1. ﹣2的絕對(duì)值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：根據(jù)數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的定義，在數(shù)軸上，點(diǎn)﹣2到原點(diǎn)的距離是2，所以﹣2的絕對(duì)值是2，故選A．
2. 下列圖形中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱(chēng)中心可得答案．
【詳解】A、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)正確；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形，解題的關(guān)鍵是掌握中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義．
3. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. 3x+4y=7xyB. （﹣a）3?a2=a5C. （x3y）5=x8y5D. m10÷m7=m3
【答案】D
【解析】
分析：根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)的定義、冪的運(yùn)算法則逐一計(jì)算即可判斷．
詳解：A、3x、4y不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、（-a）3?a2=-a5，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、（x3y）5=x15y5，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、m10÷m7=m3，此選項(xiàng)正確；
故選D．
點(diǎn)睛：本題主要考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握同類(lèi)項(xiàng)的定義、冪的運(yùn)算法則．
4. 某微生物的直徑為0.000 005 035m，用科學(xué)記數(shù)法表示該數(shù)為（ ）
A. 5.035×10﹣6B. 50.35×10﹣5C. 5.035×106D. 5.035×10﹣5
【答案】A
【解析】
試題分析：0.000 005 035m，用科學(xué)記數(shù)法表示該數(shù)為5.035×10﹣6，故選A．
考點(diǎn)：科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)．
5. 要從甲、乙、丙三名學(xué)生中選出一名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，對(duì)這三名學(xué)生進(jìn)行了10次數(shù)學(xué)測(cè)試，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)分析，3人的平均成績(jī)均為92分，甲的方差為0.024、乙的方差為0.08、丙的方差為0.015，則這10次測(cè)試成績(jī)比較穩(wěn)定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 無(wú)法確定
【答案】C
【解析】
分析：根據(jù)方差是用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定解答即可．
詳解：因?yàn)?人的平均成績(jī)均為92分，甲的方差為0.024、乙的方差為0.08、丙的方差為0.015，
所以這10次測(cè)試成績(jī)比較穩(wěn)定的是丙，
故選C．
點(diǎn)睛：本題考查方差的意義．方差是用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．
6. 在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的15名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆?br>則這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的中位數(shù)、眾數(shù)分別為（ ）
A. 1.70，1.75B. 1.70，1.70C. 1.65，1.75D. 1.65，1.70
【答案】A
【解析】
分析：找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個(gè)．
詳解：共15名學(xué)生，中位數(shù)落在第8名學(xué)生處，第8名學(xué)生的跳高成績(jī)?yōu)?.70m，故中位數(shù)為1.70；
跳高成績(jī)?yōu)?.75m的人數(shù)最多，故跳高成績(jī)的眾數(shù)為1.75；
故選A．
點(diǎn)睛：本題為統(tǒng)計(jì)題，考查眾數(shù)與中位數(shù)的意義．眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個(gè)數(shù)（最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
7. 如圖，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，則∠ADB的度數(shù)為（ ）
A. 15°B. 25°C. 30°D. 50°
【答案】B
【解析】
分析：連接OB，由垂徑定理及圓心角定理可得∠AOB=∠AOC=50°，再利用圓周角定理即可得出答案．
詳解：如圖連接OB，
∵OA⊥BC，∠AOC=50°，
∴∠AOB=∠AOC=50°，
則∠ADB=∠AOB=25°，
故選B．
點(diǎn)睛：本題主要考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理與圓周角定理．
8. 如圖，一段公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧，則的展直長(zhǎng)度為（ ）
