典型考題，具體包含八類(lèi)題型：已知兩邊求第三邊、已知一邊和一特殊角求其它邊長(zhǎng)、折疊模型、最短爬
行路徑問(wèn)題、勾股定理與圖形面積關(guān)系、勾股定理的逆定理、勾股定理的應(yīng)用題、勾股定理與其它章節(jié)的
綜合題。適合于培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的老師給學(xué)生作復(fù)習(xí)培訓(xùn)時(shí)使用或者學(xué)生考前刷題時(shí)使用。
題型一 已知兩邊，求第三邊
1．（安徽安慶）在中，若兩直角邊，滿(mǎn)足，則斜邊的長(zhǎng)度是______．
【詳解】解：∵，，∴，
∴，在中，由勾股定理得c=．故答案為：13．
2．（四川涼山）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4．則第三邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．
【詳解】解：①長(zhǎng)為3的邊是直角邊，長(zhǎng)為4的邊是斜邊時(shí)，第三邊的長(zhǎng)為：；
②長(zhǎng)為3、4的邊都是直角邊時(shí)，第三邊的長(zhǎng)為：；∴第三邊的長(zhǎng)為：或5，
故答案為：或5．
3．如圖，x軸、y軸上分別有兩點(diǎn)A(3，0)、B(0，2)，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的弧交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．(﹣1，0)B．(2，0)C．(3，0)D．(3，0)
【詳解】解：如圖，∵A（3，0）、B（0，2），∴OA＝3，OB＝2，
∴在直角△AOB中，由勾股定理得AB．又∵以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的弧交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，∴AC＝AB＝，∴OC＝AC﹣OA3．又∵點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，∴C（3，0）．
故選：D．
4.（周南）一架方梯長(zhǎng)25m，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7m，求：（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？
【解答】解：（1）根據(jù)勾股定理：梯子距離地面的高度為：＝24米；
（2）梯子下滑了4米，即梯子距離地面的高度為A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20，根據(jù)勾股定理得：25＝，解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米．
題型二 已知一邊和一特殊角求其它邊長(zhǎng)
5．（長(zhǎng)郡）如圖，，平分，交于，交于，若，則等于（ ）
A．5B．4C．3D．2
【詳解】解：過(guò)D點(diǎn)作于G點(diǎn)，如圖，
∵平分，，∴，又∵，
∴，，∴，，
∴是等腰三角形，∴，，
在中，有，∴，∵，，
∴，∴，故選：B．
6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，為等邊三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，
∵B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2，0)和(6，0)，∴BC=6-（-2）=8，∵△ABC為等邊三角形
∴AB=AC=BC=8，BD=CD=4，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為6-4=2，
在Rt△ABD中，AD=，所以，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，)， 故答案為：(2，)．
7．（山東東營(yíng)）如圖，在中，，，，則的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．2C．D．3
【詳解】解：過(guò)A作于D，在中，，，
，，在中，，，
，，故選：C。
8.（師大）小明將一幅三角板如圖所示擺放在一起，發(fā)現(xiàn)只要知道其中一邊的長(zhǎng)就可以求出其它各邊的長(zhǎng)，若已知，求的長(zhǎng)。
【解答】解：在Rt△BCD中，∵CD＝2，∠BCD＝45°，∴BC＝．∵∠BCA＝30°，∴AB=，AC=2AB=．
9．（四川內(nèi)江）已知，在中，，，，則的面積為 __．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作邊的高，
中，，，，在中，，，
①是鈍角三角形時(shí)，，；
②是銳角三角形時(shí)，，，
故答案為：2或14．
題型三：折疊模型：已知一邊，設(shè)第二邊為x，第三邊為“幾-x”,再列方程.
