1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．5x2﹣6y﹣3＝0
C．ax2﹣x+2＝0D．（a2+1）x2+bx+c＝0
答案：D．
2．用配方法解方程時，下列配方錯誤的是（ ）
A．x2+6x﹣7＝0化為（x+3）2＝0
B．x2﹣5x﹣4＝0化為
C．x2+2x﹣99＝0化為（x+1）2＝100
D．3x2﹣4x﹣2＝0化為
答案：A．
3．下列各組中的四條線段成比例的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D．a＝，b＝3，c＝2，d＝
答案：B．
4．如圖，AB、CD相交于點O，AD∥CB，若AO＝2，BO＝3，CD＝6，則CO等于（ ）
A．2.4B．3C．3.6D．4
答案：C．
5．等腰三角形一邊長為2，它的另外兩條邊的長度是關于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的兩個實數(shù)根，則k的值是（ ）
A．8B．9C．8或9D．12
答案：B．
6．某小組在“用頻率估計概率”的實驗中，統(tǒng)計了某種結果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖的折線圖，那么符合這一結果的實驗最有可能的是（ ）
A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”
B．袋子中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中隨機地取出一個球是黃球
C．擲一枚質地均勻的硬幣，落地時結果是“正面向上”
D．擲一個質地均勻的正六面體骰子，落地時面朝上的點數(shù)是6
答案：D．
7．某廠家2022年2月份生產口罩產量為180萬只，4月份生產口罩的產量為461萬只，設從2月份到4月份該廠家口罩產量的平均月增長率為x，根據題意可得方程（ ）
A．180（1﹣x）2＝461B．180（1+x）2＝461
C．461（1﹣x）2＝180D．461（1+x）2＝180
答案：B．
8．若關于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一個解為x＝﹣1，則另一個解為（ ）
A．3B．﹣3C．1D．4
答案：A．
9．一個多邊形的邊長分別為2，3，4，5，6，另一個和它相似的多邊形的最長邊為24，則這個多邊形的最短邊長為（ ）
A．6B．8C．12D．10
答案：B．
10．如圖，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C．
二、填空題（每小題3小題，共18分）
11．一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是 x1＝3，x2＝1 ．
12．一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，其上分別標有數(shù)字1，2，4，8．隨機摸取一個小球后不放回，再隨機摸取一個小球，則兩次取出的小球上數(shù)字之積等于8的概率是 ．
13．如圖，某單位準備在院內一塊長30m、寬20m的長方形花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的部分種植花草．如圖，要使種植花草的面積為532m2，則小道進出口的寬度為 1 m．
14．已知直角三角形斜邊上的中線是2.5cm，斜邊上的高是2cm，則這個直角三角形的面積是 5 cm2．
15．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCO是正方形，已知點C（，1），則點A的坐標是 （﹣1，） ．
16．菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝45°，點P、Q分別是BC、BD上的動點，CQ+PQ的最小值為 ．
三、解答題（第17小題6分，第18、19小題各8分，共22.0分）
17．用公式法解方程：x2﹣2x＝4x﹣5．
解：整理成一般式，得：x2﹣6x+5＝0，
∴a＝1，b＝﹣6，c＝5，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×5＝16＞0，
則x＝＝，
∴x1＝5，x2＝1．
18．小明有3支水筆，分別為紅色、藍色、黑色；有2塊橡皮，分別為白色、黑色．小明從中任意取出1支水筆和1塊橡皮配套使用．試用樹狀圖或表格列出所有可能的結果，并求取出紅色水筆和白色橡皮配套的概率．
解：畫樹狀圖：
共有6種等可能的結果，其中取出紅色水筆和白色橡皮占1種，
∴出紅色水筆和白色橡皮配套的概率＝．
19．如圖：在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，過點A作AE⊥BC于點E，延長BC至點F，使CF＝BE，連接DF．
（1）求證：四邊形AEFD是矩形；
（2）若BF＝16，DF＝8，求CD的長．