A. 3πB. 6πC. 9πD. 12π
【答案】B
【解析】
分析：直接利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算得出答案．
詳解：的展直長(zhǎng)度為：=6π（m）．
故選B．
點(diǎn)睛：此題主要考查了弧長(zhǎng)計(jì)算，正確掌握弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵．
9. 如圖，已知在?ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，CE的延長(zhǎng)線(xiàn)交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則下列選項(xiàng)中的結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. FA：FB=1：2B. AE：BC=1：2
C. BE：CF=1：2D. S△ABE：S△FBC=1：4
【答案】C
【解析】
分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD∥AB，CD=AB，根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理計(jì)算，判斷即可．
詳解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，CD=AB，
∴△DEC∽△AEF，
∴，
∵E為AD的中點(diǎn)，
∴CD=AF，F(xiàn)E=EC，
∴FA：FB=1：2，A說(shuō)法正確，不符合題意；
∵FE=EC，F(xiàn)A=AB，
∴AE：BC=1：2，B說(shuō)法正確，不符合題意；
∵∠FBC不一定是直角，
∴BE：CF不一定等于1：2，C說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；
∵AE∥BC，AE=BC，
∴S△ABE：S△FBC=1：4，D說(shuō)法正確，不符合題意；
故選C．
點(diǎn)睛：本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，反比例函數(shù)y=（k≠0，x＞0）的圖象與正方形OABC的兩邊AB、BC分別交于點(diǎn)M、N，ND⊥x軸，垂足為D，連接OM、ON、MN，則下列選項(xiàng)中的結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. △ONC≌△OAM
B. 四邊形DAMN與△OMN面積相等
C. ON=MN
D. 若∠MON=45°，MN=2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，+1）
【答案】C
【解析】
分析：根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義得到S△ONC=S△OAM=k，即OC?NC=OA?AM，而OC=OA，則NC=AM，再根據(jù)“SAS”可判斷△OCN≌△OAM；根據(jù)S△OND=S△OAM=k和S△OND+S四邊形DAMN=S△OAM+S△OMN，即可得到S四邊形DAMN=S△OMN；
根據(jù)全等的性質(zhì)得到ON=OM，由于k的值不能確定，則∠MON的值不能確定，無(wú)法確定△ONM為等邊三角形，則ON≠M(fèi)N；作NE⊥OM于E點(diǎn)，則△ONE為等腰直角三角形，設(shè)NE=x，則OM=ON=x，EM=x-x=（-1）x，在Rt△NEM中，利用勾股定理可求出x2=2+，所以O(shè)N2=（x）2=4+2，易得△BMN為等腰直角三角形，得到BN=MN=，設(shè)正方形ABCO的邊長(zhǎng)為a，在Rt△OCN中，利用勾股定理可求出a的值為+1，從而得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，+1）．
詳解：∵點(diǎn)M、N都在y=圖象上，
∴S△ONC=S△OAM=k，即OC?NC=OA?AM，
∵四邊形ABCO為正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴NC=AM，
∴△OCN≌△OAM，
∴A正確；
∵S△OND=S△OAM=k，
而S△OND+S四邊形DAMN=S△OAM+S△OMN，
∴四邊形DAMN與△MON面積相等，
∴B正確；
∵△OCN≌△OAM，
∴ON=OM，
∵k的值不能確定，
∴∠MON的值不能確定，
∴△ONM只能為等腰三角形，不能確定為等邊三角形，
∴ON≠M(fèi)N，
∴C錯(cuò)誤；
作NE⊥OM于E點(diǎn)，如圖所示：
∵∠MON=45°，∴△ONE為等腰直角三角形，
∴NE=OE，
設(shè)NE=x，則ON=x，
∴OM=x，
∴EM=x-x=（ -1）x，
在Rt△NEM中，MN=2，
∵M(jìn)N2=NE2+EM2，即22=x2+[（ -1）x]2，
∴x2=2+，
∴ON2=（x）2=4+2，
∵CN=AM，CB=AB，
∴BN=BM，
∴△BMN為等腰直角三角形，
∴BN=MN=，
設(shè)正方形ABCO的邊長(zhǎng)為a，則OC=a，CN=a-，
在Rt△OCN中，∵OC2+CN2=ON2，
∴a2+（a-）2=4+2，解得a1=+1，a2=-1（舍去），
∴OC=+1，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，+1），
∴D正確．
故選C．
點(diǎn)睛：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、比例系數(shù)的幾何意義和正方形的性質(zhì)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)；熟練運(yùn)用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算．
二、填空題（每小題3分，共24分）
11. 因式分解：x3-x=______________.
