一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中：只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 若直線方程為，則此直線必不經(jīng)過(guò)（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
2. 在軸與軸上截距分別為的直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
3. 設(shè)為兩條直線,為兩個(gè)平面,下列四個(gè)命題中,正確的命題是（ ）
A. 若,,則
B. 若,,,則
C. 若,,,則
D. 若,,,則
4. 若向量是空間中一個(gè)基底，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得：，我們把有序?qū)崝?shù)組叫做基底下向量的斜坐標(biāo).設(shè)向量在基底下的斜坐標(biāo)為，則向量在基底下的斜坐標(biāo)為（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且法向量，則的方程為（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知兩條直線，則“”是“”的（ ）
A 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
7. 如圖，正三棱柱的棱長(zhǎng)都是1，M是的中點(diǎn)，（），且，則（ ）
A. B. C. D.
8. 如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是左側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則與的夾角的最大值為（ ）
A. B.
C. D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知直線，直線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 在軸上的截距為B. 過(guò)定點(diǎn)
C. 若，則或D. 若，則
10. 若平面，的法向量分別是，，直線的方向向量為，直線的方向向量為，則（ ）
A. B.
C. 與為相交直線D. 在上的投影向量為
11. 如圖，球與棱長(zhǎng)為2的正方體的六個(gè)面都相切，分別為棱的中點(diǎn)，為正方形的中心，則（ ）
A. 球與該正方體的體積之比為
B. 球與該正方體的表面積之比為
C. 直線被球截得線段的長(zhǎng)度為
D. 過(guò)三點(diǎn)的正方體的截面與球的球面的交線長(zhǎng)為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知直線的傾斜角為，且這條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的一般式方程為_(kāi)_________.
13. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離為_(kāi)_________.
14. 直線與直線相交于點(diǎn)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線分別恒過(guò)定點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_________
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 求符合下列條件的直線方程：
（1）直線過(guò)點(diǎn)，且斜率為；
（2）直線過(guò)點(diǎn)，且橫截距為縱截距的兩倍.
16. 如圖，四面體OABC的所有棱長(zhǎng)都是1，D，E分別是邊OA，BC的中點(diǎn)，連接DE．
（1）計(jì)算DE的長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)O到平面ABC的距離．
17. 如圖，在四棱錐中平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，，，．

（1）求證：平面平面
（2）求直線EC與平面PAC所成角的正弦值．
18. 如圖，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD為梯形，，，，Q為AD的中點(diǎn)．

（1）在上是否存在點(diǎn)P，使直線平面，若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置并給出證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若（1）中點(diǎn)P存在，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
19. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn).若直線以為方向向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程表示為.
（1）已知直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程為，平面的點(diǎn)法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；
（2）已知平面的點(diǎn)法式方程可表示為，平面外一點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離；
（3）若集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體的體積.
2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)興安盟烏蘭浩特市高二上學(xué)期第一次
月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中：只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 若直線的方程為，則此直線必不經(jīng)過(guò)（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【正確答案】A
【分析】由條件判斷直線的斜率和縱截距的正負(fù)，結(jié)合圖象分析即得.
【詳解】由可得，，
即直線的斜率為負(fù)數(shù)，在軸上的截距為負(fù)數(shù)，
故直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，即不經(jīng)過(guò)第一象限.
故選：A.
2. 在軸與軸上截距分別為的直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】由題意得出直線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，利用直線斜率公式求得直線斜率，繼而得到直線的傾斜角.
【詳解】依題意，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
則直線的斜率為,
故直線的傾斜角為.
故選：D.
3. 設(shè)為兩條直線,為兩個(gè)平面,下列四個(gè)命題中,正確的命題是（ ）
A. 若,,則
B. 若,,,則
C. 若,,,則
D. 若,,,則
【正確答案】D
【分析】根據(jù)直線和平面的平行和垂直的性質(zhì)定理對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可.
【詳解】選項(xiàng)A:,,只有當(dāng)在同一平面內(nèi)的時(shí)候,才有,故不正確;
選項(xiàng)B: ,,,則可相交、平行或異面,故不正確;
選項(xiàng)C:,,,則還可能是相交平面,故不正確;
選項(xiàng)D:兩個(gè)平面垂直時(shí),與它們垂直的兩條直線一定是垂直的,所以若,,,則,正確.
故選:D.
4. 若向量是空間中的一個(gè)基底，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得：，我們把有序?qū)崝?shù)組叫做基底下向量的斜坐標(biāo).設(shè)向量在基底下的斜坐標(biāo)為，則向量在基底下的斜坐標(biāo)為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】借助待定系數(shù)法設(shè)，結(jié)合所給定義及其在基底下的斜坐標(biāo)計(jì)算即可得.
【詳解】由題意可得，
設(shè)，
即有
即可得，解得，即
即向量在基底下的斜坐標(biāo)為.
故選：A.
5. 已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且法向量，則的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)直線的法向量求得直線的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.
【詳解】由題意知直線 的法向量是，可得其斜率為 ，
所以直線 的方程為 ，即 .
故選：C
6. 已知兩條直線，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】由兩直線平行求出，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
7. 如圖，正三棱柱的棱長(zhǎng)都是1，M是的中點(diǎn)，（），且，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，由共線向量表示出，又，結(jié)合已知可得，由此即可得解.
【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

