圖象可以為一個圓周上6等分的6個點，
當（1）時，即，此時，不滿足函數(shù)定義；
當（1）時，即，此時，不滿足函數(shù)定義；
當（1）時，即，此時，，，，不滿足函數(shù)定義；
故選．
【點睛】本題考查函數(shù)值的求法，考查學生分析解決問題的能力，考查函數(shù)定義等基礎知識，考查數(shù)形結合思想，是中檔題
【變式7-1】2.（2017春?新華區(qū)校級期末）將函數(shù)圖像繞點（1,0）順時針旋轉角得到曲線C，若曲線C仍是一個函數(shù)的圖像，則的最大值為
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由題設可知曲線C仍是一個函數(shù)的圖像等價于函數(shù)圖像C上每一點出的切線存在．函數(shù)的圖像順時針旋轉，先從點旋轉，由于，因此函數(shù)在點處的導函數(shù)值存在，且，故依據題設條件可知該曲線旋轉的最大角為，應選答案B．
點睛：解答本題的難點在于如何理解旋轉后的圖像是函數(shù)．依據函數(shù)的定義可知當函數(shù)的圖像上的每一點處的切線存在時，旋轉后的圖像是函數(shù)．因此在解答本題時，先考慮兩個特殊點處的切線是否存在，考慮到點旋轉起點，所以當點處的導函數(shù)值存在時，即為旋轉角的最大值，從而求出最大旋轉角使得問題獲解．
【變式7-1】3.（2021?沈河區(qū)校級四模）將函數(shù)的圖像繞坐標原點逆時針方向旋轉角，得到曲線，若曲線仍然是一個函數(shù)的圖像，則的可能取值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABCD
【分析】根據函數(shù)的定義，一個不能對應兩個，對于這幾個選項，分別作圖分析，看有沒有不符合函數(shù)定義的選項.
【詳解】
如上圖所示，分別是繞著原點逆時針方向旋轉，，，，所得到的的曲線，根據函數(shù)的定義可知，這四個曲線都符合函數(shù)圖像的定義.
故選：ABCD．
【變式7-1】4.（多選）（2021?雨花區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，，且，函數(shù)，的圖象繞坐標原點順時針旋轉所得新的函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象重合，其中可以取任意正整數(shù)，則的值不可能為（ ）
A．0B．C．D．
【答案】AC
【分析】對選項A:設，即必過.由題意，將順時針旋轉，，，，，，后仍在函數(shù)圖象上，根據函數(shù)概念分析可得A選項不可能對.對選項B，C，D同理分析可解.
【詳解】解：若，則通過連續(xù)順時針旋轉，依次可得，，，，，此時對應，不符合函數(shù)概念，所以A選項不可能對，同理C選項也不可能對，而BD有可能成立.
故選：AC.
【點睛】關鍵點點睛：由旋轉后的函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象重合，則點順時針旋轉，，，，，，后仍在函數(shù)圖象上.
題型8兩個函數(shù)的對稱問題
【例題8】（2021?武侯區(qū)校級模擬）已知函數(shù)與函數(shù)的圖像上恰有兩對關于x軸對稱的點，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意將函數(shù)與的圖像上恰有兩對關于軸對稱的點轉化為有兩解，令新的函數(shù)，求導，然后判斷函數(shù)的單調性與極值，則可得的取值范圍.
【詳解】因為函數(shù)與的圖像上恰有兩對關于軸對稱的點，所以，即有兩解，則有兩解，令，則，所以當時，；當時，；所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增；所以在處取得極小值，所以，所以，的取值范圍為.
故選：A.
【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值（最值）最有效的工具，函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；（2）利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)；（3）利用導數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題；（4）考查數(shù)形結合思想的應用
【變式8-1】1.（2021春?海淀區(qū)校級期末）若函數(shù)，（，為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在兩組關于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】根據題意得到=-+3lnx,這個方程由兩個不同的根，變量分離得到，是導函數(shù)的根，函數(shù)在，故函數(shù)先減后增，且 ； 則使得兩個函數(shù)y=a和g(x)有兩個交點只需，
即.
