長沙市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期階段性檢測（五）數(shù)學(xué)試題及參考答案

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時(shí)量：120分鐘 總分：150分
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1.已知集合，，若，則中所有元素之和為（ ）
A.2B.3C.4D.5
2.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（ ）
A.B.3C.D.5
3.已知的展開式中第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于72，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A.B.C.D.
4.已知某種零件的尺寸（單位：）在內(nèi)的為合格品．某企業(yè)生產(chǎn)的該種零件的尺寸服從正態(tài)分布，且，則估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)的2000個(gè)該種零件中合格品的個(gè)數(shù)為（ ）
A.1600B.1400C.800D.20
5.已知函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，且，則的取值范圍為（ ）
A.B.C.D.
6.陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，在我國有四五千年的歷史，是青少年們十分熟悉的玩具如圖所示的陀螺可近似看作一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的組合體，圓柱和圓錐的底面半徑均為6cm，高均為9cm，若該陀螺是由一個(gè)球形材料前去多余部分制成，則該球形材料的表面積的最小值為（ ）
A.B.
C.D.
7.已知函數(shù)與的圖象依次交于A，B，C三點(diǎn)，且恒有，則（ ）
A 2B.1C.D.
8.已知四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面，，點(diǎn)M，N分別為線段AD，CD上一點(diǎn)，E為BC中點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，三棱錐的體積為（ ）
A B.C.D.
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9.設(shè)，是兩個(gè)非零向量，下列命題正確的是（ ）
A.若，則B.若，則
C.若，則D.若，則
10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y2=2pxp>0上有異于原點(diǎn)的Ax1,y1，Bx2,y2兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，以為切點(diǎn)的拋物線的切線分別記為，，則（ ）
A.若，則三點(diǎn)共線B.若，則三點(diǎn)共線
C.若，則三點(diǎn)共線D.若，則三點(diǎn)共線
11.設(shè)，，…，、，，…，為兩組正實(shí)數(shù)，，，…，是，，…，的任一排列，我們稱為這兩組正實(shí)數(shù)的亂序和，為這兩組正實(shí)數(shù)的反序和，為這兩組正實(shí)數(shù)的順序和.根據(jù)排序原理有，即反序和≤亂序和≤順序和.則下列說法正確的是（ ）
A.數(shù)組和的反序和為30
B.若，，其中，，…，都是正實(shí)數(shù)，則
C.設(shè)正實(shí)數(shù)，，，的任一排列為，，，則的最小值為3
D.已知正實(shí)數(shù)，，…，滿足，P為定值，則的最小值為
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12.已知王明在射箭游戲中射一箭中靶的概率為，若每箭是否中靶相互獨(dú)立，則王明射3箭恰好有2箭中靶的概率為______．
13.已知，為第二象限角，則______.
14.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過n且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，.記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為______.
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15.在△ABC中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求證：△ABC是等腰三角形．
（2）若，△ABC的周長為，求△ABC的面積．
16.如圖，在平行六面體中，側(cè)面是菱形且與底面垂直，是棱的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且，，.
（1）證明：側(cè)面是矩形；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
17.已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處切線方程；
（2）求的單調(diào)區(qū)間；
（3）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，記較小的實(shí)數(shù)根為，求證：．
18.甲、乙兩人玩一個(gè)紙牌游戲，先準(zhǔn)備好寫有數(shù)字1，2，…，N的紙牌各一張，由甲先隨機(jī)抽取一張紙牌，記紙牌上的數(shù)字為a，隨后將紙牌放回（后面每次抽牌記錄數(shù)字后都需將紙牌放回），接下來甲有2種選擇：
①再抽取一次紙牌，記紙牌上的數(shù)字為b，若，則乙贏，游戲結(jié)束，否則，甲結(jié)束抽牌，換由乙抽牌一次；
②直接結(jié)束抽牌，記，換由乙抽牌一次．
記乙抽到的紙牌上的數(shù)字為c，若，則乙贏，否則甲贏．游戲結(jié)束．
（1）若甲只抽牌1次，求甲贏的概率；
（2）若甲抽牌2次，求甲贏概率；
（3）當(dāng)甲抽取的第一張紙牌上的數(shù)字滿足什么條件時(shí)，甲選擇②贏得游戲的概率更大？（結(jié)果用含N的式子表示）
參考公式：若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則的前n項(xiàng)和．
19.如圖，定義：以橢圓中心為圓心、長軸長為直徑的圓叫做橢圓的“伴隨圓”，過橢圓上一點(diǎn)作軸的垂線交其“伴隨圓”于點(diǎn)，稱點(diǎn)為點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”．已知橢圓上的點(diǎn)的一個(gè)“伴隨點(diǎn)”為．

（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱．
（?。┳C明：直線恒過定點(diǎn)；
（ⅱ）記（?。┲械闹本€所過的定點(diǎn)為，若在直線上的射影分別為（，為不同的兩點(diǎn)），記，，的面積分別為，求的取值范圍．