則，，，，，
設(shè)，由，得，
所以，，，
所有，，
因?yàn)椋?br>所以，得.
故選：C.
8. 如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是左側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則與的夾角的最大值為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】先建立空間坐標(biāo)系，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的夾角公式計(jì)算即可.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
是左側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 設(shè)，其中
，，
又，
設(shè)，
設(shè)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且
又且在上單調(diào)遞減，時(shí)取最大值 與的夾角的最大值為
故選：B
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知直線，直線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 在軸上的截距為B. 過(guò)定點(diǎn)
C. 若，則或D. 若，則
【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)直線截距的定義可判定A，由直線方程可求定點(diǎn)判定B，利用兩直線的位置關(guān)系可判定C、D.
【詳解】由易知，故A正確；
由，故B正確；
若兩直線平行，則有且，解得，故C錯(cuò)誤；
若兩直線垂直，則有，故D正確.
故選：ABD
10. 若平面，的法向量分別是，，直線的方向向量為，直線的方向向量為，則（ ）
A. B.
C. 與為相交直線D. 在上的投影向量為
【正確答案】AD
【分析】由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷線面的平行垂直關(guān)系，可判斷A、B、C選項(xiàng)；利用投影向量的計(jì)算公式計(jì)算可判斷D選項(xiàng).
【詳解】∵，∴，故A正確；
∵，∴或，故B錯(cuò)誤；
設(shè)，則，此方程組無(wú)解，則與為相交直線或異面直線，故C錯(cuò)誤；
在上的投影向量為，故D正確.
故選：AD
11. 如圖，球與棱長(zhǎng)為2的正方體的六個(gè)面都相切，分別為棱的中點(diǎn)，為正方形的中心，則（ ）
A. 球與該正方體的體積之比為
B. 球與該正方體的表面積之比為
C. 直線被球截得的線段的長(zhǎng)度為
D. 過(guò)三點(diǎn)的正方體的截面與球的球面的交線長(zhǎng)為
【正確答案】BC
【分析】根據(jù)正方體和球的表面積和體積公式，可判定A錯(cuò)誤；B正確；連接，取中點(diǎn)，得到，求得到的距離，結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式，可判定C正確；以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，求得和平面的法向量，結(jié)合距離公式，得到過(guò)三點(diǎn)的正方體的截面恰好過(guò)球的球心，可判定D錯(cuò)誤.
【詳解】因?yàn)榍蚺c棱長(zhǎng)為2的正方體的六個(gè)面都相切，
對(duì)于A中，可得正方體的體積為，
球的半徑為，體積為，
球與該正方體的體積之比為，所以A不正確；
對(duì)于B中，正方體的表面積為，球的表面積為，
所以球與該正方體的表面積之比為，所以B正確；
對(duì)于C中，連接，可得，
再連接，直角中，可得，
取中點(diǎn)，連接，則，可得，
即點(diǎn)到的距離為，
所以直線被球截得的線段的長(zhǎng)度為，
所以C正確；
對(duì)于D中，以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，
則，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，可得，所以，
所以點(diǎn)到平面的距離為，
