考點(diǎn)01 平面向量平行（共線）求參數(shù)
1．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知，且，則的值為 ．
【答案】15
【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.
【詳解】，，解得．
故答案為：15．
2．（2021·全國乙卷·高考真題）已知向量，若，則 ．
【答案】
【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：，
解方程可得：.
故答案為：.
3．（2016·全國·高考真題）已知向量，且，則___________.
【答案】
【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示得出，求解即可得出答案.
【詳解】因?yàn)?，所以，解?
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量共線或平行求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.
4．（2015·全國·高考真題）設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù) ．
【答案】
【詳解】因?yàn)橄蛄颗c平行，所以，則所以．
考點(diǎn)：向量共線．
考點(diǎn)02 平面向量垂直求參數(shù)
1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求的值.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以即，故，
故選：D.
2．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）設(shè)向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件D．“”是“”的充分條件
【答案】C
【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.
【詳解】對A，當(dāng)時(shí)，則，
所以，解得或，即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；
對C，當(dāng)時(shí)，，故，
所以，即充分性成立，故C正確；
對B，當(dāng)時(shí)，則，解得，即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；
對D，當(dāng)時(shí)，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
3．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出．
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>由可得，，
即，整理得：．
故選：D．
4．（2021·全國甲卷·高考真題）已知向量．若，則 ．
【答案】.
【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得的值
【詳解】,
，解得,
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積.
5．（2020·全國·高考真題）設(shè)向量，若，則 .
【答案】5
【分析】根據(jù)向量垂直，結(jié)合題中所給的向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得結(jié)果.
【詳解】由可得，
又因?yàn)椋?br>所以，
即，
故答案為：5.
【點(diǎn)睛】本題考查有關(guān)向量運(yùn)算問題，涉及到的知識點(diǎn)有向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題目.
考點(diǎn)03 平面向量的基本定理及其應(yīng)用
1．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出．
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，
所以．
故選：B．
2．（2020·山東·高考真題）已知平行四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)，，則等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的線性運(yùn)算，即可得到答案；
【詳解】連結(jié)，則為的中位線，
，

故選：A
3．（2018·全國·高考真題）在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得
，
所以，故選A.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對待每一步運(yùn)算.
4．（2015·北京·高考真題）在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足，若，則x＝ ，y＝ .
【答案】
【詳解】特殊化，不妨設(shè)，利用坐標(biāo)法，以A為原點(diǎn)，AB為軸，為軸，建立直角坐標(biāo)系，，，則，.

考點(diǎn)：本題考點(diǎn)為平面向量有關(guān)知識與計(jì)算，利用向量相等解題.
考點(diǎn)04 平面向量的模長
1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】由得，結(jié)合，得，由此即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?，即?br>又因?yàn)椋?br>所以，
從而.
故選：B.
2．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.
【詳解】向量滿足，
所以.
故選：B
3．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知向量，滿足，，則 ．
【答案】
【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.
【詳解】法一：因?yàn)椋矗?br>則，整理得，
又因?yàn)?，即?br>則，所以.
法二：設(shè)，則，
由題意可得：，則，
整理得：，即.
故答案為：.
4．（2022·全國乙卷·高考真題）已知向量，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】先求得，然后求得.
【詳解】因?yàn)椋?
故選：D
5．（2021·全國甲卷·高考真題）若向量滿足，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)題目條件，利用模的平方可以得出答案
【詳解】∵
∴
∴.
故答案為：.
6．（2020·全國·高考真題）設(shè)為單位向量，且，則 .
【答案】
【分析】整理已知可得：，再利用為單位向量即可求得，對變形可得：，問題得解.
【詳解】因?yàn)闉閱挝幌蛄?，所?br>所以
解得：
所以
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的計(jì)算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.