【答案】
【解析】
x3-x=x(x2-1)=
12. 計(jì)算：﹣=__．
【答案】
【解析】
分析：先將二次根式化為最簡(jiǎn)，然后合并同類(lèi)二次根式即可．
詳解：原式=3-2
=．
故答案為．
點(diǎn)睛：本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，解答本題得關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡(jiǎn)及同類(lèi)二次根式的合并．
13. 如圖，正六邊形內(nèi)接于⊙O，小明向圓內(nèi)投擲飛鏢一次，則飛鏢落在陰影部分的概率是__．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)圖形分析可得求圖中陰影部分面積實(shí)為求扇形部分面積，而扇形面積是圓面積的，可得結(jié)論．
【詳解】如圖所示：連接OA，
∵正六邊形內(nèi)接于⊙O，
∴△OAB，△OBC都是等邊三角形，
∴∠AOB=∠OBC=60°，
∴OC∥AB，
∴S△ABC=S△OBC，
∴S陰=S扇形OBC，
則飛鏢落在陰影部分的概率是；
故答案為．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了正多邊形和圓、幾何概率以及扇形面積求法，得出陰影部分面積=S扇形OBC是解題關(guān)鍵．
14. 若式子有意義，則x的取值范圍是__．
【答案】1≤x≤2
【解析】
分析：直接根據(jù)二次根式的意義建立不等式組即可得出結(jié)論．
詳解：根據(jù)二次根式的意義，得
，
∴1≤x≤2，
故答案為1≤x≤2．
點(diǎn)睛：此題主要考查了二次根式的意義，解不等式組，建立不等式組是解本題的關(guān)鍵．
15. 不等式組的解集是__．
【答案】0＜x≤8
【解析】
分析：先求出每個(gè)不等式的解集，再求出不等式組的解集即可．
詳解： ，
∵解不等式①得：x≤8，
解不等式②得：x＞0，
∴不等式組的解集為0＜x≤8，
故答案為0＜x≤8．
點(diǎn)睛：本題考查了解一元一次不等式組，能根據(jù)不等式的解集得出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．
16. 如圖①，在矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A處停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△PAB面積為y，如果y與x的函數(shù)圖象如圖②所示，則矩形ABCD的面積為_(kāi)_．
【答案】24
【解析】
【分析】
根據(jù)圖象②得出AB、BC的長(zhǎng)度，再求出面積即可．
【詳解】解：從圖象②和已知可知：AB=4，BC=10-4=6，
所以矩形ABCD的面積是4×6=24，
故答案為24．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和函數(shù)圖象，能根據(jù)圖形得出正確信息是解此題的關(guān)鍵．
17. 如圖，是某立體圖形的三視圖，則這個(gè)立體圖形的側(cè)面展開(kāi)圖的面積是__．（結(jié)果保留π）
【答案】65π
【解析】
分析：從主視圖以及左視圖都為一個(gè)三角形，俯視圖為一個(gè)圓形看，可以確定這個(gè)幾何體為一個(gè)圓錐，由三視圖可知圓錐的底面半徑為5，高為12，故母線(xiàn)長(zhǎng)為13，據(jù)此可以求得其側(cè)面積．
詳解：由三視圖可知圓錐的底面半徑為5，高為12，所以母線(xiàn)長(zhǎng)為13，
所以側(cè)面積為πrl=π×5×13=65π，
故答案為65π．
點(diǎn)睛：本題主要考查了由三視圖確定幾何體和求圓錐的側(cè)面積．牢記公式是解題的關(guān)鍵，難度不大．
18. 如圖，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，點(diǎn)M、N分別在線(xiàn)段AC、AB上，將△ANM沿直線(xiàn)MN折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在線(xiàn)段BC上，當(dāng)△DCM為直角三角形時(shí)，折痕MN的長(zhǎng)為_(kāi)_．
【答案】或
【解析】
分析：依據(jù)△DCM為直角三角形，需要分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)∠CDM=90°時(shí)，△CDM是直角三角形；當(dāng)∠CMD=90°時(shí)，△CDM是直角三角形，分別依據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到折痕MN的長(zhǎng)．
詳解：分兩種情況：
①如圖，當(dāng)∠CDM=90°時(shí)，△CDM是直角三角形，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，
∴∠C=30°，AB=AC=+2，
由折疊可得，∠MDN=∠A=60°，
∴∠BDN=30°，
∴BN=DN=AN，
∴BN=AB=，