故答案為A．
點睛：本題中涉及根據函數(shù)零點求參數(shù)取值，是高考經常涉及的重點問題，（1）利用零點存在的判定定理構建不等式求解；（2）分離參數(shù)后轉化為函數(shù)的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個零點時，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點個數(shù)；（3）轉化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關系問題，從而構建不等式求解.
【變式8-1】2.（2021?云南模擬）已知函數(shù)，，若函數(shù)與的圖象上至少存在一對關于x軸對稱的點，則實數(shù)m的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由題意轉化成在上有零點，通過構造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的最值，再結合函數(shù)有零點，列式求實數(shù)m的取值范圍.
【詳解】函數(shù)與的圖象上至少存在一對關于x軸對稱的點，
等價于在上有零點，
令
則，
所以在上，，單調遞增，
在上，，單調遞減，
則，又，
，
，
因，
又，
則，
所以①
②
解得．
故答案為:
【變式8-1】3.（2021春?大同期中）已知函數(shù)與函數(shù)的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】求出函數(shù)關于y軸對稱的函數(shù)為，方程有解，方程可化為，構造函數(shù)，利用函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調性求解函數(shù)的最值，轉化求解a的范圍即可．
【詳解】解：關于軸對稱的函數(shù)為，若函數(shù)與函數(shù)的圖象上存在關于軸對稱的點，只需要方程有解，方程可化為，令，有，由函數(shù)單調遞增，且，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，可得，當時，，，，可得函數(shù)的值域為，故實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
【變式8-1】4.（2021?景德鎮(zhèn)模擬）對于定義域為的函數(shù)，若滿足（1）；（2）當，且時，都有 ；（3）當，且時，都有，則稱為“偏對稱函數(shù)”．現(xiàn)給出四個函數(shù)：①；②；③；④，則“偏對稱函數(shù)”有 個．
【答案】1
【分析】根據“偏對稱函數(shù)”的定義，以及函數(shù)的單調性，對每個選項進行逐一分析，即可判斷滿足題意的函數(shù)個數(shù).
【詳解】
由（2）可知，當時， ，當時， ，
故“偏對稱函數(shù)”要滿足在上單調遞減，在上單調遞增，
對①：因為，所以在上不單調，
故不滿足條件（2），
所以不是“偏對稱函數(shù)”；
對②：，
由復合函數(shù)的單調性可知在上單調遞減，
故不滿足條件（2），
所以不是“偏對稱函數(shù)”；
對③：，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
取，，則，但，不滿足條件（3），
故不滿足條件（3），
所以不是“偏對稱函數(shù)”；
對④：，，滿足條件（1），
在上，為減函數(shù)，
在上，為增函數(shù)，滿足條件（2），
令， 在上恒成立，
所以在上單調遞增，
所以，
所以，
當，且時，，
所以，
即，滿足條件（3），
所以是“偏對稱函數(shù)”.
綜上所述：“偏對稱函數(shù)”有1個．
故答案為：1．
【點睛】本題考查函數(shù)新定義問題，涉及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，以及函數(shù)的對稱性，屬綜合中檔題；其中對④中函數(shù)是否滿足條件（）的研究方法是本題的解題核心.
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據對稱性和已知條件得到，從而得到，，然后根據條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.
【詳解】因為的圖像關于直線對稱，
所以，
因為，所以，即，
因為，所以，
代入得，即，
所以，
.
因為，所以，即，所以.
因為，所以，又因為，
聯(lián)立得，，
所以的圖像關于點中心對稱，因為函數(shù)的定義域為R，
所以
因為，所以.
所以.
故選：D
【點睛】含有對稱軸或對稱中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據已知條件進行恰當?shù)霓D化，然后得到所需的一些數(shù)值或關系式從而解題.
