數(shù)學(xué)試題
2023.7
注意事項：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.
2.答題前，考生務(wù)必將姓名、班級等個人信息填寫在答題卡指定位置.
3.考生作答時，請將答案答在答題卡上，選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.有一次考試的選做題部分，要求在第1題的4個小題中選做3個小題，在第2題的3個小題中選做2個小題，在第3題的2個小題中選做1個小題，不同的選法種數(shù)是（ ）
A.9B.24C.84D.288
2.如圖，函數(shù)的圖象在點處的切線是，則（ ）
A.1B.2C.0D.
3.有兩箱零件，第一箱內(nèi)有10件，其中有2件次品；第二箱內(nèi)有20件，其中有3件次品.現(xiàn)從兩箱中隨意挑選一箱，然后從該箱中隨機取1個零件，則取出的零件是次品的概率是（ ）
A.B.C.D.
4.甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：）分別服從正態(tài)分布，，其相應(yīng)的分布密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量大
B.乙類水果的質(zhì)量比甲類水果的質(zhì)量更集中于均值左右
C.水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)
D.甲類水果的平均質(zhì)量
5.對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如下散點圖，將四組數(shù)據(jù)相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)進行比較，正確的是（ ）
A.C.B.D.
6.已知甲、乙兩種產(chǎn)業(yè)收益的分布列分別為：
甲產(chǎn)業(yè)收益分布列
乙產(chǎn)業(yè)收益分布列
則下列說法正確的是（ ）
A.甲產(chǎn)業(yè)收益的期望大，風(fēng)險高B.甲產(chǎn)業(yè)收益的期望小，風(fēng)險小
C.乙產(chǎn)業(yè)收益的期望大，風(fēng)險小D.乙產(chǎn)業(yè)收益的期望小，風(fēng)險高
7.已知函數(shù)（），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.函數(shù)一定有極值
B.當時，函數(shù)在上為增函數(shù)
C.當時，函數(shù)的極小值為
D.當時，函數(shù)的極小值的最大值大于0
8.某單位有如圖所示A至H共8個停車位，現(xiàn)有2輛不同的白色車和2輛不同的黑色車，要求相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列，則不同的停車方法總數(shù)是（ ）
A.288B.336C.576D.1680
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9.千百年來，我國勞動人民在生產(chǎn)實踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化、總結(jié)了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗，并將這些經(jīng)驗編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”，某同學(xué)甲為了驗證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了地區(qū)的100天日落和夜晩天氣，得到如下表格（單位：天）
臨界值參照表：參考公式：
經(jīng)計算得到.則甲同學(xué)對地區(qū)天氣的下列判斷正確的有（ ）
A.夜晩下雨的概率約為
B.末出現(xiàn)“日落云里走”，夜晩下雨的概率約為
C.有99%的把握判斷“日落云里”是否出現(xiàn)”與“夜晩下雨”有關(guān)
D.出現(xiàn)“日落云里走”，有99%的把握判斷夜晩會下雨
10.在的展開式中，下列結(jié)論正確的有（ ）
A.二項式系數(shù)的和為B.各項系數(shù)的和為
C.奇數(shù)項系數(shù)的和為D.二項式系數(shù)最大的項為
11.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示.則下列結(jié)論正確的有（ ）
A.B.函數(shù)在上是減函數(shù)
C.函數(shù)在上無極值D.函數(shù)在上有極值
12.對于1，2…，，的全部排列，定義Euler數(shù)（其中，）表示其中恰有次升高的排列的個數(shù)（注：次升高是指在排列中有處，）.例如：1，2，3的排列共有：123，132，213，231，312，321六個，恰有1處升高的排列有如下四個：132，213，231，312，因此：.則下列結(jié)論正確的有（ ）
A.B.
C.D.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.根據(jù)下面的數(shù)據(jù)：
求得關(guān)于的回歸直線方程為，則這組數(shù)據(jù)相對于所求的回歸直線方程的4個殘差的方差為______.
14.的展開式中的系數(shù)為______.
15.某班一天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課，現(xiàn)要安排該班一天中語文、數(shù)學(xué)、政治、英語、體育、藝術(shù)6堂課的課程表，要求數(shù)學(xué)不排在下午，體育不排在上午第一、二節(jié)和下午第一節(jié)，藝術(shù)不排在上午，不同排法種數(shù)為______（用數(shù)字作答）.
16.已知函數(shù)（）有唯一零點，則______.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
（本題滿分10分）
17.已知函數(shù).
（1）求的導(dǎo)數(shù)；
（2）求的圖象在處的切線方程.
18.（本題滿分12分）
已知隨機變量的分布列為：
（1）若，求、的值；
（2）記事件：；事件：為偶數(shù).已知，求，的值.
19.（本題滿分12分）
電商的興起，促進了我市經(jīng)濟的發(fā)展.已知某電商平臺對其牌下一家專營店在2022年3月至7月的營業(yè)收入（單位：萬元）進行統(tǒng)計，得到以下數(shù)據(jù)：
（1）依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，用樣本相關(guān)系數(shù)說明營業(yè)收入與月份的相關(guān)程度；
（2）試用最小二乘法求出營業(yè)收入與月份的一元線性回歸方程，并預(yù)測當時該專營店的營業(yè)收入.