可得過(guò)三點(diǎn)的正方體的截面恰好過(guò)球的球心，
所以截面交線的周長(zhǎng)為，所以D錯(cuò)誤.
故選：BC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知直線的傾斜角為，且這條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的一般式方程為_(kāi)_________.
【正確答案】或
【分析】先由傾斜角求直線的斜率，然后寫(xiě)出直線的點(diǎn)斜式方程，最后化為直線的一般式方程.
【詳解】因?yàn)椋?，則，
所以直線斜率為，
又因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為，
所以直線的一般式方程為或.
故或.
13. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_________.
【正確答案】
【分析】根據(jù)條件，求出，進(jìn)而得出，再利用點(diǎn)到直線的距離的向量法即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以，得到，
所以點(diǎn)到直線的距離為，
故答案為.
14. 直線與直線相交于點(diǎn)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線分別恒過(guò)定點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_________
【正確答案】4
【分析】根據(jù)直線恒過(guò)定點(diǎn)求法求出兩直線恒過(guò)的定點(diǎn)，即的坐標(biāo)，根據(jù)直線的方程計(jì)算得出兩直線垂直，即，即可得出，即可根據(jù)基本不等式得出答案.
【詳解】直線化為，
當(dāng)，得，即直線恒過(guò)點(diǎn)，即點(diǎn)，
直線化為，
當(dāng)，得，即直線恒過(guò)點(diǎn)，即點(diǎn)，
且兩條直線滿足,
,即，
,
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
的最大值為4.
故4.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 求符合下列條件的直線方程：
（1）直線過(guò)點(diǎn)，且斜率為；
（2）直線過(guò)點(diǎn)，且橫截距為縱截距的兩倍.
【正確答案】（1）
（2）或.
【分析】（1）由直線的點(diǎn)斜式方程求解即可.
（2）分截距為0和不為0兩種情況求解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，且斜率為，
所以，化簡(jiǎn)可得.
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)橫、縱截距都是0時(shí)，設(shè)直線的方程為.
∵直線過(guò)點(diǎn)2,1，
∴，即直線的方程為.
當(dāng)截距均不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為.
∵直線過(guò)點(diǎn)2,1，
∴，解得，即直線方程.
綜上，所求直線方程為或.
16. 如圖，四面體OABC的所有棱長(zhǎng)都是1，D，E分別是邊OA，BC的中點(diǎn)，連接DE．
（1）計(jì)算DE的長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)O到平面ABC的距離．
【正確答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用基底表示出向量，再根據(jù)向量數(shù)量積求長(zhǎng)度的方法即可求出；
（2）由該幾何體特征可知，點(diǎn)O在平面ABC的射影為的中心，即可求出．
【詳解】（1）因?yàn)樗拿骟wOABC的所有棱長(zhǎng)都是1，所以該四面體為正四面體，
，而且，所以，即，所以DE的長(zhǎng)為．
（2）因?yàn)樗拿骟wOABC為正四面體，所以點(diǎn)O在平面ABC的射影為的中心，
的外接圓半徑為，所以點(diǎn)O到平面ABC的距離為．
17. 如圖，在四棱錐中平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，，，．