2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通過是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進而利用定義或周期性結論，即可得到答案．
【詳解】[方法一]：
因為是奇函數(shù)，所以①；
因為是偶函數(shù)，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因為，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：從定義入手．
所以．
[方法二]：
因為是奇函數(shù)，所以①；
因為是偶函數(shù)，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因為，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：從周期性入手
由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．
所以．
故選：D．
【點睛】在解決函數(shù)性質類問題的時候，我們通?？梢越柚恍┒壗Y論，求出其周期性進而達到簡便計算的效果．
3．(多選)（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的圖像關于點中心對稱，則（ ）
A．在區(qū)間單調遞減
B．在區(qū)間有兩個極值點
C．直線是曲線的對稱軸
D．直線是曲線的切線
【答案】AD
【分析】根據三角函數(shù)的性質逐個判斷各選項，即可解出．
【詳解】由題意得：，所以，，
即，
又，所以時，，故．
對A，當時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調遞減；
對B，當時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點；
對C，當時，，，直線不是對稱軸；
對D，由得：，
解得或,
從而得：或,
所以函數(shù)在點處的切線斜率為，
切線方程為：即．
故選：AD．
4．(多選)（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】方法一：轉化題設條件為函數(shù)的對稱性，結合原函數(shù)與導函數(shù)圖象的關系，根據函數(shù)的性質逐項判斷即可得解.
【詳解】[方法一]：對稱性和周期性的關系研究
對于，因為為偶函數(shù)，所以即①，所以，所以關于對稱，則，故C正確；
對于，因為為偶函數(shù)，，，所以關于對稱，由①求導，和，得，所以，所以關于對稱，因為其定義域為R，所以，結合關于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；
若函數(shù)滿足題設條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.
故選：BC.
[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構造函數(shù)法.
由方法一知周期為2，關于對稱，故可設，則，顯然A，D錯誤，選BC.
故選：BC.
[方法三]：
因為，均為偶函數(shù)，
所以即，，
所以，，則，故C正確；
函數(shù)，的圖象分別關于直線對稱，
又，且函數(shù)可導，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正確，D錯誤；
若函數(shù)滿足題設條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.
故選：BC.
【點評】方法一：根據題意賦值變換得到函數(shù)的性質，即可判斷各選項的真假，轉化難度較高，是該題的通性通法；
方法二：根據題意得出的性質構造特殊函數(shù)，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．
5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù)，則 ．
【答案】2
【分析】利用偶函數(shù)的性質得到，從而求得，再檢驗即可得解.
【詳解】因為為偶函數(shù)，定義域為，
所以，即，
則，故，
此時，
所以，
又定義域為，故為偶函數(shù)，
所以.
故答案為：2.
6．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，當時，，若有三個不同的根，則實數(shù)m的取值范圍為 ．
【答案】或．
【分析】由題意是方程的一個根，結合為奇函數(shù)知在有一個根，令，并應用導數(shù)研究函數(shù)性質，作出兩函數(shù)的圖象，平移的圖象判斷交點情況，即可得答案．
【詳解】由題意是方程的一個根，又為奇函數(shù)，
當時有一個根，即有一個根，
令，，則，
當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，
而周期為2，且在上單調遞減，在上單調遞增，
將的圖象向下平移2個單位，即時，符合題意，此時；

又在上，，
將的圖象向上平移至少1個單位，也符合題意，此時，

所以實數(shù)m的取值范圍為或．
故答案為：或
【點睛】關鍵點點睛：將問題化為研究在有一個根，構造中間函數(shù)并利用導數(shù)研究函數(shù)性質，數(shù)形結合判斷符合題設情況下參數(shù)范圍即可.
7．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為R，若，都為偶函數(shù)，則 ．
【答案】2525
【分析】利用函數(shù)的奇偶性，推出函數(shù)的圖象關于點對稱以及關于點對稱，即可依次求得的值，根據等差數(shù)列的求和公式，即可求得答案.