10．（四川達(dá)州）如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長(zhǎng)方形紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)H的位置，折痕為EF，則△ABE的面積為（ ）
A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2
【詳解】將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，根據(jù)勾股定理得：，解得：．．故選：A．
11．（四川涼山）如圖，中，，將沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則CE的長(zhǎng)為（ ）
A．B．2C．D．
【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10，∵△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，∴AE=BE，AD=BD=AB=5，設(shè)AE=x，則CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8-x）2，解得x=，∴CE==，故選：D．
12．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形中，，，將矩形沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，則重疊部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【詳解】解：由翻折變換的性質(zhì)可知：，∴，，，
∵四邊形為矩形，，，∴，，，
∴，，在和中，，∴，
∴，，設(shè)，則，在中，，
∴，解得：，，∴．故選：B．
13．（山東菏澤）如圖，OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=10，OC=8．在OC邊上取一點(diǎn)D，將紙片沿AD翻折，使點(diǎn)O落在BC邊上的點(diǎn)E處，求D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】解：依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對(duì)稱(chēng)軸，
∴在Rt△ABE中，AE=AO=10，AB=8，，∴CE=4，∴E（4，8）
在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，又∵DE=OD，∴（8-OD）2+42=OD2，∴OD=5 ，∴D（0，5）。
14.（長(zhǎng)郡）如圖，在中，，，，是的垂直平分線(xiàn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求的長(zhǎng).

【解答】（1）證明：∵△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，又∵42+32＝52，即AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
證明：連接CE．∵DE是BC的垂直平分線(xiàn)，∴EC＝EB，設(shè)AE＝x，則EC＝4﹣x．
∴x2+32＝（4﹣x）2．解之得x＝，即AE的長(zhǎng)是．
題型四 最短爬行路徑問(wèn)題：先展開(kāi)，再連起點(diǎn)與終點(diǎn)
15．（吉林長(zhǎng)春）如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)是24，高是5，一只在A點(diǎn)的螞蟻想吃到B點(diǎn)的食物，沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑是（ ）
A．9B．13C．14D．25
【詳解】解：該圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，如下圖所示，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，可知沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑即為AB，AB恰為一個(gè)矩形的對(duì)角線(xiàn)，該矩形的長(zhǎng)為圓柱的底面周長(zhǎng)的一半，即長(zhǎng)為24÷2=12，寬為5，∴AB==13，即沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑長(zhǎng)為13．故選：B．
16．（山東棗莊）如圖，圓柱體的高為8cm，底面周長(zhǎng)為4cm，小螞蟻在圓柱表面爬行，從A點(diǎn)到B點(diǎn)，路線(xiàn)如圖所示，則最短路程為_(kāi)____．
【詳解】解：將圓柱沿過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B的母線(xiàn)剪開(kāi)，展開(kāi)成平面，由圓柱路線(xiàn)可知小螞蟻在水平方向爬行的路程等于個(gè)底面周長(zhǎng)，如下圖所示：AC=1．5×4=6cm，連接AB，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，
∴小螞蟻爬行的最短路程為此時(shí)AB的長(zhǎng)
∵圓柱體的高為8cm，∴BC=8cm，在Rt△ABC中，AB=cm，故答案為：10cm．
17．（遼寧遼陽(yáng)）如圖，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)處（三條棱長(zhǎng)如圖所示），問(wèn)最短路線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)________．