∴AN=2BN=，
∵∠DNB=60°，
∴∠ANM=∠DNM=60°，
∴∠AMN=60°，
∴AN=MN=；
②如圖，當(dāng)∠CMD=90°時(shí)，△CDM是直角三角形，
由題可得，∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，
∴∠BDN=60°，∠BND=30°，
∴BD=DN=AN，BN=BD，
又∵AB=+2，
∴AN=2，BN=，
過(guò)N作NH⊥AM于H，則∠ANH=30°，
∴AH=AN=1，HN=，
由折疊可得，∠AMN=∠DMN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴HM=HN=，
∴MN=，
故答案為或．
點(diǎn)睛：本題考查了翻折變換-折疊問(wèn)題，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．
三、解答題
19. 先化簡(jiǎn)，再求值：（1﹣）÷，其中a=2+．
【答案】原式==+1．
【解析】
分析：先根據(jù)分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再將a的值代入計(jì)算可得．
詳解：原式=
=
=
當(dāng)a=2+
原式=．
點(diǎn)睛：本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．
20. 某學(xué)校要開(kāi)展校園文化藝術(shù)節(jié)活動(dòng)，為了合理編排節(jié)目，對(duì)學(xué)生最喜愛(ài)的歌曲、舞蹈、小品、相聲四類(lèi)節(jié)目進(jìn)行了一次隨機(jī)抽樣調(diào)查（每名學(xué)生必須選擇且只能選擇一類(lèi)），并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整統(tǒng)計(jì)圖．
請(qǐng)你根據(jù)圖中信息，回答下列問(wèn)題：
（1）本次共調(diào)查了 名學(xué)生．
（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“歌曲”所在扇形的圓心角等于 度．
（3）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（標(biāo)注頻數(shù)）．
（4）根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)分析，估計(jì)該校2000名學(xué)生中最喜愛(ài)小品的人數(shù)為 人．
（5）九年一班和九年二班各有2名學(xué)生擅長(zhǎng)舞蹈，學(xué)校準(zhǔn)備從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加舞蹈節(jié)目的編排，那么抽取的2名學(xué)生恰好來(lái)自同一個(gè)班級(jí)的概率是多少？
【答案】（1）50；（2）72°；（3）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖見(jiàn)解析；（4）640；（5）抽取的2名學(xué)生恰好來(lái)自同一個(gè)班級(jí)的概率為．
【解析】
【分析】
（1）用最喜愛(ài)相聲類(lèi)的人數(shù)除以它所占的百分比即可得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)；
（2）用360°乘以最喜愛(ài)歌曲類(lèi)人數(shù)所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圓心角的度數(shù)；
（3）先計(jì)算出最喜歡舞蹈類(lèi)的人數(shù)，然后補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（4）用2000乘以樣本中最喜愛(ài)小品類(lèi)的人數(shù)所占的百分比即可；
（5）畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出抽取的2名學(xué)生恰好來(lái)自同一個(gè)班級(jí)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【詳解】（1）14÷28%=50，
所以本次共調(diào)查了50名學(xué)生；
（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“歌曲”所在扇形的圓心角的度數(shù)=360°×=72°；
（3）最喜歡舞蹈類(lèi)的人數(shù)為50-10-14-16=10（人），
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖為：
（4）2000×=640，
估計(jì)該校2000名學(xué)生中最喜愛(ài)小品的人數(shù)為640人；
故答案為50；72；640；
（5）畫(huà)樹(shù)狀圖：
