1. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)榧?，所?
故選：D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】因?yàn)椤啊辈荒芡瞥觥啊保?br>“”能推出“”，
所以，“”是“”的必要不充分條件，故選B.
3. 下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】B
【解析】A選項(xiàng)，不妨設(shè)，滿足，但，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，，由不等式性質(zhì)得，B正確；
C選項(xiàng)，不妨設(shè)，此時(shí)滿足，但，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，，
因?yàn)?，所以，但不確定的正負(fù)，若，則，
若，則，若，則，D錯(cuò)誤.
故選：B
4. 已知扇形圓心角為2弧度，弧長(zhǎng)為，則該扇形的面積為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)扇形的半徑為cm，則，
則該扇形的面積為.
故選：C
5. 已知，則的大小關(guān)系為（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，
又因?yàn)?，所?
故選：A.
6. 把的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)，再把所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象， 則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】把的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)，
可得的函數(shù)圖像，
再把所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)，
所以.
故選：C.
7. 近年來(lái)，家用冰箱使用的氟化物的釋放等破壞了臭氧層，已知臭氧含量與時(shí)間（單位：年）的關(guān)系為，其中是臭氧的初始含量，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．按照此關(guān)系推算，當(dāng)臭氧含量為初始含量的時(shí)，的值約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A. 305B. 483C. 717D. 879
【答案】C
【解析】因?yàn)槌粞鹾颗c時(shí)間（單位：年）的關(guān)系為，
所以當(dāng)臭氧含量為初始含量的時(shí)，得，
計(jì)算得，化簡(jiǎn)得，
所以.
故選：C.
8. 已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B. 是以2為周期的周期函數(shù)
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
D. 若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，分別記為，則
【答案】D
【解析】對(duì)于A，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則.
由，取可得，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，則，
又因，則.
用替換可得，故有.
所以是以為一個(gè)周期的周期函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，已知在上單調(diào)遞減，因是奇函數(shù)，故在上也單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減.
由于的周期是，那么在上的單調(diào)性與上的單調(diào)性相同.
由可知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
所以在上的單調(diào)性與上的單調(diào)性相反，即在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且周期可取為，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，
根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知，則，故D正確.
故選：D.
9. 已知函數(shù)，對(duì)，用表示中的最大者，記為．若恒成立，則（ ）
A. 的最大值是B. 的最小值是
C. 的最大值是D. 的最小值是
【答案】A
【解析】因?yàn)闀r(shí)，，故需時(shí)，恒成立，
故即，所以的最大值是，
故選：A.
10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A. B. -1C. 1D.
【答案】A
【解析】，故，
因?yàn)辄c(diǎn)是單調(diào)遞增區(qū)間上一點(diǎn)，且，所以，
設(shè)的最小正周期為，由圖象可知，且，
解得，，即，解得，
其中為的一個(gè)零點(diǎn)，故，
解得，
又，故，解得，
又，所以，
故，
則，
所以.
故選：A
第二部分 非選擇題（共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____．
【答案】
【解析】由題意得，解得，故函數(shù)定義域?yàn)?
故答案為：
12. 已知指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則該指數(shù)函數(shù)的解析式為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】設(shè)（且），將代入得，解得，負(fù)值舍去，
故該指數(shù)函數(shù)的解析式為.
故答案為：
13. 已知命題若為第一象限角，且，則．能說(shuō)明為假命題的一個(gè)的值為_(kāi)_____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，若，則，
又為第一象限角，
取，
則，由為假命題，則，
令，，則，滿足題意.
故答案為：（答案不唯一）.
14. 已知正數(shù)滿足，則的最大值是______，的最小值是______．
【答案】
【解析】正數(shù)滿足，由基本不等式得，
即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
，故，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為.
15. 設(shè)，函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，存在最小值；
③若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是；
④設(shè)記兩點(diǎn)之間的距離為，則存在負(fù)數(shù)，使得．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．
【答案】①③④
【解析】當(dāng)時(shí)，，，故①正確；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，
，則，圖象如上所示，
所以當(dāng)時(shí)，不存在最小值，故②錯(cuò)；
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，成立，
所以若在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則的取值范圍為，故③正確；
當(dāng)時(shí)，取，，
，
因?yàn)?，所以?br>所以存在負(fù)數(shù)，使得，故④正確.
故答案為：①③④.
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.
16. 設(shè)集合．
（1）若，求的值；
（2）在（1）的條件下，求．
解：（1）依題意，可知一元二次方程的兩個(gè)根分別為，2，且．
由韋達(dá)定理，得，
解得，故．
（2）由，可得，
所以．
由（1）知，，
所以或，
故或．
17. 已知函數(shù)．
（1）判斷的奇偶性，并證明；
（2）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出的圖象，并寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間；
（3）求不等式的解集．
解：（1）是偶函數(shù)，證明如下：
由已知，得的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
因?yàn)椋加校?br>且，
所以，故是偶函數(shù).
