2025年高考數學第一輪復習考點講與練第07講端點效應(先猜后證-必要性探索)在導數中的應用(學生版+解析)

這是一份2025年高考數學第一輪復習考點講與練第07講端點效應(先猜后證-必要性探索)在導數中的應用(學生版+解析)，共38頁。試卷主要包含了 5年真題考點分布， 命題規(guī)律及備考策略等內容，歡迎下載使用。
（2類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的載體內容，設題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分
【備考策略】1能用導數解決函數基本問題
2能求解含參不等式的基本問題
3能利用端點效應解決含參不等式恒成立問題
【命題預測】求解含參不等式恒成立問題中參數的取值范圍是高考中的?？碱}型，解決這類問題的基本方法有三種: 1.分離參數、構造函數求參數取值范圍；2.構造含參函數，通過討論參數取值范圍將問題轉化為求函數最值問題；3.通過所構造函數在定義域端點處滿足的條件，縮小參數的取值范圍，求出使不等式恒成立的必要條件，再證明充分條件，得出參數的取值范圍，即所謂的“端點效應”，其中端點效應需要學生重點復習掌握，也是高考熱點問題
知識講解
端點效應的定義
恒成立問題中, 我們常常能見到類似的命題: “對于任意的 , 都有 恒成立”，這里的端點 , 往往是使結論成立的臨界條件, 因此, 如果能利用好這兩個值, 能方便解題，比如對于上述的命題,觀察和的取值，這種觀察區(qū)間端點值來解決問題的做法, 我們稱之為端點效應
端點效應的核心思想
利用端點處所需滿足的必要條件縮小參數的取值范圍, 而在很多情況下, 該范圍即為所求.
端點效應的解題思路
端點效應問題中，可以通過取所構造函數定義域內的某些特殊的值使不等式成立進而得出恒成立的一個必要條件，初步獲得所求參數的范圍再在該范圍內討論，進而縮小了參數的討論范圍，使問題得以順利的解決。
利用“端點效應”解決問題的一般步驟可分為以下幾步
利用端點處函數值或導數值滿足的條件，初步獲得參數的取值范圍，這個范圍是不等式恒成立的必要條件
利用所得出的參數范圍判斷函數在定義域內是否單調
(3) 若函數在限定參數范圍內單調，則必要條件即為充要條件，問題解決.若不單調，則需進一步討論，直至得到使不等式恒成立的充要條件
端點效應的類型
1.如果函數在區(qū)間上,恒成立,則或.
2.如果函數在區(qū)問上,恒成立,且(或),則或.
3.如果函數在區(qū)問上,恒成立,且(或,則或.
考點一、端點效應（先猜后證-必要性探索）的初步應用
1．若對恒成立，則實數m的取值范圍是 .
【答案】 【方法一-常規(guī)方法-詳見教師版】
【方法二-端點效應】
因為對恒成立，即對恒成立，
記，，
因為，欲在恒成立，則要在單調遞增
即在恒成立，則，解得，
再證明充分性，當，能否有對恒成立（證明略）
綜上可得，即
1．已知函數．若在上恒成立，則a的取值范圍為 ．
【答案】 【方法一-常規(guī)方法-詳見教師版】
【方法二-端點效應】
因為，所以，解得，結合已知條件，
考點二、端點效應（先猜后證-必要性探索）在導數中的應用
1．（2024·全國新Ⅰ卷第18題·高考真題）已知函數
(1)若，且，求的最小值；
(2)證明：曲線是中心對稱圖形；
(3)若當且僅當，求的取值范圍．
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數
(1)當時，討論的單調性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數．
(1)當時，討論的單調性；
(2)若，求的取值范圍．
1．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數.
（1）當a=1時，討論f（x）的單調性；
（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.
2．（2024·全國甲卷·高考真題）已知函數．
(1)當時，求的極值；
(2)當時，，求的取值范圍．
3．（全國·高考真題）已知函數f（x）=2sinx－xcsx－x，f′（x）為f（x）的導數．
（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點；
（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．
1．（2024·浙江寧波·模擬預測）已知函數.