解：（1）在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝CD＝AB，
∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC，
∴EF＝BC，
∴EF＝AD，
∵AD∥BC，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∵AE⊥BC，
∴平行四邊形AEFD是矩形；
（2）在菱形ABCD中，BC＝CD，
∵BF＝16，
∴CF＝BF﹣BC＝16﹣CD，
∵在矩形AEFD中，∠F＝90°，
∵DF＝8，
∴在Rt△CFD中，，
解得：CD＝10．
四.（每小題8分，共16分）
20．勞動是財富的泉，也是幸福的泉．某中學對勞動教育進行積極探索和實踐，創(chuàng)建學生勞動教育基地，讓學生參與到農耕勞作中．如圖，現(xiàn)準備利用校園圍墻的一段MN（MN最長可用25m），用40m長的籬笆，圍成一個矩形菜園ABCD．
（1）當AB長度為多少時，矩形菜園的面積為150m2？
（2）能否圍成面積為210m2的矩形菜園？為什么？
解：（1）設當AB長度為x m時，矩形菜園的面積為150m2，
根據題意得：x（40﹣2x）＝150，
解得：x＝5或x＝15，
∵當x＝5時，40﹣2x＝30，不符合題意，
∴x＝5舍去，
答：當AB長度為15m時，矩形菜園的面積為150m2．
（2）不能圍成，如果矩形菜園面積為210m2時，
則：2x2﹣40x+210＝0，Δ＝﹣80＜0方程沒有實數(shù)根．
答：不能圍成面積為210m2的菜園．
21．如圖，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，點P從點A出發(fā)，沿著AC邊向點C以1cm/s的速度運動，點Q從點C出發(fā)，沿著CB邊向點B以2cm/s的速度運動，如果P與Q同時出發(fā)，經過幾秒△PQC和△ABC相似？
解：設經過x秒，兩三角形相似，
則CP＝AC﹣AP＝8﹣x，CQ＝2x，
（1）當CP與CA是對應邊時，，
即，
解得x＝4秒；
（2）當CP與BC是對應邊時，，
即，
解得x＝秒；
故經過4或秒，兩個三角形相似．
五.（本題10分）
22．如圖，綜合實踐活動課中小明同學用自制的直角三角形模具DEF測量樹的高度AB，他調整自己的位置，讓斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，DE＝0.4m，EF＝0.3m，測得邊DF離地面高度AC＝1.7m，CD＝8m，求樹高AB．
解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠EDF＝∠CDB，
∴△DEF∽△DCB，
∴＝，
∵EF＝0.3，DE＝0.4，DC＝8，
∴，
∴BC＝6m，
∴AB＝AC+BC＝1.7+6＝7.7（m），
答：樹高AB為7.7m．
六.（本題10分）
23．如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．點E、F、G分別從點A、B、C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向移動．點E、G的速度均為2cm/s，點F的速度為4cm/s，當點F追上點G（即點F與點G重合）時，三個點隨之停止移動．設移動開始后第t秒時，△EFG的面積為S（cm2）
（1）當t＝1秒時，S的值是多少？
（2）寫出S和t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；
（3）若點F在矩形的邊BC上移動，當t為何值時，以點E、B、F為頂點的三角形與以點F、C、G為頂點的三角形相似？請說明理由．
解：（1）如圖1，當t＝1秒時，AE＝2，EB＝10，BF＝4，F(xiàn)C＝4，CG＝2，
由S＝S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG，
＝×﹣
＝×（10+2）×8﹣×10×4﹣
＝24（cm2）；
（2）①如圖1，當0≤t≤2時，點E、F、G分別在邊AB、BC、CD上移動，
此時AE＝2t，EB＝12﹣2t，BF＝4t，F(xiàn)C＝8﹣4t，CG＝2t，
S＝S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG
＝×（EB+CG）?BC﹣EB?BF﹣FC?CG
＝×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）
＝8t2﹣32t+48（0≤t≤2）．
②如圖2，當點F追上點G時，4t＝2t+8，解得t＝4，
當2＜t＜4時，點E在邊AB上移動，點F、G都在邊CD上移動，此時CF＝4t﹣8，CG＝2t，
FG＝CG﹣CF＝2t﹣（4t﹣8）＝8﹣2t，
S＝FG?BC＝（8﹣2t）?8＝﹣8t+32．
即S＝﹣8t+32（2＜t＜4）．
（3）如圖1，當點F在矩形的邊BC上的邊移動時，在△EBF和△FCG中，∠B＝∠C＝90°，
①若＝，即＝，
解得t＝．
所以當t＝時，△EBF∽△FCG，
②若＝即＝，解得t＝．