【詳解】
如圖1，當(dāng)展開(kāi)的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是AC=4+2=6，寬是AD=1，
路徑長(zhǎng)為AG=；
如圖2，當(dāng)展開(kāi)的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是AB=4，寬是BG=2+1，
路徑長(zhǎng)為AG=；
如圖3，當(dāng)展開(kāi)的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是CD=4+1=5，寬是AD=2，
路徑長(zhǎng)為AG=；
故沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)面頂點(diǎn)G處，只有圖2最短，其最短路線(xiàn)長(zhǎng)為：5．故答案為：5．
題型五 勾股定理與圖形面積關(guān)系
18．（廣西玉林）如圖，以Rt△ABC的兩直角邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，則斜邊AB的長(zhǎng)是（ ）
A．3cmB．6cmC．4cmD．5cm
【詳解】解：S1＝8cm2，S2＝17cm2，∴BC2＝8，AC2＝17，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝8＋17＝25，∴AB＝5cm，故選：D．
19．（湖南邵陽(yáng)）如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是（ ）
A．13B．26C．34D．47
【詳解】由勾股定理得：正方形F的面積=正方形A的面積+正方形B的面積=32+52=34，
同理，正方形G的面積=正方形C的面積+正方形D的面積=22+32=13，∴正方形E的面積=正方形F的面積+正方形G的面積=47．故選D．
20．如圖，在中，以AC為直角邊向外作，分別以AB，BC，CD，DA為直徑向外作半圓，面積分別記為S1，S2，S3，S4，已知，，，則S4為（ ）
A．2B．3C．D．
【詳解】解：∵以AB，BC，CD，DA為直徑向外作半圓的面積分別為S1，S2，S3，S4，
∴，，
∵∠ABC＝∠CAD＝90°，∴∴，
∴S1＋S2＝S3﹣S4，∵S1＝3，S2＝1，S3＝7，∴3＋1＝7﹣S4，∴S4＝3，故選：B．
題型六 勾股定理的逆定理
21．（廣東湛江）下列各組數(shù)中，不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（ ）
A．1，2，B．5，4，3C．17，8，15D．2，3，4
【詳解】解：A、∵12+（）2=22，故是直角三角形，不符合題意；B、32+42=52，故是直角三角形，不符合題意；C、82+152=172，故是直角三角形，不符合題意；D、22+32≠42，故不是直角三角形，符合題意；
故選：D．
22．（陜西寶雞）ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，由下列條件不能判定ABC為直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠CB．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a(chǎn)2=c2﹣b2D．a(chǎn)：b：c=3：4：6
【詳解】解：A、∠A＋∠B＝∠C，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，則∠C＝90°，是直角三角形；
B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，則∠C＝90°，是直角三角形；
C、由a2＝c2?b2，得a2＋b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、32＋42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故選：D．
23．（四川雅安）如圖，是一塊草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊草坪的面積．
【詳解】連接AC，∵AD＝12，CD＝9，∠ADC＝90°，
∴AC==15，∵AB＝39，BC＝36，AC=15，
∴，∴∠ACB=90°，
∴這塊空地的面積為：==216（平方米），
故這塊草坪的面積216平方米．
24．（山東青島）我市某中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，為了綠化環(huán)境，學(xué)校計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．
（1)求出空地ABCD的面積．
（2)若每種植1平方米草皮需要200元，問(wèn)總共需投入多少元？
【詳解】分析：（1)連接BD．在Rt△ABD中可求得BD的長(zhǎng)，由BD、CD、BC的長(zhǎng)度關(guān)系可得△DBC為直角三角形，DC為斜邊；由四邊形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC構(gòu)成，則容易求解；
（2)根據(jù)總費(fèi)用=面積×單價(jià)解答即可．
詳解：（1)連接BD．在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52．
在△CBD中，CD2=132，BC2=122，而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90°，
S四邊形ABCD=S△BAD+S△DBC=?AD?AB+DB?BC=×4×3+×12×5=36．
（2)需費(fèi)用36×200=7200（元)．答：總共需投入7200元．