共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中抽取的2名學(xué)生恰好來(lái)自同一個(gè)班級(jí)的結(jié)果數(shù)為4，
所以抽取的2名學(xué)生恰好來(lái)自同一個(gè)班級(jí)的概率=．
【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．也考查了統(tǒng)計(jì)圖．
21. 兩棟居民樓之間的距離CD=30米，樓AC和BD均為10層，每層樓高3米．
（1）上午某時(shí)刻，太陽(yáng)光線(xiàn)GB與水平面的夾角為30°，此刻B樓的影子落在A樓的第幾層？
（2）當(dāng)太陽(yáng)光線(xiàn)與水平面的夾角為多少度時(shí)，B樓的影子剛好落在A樓的底部．
【答案】（1）此刻B樓的影子落在A樓的第5層；（2）當(dāng)太陽(yáng)光線(xiàn)與水平面的夾角為45度時(shí)，B樓的影子剛好落在A樓的底部．
【解析】
分析：（1）延長(zhǎng)BG，交AC于點(diǎn)F，過(guò)F作FH⊥BD于H，利用直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可；
（2）連接BC，利用利用直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可．
詳解：（1）延長(zhǎng)BG，交AC于點(diǎn)F，過(guò)F作FH⊥BD于H，
由圖可知，F(xiàn)H=CD=30m，
∵∠BFH=∠α=30°，
在Rt△BFH中，BH=FH＝10≈17.32，
≈5.8，
答：此刻B樓的影子落在A樓的第5層；
（2）連接BC，∵BD=3×10=30=CD，
∴∠BCD=45°，
答：當(dāng)太陽(yáng)光線(xiàn)與水平面的夾角為45度時(shí)，B樓的影子剛好落在A樓的底部．
點(diǎn)睛：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是利用利用直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答．
22. 東東玩具商店用500元購(gòu)進(jìn)一批悠悠球，很受中小學(xué)生歡迎，悠悠球很快售完，接著又用900元購(gòu)進(jìn)第二批這種悠悠球，所購(gòu)數(shù)量是第一批數(shù)量的1.5倍，但每套進(jìn)價(jià)多了5元．
（1）求第一批悠悠球每套的進(jìn)價(jià)是多少元；
（2）如果這兩批悠悠球每套售價(jià)相同，且全部售完后總利潤(rùn)不低于25%，那么每套悠悠球的售價(jià)至少是多少元？
【答案】（1）第一批悠悠球每套的進(jìn)價(jià)是25元；（2）每套悠悠球的售價(jià)至少是35元．
【解析】
分析：（1）設(shè)第一批悠悠球每套的進(jìn)價(jià)是x元，則第二批悠悠球每套的進(jìn)價(jià)是（x+5）元，根據(jù)數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)結(jié)合第二批購(gòu)進(jìn)數(shù)量是第一批數(shù)量的1.5倍，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)每套悠悠球的售價(jià)為y元，根據(jù)銷(xiāo)售收入-成本=利潤(rùn)結(jié)合全部售完后總利潤(rùn)不低于25%，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．
詳解：（1）設(shè)第一批悠悠球每套進(jìn)價(jià)是x元，則第二批悠悠球每套的進(jìn)價(jià)是（x+5）元，
根據(jù)題意得：
，
解得：x=25，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=25是原分式方程的解．
答：第一批悠悠球每套的進(jìn)價(jià)是25元．
（2）設(shè)每套悠悠球的售價(jià)為y元，
根據(jù)題意得：500÷25×（1+1.5）y-500-900≥（500+900）×25%，
解得：y≥35．
答：每套悠悠球的售價(jià)至少是35元．
點(diǎn)睛：本題考查了分式方程應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
23. 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上，以AD為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)F，∠B=∠BAE=30°．
（1）求證：BC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若AC=3，求⊙O的半徑r；
（3）在（1）的條件下，判斷以A、O、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為哪種特殊四邊形，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）⊙O的半徑為2；（3）四邊形OAFE是菱形，理由見(jiàn)解析.