（2）的圖象如下圖所示．
的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（3）因?yàn)?，且?br>所以．
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，
且,所以，
解得，或，
故的解集為或．
18. 在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)為點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1）因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓交于點(diǎn)
所以解得．
因?yàn)?，所以?br>由三角函數(shù)的定義知，．
（2）原式=
19. 設(shè)函數(shù)，其中．再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知條件，使的解析式唯一確定．
（1）求的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間：
（2）若在區(qū)間上的值域?yàn)?，求的取值范?br>條件①：的最小正周期為；
條件②：；
條件③：的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．
解：（1）選條件①②：
由條件①知，，
所以，即．
由條件②知，．
因?yàn)?，所以?br>所以
令，
解得，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為
選條件①③：
由條件①知，，
所以，即．
由條件③知，，所以,
因?yàn)椋裕韵峦x條件①②，
選條件②③：
由條件②知，．
因?yàn)?，所以，?br>由條件③知，，
所以，此時(shí)不唯一，不符合要求
（2）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?br>且在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br>所以，解得，
故的取值范圍是
20. 設(shè)函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值和最小值：
（2）若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；
（3）若在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，求的取值范圍．
解：（1）當(dāng)時(shí)，，
所以的對(duì)稱軸為，
所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為．
（2）由已知，得的對(duì)稱軸為．
因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，
所以．
由，解得，
故的取值范圍是
（3）解法1：由已知，得．
1）當(dāng)即，或時(shí)，
由，得，此時(shí)的零點(diǎn)為3，不符合題意：
由，得，此時(shí)的零點(diǎn)為，符合題意．
2）當(dāng)即，或時(shí)，
①若，此時(shí)的對(duì)稱軸
且
所以區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，符合題意
②若，此時(shí)的對(duì)稱軸，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
又因?yàn)椋?br>所以在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)只需滿足，
解得．
綜上，的取值范圍是．
解法2：由已知，得的對(duì)稱軸為，
1）當(dāng)即時(shí)，，
此時(shí)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)為，符合題意．
2）當(dāng)即時(shí)，，
此時(shí)在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，不符合題意，
3）當(dāng)即，且時(shí)，
由在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，則有以下兩種情況：
①，解得，或
②解得．
綜上，的取值范圍是．
21. 設(shè)集合其中，且．若集合同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱集合是集合和諧子集．
條件①：；
條件②：對(duì)集合中任意三個(gè)元素不存在，使得．
（1）若集合，請(qǐng)判斷集合，是否為集合的和諧子集（不需要說(shuō)明理由）；
（2）若集合，集合是集合的和諧子集，且集合中的最小元素是3，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值：
（3）若集合，且集合是集合的和諧子集，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值．
解：（1）對(duì)于集合，其中，不滿足和諧子集的條件②，
所以不是集合的和諧子集.
對(duì)于集合，滿足和諧子集的條件①，
且對(duì)集合中任意三個(gè)元素，
不存在，使得，滿足條件②，
所以是集合的和諧子集.
綜上所得，集合不是集合的和諧子集，集合是集合的和諧子集.
（2）將集合中大于3的元素按照被3除所得的余數(shù)進(jìn)行分類：
被3除所得的余數(shù)為0的元素有6：
被3除所得的余數(shù)為1的元素有4，7：
被3除所得的余數(shù)為2的元素有5，8．
因?yàn)?，所?與7，5與8不能同時(shí)屬于集合，
否則，或者，與已知矛盾．
設(shè)為集合中元素的個(gè)數(shù)，則．
構(gòu)造集合，
因?yàn)?，所以集合是集合的和諧子集，
故集合中元素個(gè)數(shù)的最大值是4.
（3）不妨設(shè)集合中的最小元素是，
則存在唯一非負(fù)整數(shù)數(shù)對(duì)，使得，其中．
將集合中大于的元素按照被除所得的余數(shù)進(jìn)行分類：
被除所得的余數(shù)為1的元素有；
被除所得的余數(shù)為2的元素有；…
被除所得的余數(shù)為的元素有；
被除所得的余數(shù)為的元素有；
……
被除所得的余數(shù)為的元素有；
被除所得的余數(shù)為0的元素有．
因?yàn)槭羌现械淖钚≡兀陨鲜龈餍腥我鈨蓚€(gè)相鄰元素中，至多有一個(gè)元素屬于集合．
設(shè)為不大于的最大整數(shù)，
則在前行中，每行至多有個(gè)元素符合題意，
在剩下的行中，每行至多有個(gè)元素符合題意，
所以
構(gòu)造集合，
因?yàn)?，所以集合是集合的和諧子集，
故集合中元素個(gè)數(shù)的最大值是1013．

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