25．（廣東深圳）在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中，由于某種原由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在一條直線(xiàn)上），并新修一條路CH，測(cè)得千米，千米，千米．
(1)問(wèn)CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明．
(2)求原來(lái)的路線(xiàn)AC的長(zhǎng)．
【詳解】（1）解：是， 理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25， BC2=2.25， ∴CH2+BH2=BC2， ∴△CHB是直角三角形，
∴CH是從村莊C到河邊的最近路；
（2）設(shè)AC=x千米， 在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2， ∴x2=（x-0.9）2+1.22， 解這個(gè)方程，得x=1.25，
答：原來(lái)的路線(xiàn)AC的長(zhǎng)為1.25千米．
題型七 勾股定理的應(yīng)用題
26．（廣東河源）如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8 m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面2 m，則旗桿的高度(滑輪上方的部分忽略不計(jì))為( )
A．12 mB．13 mC．16 mD．17 m
【詳解】解：設(shè)旗桿高度為x，則AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，解得：x=17，即旗桿的高度為17米．故選D．
27．（山東青島）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地0.5米，將它往前推3米時(shí)，踏板離地1.5米，此時(shí)秋千的繩索是拉直的，則秋千的長(zhǎng)度是（ ）
A．3米B．4米C．5米D．6米
【詳解】解：設(shè)米，米，米，
（米，米，
在中，米，米，米，根據(jù)勾股定理得：，
解得：，則秋千的長(zhǎng)度是5米．故選：C．
28．（江西撫州）長(zhǎng)清的園博園廣場(chǎng)視野開(kāi)闊，阻擋物少，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場(chǎng)所，某校七年級(jí)（1）班的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得風(fēng)箏的垂直高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)得水平距離BD的長(zhǎng)為15米；②根據(jù)手中剩余線(xiàn)的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線(xiàn)BC的長(zhǎng)為25米；③牽線(xiàn)放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米．
(1)求風(fēng)箏的垂直高度CE；
(2)如果小明想風(fēng)箏沿CD方向下降12米，則他應(yīng)該往回收線(xiàn)多少米？
【詳解】（1）解：在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=252-152=400，所以，CD=20（負(fù)值舍去），
所以，CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米），答：風(fēng)箏的高度CE為21.6米；
（2）解：由題意得，CM=12米，
∴DM=8米，∴BM= （米），∴BC-BM=25-17=8（米），
∴他應(yīng)該往回收線(xiàn)8米．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理，能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出勾股定理是解題的關(guān)鍵．
29．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若圖是一個(gè)高為3米，長(zhǎng)為5米的樓梯表面鋪地毯．
（1）求地毯的長(zhǎng)是多少米？
（2）如果地毯的寬是2米，地毯每平方售價(jià)是10元，鋪這個(gè)樓梯一共需要多少元？
【詳解】（1），
，
，
∴地毯的長(zhǎng)為7m；
（2）地毯的面積為，
∴鋪這個(gè)樓梯所需的花費(fèi)為（元）．
30．（河南駐馬店）沙塵暴是指強(qiáng)風(fēng)將地面塵沙吹起使空氣很混濁，水平能見(jiàn)度很低的一種天氣現(xiàn)象．人類(lèi)在發(fā)展經(jīng)濟(jì)過(guò)程中大肆破壞植被，導(dǎo)致沙塵暴爆發(fā)頻數(shù)增加．如圖，某氣象局監(jiān)測(cè)到一個(gè)沙塵暴中心沿東西方向AB由A向B移動(dòng)，已知點(diǎn)C為一城鎮(zhèn)，且點(diǎn)C與直線(xiàn)AB上的兩點(diǎn)A，B的距離分別為：，，，以沙塵暴中心為圓心周?chē)?5km以?xún)?nèi)為受影響區(qū)域．
(1)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明城鎮(zhèn)C會(huì)受到沙塵暴影響的原因；
(2)若沙塵暴中心的移動(dòng)速度為20km/h，則沙塵暴影響該城鎮(zhèn)持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？
【詳解】（1）解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)C作，
∵，，，∴，∴為直角三角形，
∴，即，∴，