【解析】
分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)得出∠AOE=60°，進(jìn)而得出∠BEO=90°，即可得出結(jié)論；
（2）先求出∠AEC=60°，利用銳角三角函數(shù)求出AE，最后用三角函數(shù)即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出△AOF是等邊三角形，得出OA=AF，∠AOF=60°，進(jìn)而判斷出△OEF是等邊三角形，即可判斷出四邊相等，即可得出結(jié)論．
詳解：（1）如圖1，
連接OE，∴OA=OE，
∴∠BAE=∠OEA，
∵∠BAE=30°，
∴∠OEA=30°，
∴∠AOE=∠BAE+∠OEA=60°，
在△BOE中，∠B=30°，
∴∠OEB=180°-∠B-∠BOE=90°，
∴OE⊥BC，
∵點(diǎn)E在⊙O上，
∴BC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）如圖2，
∵∠B=∠BAE=30°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°，
在Rt△ACE中，AC=3，sin∠AEC=，
∴AE=，
連接DE，∵AD是⊙O的直徑，
∴∠AED=90°，
在Rt△ADE中，∠BAE=30°，cs∠DAE=，
∴AD=，
∴⊙O的半徑r=AD=2；
（3）以A、O、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，理由：如圖3，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
連接OF，∴OA=OF，
∴△AOF是等邊三角形，
∴OA=AF，∠AOF=60°，
連接EF，OE，
∴OE=OF，
∵∠OEB=90°，∠B=30°，
∴∠AOE=90°+30°=120°，
∴∠EOF=∠AOE-∠AOF=60°，
∵OE=OF，
∴△OEF是等邊三角形，
∴OE=EF，
∵OA=OE，
∴OA=AF=EF=OE，
∴四邊形OAFE是菱形．
點(diǎn)睛：此題是圓的綜合題，主要考查了圓的切線(xiàn)的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，求出∠AEC=60°是解本題的關(guān)鍵．
24. 鵬鵬童裝店銷(xiāo)售某款童裝，每件售價(jià)為60元，每星期可賣(mài)100件，為了促銷(xiāo)，該店決定降價(jià)銷(xiāo)售，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查反應(yīng)：每降價(jià)1元，每星期可多賣(mài)10件．已知該款童裝每件成本30元．設(shè)該款童裝每件售價(jià)x元，每星期的銷(xiāo)售量為y件．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不求自變量的取值范圍）；
（2）當(dāng)每件售價(jià)定為多少元時(shí)，每星期的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？
（3）①當(dāng)每件童裝售價(jià)定為多少元時(shí)，該店一星期可獲得3910元的利潤(rùn)？
②若該店每星期想要獲得不低于3910元的利潤(rùn)，則每星期至少要銷(xiāo)售該款童裝多少件？
【答案】（1）y=100+10（60﹣x）=﹣10x+700；（2）每件售價(jià)定為50元時(shí)，每星期的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)4000元；（3）①當(dāng)每件童裝售價(jià)定為53元或47元時(shí)，該店一星期可獲得3910元的利潤(rùn)；②每星期至少要銷(xiāo)售該款童裝170件．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)售量y（件）與售價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系即可得到結(jié)論．
（2））設(shè)每星期利潤(rùn)為W元，構(gòu)建二次函數(shù)利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題．
（3）①根據(jù)方程即可解決問(wèn)題；②列出不等式先求出售價(jià)的范圍，即可解決問(wèn)題．
【詳解】（1）y=100+10（60-x）=-10x+700．
（2）設(shè)每星期利潤(rùn)為W元，
W=（x-30）（-10x+700）=-10（x-50）2+4000．
∴x=50時(shí)，W最大值=4000．
∴每件售價(jià)定為50元時(shí)，每星期的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)4000元．
（3）①由題意：-10（x-50）2+4000=3910
解得：x=53或47，
∴當(dāng)每件童裝售價(jià)定為53元或47元時(shí)，該店一星期可獲得3910元的利潤(rùn)．
②由題意：：-10（x-50）2+4000≥3910，
解得：47≤x≤53，
∵y=100+10（60-x）=-10x+700．
170≤y≤230，
∴每星期至少要銷(xiāo)售該款童裝170件．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次不等式，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用圖象法解一元二次不等式，屬于中考?？碱}型．
25. 如圖1，點(diǎn)E是正方形ABCD邊CD上任意一點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG，連接BF，點(diǎn)M是線(xiàn)段BF中點(diǎn)，射線(xiàn)EM與BC交于點(diǎn)H，連接CM．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出CM和EM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；
（2）把圖1中的正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，此時(shí)點(diǎn)F恰好落在線(xiàn)段CD上，如圖2，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）把圖1中的正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)E、G恰好分別落在線(xiàn)段AD、CD上，如圖3，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）CM=EM，CM⊥EM；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）成立，理由見(jiàn)解析．
【解析】
【分析】
（1）延長(zhǎng)EM交AD于H，證明△FME≌△AMH，得到HM=EM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點(diǎn)A、E、C在同一條直線(xiàn)上，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)是斜邊的一半證明即可；