【詳解】因為為偶函數(shù)，則，即，
則，即，
故的圖象關于點對稱，且；
又為偶函數(shù)，則，
則，即，
故的圖象關于點對稱，且，
又將代入得，則；
令，由可得，則；
同理可得，則；，則，
由此可得組成了以0為首項，為公差的等差數(shù)列，
故，
故答案為：2525
【點睛】關鍵點睛：解答此類關于抽象函數(shù)的性質類問題，要能綜合利用函數(shù)的性質進行求解，比如函數(shù)的奇偶性和對稱性以及周期性等，解答本題的關鍵就在于要根據函數(shù)的奇偶性推出函數(shù)的對稱性，從而采用賦值法求值，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進而求解.
8．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預測）設為定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為偶函數(shù)，若對任意有，且，則 .
【答案】9
【分析】導函數(shù)為偶函數(shù)可知有對稱中心，可知有對稱軸，所以是周期函數(shù)，然后根據周期性和對稱性求解即可.
【詳解】導函數(shù)為偶函數(shù)，
所以，
，為常數(shù)；
，
，即，
所以，即，
，
兩式相減得：，故函數(shù)周期為2，
，
，
，
；
；
.
故答案為：9
1、對于任意，均有成立，注意功能用來判斷函數(shù)的單調性（有具體函數(shù)時，直接求導可求單調性）；
2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配圖解不等式
3、涉及到偶函數(shù)時：如果口朝上：誰離對稱軸（）遠，誰的函數(shù)值就大；如果口朝下：誰離對稱軸（）遠，誰的函數(shù)值就小.
函數(shù)周期性的常用結論與技巧
設函數(shù)，.
①若，則函數(shù)的周期；
②若，則函數(shù)的周期；
③若，則函數(shù)的周期；
④若，則函數(shù)的周期；
⑤，則函數(shù)的周期
對于本身不具有奇偶性，通過構造（通常將尾巴常數(shù)變?yōu)?），構造奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的對稱性，求函數(shù)值.
函數(shù)對稱性（異號對稱）
（1）軸對稱：函數(shù)對于定義域內任意實數(shù)滿足，則函數(shù)關于直線對稱，特別地當時，函數(shù)關于直線對稱；
2.如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關于直線對稱.
3.與關于直線對稱.
（2）點對稱：若函數(shù)關于直線對稱，則
①
②
③
（2）點對稱：若函數(shù)關于直線對稱，則
①
②
③
關于對稱中心與對稱軸構造周期的經驗結論
1.若函數(shù)有兩個對稱中心（a，0）與（b，0）），則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|.
2.若函數(shù)有兩條對稱軸x=a與x=b，則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|.
3.若函數(shù)有一個對稱中心（a，0）與一條對稱軸x=b，，則函數(shù)具有周期性，周期T=4|a-b|.
“似周期函數(shù)”或者“類周期函數(shù)”，俗稱放大鏡函數(shù)，要注意以下幾點辨析：
1.是從左往右放大，還是從右往左放大.
2.放大（縮?。r，要注意是否函數(shù)值有0.
3.放大（縮?。r，是否發(fā)生了上下平移.
常見不等式恒成立轉最值問題：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
1.三角函數(shù)的對稱性，周期性，奇偶性，單調性，考查時可能單獨考，也可能以多選的形式綜合在一個題目中考查.
2.三角函數(shù)的奇偶性
（1）函數(shù)是奇函數(shù)?（），是偶函數(shù)?（）；
（2）函數(shù)是奇函數(shù)?（），是偶函數(shù)?（）；
（3）函數(shù)是奇函數(shù)?（）．
3.三角函數(shù)的對稱性
（1）函數(shù)的圖象的對稱軸由（）解得，對稱中心的橫坐標由（）解得；
（2）函數(shù)的圖象的對稱軸由（）解得，對稱中心的橫坐標由（）解得；
（3）函數(shù)的圖象的對稱中心由 ）解得．
4.基本規(guī)律
1.三角函數(shù)的對稱中心（對稱軸）有數(shù)個，適當結合條件確定合適 .
2.要注意一個隱含性質：一次函數(shù)是直線，它上邊任何一個點都可以作為對稱中心.一般情況下，選擇它與坐標軸交點，或則別的合適的點
1.若滿足，則關于中心對稱
①
②
③
3.

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