∵以沙塵暴中心為圓心周?chē)詢(xún)?nèi)為受影響區(qū)域，，∴城鎮(zhèn)C會(huì)受到沙塵暴影響；
（2）解：如圖所示：在AB邊上找E、F兩點(diǎn)，連接CE、CF，
當(dāng)，時(shí)，沙塵暴正好影響城鎮(zhèn)C，∴，
在與中，，∴，∴DE=DF，∴，
∵沙塵暴中心的移動(dòng)速度為，∴，∴沙塵暴影響該城鎮(zhèn)持續(xù)的時(shí)間為．
31．臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周?chē)锨椎姆秶鷥?nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線(xiàn)AB上兩點(diǎn)A、B的距離分別為300km和400km，又AB＝500km，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周?chē)?50km以?xún)?nèi)為受影響區(qū)域．
(1)海港C會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？
(2)若臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h，臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？
【詳解】（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D點(diǎn)，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴，∴△ABC為直角三角形，∴，∴，
∴，∵以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周?chē)?50km以?xún)?nèi)為受影響區(qū)域，∴海港C會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響；
（2）由（1）得CD=240km，如圖所示，當(dāng)EC=FC=250km時(shí)，即臺(tái)風(fēng)經(jīng)過(guò)EF段時(shí)，正好影響到海港C，
此時(shí)△ECF為等腰三角形，∵，∴EF=140km，∵臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h，
∴140÷20=7h，∴臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有7h．
32．（2021·廣西柳州）在一次海上救援中，兩艘專(zhuān)業(yè)救助船同時(shí)收到某事故漁船的求救訊息，已知此時(shí)救助船在的正北方向，事故漁船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故漁船與救助船相距120海里．
（1）求收到求救訊息時(shí)事故漁船與救助船之間的距離；
（2）若救助船A，分別以40海里/小時(shí)、30海里/小時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，勻速直線(xiàn)前往事故漁船處搜救，試通過(guò)計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá)．
【詳解】(1)如圖，作于，則，由題意得：海里，，，
∴海里，是等腰直角三角形，∴海里，海里，
答：收到求救訊息時(shí)事故漁船與救助船之間的距離為海里；
(2)∵海里，海里，救助船分別以40海里/小時(shí)、30海里/小時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，
∴救助船所用的時(shí)間為(小時(shí))，救助船所用的時(shí)間為(小時(shí))，∵，
∴救助船先到達(dá)．
33．（內(nèi)蒙古）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小鵬等三位同學(xué)在濱海大道紅樹(shù)林路段，嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車(chē)速，觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在到公路l的距離為100米的P處．這時(shí)，一輛富康轎車(chē)由西向東勻速駛來(lái)，測(cè)得此車(chē)從A處行駛到B處所用的時(shí)間為3秒，并測(cè)得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，試判斷此車(chē)是否超過(guò)了每小時(shí)80千米的限制速度？
【詳解】解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，則∠PAO＝30°.∴AP＝2OP＝200 m，
AO＝＝＝100(m)．在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，
則BO＝OP＝100 m.∴AB＝AO－BO＝100－100≈73(m)．
∴從A到B小車(chē)行駛的速度為73÷3≈24.3(m/s)＝87.48 km/h>80 km/h.
∴此車(chē)超過(guò)每小時(shí)80千米的限制速度．
34．（河南新鄉(xiāng)）拖拉機(jī)行駛過(guò)程中會(huì)對(duì)周?chē)a(chǎn)生較大的噪聲影響．如圖，有一臺(tái)拖拉機(jī)沿公路AB由點(diǎn)A向點(diǎn)B行駛，已知點(diǎn)C為一所學(xué)校，且點(diǎn)C與直線(xiàn)AB上兩點(diǎn)A，B的距離分別為150m和200m，又AB＝250m，拖拉機(jī)周?chē)?30m以?xún)?nèi)為受噪聲影響區(qū)域．
（1）學(xué)校C會(huì)受噪聲影響嗎？為什么？
