2025.1
本試卷共 4 頁，19 小題，滿分 150 分．考試用時 120 分鐘．
注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上．將條形碼橫
貼在答題卡對應位置“條形碼粘貼處”．
2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂
黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目區(qū)域內(nèi)相應位
置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以
上要求作答無效．
4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，將試卷和答題卡一并交回．
一、單項選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項中，只有
一項是符合題目要求的．
1. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】解分式不等式求 對應參數(shù)范圍，結合充分、必要性定義判斷條件間的關系.
【詳解】由 ，則 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分條件.
故選：B
2. 已知角 的頂點為坐標原點，始邊與 軸的非負半軸重合，終邊過點 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
第 1頁/共 15頁
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的定義可求代數(shù)式的值.
【詳解】因為終邊過點 ，故 ，所以 ，
故選：B.
3. 若 ， ， ，則 ， ， 的大小關系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指對數(shù)函數(shù)及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷大小關系即可.
【詳解】由 ，即 .
故選：A
4. 若一個扇形的弧長為 4，面積為 2，則這個扇形中心角的弧度數(shù)是（ ）
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用扇形的弧長及面積公式列方程求中心角弧度.
【詳解】令扇形中心角為 ，半徑為 ，則 ，可得 .
故選：D
5. 函數(shù) 的圖象大致為（ ）
A. B.
第 2頁/共 15頁
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)圖象性質(zhì)排除選項 AB，然后根據(jù)特殊值的符號排除 D.
【詳解】由題意得設 ，函數(shù) 定義域為 ，
，所以函數(shù) 奇函數(shù).
對 A、B：由圖象可知函數(shù)為偶函數(shù)，因為函數(shù) 為奇函數(shù)，故 A、B 錯誤；
對 C、D：由圖象可知函數(shù)為奇函數(shù)，令 ，得 ，故 D 錯誤，故 C 正確.
故選：C
6. 式子 （ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)運算法則及換底公式計算即得.
【詳解】
.
故選：C.
7. 若 ， ，且 ，則 的最小值為（ ）
A. B. 25 C. 5 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)利用基本不等式結合一元二次不等式運算求解.
第 3頁/共 15頁
【詳解】因為 ， ，且 ，
即 ，
且 ，當且僅當 時等號成立，
可得 ，解得 或 （舍去），
所以 ，當且僅當 ， 時等號成立，所以 的最小值為 .
故選：B
8. 已知 ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】應用和角正弦公式及已知可得 、 ，再由差角正弦公式
得 ，最后利用二倍角余弦公式求函數(shù)值.
【詳解】由 ，
由 ，則 ，
所以 ，又 ，
而 ，
所以 .
故選：C
二、多項選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項中，有多項符
合題目要求．全部選對得 6 分，部分選對得部分分，有選錯的得 0 分．
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 命題“ ，都有 ”的否定為“ ，使得 ”
B. 函數(shù) 的定義域是
C. 函數(shù) （ ，且 ）的圖象經(jīng)過定點
第 4頁/共 15頁
D. 已知函數(shù) 是定義在 上的偶函數(shù)，當 時 ，則當 時
【答案】ABD
【解析】
【分析】由全稱命題的否定為特稱命題寫出命題的否定判斷 A；由分式、對數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)定義域判斷 B；
根據(jù)指數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)所過的定點判斷 C；應用偶函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)解析式判斷 D.
【詳解】A：由全稱命題的否定為特稱命題，則“ ，都有 ”的否定為“ ，使得 ”，
對；
B：由解析式有 或 ，故函數(shù)定義域為 ，對；
C：由 ，故函數(shù)的圖象必過定點 ，錯；
D：若 ，則 ，故 ，
又 ，所以 ，對.
故選：ABD
10. 已知函數(shù) 的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A.
B. 若 ，則 ．
C. 將 的圖象向右平移 個單位長度，然后把曲線上的各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），
得到函數(shù) 的圖象
D. 的圖象關于直線 對稱
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求函數(shù)解析式，代入法判斷對稱軸，再由正弦型函數(shù)的性質(zhì)及圖象平移寫出對應解
第 5頁/共 15頁
析式，依次判斷各項正誤.