（，）
，.以上各式僅供參考）
20.（本題滿分12分）
已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)的極值；
（3）若函數(shù)在上的最小值是，求實數(shù)的取值范圍.
21.（本題滿分12分）
貴州榕江（三寶侗寨）和美鄉(xiāng)村足球超級聯(lián)賽，簡稱“村超”，該活動在榕江縣如火如荼的進行中，這項活動大大促進了當?shù)卮迕駞⒓芋w育活動的積極性.為了更好的提高全民素質(zhì)，某鎮(zhèn)建議成人每周進行5.5小時至8小時的運動.已知“村”有56%的居民每周運動總時間超過8小時，“村”有65%的居民每周運動總時間超過8小時，“村”有70%的居民每周運動總時間超過8小時，且，，三個村的居民人數(shù)之比為5:6:9.
（1）從這三個村中隨機抽取1名居民，求該居民每周運動總時間超過8小時的概率；
（2）假設(shè)這三個村每名居民每周運動總時間為隨機變量（單位：小時），且.
現(xiàn)從這三個村中隨機抽取3名居民，求至少有兩名居民每周運動總時間為8至9小時的概率.
22.（本題滿分12分）
已知（為自然對數(shù)的底數(shù)）在處的切線方程為.
（1）求的解析式；
（2）若，對，任意成立，求最大值.
2022-2023下學(xué)期高二數(shù)學(xué)參考答案
一、二選擇題
三、填空題
13． 14． 15． 16 .
12.可類比二項式系數(shù)的對稱性，D項可考慮反例.
15.可分體育排在下午和上午兩類情況.
16.由
四、解答題
17.解：(1)由 ----5分
（2）由,所以12，所以的圖象在處的切線方程為 ，即---------------------------------10分
18. 解：(1)由隨機變量分布列的性質(zhì),有，得，①-2分
又
②----------------4分
由①和②，解得.-----------------------------------------------5分
（2）由事件:，
得；-----------------6分
又事件:為偶數(shù)，得；--------------------------------7分
所以，得；-----------------------------10分
由（1）知，所以；
所以.--------------------------------------------------------12分
19. 解：（1）由已知求得：，，，
，；------------------------------------4分
，
因為，說明與的正線性相關(guān)性較強； ----------------------------6分
（2）由條件和（1）中數(shù)據(jù)，可得，，
則關(guān)于的線性回歸方程為.-----------------------------------10分
當時，,由此可預(yù)測該專營店在時的營業(yè)收入為19萬元．--12分
20.解：（1）函數(shù) 的定義域為，，--------2分
令，得，當或時，；當時，.
所以的單調(diào)增減區(qū)間為和，單調(diào)遞遞區(qū)間為；------5分
（2）由（1）知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以的極大值為，極小值為.----------------------8分
（3）由函數(shù)在上的最小值是，可知，-------9分
由，可知是方程的一個解，
所以，或；--------------------------------11分
由的單調(diào)增減區(qū)間為和，單調(diào)遞遞區(qū)間為可知要使，使即可.
所以實數(shù)的取值范圍是.--------------------------------------12分
21.解：（1）因為 A，B，C三個村的居民人數(shù)之比為，可設(shè) A，B，C三個村的居民人數(shù)為 ，
所以 A 村每周運動總時間超過8小時的人數(shù)為：,
B村每周運動總時間超過 8小時的人數(shù)為：，
C 村每周運動總時間超過8小時的人 數(shù)為：，
該居民每周運動總時間超過小時的概率 ；------4分
（2）因為這三個村每名居民每周運動總時間為隨機變量（單位：小時），滿足，所以，--------------------------------------6分
由（1）知，，所以，-----------8分
因為，所以，--------------------------------10分
所以從這三個村中隨機抽取3名居民，至少有兩名居民每周運動總時間為至小時的概率為： .------------------------------------12分
22.解：（1）由，得，，所以，
所以；……………………………………………………………4分
（2）令，
則.
易知單調(diào)遞增，當時，；
當時，；
所以存在唯一零點，記為，即 ， = 1 \* GB3 ①…………6分
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增；
所以，
結(jié)合 = 1 \* GB3 ①得：，
所以，得：或……………………分
當時,，得；
當時,，得，矛盾.
故,所以，當且僅當取到最大值.
……………………………………………………………………………………………12分
收益/億元
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
收益/億元
0
2
收益/億元
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
A
B
C
D
E
F
G
H
夜晚天氣
日落云里走
下雨
未下雨
出現(xiàn)
25
5
未出現(xiàn)
25
45
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1
2
3
4
31.6
52.5
72
91.9
5
6
7
8
9
0.1
0.2
0.3
月份
3
4
5
6
7
營業(yè)收入
10
12
11
12
20
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
C
D
A
A
C
B
ABC
ACD
ACD
BC

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