7．（2019·全國·高考真題）已知向量，則
A．B．2
C．5D．50
【答案】A
【分析】本題先計(jì)算，再根據(jù)模的概念求出．
【詳解】由已知，，
所以，
故選A
【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量模長的計(jì)算，容易題，注重了基礎(chǔ)知識、基本計(jì)算能力的考查．由于對平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算存在理解錯(cuò)誤，從而導(dǎo)致計(jì)算有誤；也有可能在計(jì)算模的過程中出錯(cuò)．
8．（2017·全國·高考真題）已知向量與的夾角為60°，||=2，||=1，則| +2 |= .
【答案】
【詳解】∵平面向量與的夾角為，
∴.
∴
故答案為.
點(diǎn)睛：(1)求向量的夾角主要是應(yīng)用向量的數(shù)量積公式．
(2) 常用來求向量的模．
9．（2017·浙江·高考真題）已知向量滿足，則的最小值是 ，最大值是 ．
【答案】 4
【詳解】設(shè)向量的夾角為，由余弦定理有：，
，則：
，
令，則，
據(jù)此可得：，
即的最小值是4，最大值是．
【名師點(diǎn)睛】本題通過設(shè)向量的夾角為，結(jié)合模長公式， 可得，再利用三角函數(shù)的有界性求出最大、最小值，屬中檔題，對學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和最值處理能力有一定的要求．
考點(diǎn)05 求平面向量數(shù)量積
1．（2023·全國乙卷·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】B
【分析】方法一：以為基底向量表示，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法三：利用余弦定理求，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.
【詳解】方法一：以為基底向量，可知，
則，
所以；
方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
則，可得，
所以；
方法三：由題意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故選：B.
2．（2022·全國乙卷·高考真題）已知向量滿足，則（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.
【詳解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故選：C.
3．（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，
因?yàn)椋栽谝詾閳A心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
設(shè)，，
所以，，
所以
，其中，，
因?yàn)?，所以，即?br>故選：D

4．（2020·山東·高考真題）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則 的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合正六邊形的特征，得到在方向上的投影的取值范圍是，利用向量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果.
【詳解】
的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范圍是，
結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，
可知等于的模與在方向上的投影的乘積，
所以的取值范圍是，
故選：A.
【點(diǎn)睛】該題以正六邊形為載體，考查有關(guān)平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識點(diǎn)有向量數(shù)量積的定義式，屬于簡單題目.
二、多選題
5．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】A、B寫出，、，的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.
【詳解】A：，，所以，，故，正確；
B：，，所以，同理，故不一定相等，錯(cuò)誤；
C：由題意得：，，正確；
D：由題意得：，
，故一般來說故錯(cuò)誤；
故選：AC
三、填空題
6．（2022·全國甲卷·高考真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則 ．
【答案】
【分析】設(shè)與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得．
【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因?yàn)榕c的夾角的余弦值為，即，
又，，所以，
所以．
故答案為：．
7．（2021·天津·高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且交AB于點(diǎn)E．且交AC于點(diǎn)F,則的值為 ；的最小值為 ．
【答案】 1
【分析】設(shè)，由可求出；將化為關(guān)于的關(guān)系式即可求出最值.
【詳解】設(shè)，，為邊長為1的等邊三角形，，
，
，為邊長為的等邊三角形，，
，
，
，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.
故答案為：1；.
8．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知向量，，， ．
【答案】
【分析】由已知可得，展開化簡后可得結(jié)果.
【詳解】由已知可得，
因此，.
故答案為：.
9．（2021·北京·高考真題）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則
； .
【答案】 0 3
【分析】根據(jù)坐標(biāo)求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算即可.
【詳解】以交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：
則，
，，
.
故答案為：0；3.
10．（2020·天津·高考真題）如圖，在四邊形中，，，且，則實(shí)數(shù)的值為 ，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】可得，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)（其中），得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得的最小值.
【詳解】，，，
，
解得，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
,
∵，∴的坐標(biāo)為,
∵又∵,則，設(shè)，則（其中），
，，
，
所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
11．（2020·北京·高考真題）已知正方形的邊長為2，點(diǎn)P滿足，則 ； ．
【答案】
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得以及的值.
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則點(diǎn)、、、，
，
則點(diǎn)，，，
因此，，.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的模和數(shù)量積的計(jì)算，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
考點(diǎn)06 求平面向量的夾角
一、單選題
1．（2023·全國甲卷·高考真題）已知向量，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運(yùn)算公式即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>則，，
所以.