（2）若拖拉機(jī)的行駛速度為每分鐘50米，拖拉機(jī)噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間有多少分鐘？

【詳解】解：（1）學(xué)校C會(huì)受噪聲影響．
理由：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，
∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，∴CD＝＝120（m），∵拖拉機(jī)周?chē)?30m以?xún)?nèi)為受噪聲影響區(qū)域，
∴學(xué)校C會(huì)受噪聲影響．
（2）當(dāng)EC＝130m，F(xiàn)C＝130m時(shí)，正好影響C學(xué)校，
∵ED＝=50（m），∴EF＝50×2=100（m），∵拖拉機(jī)的行駛速度為每分鐘50米，
∴100÷50＝2（分鐘），即拖拉機(jī)噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間有2分鐘．
35．（廣東茂名）新冠疫情期間，為了提高人民群眾防疫意識(shí)，很多地方的宣講車(chē)開(kāi)起來(lái)了，大喇叭響起來(lái)了，宣傳橫幅掛起來(lái)了，電子屏亮起來(lái)了，電視、廣播、微信、短信齊上陣，防疫標(biāo)語(yǔ)、宣傳金句頻出，這傳遞著打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的堅(jiān)定決心．如圖，在一條筆直公路MN的一側(cè)點(diǎn)A處有一村莊，村莊A到公路MN的距離AB為800米，若宣講車(chē)周?chē)?000米以?xún)?nèi)能聽(tīng)到廣播宣傳，宣講車(chē)在公路MN上沿MN方向行駛．
(1)請(qǐng)問(wèn)村莊A能否聽(tīng)到宣傳？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)如果能聽(tīng)到，已知宣講車(chē)的速度是300米/分鐘，那么村莊A總共能聽(tīng)到多長(zhǎng)時(shí)間的宣傳？
【詳解】（1）解：村莊能聽(tīng)到宣傳，
理由：∵村莊A到公路MN的距離為800米＜1000米，∴村莊能聽(tīng)到宣傳；
（2）解：如圖：假設(shè)當(dāng)宣講車(chē)行駛到P點(diǎn)開(kāi)始影響村莊，行駛Q點(diǎn)結(jié)束對(duì)村莊的影響，
則AP=AQ=1000米，AB=800米，∴BP=BQ==600（米），∴PQ=1200米，
∴影響村莊的時(shí)間為：1200÷300=4（分鐘），∴村莊總共能聽(tīng)到4分鐘的宣傳．
題型八 勾股定理與其它章節(jié)的綜合題
36. （青竹湖）利用所學(xué)的知識(shí)計(jì)算：
（1）已知，且，，求的值；
（2）已知、、為的三邊長(zhǎng)，若，求的周長(zhǎng).
【解答】解：（1）∵a2+b2＝13，ab＝6，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝13﹣2×6＝1，
∵a＞b，∴a﹣b＝1；
（2）∵a2+b2+25＝6a+8b，∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0，∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，∴a＝3，b＝4，
當(dāng)4是直角邊時(shí)，斜邊長(zhǎng)＝＝5，則Rt△ABC的周長(zhǎng)＝3+4+5＝12，當(dāng)4是斜邊時(shí)，另一條直角邊長(zhǎng)＝＝，則Rt△ABC的周長(zhǎng)＝3+4+＝7+，
綜上所述，Rt△ABC的周長(zhǎng)為12或7+．
37.（廣益）△，△是等腰直角三角形，點(diǎn)在上.
（1）求證：△≌△
（2）若，，求.

【解答】（1）證明：∵△AOB，△COD是等腰直角三角形，∴OC＝OD，OA＝OB，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°﹣∠AOD，在△AOC和△BOD中∴△AOC≌△BOD（SAS）；
（2）解：∵△AOB，△COD是等腰直角三角形，∴OC＝OD，OA＝OB，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠B＝∠OAB＝45°，∵△AOC≌△BOD，BD＝1，∴AC＝BD＝1，∠CAO＝∠B＝45°，
∵∠OAB＝45°，∴∠CAD＝45°+45°＝90°，
在Rt△CAD中，由勾股定理得：CD＝＝＝．
38.（雅境）在中，平分交于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使得.
(1)求證：；
(2)若，，，求的長(zhǎng).
【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵EA＝ED，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，
∴DE∥AC；
（2）解法一：∵ED＝EB，ED＝EA，∴EA＝EB＝3，∠B＝∠4．∴AB＝6，又∵DE∥AC，
∴∠4＝∠C．∴∠B＝∠C．又∵∠1＝∠2，AD＝AD，∴△BAD≌△CAD．∴∠ADB＝∠ADC．
∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，由勾股定理得：．
解法二：∵ED＝EB，ED＝EA，∴∠B＝∠4，ED＝EB＝EA＝3．∴AB＝6，在△ABD中，∠B+∠4+∠3+∠1＝180°，∵∠1＝∠3，∠B＝∠4，∴∠B+∠4+∠3+∠1＝2∠3+2∠4＝180°．∴∠ADB＝∠3+∠4＝90°．在Rt△ABD中，由勾股定理得：．
39.（師大）如圖，在中，=，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，并且始終保持，連接.