所以當t＝時，△EBF∽△GCF．
綜上所述，當t＝或t＝時，以點E、B、F為頂點的三角形與以F、C、G為頂點的三角形相似．
七、（本題12分）
24．（1）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點P、Q分別在射線CB、AC上（點P不與點C、點B重合），且保持∠APQ＝∠ABC．
①若點P在線段CB上（如圖），且BP＝6，求線段CQ的長；
②若BP＝x，CQ＝y(tǒng)，求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的定義域；
（2）正方形ABCD的邊長為5（如圖），點P、Q分別在直線CB、DC上（點P不與點C、點B重合），且保持∠APQ＝90度．當CQ＝1時，寫出線段BP的長（不需要計算過程，請直接寫出結果）．
解：（1）①∵∠APQ+∠CPQ＝∠B+∠BAP，∠APQ＝∠ABC，
∴∠BAP＝∠CPQ．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∴△CPQ∽△BAP．
∴．
∵AB＝AC＝5，BC＝8，BP＝6，CP＝8﹣6＝2，
∴，．
②若點P在線段CB上，由（1）知，
∵BP＝x，BC＝8，
∴CP＝BC﹣BP＝8﹣x，
又∵CQ＝y(tǒng)，AB＝5，
∴，即．
故所求的函數(shù)關系式為（0＜x＜8）．
若點P在線段CB的延長線上，如圖．
∵∠APQ＝∠APB+∠CPQ，
∠ABC＝∠APB+∠PAB，∠APQ＝∠ABC，
∴∠CPQ＝∠PAB．
又∵∠ABP＝180°﹣∠ABC，∠PCQ＝180°﹣∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABP＝∠PCQ．
∴△QCP∽△PBA．
∴．
∵BP＝x，CP＝BC+BP＝8+x，AB＝5，CQ＝y(tǒng)，
∴，即（x＞0）．
（2）①當點P在線段BC上，
∵∠APQ＝90°，
∴∠APB+∠QPC＝90°，
∵∠PAB+∠APB＝90°，
∴∠PAB＝∠QPC，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴AB：PC＝BP：CQ，
即5：（5﹣BP）＝BP：1，
解得：，或，
②當點P在線段BC的延長線上，則點Q在線段DC的延長線上，
同理可得：△ABP∽△PCQ，
∴AB：PC＝BP：CQ，
∴5：（BP﹣5）＝BP：1，
解得：，
③當點P在線段CB的延長線上，則點Q在線段DC的延長線上，
同理可得：△ABP∽△PCQ，
∴AB：PC＝BP：CQ，
∴5：（BP+5）＝BP：1，
解得：．
綜上所述，或或或．
八.（本題12分）
25．如圖，已知正方形ABCD的邊長是2，點P沿A→B→C→D運動，到達點D停止．
（1）連接PD，設點運動的距離為x，請用x表示△APD的面積y（直接寫出結果）；
（2）作DE⊥AP于點E．
①如圖2，點P在線段BC上，將△APB沿AP翻折得到△APB′，連接B′D，求∠B′DE的度數(shù)；
②連接EC，若△CDE是等腰三角形，則DE＝ 2或或 直接寫出結果．
解：（1）分三種情況：①當點P在邊AB上時，如圖1，0≤x≤2，
y＝S△APD＝AP?AD＝x?2＝x；
②當點P在邊BC上時，如圖2，2＜x≤4，
y＝S△APD＝AP?AD＝×2×2＝2，
③當點P在邊CD上時，如圖3，4＜x≤6，
∴S△APD＝PD?AD＝（6﹣x）×2＝6﹣x；
即y＝﹣x+6；
（2）①如圖4，過A作AF⊥B'D于F，交DE于G，
由折疊得：AB＝AB'，∠BAP＝∠B'AP，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∴∠B'AF＝∠DAF，
∴∠B'AP+∠B'AF＝∠BAP+∠DAF＝∠BAD＝45°，
即∠EAG＝45°，
∴∠AGE＝∠FGD＝45°，
∴∠B'DE＝45°；
②當P在邊AB上時，如圖1，此時E與A重合，
∴ED＝DC＝2，
當P在邊BC上時，如圖5，當DE＝EC時，
過E作GF⊥CD于F，交AB于G，則FG⊥AB，DF＝FC＝1，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEG+∠DEF＝∠DEF+∠EDF＝90°，
∴∠AEG＝∠EDF，
∵∠AGE＝∠EFD，
∴△AGE∽△EFD，
∴，
∴，
∴EF＝1，
∴DE＝，此時P與C重合；
當點P在邊BC上，如圖6，CE＝CD時，
過C作CQ⊥ED于Q，則DQ＝EQ，
設DQ＝x，則DE＝2x，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠DCQ，∠AED＝∠DQC＝90°，
∴△AED≌△DQC（AAS），
∴AE＝DQ＝x，
由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
∴x2+（2x）2＝22，
∴x＝，
ED＝；
綜上所述，ED的長是2或或．
故答案為：2或或．

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