(1)討論的單調性;
(2)若對任意的恒成立，求的范圍.
2．（2024·河南·模擬預測）已知函數.
(1)討論的單調性；
(2)，，求的取值范圍.
3．（2024·廣西·三模）已知函數.
(1)求函數的極值；
(2)若對任意，求的取值范圍.
4．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知函數．
(1)當時，求函數在區(qū)間上零點的個數；
(2)若時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
5．（2024·云南昆明·一模）已知函數．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，，求a的取值范圍．
6．（2024·安徽池州·模擬預測）設函數．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，若恒成立，求實數的取值范圍．
7．（2024·山西·三模）已知函數
(1)當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；
(2)當時，恒成立，求的取值范圍
8．（2024·四川遂寧·二模）已知函數．
(1)若在區(qū)間存在極值，求的取值范圍；
(2)若，，求的取值范圍．
9．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，．
(1)當時，討論函數的單調性；
(2)若，恒成立，求的取值范圍．
10．（2024·陜西咸陽·三模）已知函數.
(1)當時，求函數極值；
(2)若對任意，恒成立，求實數的取值范圍.
1．（全國·高考真題）已知函數f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中參數a≤0.
(1)討論f(x)的單調性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范圍.
2．（山東·高考真題）設函數，其中.
（Ⅰ）討論函數極值點的個數，并說明理由；
（Ⅱ）若成立，求的取值范圍.
3．（全國·高考真題）設函數
（1）求證：的導數；
（2）若對任意都有求a的取值范圍．
4．（全國·高考真題）設函數
（Ⅰ）若a=，求的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若當≥0時≥0，求a的取值范圍
5年考情
考題示例
考點分析
關聯考點
2024年新I卷，第18題,17分
端點效應
證明函數的對稱性
利用導數證明不等式
利用導數研究不等式恒成立問題
利用不等式求取值范圍
2023年全國甲卷理數，第21題,12分
端點效應
求已知函數的極值
利用導數研究不等式恒成立問題
2023年全國甲卷理數，第21題,12分
端點效應
利用導數求函數的單調區(qū)間（不含參）
利用導數研究不等式恒成立問題
2021年全國甲卷文數，第20題,12分
端點效應
用導數判斷或證明已知函數的單調性
利用導數研究不等式恒成立問題
2021年全國Ⅰ卷理數，第21題,12分
端點效應
用導數判斷或證明已知函數的單調性
利用導數研究不等式恒成立問題
第07講 端點效應
（先猜后證-必要性探索）在導數中的應用
（2類核心考點精講精練）
1. 5年真題考點分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的載體內容，設題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分
【備考策略】1能用導數解決函數基本問題
2能求解含參不等式的基本問題
3能利用端點效應解決含參不等式恒成立問題
【命題預測】求解含參不等式恒成立問題中參數的取值范圍是高考中的?？碱}型，解決這類問題的基本方法有三種: 1.分離參數、構造函數求參數取值范圍；2.構造含參函數，通過討論參數取值范圍將問題轉化為求函數最值問題；3.通過所構造函數在定義域端點處滿足的條件，縮小參數的取值范圍，求出使不等式恒成立的必要條件，再證明充分條件，得出參數的取值范圍，即所謂的“端點效應”，其中端點效應需要學生重點復習掌握，也是高考熱點問題
知識講解
端點效應的定義
恒成立問題中, 我們常常能見到類似的命題: “對于任意的 , 都有 恒成立”，這里的端點 , 往往是使結論成立的臨界條件, 因此, 如果能利用好這兩個值, 能方便解題，比如對于上述的命題,觀察和的取值，這種觀察區(qū)間端點值來解決問題的做法, 我們稱之為端點效應
端點效應的核心思想
利用端點處所需滿足的必要條件縮小參數的取值范圍, 而在很多情況下, 該范圍即為所求.