(1)求證：
(2)若平分交于，求證：
(3)在(2)的條件下，若，，求的長(zhǎng)，

【解答】（1）BD2+FC2＝DF2．證明：連接FE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠3＝45°，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，又∵∠BAC＝∠DAC+∠1＝90°，
∴∠1＝∠2，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠4＝∠B＝45°，BD＝CE，∴∠ECF＝∠3+∠4＝90°，∴CE2+CF2＝EF2，∴BD2+FC2＝EF2，
∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，在△DAF和△EAF中，，
∴△DAF≌△EAF（SAS），∴DF＝EF，∴BD2+FC2＝DF2．
（2）解：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于G，由（1）知DF2＝BD2+FC2＝32+42＝25，∴DF＝5，
∴BC＝BD+DF+FC＝3+5+4＝12，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝AG＝BC＝6，∴DG＝BG﹣BD＝6﹣3＝3，在Rt△ADG中，AD＝＝＝3．
40. （青竹湖）定義：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)和，我們把它們的橫、縱坐標(biāo)的差的平方和的算術(shù)平方根稱(chēng)作這兩點(diǎn)的“湘一根”，記作,即.
（1）若和，則=____ __；
（2）若點(diǎn),，其中為任意實(shí)數(shù)，求的最小值
（3）若為常數(shù)，且，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最小值以及的最大值（用含的代數(shù)式表示）
【解答】解：（1）Q[A，B]＝＝2，
（2）如圖，由題意，點(diǎn)N在直線(xiàn)y＝x﹣3上運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知，當(dāng)MN⊥直線(xiàn)y＝x﹣3時(shí)，MN的值最小，此時(shí)N（3，0），
∵M(jìn)（1，2），∴Q[M，N]的最小值＝＝2．
（3）如圖1中，
∵m＞0，A（0，5m），∴B（8m，﹣m）在第四象限，A在y軸的正半軸上，
∴當(dāng)A，C，B共線(xiàn)時(shí)，Q[A．C]+Q[C，B]的值最小，最小值＝＝10m．
如圖2中，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，當(dāng)點(diǎn)C在AB′的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，Q[A，C]﹣Q[B，C]的值最大，
最大值＝Q[A，B′]＝＝4m．
41.（青竹湖）材料一：在直角三角形中，兩個(gè)直角邊的平方和等于斜邊的平方，這個(gè)定理稱(chēng)為為“勾股定理”。如：Rt△中，兩條直角邊分別為、，斜邊為，則有成立；
材料二：平方差公式：，存在 一個(gè)特殊的結(jié)論，當(dāng)、為整數(shù)時(shí)，和同時(shí)為偶數(shù)，或者同時(shí)為奇數(shù)，如：當(dāng)，時(shí)， 為奇數(shù)，會(huì)發(fā)現(xiàn)也同時(shí)為奇數(shù)；而當(dāng)，時(shí)，為偶數(shù)，此時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)也同時(shí)為偶數(shù)；此結(jié)論稱(chēng)為平方差公式的同奇同偶性。
（1）直角三角形兩直角邊分別為、，求此時(shí)斜邊的長(zhǎng)度；而如果直角三角形的其中有兩邊的長(zhǎng)度為、的時(shí)候，你能求出此時(shí)另一邊的長(zhǎng)度嗎？
（2）直角三角形中兩直角邊的平方分別為：、， 斜邊的平方為，且、均為正整數(shù)，請(qǐng)求出、：
（3）直角三角形三邊均為正整數(shù)，直角邊分別為、，斜邊為，且周長(zhǎng)為，面積為，請(qǐng)求出、、.
【解答】解：（1）①直角三角形兩直角邊分別為6、8，則斜邊的長(zhǎng)度＝＝10．
②當(dāng)6、8是直角邊時(shí)，斜邊＝10，當(dāng)8是斜邊時(shí)，另一條直角邊＝＝2，
綜上所述，另一條邊為10或2．
（2）由題意：y2+31＝x2+4x，∴（x+2）2﹣y2＝35，∴（x+2+y）（x+2﹣y）＝5×7＝1×35，
由題意可知：或，解得或．
（3）由題意：，①+4×③得到：（a+b）2﹣c2＝840，
∴（a+b+c）（a+b﹣c）＝840，∴a+b﹣c＝12 ④，②+④得到a+b＝41 ⑤，
∵a＞b，由③④可得，把a(bǔ)＝21，b＝20代入①可得c＝29，
∴a＝21，b＝20，c＝29．

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