故選：B.
2．（2023·全國甲卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.
【詳解】因?yàn)?所以,
即,即,所以.
如圖,設(shè),
由題知,是等腰直角三角形,
AB邊上的高,
所以,
,
.
故選:D.
3．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得
【詳解】解：,,即,解得,
故選：C
4．（2020·全國·高考真題）已知向量 ，滿足， ，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】計(jì)算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出的值.
【詳解】，，，.
，
因此，.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算以及向量模的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
5．（2019·全國·高考真題）已知非零向量滿足，且，則與的夾角為
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計(jì)算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．先由得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角公式即可計(jì)算出向量夾角．
【詳解】因?yàn)?，所?0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．
【點(diǎn)睛】對向量夾角的計(jì)算，先計(jì)算出向量的數(shù)量積及各個(gè)向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為．
6．（2016·全國·高考真題）已知向量 , 則ABC=
A．30B．45C．60D．120
【答案】A
【詳解】試題分析：由題意，得，所以，故選A．
【考點(diǎn)】向量的夾角公式．
【思維拓展】（1）平面向量與的數(shù)量積為，其中是與的夾角，要注意夾角的定義和它的取值范圍：；（2）由向量的數(shù)量積的性質(zhì)知，，，因此，利用平面向量的數(shù)量積可以解決與長度、角度、垂直等有關(guān)的問題．
二、填空題
7．（2022·天津·高考真題）在中，，D是AC中點(diǎn)，，試用表示為 ，若，則的最大值為
【答案】
【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出，以為基底，表示出，由可得，再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由可得點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，方程為，即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)與相切時(shí)，最大，即求出．
【詳解】方法一：
，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，而，所以．
故答案為：；．
方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系：
，，
，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，當(dāng)且僅當(dāng)與相切時(shí)，最大，此時(shí)．
故答案為：；．
8．（2020·浙江·高考真題）設(shè)，為單位向量，滿足，，，設(shè)，的夾角為，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化簡條件得，再根據(jù)向量夾角公式求函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值.
【詳解】，
，
，
.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查利用模求向量數(shù)量積、利用向量數(shù)量積求向量夾角、利用函數(shù)單調(diào)性求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.
9．（2019·全國·高考真題）已知向量，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)向量夾角公式可求出結(jié)果.
【詳解】．
【點(diǎn)睛】本題考查了向量夾角的運(yùn)算，牢記平面向量的夾角公式是破解問題的關(guān)鍵．
10．（2019·全國·高考真題）已知為單位向量，且=0，若 ，則 .
【答案】.
【分析】根據(jù)結(jié)合向量夾角公式求出，進(jìn)一步求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
，所以，
所以 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積、向量的夾角．滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．
考點(diǎn)
十年考情（2015-2024）
命題趨勢
考點(diǎn)1 平面向量平行（共線）求參數(shù)
（10年4考）
2024·上海卷、2021·全國乙卷、2016·全國卷、2015·全國卷
掌握平面向量的基本概念、線性運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算，已知平面向量的關(guān)系要會(huì)求參數(shù)
掌握基本定理的基底表示向量、能在平面幾何圖形中的應(yīng)用
掌握平面向量數(shù)量積的表示和計(jì)算、會(huì)求平面幾何圖形中的范圍及最值等問題。
考點(diǎn)2 平面向量垂直求參數(shù)
（10年4考）
2024·全國甲卷、2024·全國新Ⅰ卷、2023·全國新Ⅰ卷、2021·全國甲卷、2020·全國卷
考點(diǎn)3 平面向量的基本定理及其應(yīng)用
（10年4考）
2022·全國新Ⅰ卷、2020·山東卷、2018·全國卷、2015·北京卷
考點(diǎn)4 平面向量的模長
（10年7考）
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考點(diǎn)5 求平面向量數(shù)量積
（10年9考）
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考點(diǎn)6 求平面向量的夾角
（10年6考）
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