（1）求證：平面平面
（2）求直線EC與平面PAC所成角的正弦值．
【正確答案】（1）證明見(jiàn)詳解；
（2）.
【分析】（1）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明平面，利用已知，結(jié)合勾股定理即可得證；
（2）利用（1）中結(jié)論判斷線面角，結(jié)合直角三角形性質(zhì)將所求轉(zhuǎn)化為即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>由題知，，，所以，
由余弦定理得，
所以，又，所以，
即，因?yàn)槠矫?，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，在平面內(nèi)的射影為，所以在平面內(nèi)的射影也為，
故直線EC與平面PAC所成角即為.
因?yàn)?，所以?br>所以，又因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以，
所以，所以.
18. 如圖，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD為梯形，，，，Q為AD的中點(diǎn)．

（1）在上是否存在點(diǎn)P，使直線平面，若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置并給出證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若（1）中點(diǎn)P存在，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
【正確答案】（1）存在，P是中點(diǎn)，證明見(jiàn)解析；
（2）．
【分析】（1）利用面面平行和線面平行確定點(diǎn)的位置，然后利用線面平行判定定理證明即可；
（2）過(guò)點(diǎn)D作，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DF，所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)面面夾角的向量公式求解可得.
【小問(wèn)1詳解】
存在，證明如下：
在四棱柱中，因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以可在平面內(nèi)作，
由平面幾何知識(shí)可證，所以，可知P是中點(diǎn)，
因?yàn)槠矫妫云矫妫?br>即存在線段的中點(diǎn)，滿足題設(shè)條件．
滿足條件的點(diǎn)只有一個(gè)，證明如下：
當(dāng)平面時(shí)，因?yàn)槠矫妫?br>所以過(guò)作平行于CQ的直線既在平面內(nèi)，也在平面內(nèi)，
而在平面內(nèi)過(guò)只能作一條直線，
故滿足條件的點(diǎn)P只有唯一一個(gè)．
所以，有且只有的中點(diǎn)為滿足條件的點(diǎn)P，使直線平面．
【小問(wèn)2詳解】
過(guò)點(diǎn)D作，垂足為F，又因?yàn)槠矫鍭BCD，

所以DA，DF，兩兩互相垂直，
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DF，所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
則有即
令，得，，所以．
設(shè)平面的法向量為．
則有即
令，得，，所以．
所以．
故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．
19. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn).若直線以為方向向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程表示為.
（1）已知直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程為，平面的點(diǎn)法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；
（2）已知平面的點(diǎn)法式方程可表示為，平面外一點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離；
（3）若集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體的體積.
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用題中的定義分別計(jì)算出直線方向向量與平面法向量，然后利用線面角向量求法計(jì)算即可；
（2）先計(jì)算平面法向量，找到平面上一點(diǎn)，然后利用點(diǎn)到面的距離的向量求法計(jì)算即可；
（3）先建立等式，然后畫(huà)出所表示的每個(gè)面，計(jì)算所圍成的立體圖形的體積即可；
【小問(wèn)1詳解】
由題可知，直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，則有，
所以，直線與平面所成角的余弦值為.
【小問(wèn)2詳解】
由題可知平面的法向量為，且過(guò)點(diǎn)，
因?yàn)?所以，所以點(diǎn)到平面的距離為.
【小問(wèn)3詳解】
建立空間直角坐標(biāo)系，分別畫(huà)平面，
然后得到幾何體為
幾何體是底面邊長(zhǎng)為的正方形，高為的長(zhǎng)方體，故幾何體的體積為

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2024-2025學(xué)年山東省聊城市高二上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）：

這是一份2024-2025學(xué)年山東省聊城市高二上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析），共11頁(yè)。試卷主要包含了點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，如圖，在三棱錐中，設(shè)，若，則，已知點(diǎn)，則平面的法向量可以是，給出下列命題，其中正確命題有，已知，，，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024-2025學(xué)年河北省保定市高二上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）：

這是一份2024-2025學(xué)年河北省保定市高二上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析），共29頁(yè)。試卷主要包含了測(cè)試范圍等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)興安盟科爾沁右翼前旗高二上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）：

這是一份2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)興安盟科爾沁右翼前旗高二上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析），共13頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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