【詳解】由圖知， ，則 ，
且 ，則 ， ，
所以 ， ，又 ，則 ，A 錯，
所以 ，則 ，故 不是對稱軸，D 錯，
由 及正弦函數(shù)的性質(zhì)，知 必有 ，B 對，
將 的圖象向右平移 個單位長度，則 ，
再把曲線上的各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變）， ，C 對.
故選：BC
11. 高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為
世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：對于實數(shù) ，符號 表示不超過 的最大整數(shù)，則
稱為高斯函數(shù)，例如， ， ．定義函數(shù) ，則下列說法正確的是（ ）
A. 的定義域為 B. 在區(qū)間 上單調(diào)遞減
C. 當 時， 的最小值為 1 D. 當 時， 的最大值為 1
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)分式性質(zhì)求定義域，由新定義有 時 判斷單調(diào)性判斷 A、B，討論
、 ，結合函數(shù)新定義求 的值域，即可判斷 C、D.
【詳解】由解析式易知，函數(shù)定義域為 ，A 對；
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當 ，則 ，故在區(qū)間 上單調(diào)遞增，B 錯；
當 時， ，此時函數(shù)最小值為 1，
當 時， ，則 ，當且僅當 時取等號，C 對；
當 時， ，
當 時， ，則 ，當且僅當 時取等號，D 對；
故選：ACD
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
12. 若冪函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，則實數(shù) ________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)及區(qū)間單調(diào)性列方程、不等式求參數(shù)值.
【詳解】由題意 .
故答案為：
13. 已知 是鈍角， ，則 ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關系得 ，應用誘導公式化簡求值即可.
【詳解】由 是鈍角， ，則 ，
第 7頁/共 15頁
所以 .
故答案為：
14. 已知函數(shù) ，若函數(shù) 恰有 2 個零點，則實數(shù) 的取值范圍
是________．
【答案】 或
【解析】
【分析】問題化為 與 恰有兩個交點，根據(jù)分段函數(shù)解析式及二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)畫出
大致圖象，數(shù)形結合確定參數(shù)范圍.
【詳解】函數(shù) 恰有 2 個零點，即 與 恰有兩個交點，
由函數(shù) 解析式，可得其大致圖象如下，
如上圖，當 或 時， 與 恰有兩個交點.
故答案為： 或
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 已知集合 ， ．
（1）求 ；
（2）設集合 ，若 ，求實數(shù) 的取值范圍．
【答案】（1） ；
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（2） .
【解析】
【分析】（1）求解指數(shù)不等式求集合，再由交運算求集合；
（2）集合并運算求集合，再由包含關系并討論 、 列不等式求參數(shù)范圍.
【小問 1 詳解】
因為 ，所以 ，
因為 ，所以 .
【小問 2 詳解】
由 ，
當 時， ，解得 ，此時 ，
當 時，要使 ，則 ，解得 ，
綜上所述，實數(shù) 的取值范圍是 .
16. 設函數(shù) ， ． ，用 表示 ， 中的最大者，記為
．已知關于 的不等式 的解集為 ．
（1）求實數(shù) ， 的值，并寫出 的解析式；
（2）若 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍．
【答案】（1） ， ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解集求參數(shù)值，進而有 ，再由 的定義求解析
式；
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（2）求出 的最小值，根據(jù)不等式恒成立及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列不等式求參數(shù)范圍.
【小問 1 詳解】
因為 的解集為 ，所以 是方程 的兩個根，
由根與系數(shù)的關系得 ，解得 ，所以 ，
由 ，得 ，即 ，解得 或 ，
由 ，得 ，即 ，解得 ，
所以 .
【小問 2 詳解】
當 時， ，
當 時， ，
當 時， ，
綜上所述， 的最小值為 0，所以 ，
即 ，
所以 ，解得 ，或 ，
所以 的取值范圍是 .