（3）根據(jù)題意畫(huà)出完整的圖形，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理、等腰三角形的性質(zhì)證明即可．
【詳解】解：（1）如圖1，結(jié)論：CM=EM，CM⊥EM．
理由：∵AD∥EF，AD∥BC，
∴BC∥EF，
∴∠EFM=∠HBM，
在△FME和△BMH中，
，
∴△FME≌△BMH，
∴HM=EM，EF=BH，
∵CD=BC，
∴CE=CH，∵∠HCE=90°，HM=EM，
∴CM=ME，CM⊥EM．
（2）如圖2，連接AE，
∵四邊形ABCD和四邊形EDGF是正方形，
∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，
∴點(diǎn)B、E、D在同一條直線(xiàn)上，
∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M為AF的中點(diǎn)，
∴CM=AF，EM=AF，
∴CM=ME，
∵∠EFD=45°，
∴∠EFC=135°，
∵CM=FM=ME，
∴∠MCF=∠MFC，∠MFE=∠MEF，
∴∠MCF+∠MEF=135°，
∴∠CME=360°-135°-135°=90°，
∴CM⊥ME．
（3）如圖3，連接CF，MG，作MN⊥CD于N，
在△EDM和△GDM中，
，
∴△EDM≌△GDM，
∴ME=MG，∠MED=∠MGD，
∵M(jìn)為BF的中點(diǎn)，F(xiàn)G∥MN∥BC，
∴GN=NC，又MN⊥CD，
∴MC=MG，
∴MD=ME，∠MCG=∠MGC，
∵∠MGC+∠MGD=180°，
∴∠MCG+∠MED=180°，
∴∠CME+∠CDE=180°，
∵∠CDE=90°，
∴∠CME=90°，
∴（1）中的結(jié)論成立．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
26. 如圖，已知A（﹣2，0），B（4，0），拋物線(xiàn)y=ax2+bx﹣1過(guò)A、B兩點(diǎn)，并與過(guò)A點(diǎn)的直線(xiàn)y=﹣x﹣1交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線(xiàn)解析式及對(duì)稱(chēng)軸；
（2）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形ACPO的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖冢蟪鳇c(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)M為y軸右側(cè)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)AC的垂線(xiàn)，垂足為N．問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)N，使以點(diǎn)M、N、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）拋物線(xiàn)解析式為：y=，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1；（2）存在P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣）；（3）N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣3）或（2，﹣1）
【解析】
分析：（1）由待定系數(shù)法求解即可；
（2）將四邊形周長(zhǎng)最小轉(zhuǎn)化為PC+PO最小即可；
（3）利用相似三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)討論，構(gòu)造圖形．設(shè)出點(diǎn)N坐標(biāo)，表示點(diǎn)M坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式即可．
詳解：（1）把A（-2，0），B（4，0）代入拋物線(xiàn)y=ax2+bx-1，得

解得
∴拋物線(xiàn)解析式為：y=x2?x?1
∴拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-＝1
（2）存在
使四邊形ACPO的周長(zhǎng)最小，只需PC+PO最小
∴取點(diǎn)C（0，-1）關(guān)于直線(xiàn)x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′（2，-1），連C′O與直線(xiàn)x=1的交點(diǎn)即為P點(diǎn)．
設(shè)過(guò)點(diǎn)C′、O直線(xiàn)解析式為：y=kx
∴k=-
∴y=-x
則P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-）
（3）當(dāng)△AOC∽△MNC時(shí)，
如圖，延長(zhǎng)MN交y軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥y軸于點(diǎn)E
∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°
∴∠CDN=∠CAO
由相似，∠CAO=∠CMN
∴∠CDN=∠CMN
∵M(jìn)N⊥AC
∴M、D關(guān)于AN對(duì)稱(chēng)，則N為DM中點(diǎn)
設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)（a，-a-1）
由△EDN∽△OAC
∴ED=2a
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，-a?1）
∵N為DM中點(diǎn)
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（2a，a?1）
把M代入y=x2?x?1，解得
a=4
則N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3）
當(dāng)△AOC∽△CNM時(shí)，∠CAO=∠NCM
∴CM∥AB則點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′即為點(diǎn)N
由（2）N（2，-1）
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3）或（2，-1）
點(diǎn)睛：本題為代數(shù)幾何綜合題，考查了待定系數(shù)、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短的數(shù)學(xué)模型構(gòu)造、三角形相似．解答時(shí)，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．

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