端點效應的解題思路
端點效應問題中，可以通過取所構造函數定義域內的某些特殊的值使不等式成立進而得出恒成立的一個必要條件，初步獲得所求參數的范圍再在該范圍內討論，進而縮小了參數的討論范圍，使問題得以順利的解決。
利用“端點效應”解決問題的一般步驟可分為以下幾步
利用端點處函數值或導數值滿足的條件，初步獲得參數的取值范圍，這個范圍是不等式恒成立的必要條件
利用所得出的參數范圍判斷函數在定義域內是否單調
(3) 若函數在限定參數范圍內單調，則必要條件即為充要條件，問題解決.若不單調，則需進一步討論，直至得到使不等式恒成立的充要條件
端點效應的類型
1.如果函數在區(qū)間上,恒成立,則或.
2.如果函數在區(qū)問上,恒成立,且(或),則或.
3.如果函數在區(qū)問上,恒成立,且(或,則或.
考點一、端點效應（先猜后證-必要性探索）的初步應用
1．若對恒成立，則實數m的取值范圍是 .
【答案】
【方法一】解：因為對恒成立，
即對恒成立，
記，，
所以，
令，
令，，則，所以當時，
所以在上單調遞增，所以，即，，
則
所以在上是增函數，所以
當，即時，在上是增函數，所以符合題意；
當時，且當時， 所以，使得，
即當時，單調遞減，此時，
所以不符合題意，
綜上可得，即
故答案為：
【方法二-端點效應】
因為對恒成立，
即對恒成立，
記，，
因為，欲在恒成立，則要在單調遞增
即在恒成立，則，解得，
再證明充分性，當，能否有對恒成立（證明略）
綜上可得，即
1．已知函數．若在上恒成立，則a的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由題意可知在上恒成立，將問題轉化為求函數f(x)的最小值.
【方法一】∵在上恒成立，且，
故．
當時，在上恒成立，即在上為增函數，
所以，，合乎題意；
當時，由，可得；當時，可得．
即在上為減函數，在上為增函數，
所以，，
又因為 ，所以，不合乎題意．
綜上所述，．
故答案為：.
【方法二-端點效應】
因為，所以，解得，結合已知條件，
考點二、端點效應（先猜后證-必要性探索）在導數中的應用
1．（2024·全國新Ⅰ卷第18題·高考真題）已知函數
(1)若，且，求的最小值；
(2)證明：曲線是中心對稱圖形；
(3)若當且僅當，求的取值范圍．
【詳解】（1）時，，其中，
則，
因為，當且僅當時等號成立，
故，而成立，故即，
所以的最小值為.，
（2）的定義域為，
設為圖象上任意一點，
關于的對稱點為，
因為在圖象上，故，
而，
，
所以也在圖象上，
由的任意性可得圖象為中心對稱圖形，且對稱中心為.
【方法一：換元法】
因為當且僅當，故為的一個解，
所以即，
先考慮時，恒成立.
此時即為在上恒成立，
設，則在上恒成立，
設，
則，
當，，
故恒成立，故在上為增函數，
故即在上恒成立.
當時，，
故恒成立，故在上為增函數，
故即在上恒成立.
當，則當時，
故在上為減函數，故，不合題意，舍；
綜上，在上恒成立時.
而當時，
而時，由上述過程可得在遞增，故的解為，
即的解為.
綜上，.
【方法二：端點效應一】
(3)由(1)知， a≥?2.
因為 f(1)=a≤?2, 否則解集中含有 x=1.
故 a=?2.
f(x)=lnx2?x?2x+b(x?1)3.
f'(x)=2x(2?x)?2+3b(x?1)2=2(x?1)2x(2?x)+3b(x?1)2=(x?1)22x(2?x)+3b.
(a)若 2+3b≥0, 即 b≥?23 時， f'(x)=(x?1)22x(2?x)+3b
即
≥(x?1)22x+2?x22+3b=(x?1)2(2+3b)≥0,
即f'(x)≥0, f(x) 是 (1,2) 上的單調遞增函數，
f(x)>f(1)=?2, 符合題意；
(b)若 2+3b