17. 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為 300 萬元，每年生產(chǎn) 萬件，需增加投入成本為 萬元．當年產(chǎn)
量不足 9 萬件時， ；當年產(chǎn)量不小于 9 萬件時， ．通過
市場分析，每件產(chǎn)品售價定為 500 元，且該廠年內(nèi)生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部銷售出去，獲得的年利潤為 萬元．
（利潤＝銷售收入一總成本）
（1）求年利潤 的函數(shù)解析式；
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（2）求年產(chǎn)量 為多少時，該廠的年利潤 最大？
【答案】（1） ；
（2）6 萬件.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，分 、 求對應解析式，再寫出其分段函數(shù)形式；
（2）在不同分段上，應用二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式分別求出對應的最值，再比較大小即可得最大利潤
對應的產(chǎn)量 x.
【小問 1 詳解】
當 時， ，
當 時， ，
所以 ；
【小問 2 詳解】
當 時， ，
所以當 時， 取得最大值，最大值是 900 萬元，
當 時， ，
當且僅當 ，即 時等號成立，
所以當 時， 取得最大值，最大值是 800 萬元，
因為 ，所以，年產(chǎn)量為 6 萬件時，該廠年利潤 最大．
18. 已知函數(shù) ．
第 11頁/共 15頁
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在區(qū)間 上的最大值和最小值；
（3）求 在區(qū)間 上的單調(diào)遞增區(qū)間．
【答案】（1） ；
（2）最大值 ，最小值 ；
（3） 和 .
【解析】
【分析】（1）應用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求最小正周期；
（2）應用整體法求 對應區(qū)間，再由正弦函數(shù)性質(zhì)求最值；
（3）換元法求 在給定區(qū)間的對應區(qū)間，結合正弦函數(shù)性質(zhì)求單調(diào)遞增區(qū)間.
【小問 1 詳解】
，
所以， ，其最小正周期為 .
【小問 2 詳解】
因為 ，所以 ，
當 ，即 時， 取得最小值 ；
當 ，即 時， 取得最大值 .
【小問 3 詳解】
令 ，則 ，
第 12頁/共 15頁
因為 ， 的單調(diào)遞增區(qū)間是 和 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以，函數(shù) 在 上的單調(diào)遞增區(qū)間為 和 .
19. 懸鏈線是兩端固定的一條粗細與質(zhì)量分布均勻，柔軟而不能伸長的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線
形狀．如障礙物上懸掛的鐵鏈和懸掛在空中的電線都是懸鏈線形狀．雙曲余弦函數(shù)的圖象的形狀就是一種
特殊的懸鏈線．定義雙曲余弦函數(shù)為 ，雙曲正弦函數(shù)為 ．
（1）求證： 為定值．
（2）設函數(shù) ，
（i）判斷 的單調(diào)性，并用定義證明；
（ii）若對于 ， 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析；
（2）（i）函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，證明見解析；（ii） .
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義，應用指數(shù)冪運算化簡 ，即可證結論；
（2）（i）應用函數(shù)單調(diào)性定義及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小判斷證明函數(shù)的單調(diào)性；（ii）奇偶性定義判斷
的奇偶性，再應用奇偶性、單調(diào)性及不等式恒成立得 恒成立，應用換元法及
三角函數(shù)性質(zhì)求右側的最大值，即可得參數(shù)范圍.
【小問 1 詳解】
由題設 ，
所以 定值 1．
【小問 2 詳解】
第 13頁/共 15頁
，
（i）函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，證明如下：
任取 ，且 ，
則
．
因為 ，所以 ，即 ，又 ，
所以 ，即 ，故函數(shù) 在 上單調(diào)遞增．
（ii）函數(shù) 的定義域為 ，因為 ，都有 ，
且 ，所以函數(shù) 為奇函數(shù)．
因為 ，所以 ，
因為 為奇函數(shù)，所以 ．
由（i）知，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，所以 ，
因為 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
設 ， ，
則 ， ，
第 14頁/共 15頁
所以 ，
設 ，則 在 上單調(diào)遞增，
，所以 ，
所以實數(shù) 的取值范圍是 .
【點睛】關鍵點點睛：第二問二小問，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性將問題化為 恒
成立為關鍵.
第 15頁/共 15頁

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